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福建三明市2025-2026学年第二学期高一期末适应性练习数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在复平面内，复数对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.已知向量，满足，与的夹角为，则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
3.已知一个圆锥的底面面积为，侧面积为，则该圆锥的体积为( )
A. B. C. D.
4.若，，，则( )
A. B. C. D.
5.如图，在正方体中，，分别为棱，的中点，则以下四个结论中，正确的有( )
A. 直线与直线是相交直线 B. 直线与直线共面
C. 直线与直线平行 D. 直线与直线垂直
6.一个袋子中有大小和质地相同的个球，分别标有数字，，，，从中不放回地依次随机取出两个球事件“第一次取出的球的数字是”，事件“第二次取出的球的数字是”，事件“两次取出的球的数字之和是”，则( )
A. 与相互独立 B. 与相互独立 C. 与互斥 D.
7.成年人饮水量健康标准：连续天，每日饮水量均不低于视为达标现有甲、乙、丙三人连续天的日饮水量的数据数据均为正整数，单位：：甲：中位数，众数；乙：中位数，平均值；丙：含个数据，平均值，方差，其中一定达标的是( )
A. B. C. D.
8.在中，内角，，的对边分别为，，，若，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知为虚数单位，以下说法正确的是( )
A.
B. 若复数满足，则的实部为
C. 若，则的最大值为
D. 若是关于的方程的根，则
10.在梯形中，，，，，，，交于，则( )
A. B.
C. D.
11.在长方体中，，，，点在底面的边界及其内部运动，且满足与底面所成角为，下列结论正确的是( )
A. 过、、的截面是一个等腰梯形 B. 点形成的轨迹长度为
C. 四面体体积的取值范围为 D. 面积的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.甲、乙两人参加元宵节猜灯谜活动，每轮活动由甲、乙各猜一个灯谜，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为，甲、乙都猜不对的概率为在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，则 ．
13.已知正四棱锥的所有棱长均为，则此正四棱锥外接球的表面积为 ．
14.在锐角中，，，的面积为，过分别作，垂足为，，垂足为，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在直三棱柱中，点是的中点，点，分别是棱，上的点，且．
求证：平面；
若，，，求四棱锥的体积．
16.本小题分
记的内角，，的对边分别为，，向量，，．
求；
若，，，用，表示向量，并求的周长．
17.本小题分
某校在一次校考中使用赋分制给高三年级学生的化学成绩进行赋分，具体赋分方案如下：先按照考生原始分从高到低按比例划定、、、、共五个等级，然后在相应赋分区间内利用转换公式进行赋分．等级排名占比，赋分分数区间是；等级排名占比，赋分分数区间是；等级排名占比，赋分分数区间是；等级排名占比，赋分分数区间是；等级排名占比，赋分分数区间是；现从全年级的化学成绩中随机抽取名学生的原始成绩未赋分进行分析，其频率分布直方图如图所示：
求图中的值；并估计这名学生原始成绩的平均分；
现用分层随机抽样的方法，从这名学生的原始成绩在区间，的学生中抽取人，再从抽取的人中随机抽取人，求这人原始成绩均在的概率；
用样本估计总体的方法，估计该校本次化学成绩原始分不少于多少分才能达到赋分后的等级及以上含等级？结果保留整数．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，，，，，，，，平面平面，在平面内过作，垂足为，连．
求证：平面；
已知点在线段上，满足直线与平面所成的角的正切值为，求的长；
求二面角的正弦值．
19.本小题分
现有长度为，的线段各条，长度为的线段条，将四条线段首尾依次连接，可组成周长为的三角形或四边形．
求出两种符合条件的三角形的面积；
如图，在平面凸四边形中，，，，．
(ⅰ)在中，的垂直平分线交于点，试探究是否为定值，若是，求出的值，若不是，说明理由；
与相交于点，记与的面积分别为，，当四边形的面积取得最大值时，求的值．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：取的中点，连接，，
因为分别为，的中点，则，且，
又因为，且，则，且，
可知四边形为平行四边形，则，
且平面，平面，所以平面．
因为，，，则，可知，
又因为平面，平面，则，
且，平面，可得平面，
可知四棱锥的高为，
所以四棱锥的体积．

16.【答案】解：由，得，
由正弦定理，得，
代入得，又，故，即．
因为，所以．
由，得，
整理得，即．
设，将上式两边平方得
，
代入，，，
得，化简为，解得负根舍去，故．
由余弦定理，，
故，的周长为．

17.【答案】解：由频率分布直方图可知，组距为，则，解得，
即，所以，
这名学生原始成绩的平均分为：
分
原始成绩在区间，的频率分别为：，，，
对应的人数分别为人，人，人，
采用分层随机抽样抽取人，抽样比为则在区间，中抽取的人数分别为人，人，人，
记抽取的人中，成绩在的人为，其余人为从人中随机抽取人，
总的基本事件数为，
设“这人原始成绩均在”为事件，则事件包含的基本事件数为所以，
由题意可知，等级及以上含等级的排名占比为，
即需要估计原始分的前的分数线，
由直方图可知，成绩在的频率为，成绩在的频率为，
因为，所以等级及以上的原始分分数线位于区间内，
设原始分不少于分才能达到赋分后的等级及以上，则，解得，
所以，
因为结果保留整数，且分数需不少于该值，
所以估计该校本次化学成绩原始分不少于分才能达到赋分后的等级及以上．

18.【答案】解：在中，，，，所以．
又，，所以四边形为平行四边形，所以．
又即，所以，
又，平面，，所以平面．
又，所以平面．
如图，
因为平面平面，平面平面，平面，，
所以平面．
所以即为直线与平面所成的角．
因为，所以．
因为，，
所以，所以．
在中，由余弦定理得，，
所以或．
如图，
取中点，连接，．
因为，所以，
又，，所以．
所以为二面角的平面角，且．
因为平面，平面，所以平面平面，
即二面角为．
设二面角为，则，所以．

19.【答案】解：第种：三边长分别为，，等腰三角形，则底边上的高为，
则三角形面积为；
第种：三边长分别为，，，设最大角为，由余弦定理，，
即，则三角形面积为．
(ⅰ)设的中点为，则，即，
因．
又为的中点，，，
，
故是定值；
(ⅱ)设，
则在中，，即，
在中，，即，
联立方程得，即，则四边形的面积
即，两式平方相加得，
即，当时最大，此时，
即，又，解得，，
，，
即四点共圆，
故，即，
设，，
则，
故，即，得，即，
因为四点共圆，即，
故相似于，所以，即，又，
所以，即，．

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