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四川达州市2025-2026学年高二下学期期末教学质量监测数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若，，则( )
A. B. C. D.
2.垂直上升的火箭发射后，其高度单位：为，则发射时，火箭爬高的瞬时速度为( )
A. B. C. D.
3.在的展开式中，下列说法正确的是( )
A. 各项的系数之和为 B. 常数项为
C. 含的项的系数为 D. 含的项的二项式系数为
4.抛掷一枚质地均匀的硬币次，记出现正面向上的次数为，则( )
A. B. C. D.
5.一次聚会共人参加，每两人之间都握了一次手且只握一次，则所有人总握手次数为( )
A. B. C. D.
6.若函数，则是函数有极值的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.甲、乙、丙、丁、戊五人站成一排留影，则甲、乙必相邻，丙、丁不相邻的排法种数为( )
A. B. C. D.
8.根据变量和的成对样本数据，由一元线性回归模型得到经验回归模型，对应的残差图如图所示( )
A. 模型误差满足一元线性回归模型的所有假设
B. 模型误差不满足一元线性回归模型的的假设
C. 模型误差不满足一元线性回归模型的的假设
D. 以上说法都不正确
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.为了研究父亲身高与儿子身高的关系，通过调查名男大学生身高单位：及其父亲的身高单位：，得到数据，，，，再由最小二乘估计得到一元线性回归方程，则下列说法正确的是( )
A. 若，，则经验回归直线必过点
B. 当父亲的身高时，男大学生身高一定为
C. 本次调查的数据中男大学生身高和其父亲的身高的相关系数为正
D. 一元线性回归方程也能够很好地刻画父亲身高与女儿身高的关系
10.在下列区间中，函数存在零点的是( )
A. B. C. D.
11.若随机变量的取值为，，，，且，下列说法正确的是( )
A. B.
C. 为常数 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若随机变量，则 ．
13.若函数为增函数，则的取值范围为 ．
14.如图所示，一个椭圆形区域被分割为互不重叠的六个部分，依次标记为，，，，，现用种不同的颜色对图中个区域着色，要求有公共边的区域不能涂同一种颜色，四种颜色全部参与着色，则所有着色方案种数为 用数字作答
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
达州市拥有多项非物质文化遗产，如薅草锣鼓川东土家族薅草锣鼓、竹编渠县刘氏竹编、三汇彩亭会、龙舞安仁板凳龙等某校为了解学生对这项非遗的整体了解情况，对该校名学生进行了问卷调查，得到成对样本观测数据分类统计结果，如下表：
性别 至少听说过其中一项 一项都没听说过 合计
男
女
合计
试根据小概率值的独立性检验，分析该校学生对项非遗的了解状况至少听说过一项和一项都没听说过与性别是否有关联？
达州市非物质文化遗产主管部门邀请该校名同学参加非物质文化遗产主题游学活动，其中男生人、女生人学校决定从这名学生中随机抽取人分别对该校的个年级进行非遗宣传设抽到的男生人数为，求的分布列与数学期望．
参考公式及数据：，
其中．
16.本小题分
已知函数，．
求曲线在点处的切线方程；
求函数的最大值和最小值．
17.本小题分
已知函数．
求函数的单调区间；
若函数存在极小值且极小值小于，求的取值范围．
18.本小题分
一位棋手持续破解一个残局，该残局共有十种走法，其中仅一种可获胜，其余九种均失败在这十种走法中，有六种属于他的偏好棋路均为失败走法，另外四种为非偏好棋路含一种获胜走法和三种失败走法在偏好棋路局里，所有待选走法机会均等，并且一旦某一走法无法破解残局，将彻底舍弃该走法；非偏好棋路局同理；一旦成功破局后便不再尝试．
若该棋手将所有偏好棋路尝试完之后才尝试非偏好棋路，记为该棋手成功破解该残局所需的局数，求；
该棋手以每两局切换一次棋路的方式尝试破局，直至成功，并且前两局采用偏好棋路，记为该棋手成功破解该残局所需的局数，求的分布列；
倘若该棋手在第一局采用偏好棋路尝试破局的概率为当偏好棋路失败时，下一局尝试切换为非偏好棋路的概率为，当非偏好棋路失败时，下一局尝试切换为偏好棋路的概率为，记为该棋手成功破解该残局所需的局数，求．
19.本小题分
已知锐角的外接圆圆心为，圆的半径为，且，，的面积为．
用，表示；
若，，当取最大值时，求的值无需求出的最大值；
求证：．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：零假设：设该校学生对项非遗的了解状况与性别没有关联．
，
依据小概率值的独立性检验，认为不成立，即该校学生对项非遗的了解状况与性别有关联．
由题意可知服从超几何分布，则
，，．
所以的分布列为：
．

16.【答案】解：因为，
所以，
，，
曲线在点处的切线方程满足：，
所以，即．
令得，或，
令得，或，函数在上单调递增；
令得，，函数在上单调递减；
，，
，，
因为，
所以函数的最大值为，最小值为．

17.【答案】解：函数的定义域为，则，
当时，恒成立，所以的单调递增区间为，无单调递减区间，
当时，
若，则，在上单调递减，
若，则，在上单调递增，
所以的单调递减区间为，单调递增区间为，
综上所述：
当时，单调递增区间为，无单调递减区间，
当时，单调递减区间为，单调递增区间为；
由知，当时，函数才存在极小值，且极小值点为，
极小值为，
由题意知，即，
因为，，
构造函数，其中，
求导得恒成立，所以在上单调递增，
因为，所以要使，必须满足，
综上所述，的取值范围为．

18.【答案】解：该棋手先尝试偏好棋路，偏好棋路共种且全部为失败走法，所以前局必定全部失败，
第局开始尝试非偏好棋路，非偏好棋路共种，其中包含种获胜走法和种失败走法，且机会均等，
所以第局获胜的概率为；
由题意知，棋手按两局偏好、两局非偏好的方式循环切换，直到成功，
前两局为偏好棋路必败，所以的可能取值为，
第、局切换为非偏好棋路种，胜败：，，
若前局均失败概率为，第、局又切换回偏好棋路剩余种，必败，
第、局再切换为非偏好棋路剩余种，胜败：，，
注：第局若失败，第局必为剩下的那一种获胜走法，概率为，
所以，的分布列为
要使得即第局失败，第局成功，分析第局的两种可能性：
第局为偏好棋路：
偏好棋路必败概率，此时有的概率切换为非偏好棋路，
切换后，非偏好棋路共有种走法胜败，所以第局获胜的概率为，
此分支概率为，
第局为非偏好棋路：
非偏好棋路失败的概率为，此时有的概率不切换，继续尝试非偏好棋路，
继续尝试时，非偏好棋路还剩种走法胜败，所以第局获胜的概率为，
此分支概率为，
综合上述两种情况，．

19.【答案】解：由于是锐角三角形，其外心在三角形内部，
则均小于且，
所以，
所以
；
由及已知得
，令，
由于是锐角三角形，则均小于，得，故，
此时，于是，则，
令，所以，
展开化简，
所以，而，
所以，得负值舍，
当时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以为极值点也是最大值点，
因此，当取最大值时；
设，则，且，
由得，
令，则且，
所以
，
所以，
原问题等价于证明在且的条件下，
对于任意，，
所以恒有成立，当且仅当时取等号，
令即固定对应的，则，
所以，
设函数，其中，
则，
令，，只需，解得，即负根舍去，
当时，；当时，，所以是的唯一极大值点，也是最大值点，
由，则，
所以，当且仅当且时，即，等号成立．

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