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人教版数学七年级上册精做课件授课教师：.班级：7年级（）班.时间：.5.3.4方案选择问题第五章一元一次方程人教版七年级上册数学5.3.4方案选择问题同步练习题本套习题紧扣方案选择问题核心考点，这类问题是一元一次方程应用题重点压轴题型，主要包含电话计费、购物优惠、租车购票两种方案对比问题。核心解题思路为：先求出两种方案费用相等的临界点，再分情况判断最优方案，针对性解决不会列式表示方案费用、不会分类讨论、临界点判断错误等高频易错点，题型贴合课本经典例题，步骤规范，附带完整分步解析。一、选择题（每题4分，共20分）1.解决方案选择问题的核心步骤是（）A.直接猜测最优方案B.求出两种方案费用相等的临界点C.只计算第一种方案D.只计算第二种方案2.某商店两种优惠方案，方案一费用$$y_1=2x+10$$，方案二费用$$y_2=3x$$，当两种方案费用相等时，x的值为（）A. 5 B. 10 C. 15 D. 203.当消费数量大于临界点时，方案一更省钱，小于临界点时方案二更省钱，这说明方案选择需要（）A.分类讨论B.无需讨论C.固定选方案一D.固定选方案二4.电话套餐A：月租10元，每分钟0.2元；套餐B：无月租，每分钟0.3元。通话时间x分钟，套餐A费用为（）A. $$0.2x$$ B.$$10+0.2x$$ C. $$0.3x$$ D. $$10+0.3x$$5.两种方案费用相等的解为正数，代表（）A.无参考意义B.存在最优方案分界点C.计算错误D.方案完全相同二、填空题（每题4分，共20分）1.方案选择问题的本质：利用________求出两种方案费用相同的临界值，再________判断最优方案。2.甲方案收费：固定费用+浮动费用，乙方案收费：无固定费用、只有浮动费用，需要通过________对比两种方案。3.若当$$x=20$$时，两方案费用相等，当$$x>20$$时选甲方案，则$$x<20$$时选________方案。4.某活动方案一：每人收费50元；方案二：团体总费用300元+每人30元，设人数为x，方案一费用为________，方案二费用为________。5.方案选择应用题最后必须写清________，明确不同情况下的最优选择。三、解答题（共60分）1.（30分）电话计费方案问题（课本经典例题）：某移动公司有两种通话套餐：套餐一：每月月租18元，每分钟通话收费0.2元；套餐二：无月租，每分钟通话收费0.25元。（1）设每月通话时间为x分钟，分别用含x的式子表示两种套餐的每月费用；（2）求每月通话多少分钟时，两种套餐费用相等；（3）直接判断：每月通话时间较长、较短时分别选哪种套餐更划算。2.（30分）购物优惠方案问题：某文具店购买笔记本有两种优惠方案：方案A：每本笔记本8元，无其他优惠；方案B：会员费20元，购买笔记本每本6元。购买多少本笔记本时，两种方案花费相同？并说明购买数量不同时的最优方案。参考答案及解析一、选择题1.B 2.A 3.A 4.B 5.B解析：方案选择核心逻辑：先列式、再求临界值、最后分类讨论。没有固定最优方案，所有选择都随自变量数量变化而变化。二、填空题1.一元一次方程、分类讨论2.方程3.乙4. $$50x$$、$$300+30x$$ 5.分类结论三、解答题1.解：（1）套餐一费用：$$18+0.2x$$；套餐二费用：$$0.25x$$。（2）令两方案费用相等，列方程：$$18+0.2x=0.25x$$移项得：$$0.25x-0.2x=18$$合并得：$$0.05x=18$$解得：$$x=360$$（3）结论：每月通话时间等于360分钟，两套餐费用相同；通话时间大于360分钟，选套餐一；通话时间小于360分钟，选套餐二更划算。2.解：设购买$$x$$本笔记本。方案A费用：$$8x$$，方案B费用：$$20+6x$$。列方程：$$8x=20+6x$$移项合并：$$2x=20$$，解得$$x=10$$。结论：购买10本时，两种方案花费相同；购买数量少于10本，选方案A；购买数量多于10本，选方案B更省钱。核心小结：方案选择解题四步法：①列式：用未知数表示两种方案总费用；②联立：列一元一次方程求临界值；③对比：分大于、小于、等于三种情况讨论；④作答：写出完整最优方案结论。必考易错点：忘记分类讨论、只求临界值不写结论。通过建立方程模型解决不同能效空调综合费用的比较问题，初步掌握解决方案选择问题的一般方法，提升模型观念，增强应用意识。
上节课，我们一起探究了用一元一次方程解决与实际生活联系更为紧密的问题——销售中的盈亏问题，今天，我们通过对“不同能效空调的综合费用比较”来探究——方案选择问题。
探究：不同能效空调的综合费用比较
购买空调时，需要综合考虑空调的价格和耗电情况．某人打算从当年生产的两款空调中选购一台，下表是这两 款空调的部分基本信息．如果电价是0.5元／(kw·h)，请你分析他购买、使用哪款空调综合费用较低.
匹数 能效等级 售价/元 平均每年耗电量/(kw·h)
1.5 1级 3 000 640
1.5 3级 2 600 800
两款空调的部分基本信息表
匹数 能效等级 售价/元 平均每年耗电量/(kw·h)
1.5 1级 3 000 640
1.5 3级 2 600 800
（1）你能从表格中得到哪些信息？对空调的选择要综合考虑哪些因素？
（2）空调的电费与什么因素有关？如果把空调的售价与电费的和叫作空调的综合费用，如何根据综合费用来选择空调？你觉得选哪款空调更划算？
空调匹数、能效等级、售价和平均每年的耗电量
空调的售价与电费
使用时间
综合费用＝空调的售价＋电费
（3）设空调的使用时间为t年，你能把两款空调的综合费用分别用t表示出来吗？观察列出的两个代数式，可以得出哪款空调的综合费用更低吗？
匹数 能效等级 售价/元 平均每年耗电量/(kw·h)
1.5 1级 3 000 640
1.5 3级 2 600 800
1级能效空调的综合费用（单位：元）是
3000＋0.5×640t，即 3000＋320t.
3级能效空调的综合费用（单位：元）是
2600＋0.5×800t，即 2600＋400t.
（4）使用时间是多少年时，两款空调的综合费用相等？
3000＋320t＝2600＋400t，
解得 t＝5.
（5）使用时间在什么范围内，1级能效空调的综合费用更低？使用时间在什么范围内时，3级能效空调的综合费用更低？请说明理由。
匹数 能效等级 售价/元 平均每年耗电量/(kw·h)
1.5 1级 3 000 640
1.5 3级 2 600 800
为了比较两款空调的综合费用，我们把表示3级能效空调的综合费用的式子2600＋400t变形为1级能效空调的综合费用与另外一个式子的和，即
（3000＋320t）＋（80t－400），
也就是 3000＋320t＋80（t－5）.
这样，当t＜5时，80(t－5)是负数，这表明3级能效空调的综合费用较低；当t＞5时，80(t－5)是正数，这表明1级能效空调的综合费用较低.
匹数 能效等级 售价/元 平均每年耗电量/(kw·h)
1.5 1级 3 000 640
1.5 3级 2 600 800
由此可见，同样是1.5匹的空调，1级能效空调虽然售价高，但由于比较省电，使用年份长（超过5年）时综合费用反而低。根据相关行业标准，空调的安全使用年限是10年（从生产日期计起），因此购买、使用1级能效空调更划算。
通常，1级能效电器既节能又省钱！
1．运用一元一次方程解应用题的方法，求解使方案值相等的情况；
2．用特殊值试探去选择方案，取小于(或大于)一元一次方程解的值，比较两种方案的优劣后下结论．
解答这类问题的一般步骤
知识点1 分段计费问题
1. 某保险公司的汽车保险中的汽车修理费是分段赔偿的，具
体赔偿细则如下表.某人在汽车修理后在该保险公司得到的赔
偿金是2 000元，那么此人的汽车修理费是__________.
汽车修理费 赔偿率
不超过500元的部分
超过500元不超过1 000元的部分
超过1 000元不超过3 000元的部分
… …
元
【点拨】因为 （元），
（元），
（元），且
300元元，（元） 元，
（元） 元，所以此人的汽
车修理费的取值范围是 ，由题意，得
，解得 ，
所以此人的汽车修理费是 元.
2. 某市有两家出租车公司，收费标准不同.甲公司收费标准：
起步价9元，超过 后，超过的部分按照每千米1.6元收费.
乙公司收费标准：起步价20元，超过 后，超过的部分按
照每千米1.3元收费.已知车辆行驶.本题中 取整数，不足
的路程按 计费.
（1）根据题意，填写下表：
车辆行驶的路程/ 1 3 5 8 15 20 …
甲公司收费/元 9 ___ 12.2 17 _____ 36.2 …
乙公司收费/元 20 20 20 __ __ 29.1 ____ …
9
28.2
20
35.6
（2）当车辆行驶路程超过 ，且路程为整数时，甲、乙
两公司的收费分别是多少 （结果用化简后的含 的式子表示）
【解】由题意得当车辆行驶路程超过 ，且路程为整数时，
甲公司的收费为 元，乙公司的
收费为 元.
（3）当行驶路程为____ 时，两家公司收取的费用相同.
18
【点拨】由题意得解得 ,所以当
行驶路程为 时，两家公司收取的费用相同.
知识点2 方案问题
3. 某校组织研学活动，需租用客车出行，现有甲、乙两种客
车，甲客车可坐40人，租金为每辆300元；乙客车可坐30人，
租金为每辆240元．七年级有学生135人，教师5人，共140人．
（1）若单独租用甲客车，需要多少辆？单独租用乙客车，
需要多少辆？
【解】因为 （辆），且车辆数为正整数，
所以单独租用甲客车需要4辆；
因为 （辆），且车辆数为正整数，
所以单独租用乙客车需要5辆.
（2）若同时租用两种客车共4辆，且恰好坐满，甲、乙两种
客车各租用多少辆？
设租用甲客车辆，则租用乙客车 辆，
根据恰好坐满140人，列方程，得
,
解得，则 ,
即租用甲客车2辆，乙客车2辆.
方案选择问题
列方程
分类讨论
列代数式
　　在分类讨论的某个范围内，
借助字母表达式表示费用
　　不同方案的选择的转折点，可通过列方程计算寻找
弄清如何分类

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