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安徽淮南第二中学等校2025-2026学年下学期高一年级期末学业质量检测数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知是虚数单位，则复数的虚部是( )
A. B. C. D.
2.已知一组数据，，，，，，则该组数据的第百分位数为
A. B. C. D.
3.众所周知，“石头、剪刀、布”游戏规则是比赛时双方任意出“石头”、“剪刀”、“布”这三种手势中的一种石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头，若双方出相同手势，则算打平小明和小泽玩这个游戏，他们随机出一种手势，则小明获胜的概率为( )
A. B. C. D.
4.花盆的起源可追溯至浙江余姚河姆渡文化出土的陶片，距今已有年的历史，为了方便堆叠和排水，花盆为上宽下窄的圆台结构小明家有一个花盆，其上底面圆的直径为，下底面圆的直径为，高为，则该花盆的体积为( )
A. B. C. D.
5.已知的外接圆圆心为，半径长为，且，，则的值为( )
A. B. C. D.
6.在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
7.已知四面体的个顶点都在球的表面上，若平面，，，，则球的表面积为( )
A. B. C. D.
8.已知的三个内角、、满足，当的值最大时，的值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若向量，，下列结论正确的有( )
A. 若，同向，则
B. 与垂直的单位向量的坐标为
C. 若在上的投影向量为是与向量同向的单位向量，则
D. 若与的夹角为钝角，则的取值范围是
10.已知事件与，且，，则下列结论正确的是( )
A. 如果与互斥，那么
B. 如果与相互独立，则
C. 如果与相互独立，那么
D. 如果与相互独立，那么
11.如图，点是棱长为的正方体的表面上一个动点，是线段的中点，则( )
A. 若点满足，则动点的轨迹长度为
B. 当点在棱上时，的最小值为
C. 当直线与所成的角为时，点的轨迹长度为
D. 当在底面上运动，且满足平面时，线段长度最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设复数，则 ．
13.在中，，，则 ．
14.已知向量，，满足，且，，则当时，的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，，分别为三个内角，，的对边，且．
求．
若，，求边上的角平分线的长．
16.本小题分
某学校举办了数学知识竞赛活动，现从所有竞赛答卷的卷面成绩中随机抽取份作为样本数据，将样本答卷中分数的整数分成六段：，，，并作出如图所示的频率分布直方图．
求频率分布直方图中的值；
规定为及格，用样本估计总体，随机从所有竞赛答卷抽取份试卷，求份试卷中至少有份及格的概率；
已知样本数据落在的平均数是，方差是；落在的平均数是，方差是求这两组数据的总平均数和总方差．
17.本小题分
如图，内一点满足，．
若，，求的值；
若，，求的长．
18.本小题分
在四棱锥中，底面为直角梯形，，，．
若点在棱上，，平面，求的值；
证明：；
当平面与平面所成的二面角为时，求与平面所成角的正弦值．
19.本小题分
类比于平面三角形中的余弦定理，我们得到三维空间中的三面角余弦定理；如图，由射线、、构成的三面角，，，，二面角的大小为，则．
如图，四棱柱中，平面平面，，，求的余弦值；
当、时，证明以上三面角余弦定理；
已知三棱锥，，，，，，的面积分别为，，，以，，为棱的二面角分别为，，，试猜想正弦定理在三维空间中推广的结论，并证明．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：由，
则由正弦定理得，
又在中，有，
则，
所以，
即，
又，则，即，
所以，即，
又，则，所以，解得．
结合有，
则由余弦定理有，
又，，则，解得，
又边上的角平分线为，则，
又，
则，
即，解得．

16.【答案】解：由题意，
解得
由直方图知，的频率为，
设至少有份试卷及格为事件，有份试卷及格为事件，有份试卷及格为事件，
则，
，
样本数据在区间的个数为，
在区间上的个数为，
所以，
总方差为．
17.【答案】解：在中，，此时，．
在中，，
又，故．
所以
．
设，在中，．
在中，，代入得：．
又，故．
即，解得：，所以．
18.【答案】解：如图，连接交于点，连接，
平面，平面，平面平面，
．
在梯形中，，，，
，，．
如图，在上取一点，使得，连接、，，
，，且，
四边形为平行四边形，，
，，，
又因为，，，
所以，又，，
，平面，平面，
平面，
平面，
因为平面平面平面，
又平面，设平面平面，则，
由知，平面，，，
为平面与平面所成的锐二面角的平面角，．
由，，，，
可得，，，
，，
，平面，平面，
平面，为与平面所成的角，
，
，
因此，与平面所成角的正弦值为．

19.【答案】解：由平面平面，得，
由三面角余弦定理得，
因为，，
，，
所以．
过射线上一点作交于点，
作交于点，连接，如图所示：
则是二面角的平面角，
在中，由余弦定理得：
，
在中，由余弦定理得：
，
两式相减得：
，
则：，
两边同除以，
得
，
如图，在上取点，使得，
过作平面，垂足为，作，交于，，交于，
设，，，
则，，
同理，
，，
同理可证，，
又，，
同理，，
，同乘，得．

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