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专题03 初速度为零的匀变速直线运动模型
初速度为零的匀变速直线运动的常用比例关系
(1)按时间等分(设相等的时间间隔为T)
①1T末、2T末、3T末、…、nT末瞬时速度之比，由v＝at可推得：v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶2∶3∶…∶n。
②前1T内、前2T内、前3T内、…、前nT内位移之比，由x＝at2可推得：x1∶x2∶x3∶…∶xn＝12∶22∶32∶…∶n2。
③第一个T内、第二个T内、第三个T内、…、第n个T内的位移之比，由xⅠ＝x1，xⅡ＝x2－x1，xⅢ＝x3－x2，…，xN＝xn－xn－1，可推得：xⅠ∶xⅡ∶xⅢ∶…∶xN＝1∶3∶5∶…∶(2n－1)。
(2)按位移等分(设相等的位移为x0)
①通过x0、2x0、3x0、…、nx0所用时间之比，由x＝at2得t＝，可推得：t1∶t2∶t3∶…∶tn＝1∶∶∶…∶。
②通过第一个x0、第二个x0、第三个x0、…、第n个x0所用时间之比，由tⅠ＝t1，tⅡ＝t2－t1，tⅢ＝t3－t2，…，tN＝tn－tn－1，可推得：tⅠ∶tⅡ∶tⅢ∶…∶tN＝1∶(－1)∶(－)∶…∶(－)。
③x0末、2x0末、3x0末、…、nx0末的瞬时速度之比，由v2＝2ax，可得v＝，可推得：v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶∶∶…∶。
一、初速度为零的匀变速直线运动的常用推论及技巧
1.按时间等分(设相等的时间间隔为T)
（1）1T末、2T末、3T末、…、nT末瞬时速度之比，由v＝at可推得：v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶2∶3∶…∶n 结论： ；
（2）前1T内、前2T内、前3T内、…、前nT内位移之比，由x＝at2可推得：x1∶x2∶x3∶…∶xn＝12∶22∶32∶…∶n2 结论： ；
（3）第一个T内、第二个T内、第三个T内、…、第n个T内的位移之比，由xⅠ＝x1，xⅡ＝x2－x1，xⅢ＝x3－x2，…，xN＝xn－xn－1，可推得：xⅠ∶xⅡ∶xⅢ∶…∶xN＝1∶3∶5∶…∶(2n－1)
结论：；
2.按位移等分(设相等的位移为x0)
（1）通过x0、2x0、3x0、…、nx0所用时间之比，由x＝at2得t＝，可推得：t1∶t2∶t3∶…∶tn＝1∶∶∶…∶ 结论：；
（2）通过第一个x0、第二个x0、第三个x0、…、第n个x0所用时间之比，由tⅠ＝t1，tⅡ＝t2－t1，tⅢ＝t3－t2，…，tN＝tn－tn－1，可推得：tⅠ∶tⅡ∶tⅢ∶…∶tN＝1∶(－1)∶(－)∶…∶(－) 结论：；
（3）x0末、2x0末、3x0末、…、nx0末的瞬时速度之比，由v2＝2ax，可得v＝，可推得：v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶∶∶…∶ 结论：。
二、逆向思维在匀变速直线运动中的应用
1.设物体的初速度为，加速度为a，做匀减速直线运动至速度为零，则可将此运动逆向看成初速度为0，加速度大小为a的匀加速直线运动，末速度为。
2.处理该类问题时应注意：逆向思维法可简化问题的处理过程，但要注意原过程与逆过程的速度、位移的大小相等，但方向相反。
模型1 初速度为零的匀变速直线运动（时间等分模型）
【解题指导】（1）模型特点：涉及做匀变速直线运动的物体相等时间内的位移、速度关系。
（2）常用结论与技巧
①1T末、2T末、3T末、…、nT末瞬时速度之比等于自然数之比。
②前1T内、前2T内、前3T内、…、前nT内位移之比等于自然数平方之比且
③一个T内、第二个T内、第三个T内、…、第n个T内的位移之比等于奇数之比且
【典例01】 滑块自静止状态从O点释放，沿斜面向下做匀加速直线运动的频闪照片如图所示，相邻两次闪光的时间间隔相等。故滑块在初始三个连续相等时间段内的位移之比可表示为（　　）
A．1：2：3 B．1：： C．1：3：5 D．5：3：1
【答案】C
【详解】设相邻两次闪光的时间间隔为，滑块沿斜面向下做匀加速直线运动的加速度大小为，则，，
所以
故选C。
【变式1-1】如图是高中物理必修1课本封面上的沙漏照片．若近似认为砂粒下落的初速度为0，不计砂粒间下落时的相互影响，设砂粒随时间均匀漏下，忽略空气阻力，若出口下方范围内有20粒砂粒，则出口下方范围的砂粒数约为（ ）
A．20粒 B．50粒 C．60粒 D．100粒
【答案】A
【详解】根据初速度为0的匀加速直线运动推论，可知相同时间内的位移之比为
可知砂粒经过出口下方与、所用时间相同，由于砂粒随时间均匀漏下，出口下方范围内有20粒砂粒，则出口下方范围的砂粒数约为20粒。
故选A。
【变式1-2】如图所示，一汽车从平直公路的O处由静止开始做匀加速直线运动，依次经过A、B、C三处，已知，汽车通过AB段与通过BC段的时间相等。设汽车通过A、B、C三处的速度大小分别为、、，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】根据初速度为零的匀加速直线运动，相同时间内的位移之比为，结合，汽车通过AB段与通过BC段的时间相等可知，OA段、AB段与通过BC段的时间相等，则
即，
故选A。
模型2 初速度为零的匀变速直线运动（位移等分模型）
【解题指导】（1）模型特点：涉及做匀变速直线运动的物体相等位移内的时间、速度关系。
（2）常用结论与技巧
①通过x0、2x0、3x0、…、nx0所用时间之比等于自然数开根号之比。
②通过第一个x0、第二个x0、第三个x0、…、第n个x0所用时间之比相邻两个自然数开根号之差的比值且
③x0末、2x0末、3x0末、…、nx0末的瞬时速度之比等于自然数开根号之比
【典例02】如图所示，一质点做匀减速直线运动，依次经过a、b、c、d四个点，经过a点时的速度为v，到达d点时速度为零，从a到d所用的时间为t，ab=bc=cd。则质点（　　）
A．从a到b和从b到c所用的时间之比为
B．从a到c所用的时间为
C．经过b点时的速度为
D．经过c点时的速度为
【答案】B
【详解】A．将该质点的运动看成是反向由静止开始的匀加速直线运动，则根据可知，通过连续相等位移所用的时间之比为
所以从a到b和从b到c所用的时间之比为，故A错误；
B．因为从a到d所用的时间为t，且
则质点从a到c所用的时间为，故B正确；
CD．根据可得
又因为质点经过a点时的速度为v，所以经过b点时的速度为
同理经过c点时的速度为，故CD错误。
故选B。
【变式2-1】伽利略的斜面实验是物理学史上“实验与逻辑推理相结合”的典范，根据其手稿中部分实验数据推测，小球在斜面上做初速度为零的匀加速直线运动。已知，，把小球的整个运动过程分为距离相等的四段，则小球经过第一段的时间t1和第三段的时间t3之比满足（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】小球在斜面上做初速度为零的匀加速直线运动，根据，可知经过连续四段相等位移所用的时间之比为
则有
故选C。
【变式2-2】（多选）正常情况下，高铁车厢数量是八节或者十六节，其中八节属于短编组动车。高铁站台上一乘警站在八节短编组动车的第一节车厢前端，动车从静止开始做匀加速直线运动，车厢间的间隙忽略不计，下列说法正确的是（　　）
A．第1节和第2节车厢经过乘警所用的时间之比是
B．第2、3节车厢尾经过乘警瞬间的速度之比是
C．最后4节车厢经过乘警所用的时间小于第1节车厢经过乘警所用的时间
D．动车中间位置经过乘警的瞬时速度小于动车通过乘警的平均速度
【答案】BC
【详解】AB．根据初速度为零的匀加速直线运动的比例关系可知，第1节和第2节车厢经过乘警所用的时间之比为
第2、3节车厢尾经过乘警瞬间的速度之比为，故A错误，B正确；
C．设每节车厢的长度为l，根据位移时间关系可得，，
所以第1节车厢经过乘警所用的时间
最后4节车厢经过乘警所用的时间
即最后4节车厢经过乘警所用的时间小于第1节车厢经过乘警所用的时间，故C正确；
D．第8节车厢尾经过乘警的速度为v，则动车中间位置经过乘警的瞬时速度为
动车通过乘警的平均速度为
即动车中间位置经过乘警的瞬时速度大于动车通过乘警的平均速度，故D错误。
故选BC。
模型3 逆向思维在匀变速直线运动中的应用
【解题指导】（1）模型特点：物体以一定初速度做匀减速直线运动且速度减到0。常见情景有汽车刹车问题、物体以一定初速度冲上固定斜面问题、物体以一定初速度在水平面上做匀减速运动等。
（2）易错提醒
①利用逆思维时一定要注意物体速度是否减到0。
②对于刹车问题一定要注意所求时间内汽车是否停止即先判断汽车刹车时间。
【典例03】一可视为质点的机器人，由图示位置开始沿铺有相同地板砖的地面做匀减速直线运动，加速度大小为 ，通过三块砖时刚好停下。已知每块砖长60cm，则机器人的初速度大小为（　　）
A．2.0m/s B．1.8m/s C．1.6m/s D．1.4m/s
【答案】B
【详解】将机器人的运动看作是逆向的初速度为零的匀加速运动，则机器人的初速度
故选B。
【变式3-1】（多选）春节临近，有长辈给小朋友压岁钱的习俗，为了增添年味，现在发压岁钱的方式也是越来越有趣，其中有一种叫做“滚钱”，具体操作是在桌面放置不同金额的纸币，瓶子滚到哪张纸币上就可以赢取此金额，如图甲所示。为了便于分析，我们用图乙来描述这个模型，滚瓶从水平桌面上O点出发，途中经过A、B、C、D、E5个放钱的位置，相邻两个位置的距离均为0.2m，滚瓶停在哪里就获得对应的压岁钱，滚瓶掉下桌子就没有。现设滚瓶（可视为质点）从O点出发后受到的阻力恒定，张强同学以v0=1m/s的速度推出滚瓶，最后刚好停在E处，已知滚瓶在D点和E点之间滑行的时间为1s，则下列说法正确的是（　　）
A．滚瓶由位置A滑至位置E所用的时间等于2s
B．滚瓶在位置A 的速度等于它在 OB之间的平均速度
C．滚瓶经过位置A时的速度是经过位置D时的速度的3倍
D．如果张强以0.9 m/s的速度将滚瓶推出，滚瓶最终将停在CD之间
【答案】AD
【详解】A．滚瓶做末速度为零的匀减速运动，设滚瓶依次滑过两相邻位置的时间间隔分别为和，由逆向思维知
而，故滚瓶由位置滑至位置所用的时间，故A正确；
B．滚瓶由位置到位置，由可得
滚瓶经过位置的速度
滚瓶经过位置的速度
在之间的平均速度，故B错误；
C．滚瓶经过位置D的速度，C错误；
D．滚瓶从点到位置，有
则若以的速度将滚瓶推出，滚瓶运动的位移为
且
停在之间，故D项正确。
故选AD。
【变式3-2】一辆汽车在平直公路上匀速行驶，遇到紧急情况，突然刹车，从开始刹车起运动过程中的位移与时间的关系式为，下列说法正确的是（　　）
A．刹车过程中最后2s内的位移大小是2.5m
B．从刹车开始计时，第3s内和第4s内的位移大小之比为
C．刹车过程中相邻2s内的位移差为
D．从刹车开始计时，10s内通过的位移大小为50m
【答案】B
【详解】A．从开始刹车起运动过程中的位移与时间的关系式为
对比匀变速直线运动位移公式
可得汽车刹车的初速度，加速度
刹车最后2s的位移可逆向视为初速度为0的匀加速直线运动2s的位移，大小为，故A错误；
B．第3s内位移为前3s位移减前2s位移，则有
第4s内位移为前4s位移减前3s位移，则有
可知从刹车开始计时，第3s内和第4s内的位移大小之比为，故B正确；
C．匀变速直线运动相邻相等时间内位移差满足，则相邻2s内位移差，故C错误；
D．刹车总时间为
10s大于刹车总时间6s，故10s内位移等于刹车总位移，故D错误。
故选B。
1．如图，环洱海公路某一段可视为平直公路，两旁等间距种植树木，一辆汽车沿该公路行驶，突然刹车做匀减速运动后，每隔相同的时间汽车的位置分别处在处，则可推断汽车最终（　　）
A．停在之间 B．停在处 C．停在处 D．停在之间
【答案】B
【详解】设相邻两棵树间距为L，则汽车加速度大小
经过B点的速度
从B到停止的位移
可知汽车停在D点。
故选B。
2．不少市民在菏泽的马路上看到过这种四四方方、长相“呆萌”的快递车，这是菏泽第一批无人驾驶快递车。某无人驾驶快递车在某路段做匀加速直线运动时，连续通过两段位移和，这两个过程该车的速度变化量均为，则该车通过这两段位移全过程的平均速度为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】两个过程该车的速度变化量均为，可知两段过程的时间相同，设为T，则，
解得
则该车通过这两段位移全过程的平均速度为
故选A。
3．某运动员原地垂直起跳扣篮，离地后重心上升到最大高度所用时间为3t，第一个t内上升的高度为，第三个t内上升的高度为。不计空气阻力，则的比值为（　　）
A．8 B．5 C．3 D．0.2
【答案】B
【详解】根据初速度为零的匀加速直线运动的比例关系可知，经过相等时间内的位移之比为1:3:5，所以利用思维法可得
故选B。
4．在笔直公路上一辆匀速行驶的三轮农用运输车突遇紧急情况司机立即刹车，从刹车开始，三轮车做匀减速直线运动直到停车。已知三轮农用运输车刹车时速度v0=4m/s，加速度大小为a=10m/s2，三轮农用运输车可视为质点，从刹车开始计时，则三轮农用运输车（　　）
A．第一个0.1s内、第二个0.1s内、第三个0.1s内、第四个0.1s内位移大小之比为16:9:4:1
B．速度大小减小到初速度的一半时所用的时间为0.3s
C．行驶到最大位移一半时的速度大小为
D．行驶的最大位移大小为0.6m
【答案】C
【详解】A．根据匀变速直线运动速度与时间的关系可得
解得三轮农用运输车从刹车到停车所用的时间为
将刹车过程的逆过程看作初速度为零的匀加速运动，易知刹车过程的第一个0.1s内、第二个0.1s内、第三个0.1s内、第四个0.1s内位移之比为7:5:3:1，故A错误；
B．速度大小减为初速度的一半所用的时间为，故B错误；
C．设行驶到最大位移一半时的速度大小为v，则根据匀变速直线运动速度与位移的关系式有，
联立解得，故C正确；
D．根据匀变速直线运动速度与位移的关系式有
解得行驶的最大位移大小，故D错误。
故选C。
5．木块A、B、C、D并排固定在水平地面上，可视为质点的子弹以速度射入木块A，恰好能从木块D中射出。子弹在木块A、B、C、D中运动的时间相等，在木块中运动时加速度恒定，下列说法正确的是（　　）
A．A、B、C、D木块的长度之比为9∶7∶5∶3
B．子弹刚射出木块B时的速度大小为
C．子弹射出木块A、B瞬间的速度大小之比为3∶1
D．子弹在木块A中运动的平均速度是在木块D中运动的平均速度的7倍
【答案】D
【详解】A．子弹在木块A、B、C、D中运动的时间相等，子弹在木块中的运动可逆向看作初速度为零且从右向左的匀加速直线运动，由初速度等于零的匀加速直线运动连续相等时间内运动位移的比例关系可知，木块A、B、C、D的长度之比为7：5：3：1，故A错误；
B．子弹刚射出木块B时为整个过程的中间时刻，则速度大小为整个过程的平均速度，即为，故B错误；
C．由v=at知，子弹射出木块A、B瞬间的速度大小之比为vA:vB=(3Δt):(2Δt)=3:2
故C错误；
D．因为子弹在每个木块中运动的时间相等，木块A与木块D长度之比为7:1，由知，子弹在木块A中运动的平均速度是在木块D中运动的平均速度的7倍，故D正确。
故选D。
6．玉质文玩手串深受发烧友的喜爱。如图所示，将文玩手串放置在水平面上，相邻球形串珠紧密排列，均匀分布在圆周上，编号依次为1至12，圆内有一光源可绕圆心逆时针匀加速转动。初始时刻光源速度为0，发出的光线恰好经过串珠1的中心。经过时间光线经过串珠6的中心。则再经过时间，光线照射的串珠编号为（　　）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】C
【详解】根据初速度为0的匀变速直线运动的规律
则3t时
经过时间光线经过串珠6的中心。转过了5个间隔，所以3t时间内一共转过45个间隔，一圈是12个间隔，因此细光束应照射10号串珠。
故选C。
7．子弹以初速度垂直射入叠在一起的20块相同木板，穿过第20块木板后速度变为0。如果子弹在木板中运动的总时间为t，可以把子弹视为质点，子弹在各块木板中运动的加速度都相同。下列说法正确的是（　　）
A．子弹穿过第19块木板与第20块所用时间之比为1：2
B．子弹穿过第20块木板所用的时间为
C．子弹穿过第10块木板时速度为
D．子弹穿过前 15块木板的平均速度
【答案】D
【详解】A．由题可知，子弹在各木板中运动的加速度都相同，且穿过第20块木板后速度变为0，所以子弹做的是匀减速运动，加速度的大小为。整个运动逆向思维可以看成是初速度为0的匀加速直线运动，加速度大小为。每块木板长度相同，将运动逆向后，第20和19块木板通过相同位移所用的时间之比为，故A错误；
B．根据可知，通过木板宽度d，2d，3d...，20d，所用的时间之比为
所以
解得，故B错误；
C．根据可知，通过木板宽度d，2d，3d...，20d前的速度之比为
所以
解得，故C错误；
D．由C选项分析可知
解得
所以，子弹穿过前 15块木板的平均速度为，故D正确。
故选D。
8．如图所示，某“闯关游戏”的笔直通道上每隔相同距离设有一个关卡，某闯关者通过关卡1时开始做匀减速直线运动，恰好能运动到关卡5处。从关卡1到关卡2用时，从关卡4到关卡5用时。则满足（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】物体做由静止开始的匀加速直线运动，其经过连续相等位移间隔所用的时间为，将物体的运动看成反方向的匀加速，故
即。它介于3、4之间。
故选C。
9．小物体从底端以初速度沿光滑斜面向上运动，恰好到达斜面顶端。如图所示，把斜面分成四个长度相等的部分，下面说法正确的是（　　）
A．物体过C点时的速度是
B．物体从O到D的平均速度等于过B点时的速度
C．通过每一部分，物体速度的减少量都相同
D．物体过BC段的时间是CD段的时间的倍
【答案】A
【详解】AB．物体到达D点时的速度为零，则整个运动过程可以逆过来看作一个初速度为零的匀加速直线运动，
由位移差公式可得，连续相等时间段内的位移之比为
由于，所以C点中间时刻所对应的点，则整个过程的平均速度等于C点的瞬时速度，也等于初末速度之和的一半，即，A正确，B错误；
C．由于速度变化量，由于物体经过每段位移所用的时间不相等，所以速度变化量也不相等，C错误；
D．由位移公式，可得
所以，
联立可得，D错误。
故选A。
10．如图所示，将质量为的小球从固定斜面的A点由静止释放，小球做匀加速直线运动，下方距离A点L处有一长为的固定圆筒（内径略大于小球直径），小球穿过圆筒的时间为。若把小球沿斜面上移到距离A点L处的B点再由静止释放，穿过圆筒的时间记为，则为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】由初速度为零的匀加速直线运动规律可知：从A点下降时，两段L时间之比为
由B点处下降时，三段L时间之比为
每次第一L时间相同，则
故选A。
11．2025年9月3日，北京天安门广场举行了盛大的阅兵活动，以纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年。某坦克方队从静止开始做匀加速直线运动，若在第1个内所用时间为，在第2个内所用时间为，则为（　　）
A． B．2 C． D．
【答案】A
【详解】根据位移公式，在第1个5m内
可得
通过前10 m的位移，所用时间满足
可得
通过第二个5 m的位移所用时间
时间比值为
故选A。
12．（多选）如图所示，弹射器将一滑块弹出，滑块和弹簧在O点分离后滑块做匀减速直线运动，滑块先后经过5个门，相邻两个门之间的距离相等且为d，滑块全程不与门碰撞且恰好停在门5的正下方。若滑块从门1运动到门5所用的时间为t，则下列说法正确的是（ ）
A．滑块由门4滑至门5所用的时间为 B．滑块由门1滑至门4所用的时间为
C．滑块经过门1时的加速度大小为 D．滑块经过门1时的速度大小为
【答案】BC
【详解】AB．滑块从1到5做匀减速运动，最后速度为零，可逆向看从5到1做初速度为零的匀加速直线运动，设滑块依次滑过两相邻门的时间间隔分别为、、、，根据滑块做初速度为零的匀加速直线运动的规律，可得
由题知
联立可得
则滑块由门1滑至门4所用的时间为
故A错误，B正确；
C．根据逆向思维，可得
解得滑块经过门1时的加速度大小为
故C正确；
D．根据逆向思维，可得
故D错误。
故选BC。
13．（多选）四个水球可以挡住一颗子弹！央视“国家地理”频道播出的一挡节目真实地呈现了该过程，其实验示意图如图所示。四个完全相同的装满水的薄皮气球水平固定排列，子弹射入水球中并沿水平线做匀变速直线运动，恰好能穿出第4号水球。球皮对子弹的阻力忽略不计，子弹视为质点。下列说法正确的是（　　）
A．子弹经过每个水球的过程中速度变化量均相同
B．子弹穿出第2号水球时的速度等于穿过四个水球的平均速度
C．子弹穿过每个水球所用时间依次为t1、t2、t3、t4，则t1+t2+t3=t4
D．子弹穿过每个水球所用时间依次为t1、t2、t3、t4，，则
【答案】CD
【详解】A．子弹经过每个水球过程中，位移相同，但是速度逐渐减小，则经过每个水球的时间增加，根据
可知子弹的速度变化量不同，故A错误；
B．对整个过程的逆过程可看作初速度为零的匀加速运动，根据初速度为零的匀加速运动的规律，反向穿过第4球与后面的3个球的位移之比为，可知反向穿过第4球所用时间等于穿过四个水球的总时间的一半，则子弹反向穿出第4号水球时，即正向穿过第3号水球时的速度等于穿过四个水球的平均速度，故B错误；
C．依据B的分析可知，穿过第3号水球是整个过程的中间时刻，则子弹穿过每个水球所用时间依次为t1、t2、t3、t4，则有
故C正确；
D．对整个过程的逆过程，由初速度为零的匀加速运动相等位移的时间关系可知，子弹穿过第4号水球、第3号水球、第2号水球、第1号水球的时间之比为
则有
故D正确。
故选CD。
14．（多选）如图所示，一列火车由36节紧密连接的相同车厢组成，站台上某同学位于第1节车厢前端的观察点观察火车的运动。火车从静止开始做匀加速直线运动，从第5节车厢的前端刚到达观察点时开始计时，经18s第17节车厢的前端恰好到达观察点，下列说法正确的是（　　）
A．前4节车厢通过观察点的时间为9s
B．全部车厢通过观察点的时间为54s
C．前9节车厢通过观察点的时间为全部车厢通过观察点的时间的一半
D．前18节车厢和后18节车厢通过观察点的时间之比为
【答案】BC
【详解】A．根据初速度为零匀加速比例关系可知，每节车厢经过的时间之比为
设比例系数为k，第5节车厢的前端刚到达观察点时开始计时，经18s第17节车厢的前端恰好到达观察点，则
解得
前4节车厢通过观察点的时间为，故A错误；
B．全部车厢通过观察点的时间为，故B正确；
C．前9节车厢通过观察点的时间为，是总时间的一半，故C正确；
D．前18节车厢和后18节车厢通过观察点的时间之比为，故D错误。
故选BC。
15．（多选）某动车进站前以速度v匀速直线行驶，A是站台外电线杆，B是站台内电线杆，动车车头通过电线杆A时开始刹车，前三节车厢通过电线杆B用时为t，动车停下时刚好有四节车厢通过电线杆B，每节车厢的长度均为L，设动车刹车过程为匀减速运动，则下列判断正确的是（　　）
A．第四节车厢通过电线杆B所用的时间小于t
B．动车刹车的加速度大小为
C．第一节车厢通过电线杆B所用的时间为
D．A、B两电线杆间的距离为
【答案】BD
【详解】A．以动车为参考系，电线杆B相对动车做匀减速直线运动，根据初速度为0的匀变速直线运动相邻相等时间的位移比可知，前三节车厢通过电线杆B的时间为，则第四节车厢通过电线杆B的时间也为，故A错误；
B．由
解得，故B正确；
C．第四节车厢通过电线杆B所用时间为，根据比例规律可知，第一节车厢通过电线杆B所用的时间为，故C错误；
D．A、B电线杆间的距离为，故D正确。
故选BD。
16．（多选）如图，篮球架下的运动员原地垂直起跳完成扣篮后，离地后重心上升的最大高度为H。把上升高度H从低到高均匀分成四份，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　）
A．运动员在上升的每一个中的速度变化量相等
B．上升第一个所用的时间与第四个所用的时间之比为
C．上升完第三个的速率与起跳时的速率之比为
D．上升完第三个的速度与整个上升过程中的平均速度相等
【答案】CD
【详解】AB．运动员向上做匀减速直线运动，根据逆向思维，运动员向下做初速度为零的匀加速直线运动，从上到下，相等位移内时间之比为
根据可知运动员在上升的每一个中的速度变化量不相等，上升第一个所用的时间与第四个所用的时间之比为，故AB错误；
CD．根据可知运动前三个所用的时间为总时间的，根据匀变速直线运动平均速度等于中间时刻的瞬时速度可知上升完第三个的速度与整个上升过程中的平均速度相等，根据可知上升完第三个的速率与起跳时的速率之比为，故CD正确。
故选CD。
17．（多选）地铁进站后的运动可以视为做匀减速直线运动，某同学站在地铁站观察，看到地铁进站后用时20s停止，最后1s内位移大小为0.5m，则地铁（　　）
A．进站的加速度大小是
B．进站后第1s内的位移大小是18.5m
C．进站后前10s位移和后10s的位移之比为4︰1
D．进站的初速度大小是
【答案】AD
【详解】A．运用逆向思维，把地铁的匀减速运动看作初速度为零的匀加速运动，最后1s内位移大小为0.5m，由，解得加速度大小，故A正确；
BD．运用逆向思维，地铁的初速度大小是
地铁第1s内的位移大小是，故B错误，D正确；
C．地铁运动时间为20s，运用逆向思维，根据位移时间公式可得，地铁后10s位移和总位移之比为，则前10s位移和后10s的位移之比为3︰1，故C错误。
故选AD。
18．（多选）近日，武汉交通发展战略研究院发布了“武汉2035年市域轨道交通线路规划图”。根据规划，至2035年武汉将规划形成“环网交织、快线穿城、轴向放射”总规模1300公里的市域城市轨道交通网络，越来越多的市民选择地铁作为出行的交通工具。如图所示，t=0时，列车由静止开始做匀加速直线运动，第一节车厢的前端恰好与站台边感应门的一根立柱对齐，t=6s时，第一节车厢末端恰好通过这根立柱所在位置，全部车厢通过立柱所用时间18s。设各节车厢的长度相等，不计车厢间距离。则（　　）
A．该列车共有6节车厢
B．第2个6s内有3节车厢通过这根立柱
C．最后一节车厢通过这根立柱的时间为s
D．第4节车厢通过这根立柱的末速度大于整列车通过立柱的平均速度
【答案】BD
【详解】A．设这列火车共有节，每节车厢长度为，根据运动学公式
则
其中，
联立解得，该列车共有9节车厢，故A错误；
B．根据初速度为零的匀加速直线运动规律，连续相等时间内位移的比例关系
可知第2个内有3节车厢通过这根立柱，故B正确；
C．根据初速度为零的匀加速直线运动规律，连续相等位移内时间的比例关系
最后一节车厢通过这根立柱的时间为，故C错误；
D．前4节车厢通过这根立柱的运动时间为
大于总时间的一半，则此时的速度大于中间时刻的瞬时速度，即大于整列车通过立柱的平均速度，故D正确。
故选BD。
01 核心知识
02 模型归纳
03 模型突破
04 综合素养提升
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专题03 初速度为零的匀变速直线运动模型
初速度为零的匀变速直线运动的常用比例关系
(1)按时间等分(设相等的时间间隔为T)
①1T末、2T末、3T末、…、nT末瞬时速度之比，由v＝at可推得：v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶2∶3∶…∶n。
②前1T内、前2T内、前3T内、…、前nT内位移之比，由x＝at2可推得：x1∶x2∶x3∶…∶xn＝12∶22∶32∶…∶n2。
③第一个T内、第二个T内、第三个T内、…、第n个T内的位移之比，由xⅠ＝x1，xⅡ＝x2－x1，xⅢ＝x3－x2，…，xN＝xn－xn－1，可推得：xⅠ∶xⅡ∶xⅢ∶…∶xN＝1∶3∶5∶…∶(2n－1)。
(2)按位移等分(设相等的位移为x0)
①通过x0、2x0、3x0、…、nx0所用时间之比，由x＝at2得t＝，可推得：t1∶t2∶t3∶…∶tn＝1∶∶∶…∶。
②通过第一个x0、第二个x0、第三个x0、…、第n个x0所用时间之比，由tⅠ＝t1，tⅡ＝t2－t1，tⅢ＝t3－t2，…，tN＝tn－tn－1，可推得：tⅠ∶tⅡ∶tⅢ∶…∶tN＝1∶(－1)∶(－)∶…∶(－)。
③x0末、2x0末、3x0末、…、nx0末的瞬时速度之比，由v2＝2ax，可得v＝，可推得：v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶∶∶…∶。
一、初速度为零的匀变速直线运动的常用推论及技巧
1.按时间等分(设相等的时间间隔为T)
（1）1T末、2T末、3T末、…、nT末瞬时速度之比，由v＝at可推得：v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶2∶3∶…∶n 结论： ；
（2）前1T内、前2T内、前3T内、…、前nT内位移之比，由x＝at2可推得：x1∶x2∶x3∶…∶xn＝12∶22∶32∶…∶n2 结论： ；
（3）第一个T内、第二个T内、第三个T内、…、第n个T内的位移之比，由xⅠ＝x1，xⅡ＝x2－x1，xⅢ＝x3－x2，…，xN＝xn－xn－1，可推得：xⅠ∶xⅡ∶xⅢ∶…∶xN＝1∶3∶5∶…∶(2n－1)
结论：；
2.按位移等分(设相等的位移为x0)
（1）通过x0、2x0、3x0、…、nx0所用时间之比，由x＝at2得t＝，可推得：t1∶t2∶t3∶…∶tn＝1∶∶∶…∶ 结论：；
（2）通过第一个x0、第二个x0、第三个x0、…、第n个x0所用时间之比，由tⅠ＝t1，tⅡ＝t2－t1，tⅢ＝t3－t2，…，tN＝tn－tn－1，可推得：tⅠ∶tⅡ∶tⅢ∶…∶tN＝1∶(－1)∶(－)∶…∶(－) 结论：；
（3）x0末、2x0末、3x0末、…、nx0末的瞬时速度之比，由v2＝2ax，可得v＝，可推得：v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶∶∶…∶ 结论：。
二、逆向思维在匀变速直线运动中的应用
1.设物体的初速度为，加速度为a，做匀减速直线运动至速度为零，则可将此运动逆向看成初速度为0，加速度大小为a的匀加速直线运动，末速度为。
2.处理该类问题时应注意：逆向思维法可简化问题的处理过程，但要注意原过程与逆过程的速度、位移的大小相等，但方向相反。
模型1 初速度为零的匀变速直线运动（时间等分模型）
【解题指导】（1）模型特点：涉及做匀变速直线运动的物体相等时间内的位移、速度关系。
（2）常用结论与技巧
①1T末、2T末、3T末、…、nT末瞬时速度之比等于自然数之比。
②前1T内、前2T内、前3T内、…、前nT内位移之比等于自然数平方之比且
③一个T内、第二个T内、第三个T内、…、第n个T内的位移之比等于奇数之比且
【典例01】 滑块自静止状态从O点释放，沿斜面向下做匀加速直线运动的频闪照片如图所示，相邻两次闪光的时间间隔相等。故滑块在初始三个连续相等时间段内的位移之比可表示为（　　）
A．1：2：3 B．1：： C．1：3：5 D．5：3：1
【变式1-1】如图是高中物理必修1课本封面上的沙漏照片．若近似认为砂粒下落的初速度为0，不计砂粒间下落时的相互影响，设砂粒随时间均匀漏下，忽略空气阻力，若出口下方范围内有20粒砂粒，则出口下方范围的砂粒数约为（ ）
A．20粒 B．50粒 C．60粒 D．100粒
【变式1-2】如图所示，一汽车从平直公路的O处由静止开始做匀加速直线运动，依次经过A、B、C三处，已知，汽车通过AB段与通过BC段的时间相等。设汽车通过A、B、C三处的速度大小分别为、、，则（　　）
A． B． C． D．
模型2 初速度为零的匀变速直线运动（位移等分模型）
【解题指导】（1）模型特点：涉及做匀变速直线运动的物体相等位移内的时间、速度关系。
（2）常用结论与技巧
①通过x0、2x0、3x0、…、nx0所用时间之比等于自然数开根号之比。
②通过第一个x0、第二个x0、第三个x0、…、第n个x0所用时间之比相邻两个自然数开根号之差的比值且
③x0末、2x0末、3x0末、…、nx0末的瞬时速度之比等于自然数开根号之比
【典例02】如图所示，一质点做匀减速直线运动，依次经过a、b、c、d四个点，经过a点时的速度为v，到达d点时速度为零，从a到d所用的时间为t，ab=bc=cd。则质点（　　）
A．从a到b和从b到c所用的时间之比为
B．从a到c所用的时间为
C．经过b点时的速度为
D．经过c点时的速度为
【变式2-1】伽利略的斜面实验是物理学史上“实验与逻辑推理相结合”的典范，根据其手稿中部分实验数据推测，小球在斜面上做初速度为零的匀加速直线运动。已知，，把小球的整个运动过程分为距离相等的四段，则小球经过第一段的时间t1和第三段的时间t3之比满足（　　）
A． B． C． D．
【变式2-2】（多选）正常情况下，高铁车厢数量是八节或者十六节，其中八节属于短编组动车。高铁站台上一乘警站在八节短编组动车的第一节车厢前端，动车从静止开始做匀加速直线运动，车厢间的间隙忽略不计，下列说法正确的是（　　）
A．第1节和第2节车厢经过乘警所用的时间之比是
B．第2、3节车厢尾经过乘警瞬间的速度之比是
C．最后4节车厢经过乘警所用的时间小于第1节车厢经过乘警所用的时间
D．动车中间位置经过乘警的瞬时速度小于动车通过乘警的平均速度
模型3 逆向思维在匀变速直线运动中的应用
【解题指导】（1）模型特点：物体以一定初速度做匀减速直线运动且速度减到0。常见情景有汽车刹车问题、物体以一定初速度冲上固定斜面问题、物体以一定初速度在水平面上做匀减速运动等。
（2）易错提醒
①利用逆思维时一定要注意物体速度是否减到0。
②对于刹车问题一定要注意所求时间内汽车是否停止即先判断汽车刹车时间。
【典例03】一可视为质点的机器人，由图示位置开始沿铺有相同地板砖的地面做匀减速直线运动，加速度大小为 ，通过三块砖时刚好停下。已知每块砖长60cm，则机器人的初速度大小为（　　）
A．2.0m/s B．1.8m/s C．1.6m/s D．1.4m/s
【变式3-1】（多选）春节临近，有长辈给小朋友压岁钱的习俗，为了增添年味，现在发压岁钱的方式也是越来越有趣，其中有一种叫做“滚钱”，具体操作是在桌面放置不同金额的纸币，瓶子滚到哪张纸币上就可以赢取此金额，如图甲所示。为了便于分析，我们用图乙来描述这个模型，滚瓶从水平桌面上O点出发，途中经过A、B、C、D、E5个放钱的位置，相邻两个位置的距离均为0.2m，滚瓶停在哪里就获得对应的压岁钱，滚瓶掉下桌子就没有。现设滚瓶（可视为质点）从O点出发后受到的阻力恒定，张强同学以v0=1m/s的速度推出滚瓶，最后刚好停在E处，已知滚瓶在D点和E点之间滑行的时间为1s，则下列说法正确的是（　　）
A．滚瓶由位置A滑至位置E所用的时间等于2s
B．滚瓶在位置A 的速度等于它在 OB之间的平均速度
C．滚瓶经过位置A时的速度是经过位置D时的速度的3倍
D．如果张强以0.9 m/s的速度将滚瓶推出，滚瓶最终将停在CD之间
【变式3-2】一辆汽车在平直公路上匀速行驶，遇到紧急情况，突然刹车，从开始刹车起运动过程中的位移与时间的关系式为，下列说法正确的是（　　）
A．刹车过程中最后2s内的位移大小是2.5m
B．从刹车开始计时，第3s内和第4s内的位移大小之比为
C．刹车过程中相邻2s内的位移差为
D．从刹车开始计时，10s内通过的位移大小为50m
1．如图，环洱海公路某一段可视为平直公路，两旁等间距种植树木，一辆汽车沿该公路行驶，突然刹车做匀减速运动后，每隔相同的时间汽车的位置分别处在处，则可推断汽车最终（　　）
A．停在之间 B．停在处 C．停在处 D．停在之间
2．不少市民在菏泽的马路上看到过这种四四方方、长相“呆萌”的快递车，这是菏泽第一批无人驾驶快递车。某无人驾驶快递车在某路段做匀加速直线运动时，连续通过两段位移和，这两个过程该车的速度变化量均为，则该车通过这两段位移全过程的平均速度为（　　）
A． B． C． D．
3．某运动员原地垂直起跳扣篮，离地后重心上升到最大高度所用时间为3t，第一个t内上升的高度为，第三个t内上升的高度为。不计空气阻力，则的比值为（　　）
A．8 B．5 C．3 D．0.2
4．在笔直公路上一辆匀速行驶的三轮农用运输车突遇紧急情况司机立即刹车，从刹车开始，三轮车做匀减速直线运动直到停车。已知三轮农用运输车刹车时速度v0=4m/s，加速度大小为a=10m/s2，三轮农用运输车可视为质点，从刹车开始计时，则三轮农用运输车（　　）
A．第一个0.1s内、第二个0.1s内、第三个0.1s内、第四个0.1s内位移大小之比为16:9:4:1
B．速度大小减小到初速度的一半时所用的时间为0.3s
C．行驶到最大位移一半时的速度大小为
D．行驶的最大位移大小为0.6m
5．木块A、B、C、D并排固定在水平地面上，可视为质点的子弹以速度射入木块A，恰好能从木块D中射出。子弹在木块A、B、C、D中运动的时间相等，在木块中运动时加速度恒定，下列说法正确的是（　　）
A．A、B、C、D木块的长度之比为9∶7∶5∶3
B．子弹刚射出木块B时的速度大小为
C．子弹射出木块A、B瞬间的速度大小之比为3∶1
D．子弹在木块A中运动的平均速度是在木块D中运动的平均速度的7倍
6．玉质文玩手串深受发烧友的喜爱。如图所示，将文玩手串放置在水平面上，相邻球形串珠紧密排列，均匀分布在圆周上，编号依次为1至12，圆内有一光源可绕圆心逆时针匀加速转动。初始时刻光源速度为0，发出的光线恰好经过串珠1的中心。经过时间光线经过串珠6的中心。则再经过时间，光线照射的串珠编号为（　　）
A．8 B．9 C．10 D．11
7．子弹以初速度垂直射入叠在一起的20块相同木板，穿过第20块木板后速度变为0。如果子弹在木板中运动的总时间为t，可以把子弹视为质点，子弹在各块木板中运动的加速度都相同。下列说法正确的是（　　）
A．子弹穿过第19块木板与第20块所用时间之比为1：2
B．子弹穿过第20块木板所用的时间为
C．子弹穿过第10块木板时速度为
D．子弹穿过前 15块木板的平均速度
8．如图所示，某“闯关游戏”的笔直通道上每隔相同距离设有一个关卡，某闯关者通过关卡1时开始做匀减速直线运动，恰好能运动到关卡5处。从关卡1到关卡2用时，从关卡4到关卡5用时。则满足（　　）
A． B． C． D．
9．小物体从底端以初速度沿光滑斜面向上运动，恰好到达斜面顶端。如图所示，把斜面分成四个长度相等的部分，下面说法正确的是（　　）
A．物体过C点时的速度是
B．物体从O到D的平均速度等于过B点时的速度
C．通过每一部分，物体速度的减少量都相同
D．物体过BC段的时间是CD段的时间的倍
10．如图所示，将质量为的小球从固定斜面的A点由静止释放，小球做匀加速直线运动，下方距离A点L处有一长为的固定圆筒（内径略大于小球直径），小球穿过圆筒的时间为。若把小球沿斜面上移到距离A点L处的B点再由静止释放，穿过圆筒的时间记为，则为（　　）
A． B．
C． D．
11．2025年9月3日，北京天安门广场举行了盛大的阅兵活动，以纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年。某坦克方队从静止开始做匀加速直线运动，若在第1个内所用时间为，在第2个内所用时间为，则为（　　）
A． B．2 C． D．
12．（多选）如图所示，弹射器将一滑块弹出，滑块和弹簧在O点分离后滑块做匀减速直线运动，滑块先后经过5个门，相邻两个门之间的距离相等且为d，滑块全程不与门碰撞且恰好停在门5的正下方。若滑块从门1运动到门5所用的时间为t，则下列说法正确的是（ ）
A．滑块由门4滑至门5所用的时间为 B．滑块由门1滑至门4所用的时间为
C．滑块经过门1时的加速度大小为 D．滑块经过门1时的速度大小为
13．（多选）四个水球可以挡住一颗子弹！央视“国家地理”频道播出的一挡节目真实地呈现了该过程，其实验示意图如图所示。四个完全相同的装满水的薄皮气球水平固定排列，子弹射入水球中并沿水平线做匀变速直线运动，恰好能穿出第4号水球。球皮对子弹的阻力忽略不计，子弹视为质点。下列说法正确的是（　　）
A．子弹经过每个水球的过程中速度变化量均相同
B．子弹穿出第2号水球时的速度等于穿过四个水球的平均速度
C．子弹穿过每个水球所用时间依次为t1、t2、t3、t4，则t1+t2+t3=t4
D．子弹穿过每个水球所用时间依次为t1、t2、t3、t4，，则
14．（多选）如图所示，一列火车由36节紧密连接的相同车厢组成，站台上某同学位于第1节车厢前端的观察点观察火车的运动。火车从静止开始做匀加速直线运动，从第5节车厢的前端刚到达观察点时开始计时，经18s第17节车厢的前端恰好到达观察点，下列说法正确的是（　　）
A．前4节车厢通过观察点的时间为9s
B．全部车厢通过观察点的时间为54s
C．前9节车厢通过观察点的时间为全部车厢通过观察点的时间的一半
D．前18节车厢和后18节车厢通过观察点的时间之比为
15．（多选）某动车进站前以速度v匀速直线行驶，A是站台外电线杆，B是站台内电线杆，动车车头通过电线杆A时开始刹车，前三节车厢通过电线杆B用时为t，动车停下时刚好有四节车厢通过电线杆B，每节车厢的长度均为L，设动车刹车过程为匀减速运动，则下列判断正确的是（　　）
A．第四节车厢通过电线杆B所用的时间小于t
B．动车刹车的加速度大小为
C．第一节车厢通过电线杆B所用的时间为
D．A、B两电线杆间的距离为
16．（多选）如图，篮球架下的运动员原地垂直起跳完成扣篮后，离地后重心上升的最大高度为H。把上升高度H从低到高均匀分成四份，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　）
A．运动员在上升的每一个中的速度变化量相等
B．上升第一个所用的时间与第四个所用的时间之比为
C．上升完第三个的速率与起跳时的速率之比为
D．上升完第三个的速度与整个上升过程中的平均速度相等
17．（多选）地铁进站后的运动可以视为做匀减速直线运动，某同学站在地铁站观察，看到地铁进站后用时20s停止，最后1s内位移大小为0.5m，则地铁（　　）
A．进站的加速度大小是
B．进站后第1s内的位移大小是18.5m
C．进站后前10s位移和后10s的位移之比为4︰1
D．进站的初速度大小是
18．（多选）近日，武汉交通发展战略研究院发布了“武汉2035年市域轨道交通线路规划图”。根据规划，至2035年武汉将规划形成“环网交织、快线穿城、轴向放射”总规模1300公里的市域城市轨道交通网络，越来越多的市民选择地铁作为出行的交通工具。如图所示，t=0时，列车由静止开始做匀加速直线运动，第一节车厢的前端恰好与站台边感应门的一根立柱对齐，t=6s时，第一节车厢末端恰好通过这根立柱所在位置，全部车厢通过立柱所用时间18s。设各节车厢的长度相等，不计车厢间距离。则（　　）
A．该列车共有6节车厢
B．第2个6s内有3节车厢通过这根立柱
C．最后一节车厢通过这根立柱的时间为s
D．第4节车厢通过这根立柱的末速度大于整列车通过立柱的平均速度
01 核心知识
01 核心知识
02 模型归纳
03 模型突破
04 综合素养提升
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