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2.3 一元二次方程的根与系数的关系
一、选择题
1.若关于x的一元二次方程的解为，，则原方程利用因式分解变形后可得
A. B.
C. D.
2.已知，是方程的两个实数根，则
A. B. C. 20 D. 25
3.已知，是方程的两个实数根，则的值为
A. B. 1 C. D. 3
4.若方程的两个根是和，则的值为( )
A. B. 1 C. D. 2
5.若关于x的一元二次方程的两个实数根互为相反数，则a的值为
A. 2 B. 0 C. 1 D. 2或0
6.小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是6和1；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是和则原来的方程可能是( )
A. B. C. D.
二、填空题
7.已知一元二次方程的两个实数根分别为和，则的值为 .
8.已知方程的两根分别为，，则的值为 .
9.方程的根是与，则 .
10.设m，n是方程的两个实数根，则的值为 .
11.已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，其中，则 .
12.关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，，若，则方程的两根为 .
13.若一个菱形的两条对角线长分别是关于x的一元二次方程的两个实数根，且其面积为11，则该菱形的边长为 .
14.方程的两个根分别是m，n，则 .
三、解答题
15.利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积：
；
16.已知关于x的一元二次方程的一个根为1，求另一个根和c的值．
17.已知关于x的一元二次方程为常数有两个不相等的实数根和
填空： ， ；
求，的值；
已知，求p的值．
18.设，是关于x的方程的两根.
当时，求及m的值;
求证：
19.新定义：如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程的两个根是2和4，则方程是倍根方程．
若一元二次方程是“倍根方程”，则 ；
判断方程是不是倍根方程？并说明理由；
若是倍根方程，求代数式的值．
答案和解析
1.【答案】C
2.【答案】C
3.【答案】B
4.【答案】C
5.【答案】B
6.【答案】B
7.【答案】2
8.【答案】
9.【答案】28
10.【答案】5
11.【答案】
12.【答案】和2
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】【小题1】
方程的两根之和为，两根之积为
【小题2】
方程的两根之和为，两根之积为

16.【答案】另一个根为
17.【答案】【小题1】
p
1
【小题2】
，；
解：，，
，
关于x的一元二次方程为常数有两个不相等的实数根和，
，
，
；
【小题3】
解：由根与系数的关系得，，，
，
，
，
，
解得或，
一元二次方程为或，
当时，，不合题意，舍去；
当时，，符合题意；

【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，根的判别式，掌握一元二次方程根和系数的关系是解题的关键．
利用根和系数的关系即可求解；
解：由根与系数的关系得，，，
故答案为：p，1；

变形为，再把根和系数的关系代入计算即可求解，由一元二次方程根的定义可得，即得，进而可得；

把方程变形为，再把根和系数的关系代入得，可得或，再根据根的判别式进行判断即可求解．
18.【答案】【小题1】
解：把代入方程，得，
，
原方程为，
即，
，
，
故，
【小题2】
证明：方程可化为
，是关于x的方程的两根，
，，
，

19.【答案】【小题1】
2
【小题2】
方程不是“倍根方程”，理由如下：，，解得，，，方程不是“倍根方程”
【小题3】
解方程，得，方程两根是2倍关系，或4，①当时，，即，代入，得；②当时，，即，代入，得综上，

【解析】
解：一元二次方程是“倍根方程”，设，为方程两根，，又，，，，解得，，故答案为：2
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