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四川泸州市2025-2026学年高二下学期期末质量监测题数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.抛物线的准线方程为( )
A. B. C. D.
2.设随机变量，若，则( )
A. B. C. D.
3.二项式展开式的第项的二项式系数是( )
A. B. C. D.
4.如图，在空间四边形中，设，，，且 ，，则( )
A. B.
C. D.
5.已知是等差数列，则“数列是递减数列”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.已知随机变量，若，则
A. B. C. D.
7.某学校有，两家餐厅，王同学第天午餐时随机地选择一家餐厅用餐．如果第天去餐厅，那么第天去餐厅的概率为；如果第天去餐厅，那么第天去餐厅的概率为，则王同学第天去餐厅用餐的概率为( )
A. B. C. D.
8.已知函数在区间上存在最小值，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直线，圆，则( )
A. 过定点 B. 与圆总有两个不同的公共点
C. 存在实数，使圆关于对称 D. 被圆截得弦长的最小值为
10.数列的前项和满足，前项的积为，则( )
A. B. 数列是等比数列
C. 有最大值 D.
11.双曲线的左，右焦点分别为，是上一点，且轴，直线平分，是坐标原点．下列结论正确的有( )
A. 若，则的离心率为 B. 若，垂足为，则
C. 与有唯一公共点 D. 与轴的交点在直线上
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.从名男生和名女生中任选人参加主持人大赛，则选中的人中恰有名女生的选法共有 种．
13.直线与曲线相切，则 ．
14.底面边长为的正四棱锥的体积为，则该棱锥的外接球球心到其侧面的距离为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列为等差数列，是其前项和，且数列满足，
求数列和的通项公式；
设，求数列的前项和．
16.本小题分
某科技公司为优化智能客服系统，收集了名用户对客服的满意度评分满分分从中随机抽取名用户的评分数据作为样本，整理得到如下频率分布直方图．
求的值；
若给满意度评分从高到低排名前的用户发放“体验官专属福利”，请估计获得福利的用户的最低评分结果精确到分；
现从评分位于的样本中，按分层随机抽样的方法选取人，再从这人中随机选取人，设这人中评分落在内的人数为，求的分布列及数学期望．
17.本小题分
如图，在多面体中，平面，，，为中点，
证明：平面；
若直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值．
18.本小题分
已知椭圆：，过点和，过点的直线与交于，两点，在第一象限．
求的方程；
若，点，求的取值范围；
直线交轴于点，为中点，点关于轴的对称点为，延长交于点，，求直线的斜率．
19.本小题分
已知函数
当时，求的单调区间；
设函数．
若是的唯一极值点，且是极小值点，求的取值范围；
当时，证明：有且仅有一个零点．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：设等差数列的公差为，
因为，即，
又因为，即，
可得，，所以；
因为，，可知数列是首项和公比均为的等比数列，
所以．
因为，则，
可知数列是首项为，公比为的等比数列，
是以．

16.【答案】解：由频率分布直方图可知每组频率依次为，
则，解得．
可知给满意度评分从高到低前即上四分位数，设为，
因为，，
可知，可得，解得，
所以估计获得福利的用户的最低评分为．
因为的频率依次为；
按分层随机抽样的方法选取人，在内抽取人，在内抽取人，
可知随机变量的可能取值为，，，
则，，，
则的分布列如下：
所以的数学期望．

17.【答案】解：连结，因为，所以，
所以四边形为平行四边形，因此；
因为为中点，，所以．
因为平面，平面，所以．
又因为平面，，所以平面．
又因为，所以平面．
因为平面，平面，
所以，又因为，
所以以为原点，所在直线分别为轴、轴，过作与平行的线为轴，建立空间直角坐标系．
所以，
设，则．
设平面的一个法向量，
则，令，则，所以．
，
因此直线与平面所成角的正弦值为，
解得．
所以．
设平面的一个法向量，，
则
令，则，所以．
设平面的一个法向量，，
则
令，则，所以．
平面与平面夹角的余弦值为．

18.【答案】解：因为椭圆：，过点和，
则，解得
所以椭圆的标准方程为．
若，可知直线的斜率不为，且直线与椭圆必相交，

设直线：，，，
联立方程，消去可得，
则，，可得，
且，则，
令，则，可得，
令，，
可知在内单调递增，则，
即，则，可得，
所以的取值范围为．
由题意可知：直线的斜率存在，

设直线：，，，，则，
因为为中点，则，可得，即，
由题意可知：，，，
因为，则，解得，即，
因为点，均在椭圆上，
则，解得
且，可得，，
可知直线与椭圆必相交，且直线：，
联立方程，消去可得，解得或，
则，，即，
所以直线的斜率．

19.【答案】解：由题意可知：函数的定义域为，且，
令，解得或，
且，当时，；当时，；
所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为．
因为的定义域为，
则，
由题意可知：在内单调递减，在内单调递增，
当时，，；当时，，；
可知对任意恒成立，即，
令，，则，
因为在内单调递增，则，
即，可知在内单调递增，则，
可得，所以实数的取值范围为；
令，，
若，可知在内单调递增，
当趋近于时，趋近于；当趋近于时，趋近于；
可知在内存在唯一零点，
当时，；当时，；
对于函数，当趋近于时，趋近于；当趋近于时，趋近于；
可知函数在定义域内有零点．
若，当，；当，；
可知在内单调递增，在内单调递减，
则的极大值为，所以函数有且仅有个零点；
若，则，可知在定义域内单调递增，
所以函数有且仅有个零点；
若，当，；当，；
可知在内单调递增，在内单调递减，
则的极大值为，
令，，则，
可知在内单调递增，则，即，
可得
令，，则，
令，解得；令，解得；
可知在内单调递减，在内单调递增，
且，，可得在内恒成立，
则，所以函数有且仅有个零点；
综上所述：有且仅有一个零点．

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