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2026年6月福建厦门市翔安区九年级数学第三次阶段测试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如果把向东走记作，那么表示的实际意义是（ ）
A. 向东走 B. 先向东走，再向西走
C. 向西走 D. 向西走
2.“长征是宣言书，长征是宣传队，长征是播种机”．二万五千里长征是中国历史上的伟大壮举，也是人类史上的奇迹，将25 000用科学记数法可表示为( )
A. B. C. D.
3.如图所示的几何体的主视图是（）
A. B. C. D.
4.将一副三角尺平放在桌面上，如图所示．若，则的大小为（ ）
A. B. C. D.
5.下列运算中，结果正确的是（）
A. B. C. D.
6.将分式方程去分母后得到的整式方程为（）
A. B. C. D.
7.某同学要统计本校图书馆最受学生欢迎的图书种类.以下是排乱的统计步骤:
从扇形图中分析出最受学生欢迎的种类;
去图书馆收集学生借阅图书的记录;
绘制扇形图来表示各个种类所占的百分比;
整理借阅图书记录并绘制频数分布表.
正确统计步骤的顺序是( )
A. B.
C. D.
8.如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A B C 是位似图形，位似中心为点O．若点A（-3，1）的对应点为A （-6，2），则点B（-2，4）的对应点B 的坐标为（ ）
A. （-4，8） B. （8，-4） C. （-8，4） D. （4，-8）
9.如图，是半圆O的直径，点B、C在半圆上，且，点P在上，若，则等于（ ）
A. B. C. D.
10.二次函数，且与轴的两个交点的横坐标分别为和，且，下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.若有意义，则a的值可以是 .（任意写出一个符合条件的a值即可）
12.如图，“石头、剪刀、布”是民间广为流传的游戏，游戏时，双方每次任意出“石头”、“剪刀”、“布”这三种手势中的一种，那么双方出现相同手势的概率P= ．
13.若点，都在反比例函数的图像上，则 （填“”或“”）．
14.如图，在四边形中，对角线与互相垂直平分，，则四边形的周长为 ．
15.如图，在中，对角线交于点O，，点E、F分别为的中点，连接，若，则 ．
16.一种遮阳伞如图，遮阳伞支架垂直于地面，在上，，、、三点共线，．当太阳光线与垂直时，它与地面的夹角正好为，则落在地面上的投影 ．
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
计算：．
18.(本小题8分)
如图，在矩形中，点在延长线上，点在延长线上，且连接、．求证：．
19.(本小题8分)
先化简，再代入求值：．
20.(本小题8分)
某超市经销甲、乙两种品牌的洗衣液，甲品牌洗衣液每瓶的进价是元/瓶，乙品牌洗衣液每瓶的进价是元/瓶．销售时，甲品牌洗衣液的售价为元/瓶，乙品牌洗衣液的售价为元/瓶．若超市需要购进甲、乙两种品牌的洗衣液共瓶，且购进两种洗衣液的总成本不超过元．则
(1) 超市应购进甲、乙两种品牌洗衣液各多少瓶，才能在两种洗衣液完全售出后所获利润最大？
(2) 最大利润是多少元？
21.(本小题8分)
提出问题：如图，有一块分布均匀的等腰三角形蛋糕（，且），在蛋糕的边缘均匀分布着巧克力，小明和小华决定只切一刀将这块蛋糕平分（要求分得的蛋糕和巧克力质量都一样）．
背景介绍：这条分割直线既平分了三角形的面积，又平分了三角形的周长，我们称这条线为三角形的“等分积周线”．
尝试解决：
(1) 小明很快就想到了一条分割直线，而且用尺规作图作出．请你帮小明在图中画出这条“等分积周线”，从而平分蛋糕；
(2) 小华觉得小明的方法很好，所以自己模仿着在图中过点画了一条直线交于点．你觉得小华能成功吗？如能成功，说出确定的方法；如不能成功，请说明理由．
22.(本小题10分)
五月是荔枝上市的时节，此时市场上售价为元至元之间．某水果公司以元的成本价新进箱荔枝，每箱质量．在出售荔枝前，需要去掉损坏的荔枝，现随机抽取箱，去掉损坏荔枝后称得每箱的质量（单位：）如下：4.7 4.8 4.6 4.5 4.8 4.9 4.8 4.7 4.8 4.7 4.8 4.9 4.7 4.8 4.5 4.7 4.7 4.9 4.7 5.0
整理数据：
质量（）
数量（箱）
分析数据：
平均数 众数 中位数
(1) 直接写出上述表格中，的值；
(2) 平均数、众数、中位数都能反映这组数据的集中趋势，请根据以上样本数据分析的结果，选择一个统计量，估算这箱荔枝共损坏了多少千克？
(3) 结合（2）中的结果，你认为该公司这批荔枝售价定为每千克多少钱合适？请说明理由．（若有计算，结果保留一位小数）
23.(本小题10分)
已知点和在二次函数是常数，的图像上．
(1) 当时，求和的值；
(2) 若二次函数的图像经过点且点A不在坐标轴上，当时，求的取值范围；
(3) 求证：．
24.(本小题12分)
小明在参观科技馆时，发现很多矿物的结晶体有着其独特的几何形态和内在规律．
［发现问题］
黄铁矿的晶体（如图（1））是一个正方体：它由六个面组成．每个面都是全等的正方形，每个顶点都连接三条棱．小明查阅资料后了解到，这种各面都是全等的正边形，且各顶点连接（）条棱的立体图形称为正多面体，如正方体又称为正六面体．
［提出问题］
小明思考：这样的正多面体有几个？
［分析问题］
一个正面体的每个面都是全等的正边形，有个顶点，条棱，且每个顶点都连接条棱．小明对部分正面体（如图（2））进行了观察，列出以下数据：
正多面体
正四面体 4 3 4 6 3
正方体 6 4 8 12 3
正八面体 8 3 6 12 4
(1) 根据表中的数据，请写出、、之间存在的等量关系式 ；
(2) 小明进一步发现，正面体中棱数与各面的边数之和以及棱数与各面的顶点数之和存在着一定的关系．
①从面出发：以正方体为例，它有6个面，每个面都有4条边，则六个面的边数之和为24，又因为正方体的两个面共用一条边，所以正方体的棱数为12．
正面体的棱数 ．（用含、的代数式表示）
②从顶点出发：正面体的棱数 ．（用含、的代数式表示）
(3) ［解决问题］已知一个正多面体有30条棱，且每个顶点连接3条棱，求这个正多面体的面数．
(4) 满足正多面体定义的几何体一共有几个？请说明你的理由．
25.(本小题14分)
如图1，锐角内接于，D为的中点，连接并延长交于点E，连接，过C作的垂线交于点F，点G在上，连接，若平分且．
(1) 求的度数．
(2) ①求证：．②若，求的值，
(3) 如图2，当点O恰好在上且时，求的长．
1.【答案】D
2.【答案】C
3.【答案】D
4.【答案】D
5.【答案】A
6.【答案】A
7.【答案】D
8.【答案】A
9.【答案】B
10.【答案】C
11.【答案】4（答案不唯一）
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】4
16.【答案】
17.【答案】解：
．

18.【答案】证明：在矩形中，，
∴，
∵，
∴，
∴．

19.【答案】解：(1-)
＝
＝
＝，
当a=+1时，原式＝＝＝．
20.【答案】【小题1】
解：设超市应购进甲种品牌洗衣液x瓶，两种洗衣液完全售出后所获利润为y元，依题意，得
，
∵，
∴，
由，得y随着x的增大而增大，
当时，y取得最大值，此时（瓶），
答：超市应购进甲种品牌洗衣液40瓶，乙种品牌洗衣液80瓶，才能在两种洗衣液完全售出后所获利润最大；
【小题2】
解：当时，（元），
答：最大利润是560元．

21.【答案】【小题1】
解：如图所示，BD即为所求．
【小题2】
解：小华不会成功．理由如下：
若直线平分的面积，过C作于D，如图
那么，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴小华不会成功．

22.【答案】【小题1】
解：根据表格数据，质量为的箱数最多，为7箱，
因此众数；
共抽取20箱数据，将数据从小到大排列，中位数为第10个和第11个数据的平均数，
质量为有2箱，质量为有1箱，质量为有7箱，
因此前个数据中，
第10个数据为，第11个数据为，
因此中位数，
即．
【小题2】
解：依题意，选择平均数，
∵样本平均数为，每箱原本质量为，
因此每箱平均损坏质量为，
总共有2000箱，因此总损坏质量为．
【小题3】
解：由（2）得总损坏质量为，
计算可得：总成本为(元)，
可出售的荔枝总质量为，
要保证不亏本，每千克售价至少为(元)，
∵结果保留一位小数，且市场价元元范围
因此定价为每千克约元合适，既不亏本也符合市场定价区间．

23.【答案】【小题1】
解：当时，图像过点和，
∴，解得，
∴，
∴．
【小题2】
解：∵函数图像过点和，
∴函数图像的对称轴为直线．
∵图像过点，
∴根据图像的对称性得．
∵，
∴．
【小题3】
解：∵图像过点和，
∴根据图像的对称性得．
∴，顶点坐标为．
将点和分别代人表达式可得
①②得，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．

24.【答案】【小题1】

【小题2】


【小题3】
由题意可得，，
，
根据（1）中公式可得，
可得，
解得，
则这个正多面体的面数为；
【小题4】
由题意可得，，
代入可得，
，
，
，
为正整数，且，，
当时，时，，故成立，
当时，时，，故成立，
当时，时，，故成立，
当时，时，，故不成立，
当时，时，，故成立，
当时，时，，故不成立，
当时，时，，故成立，
当时，时，，故不成立，
当时，无论取任何值，，故不成立，
综上，满足正多面体定义的几何体一共有个．

25.【答案】【小题1】
证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
【小题2】
①∵为中点，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
②设，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，即，
∴，
∴，
∴（负根舍去）；
【小题3】
解法一：如图，设的半径为，连接交于，过作于，

∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，而，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得：，（负根舍去），
由（2）①知，
∴．
解法二：如图，延长，分别交、于M、N，连接，
，
．
又，
，
．
，
，
．
又，
，
．
又，
，．
，
．
，
，
，
，
即，
得，
解得：，（负根舍去），
∴．

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