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福建莆田市2025-2026学年下学期期末质量调研试卷高二数学
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若随机变量服从二项分布，则( )
A. B. C. D.
2.若函数，则( )
A. B. C. D.
3.若随机事件满足，，则( )
A. B. C. D.
4.在四面体中，是的中点，则( )
A. B.
C. D.
5.根据成对分类变量与的样本观测数据，计算得到，依据的独立性检验，可认为( )
附：
A. 变量与相互独立，该推断犯错误的概率不超过
B. 变量与相互独立，该推断犯错误的概率不超过
C. 变量与不相互独立，该推断犯错误的概率不超过
D. 变量与不相互独立，该推断犯错误的概率不超过
6.若向量，，共面，则( )
A. B. C. D.
7.若函数在区间内存在单调递减区间，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知随机变量服从正态分布，随机变量服从正态分布，且满足，，则( )附：若，则，，
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知线性相关的两个变量，的对样本观测数据满足，用最小二乘法得到关于的回归直线方程为；若剔除一个数据后，剩下数据的样本中心为，其回归直线方程为，则( )
A. B. C. D.
10.已知正方体的棱长为，若，则( )
A. 若，则
B. 若平面，则点轨迹的面积为
C. 若，则的最小值为
D. 若，则点的轨迹与正方体表面交线的长度为
11.已知定义在上的函数的导函数为，若，且，则( )
A.
B.
C. 在处取得极大值
D. 若方程有两个实数根，则实数的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.曲线在点处的切线方程为 ．
13.在直三棱柱中，，，为的中点，则直线与所成角的余弦值为 ．
14.有个尺寸不同的蛋糕，事先尺寸未知．现随机排列逐个呈现，按如下策略进行选择：拒绝第一个蛋糕，之后选择首个比第一个大的；若第一个本身就是最大的，则选择最后一个．按此策略选到最大尺寸蛋糕的概率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数在处有极值．
求函数的单调区间
求函数在区间上的最大值和最小值．
16.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，底面，，为的中点．
证明：平面；
求直线与平面所成角的正弦值．
17.本小题分
已知函数．
证明：；
若恒成立，求实数的取值范围．
18.本小题分
如图，在梯形中，，，，，，，分别为边，上的动点，且沿将梯形翻折，使平面平面，且．
求的长；
求平面与平面所成角的余弦值；
若四面体的四个顶点都在球上，求三角形的面积．
19.本小题分
某通信系统包含个信号节点，，，，，它们通过条光纤依次连接，光纤支持双向信号传输．每条光纤因故障信号传输中断的概率为，各光纤故障与否相互独立．两端节点，作为信号源分别发送信号，其余中间节点仅可经光纤通路接收信号．
若每个节点正常工作的概率为，且每个节点是否正常工作相互独立．设为个信号节点正常工作的节点数．
求，；
证明：对任意自然数，都有．
已知每个节点均正常工作．
求所有节点都有信号的概率结果用表示；
当时，若对任意，均可从，，，，中适当选取个节点作为新增信号源，使得所有节点都有信号的概率大于其中是自然对数的底数，求正整数的最小值．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：因为，所以，
因为在处有极值，所以，
即，解得，
故，，
令，则或，
当时，，所以在上单调递减，
当或时，，所以在和上单调递增，
所以单调增区间：，单调减区间：，
由知，在区间上，在上单调递减，
在上单调递增，所以在处取极小值，
即，
，
，
所以最大值为，最小值为．

16.【答案】解：连接，交于点，连接．
正方形中，、交于点，则为中点．
又为的中点，所以．
又平面，平面，
所以平面．
因为底面，底面，
所以，，．
．
在中，，，则，
同理可得，．
在中，，所以，则．
设直线与平面所成角为，点到平面的距离为，
则，所以，解得．
所以．
故直线与平面所成角的正弦值为．

17.【答案】解：因为函数的定义域为，
又，设，
则，所以在上单调递增，
又，所以当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，取得最小值，所以．
因为对恒成立，
所以对恒成立．
令．
解法一：，
令，则在上单调递增，
又，，
所以，使得，即，
所以当时，，即；当时，，即，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以，所以的取值范围为．
解法二：，设，
则，所以在上单调递增，
又，
所以，使得，即，即，
所以，
所以当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以，所以的取值范围为．
解法三：因为，
令，则，
所以．
由得；由得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以，所以的取值范围为．

18.【答案】解：作于点，连接，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以，平面，平面，
所以，，又，，平面，
所以，平面，平面，
所以，，
由，得即，
翻折前在梯形中，由得，沿将梯形翻折后，，
在平面四边形中，，那么，
又所以四边形是平行四边形，
所以，，
设，则，，
即，解得，
所以，．
在原直角梯形中，作于点，那么
四边形为矩形，，
，所以为等腰直角三角形，，
由于，所以，，
所以，沿将梯形翻折后，为等腰直角三角形，
，
以为原点，分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，那么
，，
，
设平面法向量为，平面法向量为，那么
取，则为平面一个法向量，
取，则为平面一个法向量，
，
所以，平面与平面所成角的余弦值为．
若四面体的四个顶点都在球上，
由于为直角三角形，故球心在经过斜边中点与平面垂直的直线上，设球心，则由可得
，解得，
所以，，
点到直线的距离为
，
所以，．

19.【答案】解：设为个信号节点正常工作的节点数，那么，
，；
当时，显然成立；
当时，设为个信号节点正常工作的节点数，那么，
，，
当时，
即，整理，得；
当时，，
即，整理，得；
综上所述，．
若所有节点都有信号，则故障光纤条数不超过，
设为光纤信号传输传输中断条数，那么，则存在两种情况，
第一种：所有光纤都正常工作；第二种：信号源节点，之间中间某个信号节点的光纤发生故障无法收到一端信号，只能收到另一端信号，
所有节点都有信号的概率为
若从中选取个节点作为新增信号源，则此时条光纤被这些信号源分成段，设各段光纤数为，那么，
由于每一段两端都有信号源，所以若某一段内有至少两条光纤故障，则该段中间会有节点收不到信号；若该段内故障光纤数不超过，则该段所有节点都有信号，
所以，某段信号节点有条光纤信号传输时，
该段“所有节点都有信号”的概率为，
因此所有节点都有信号的概率为
即
由得
即，
所以，，
将所有不等式两边相乘，得
，
即，由于
所以，，得
即，
设，则由得即，
，
令，那么，
当时，；当时，，
所以时，函数取得极小值，也是最小值，，
所以，，，
所以，，又，故．

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