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第二十五章一元二次方程
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（ ）
A．且 B．且 C． D．
2．已知a和b是方程的两个解，则的值为（　　）
A．2020 B．2024 C．2026 D．2028
3．下列方程中是一元二次方程的是（　　）
A．2x2+＝0 B．ax2+bx+c＝0
C．2x2﹣5xy﹣y2＝0 D．（x﹣3）（x+2）＝1
4．如果一元二次方程能用公式法求解，那么必须满足的条件是（　　）
A． B． C． D．
5．如图所示，某商场在厢式电梯地面铺设了长为，宽为的矩形地毯，已知矩形地毯中镶嵌了两横一竖的彩条（与矩形的边平行），横竖彩条的宽度相同，空白部分的面积为，若设彩条的宽度为，那么满足的一元二次方程是（ ）．
A． B．
C． D．
6．关于x的方程的两个根满足，且，则m的值为（　　）
A． B．1 C．3 D．9
7．一元二次方程根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．无实数根
8．杨倩在东京奥运会女子10米气步枪决赛中夺得冠军，为中国代表团揽入首枚金牌，随后杨倩同款“小黄鸭”发卡在电商平台上爆单，该款在电商平台上7月24日的销量为5000个，7月25日和7月26日的总销量为30000个．若7月25日和7月26日较前一天的增长率为x．则可列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
10．下列关于x的方程是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
11．将方程化成一元二次方程的一般形式，当二次项系数为时，一次项系数和常数项分别为（ ）
A．， B．， C．， D．，
12．用因式分解法解下列方程，正确的是（ ）
A．，
B．，或
C．，或
D．，或
二、填空题
13．方程的根是__________．
14．如果，是一元二次方程的两个实数根，那么多项式的值是__________．
15．若，则________．
16．已知关于的方程有实数根，则的取值范围是________.
17．若是y关于x的正比例函数，则__________．
三、解答题
18．用直接开平方法解下列方程：
(1)
(2)．
19．解下列方程：
(1)；
(2)．
(3)
(4)
20．一个长方体的长与宽的比为5∶2，高为，表面积为，画出这个长方体的展开图．
21．如图，在中，．

(1)求作菱形，使得点D落在上，（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下，延长相交于点F，且，求的值．
22．已知，分别求出满足下列条件的的值：
(1)与的值互为相反数；
(2)的值比的值大3．
23．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣m2=0．
(1)求证：该方程有两个不等的实根；
(2)若该方程的两个实数根x1、x2满足x1+2x2=9，求m的值．
24．为了提升干线公路美化度，相关部门拟定派一个工程队对39000米的公路进行路面“白改黑”工程．该工程队计划使用一大一小两种型号设备交替的方式施工，原计划小型设备每小时铺设路面30米，大型设备每小时铺设路面60米．
(1)由于小型设备工作效率较低，该工程队计划使用大型设备的时间比使用小型设备的时间多，当这个工程完工时，小型设备的使用时间为多少小时？
(2)通过勘察、又新增了部分支线公路美化，结果此工程的实际施工里程比最初拟定的里程39000米多了9000米，于是在实际施工中，小型设备在铺设公路效率不变的情况下，使用时间比原计划增加了18m小时，同时，因为新增的工人操作大型设备不够熟练，使得比原计划每小时下降了m米，使用时间增加了小时，求m的值．
《第二十五章一元二次方程》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D D A A C A C B C
题号 11 12
答案 D D
1．A
【分析】本题考查一元二次方程根的情况与判别式的关系：方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程没有实数根．注意到二次项系数不等于0这一条件是解题的关键．
方程有两个不相等的实数根，则，由此建立关于k的不等式，然后就可以求出k的取值范围．
【详解】解：方程有两个不相等的实数根，则，，
解得：且
故选：A．
2．D
【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，，由题意可得，，将所求式子变形为，整体代入所求式子计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：∵a和b是方程的两个解，
∴，，
∴，
∴，
故选：D．
3．D
【分析】根据一元二次方程的定义求解即可．一元二次方程：只含有一个未知数（一元），并且未知数项的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程经过整理都可化成一般形式．
【详解】解：A、2x2+＝0，不是整式，
故方程不是一元二次方程，不符合题意；
B、ax2+bx+c＝0，当a=0时，方程不是一元二次方程，不符合题意；
C、2x2﹣5xy﹣y2＝0，有两个未知数，
故方程不是一元二次方程，不符合题意；
D、（x﹣3）（x+2）＝1，是一元二次方程，符合题意．
故选：D．
【点睛】此题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义．一元二次方程：只含有一个未知数（一元），并且未知数项的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程经过整理都可化成一般形式．
4．A
【分析】根据在的前提下用公式法解一元二次方程，即可确定答案．
【详解】解：∵，
∴时，一元二次方程能用公式法求解，
故选：A．
【点睛】本题考查了公式法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
5．A
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设彩条的宽度为，根据空白部分的面积为，结合长方形面积公式求出结果即可．
【详解】解：设彩条的宽度为，根据题意得：
，
故选：A．
6．C
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程的根．根据，得到，由可得m的方程，解m的方程即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴或，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得．
故选：C．
7．A
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根是解题的关键．把，，代入进行计算，再根据计算结果判断方程根的情况．
【详解】解：，
，，，
，
方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
8．C
【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据“7月25日和7月26日的总销量为30000个”，分别表示出7月25日和7月26日的销量，进而得出等式求出答案．
【详解】解：若7月25日和26日较前一天的增长率均为x，则可列方程为：
．
故选：C．
9．B
【分析】根据一元二次方程的定义（只含一个未知数，未知数的最高次数为，且是整式方程），逐一分析各选项，进而选出符合条件的方程．
【详解】解：选项中的未知数最高次数为，
不是一元二次方程；
选项中满足只含一个未知数，未知数最高次数为，且是整式方程，
是一元二次方程；
选项中整理方程得，未知数最高次数为，
不是一元二次方程；
选项中的未知数最高次数为，
不是一元二次方程．
故选：．
10．C
【分析】本题根据一元二次方程的定义判断，一元二次方程的定义是：只含有一个未知数，且未知数最高次数为2的整式方程是一元二次方程．逐一判断选项即可．
【详解】解：∵选项A中，未说明，若，方程不是一元二次方程．∴A错误．
∵选项B中，方程分母含有未知数，是分式方程，不是整式方程．∴B错误．
∵选项C中，满足只含一个未知数．未知数最高次数是2．是整式方程．二次项系数为．符合一元二次方程定义．∴C正确．
∵选项D中，方程含有和两个未知数，是二元方程，不符合一元二次方程定义．∴D错误．
11．D
【分析】本题考查了一元二次方程的一般式．将一元二次方程化为一般式，求出二次项系数，一次项系数，常数项即可．
【详解】解：将一元二次方程变形为：，
此时二次项系数为，一次项系数为，常数项为．
故答案为：D．
12．D
【分析】本题考查了解一元二次方程的因式分解法，掌握方法是解题的关键．
因式分解法要求方程右边为0时，才能将左边因式分解分别等于0；需逐一验证各选项是否符合该条件．
【详解】解： A．方程，根据因式分解法，即或，故选项A错误．
B．方程，右侧非0，不能直接令各因式等于1，故选项B错误．
C．方程，右侧为6，不是0，故选项C错误．
D．方程，应分解为或，故选项D正确．
故选：D．
13．
【分析】方程移项变形后，利用因式分解法求出解即可．
【详解】解：方程变形得：＝0，
分解因式得：（2x 1）（2x 2）＝0，
解得：x1＝1，x2＝．
故答案为：x1＝1，x2＝．
【点睛】此题考查了解一元二次方程 因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
14．14
【分析】先将一元二次方程化为一般形式，然后根据一元二次方程根与系数的关系即可求解．
【详解】∵m， n是一元二次方程的两个实数根，即的两个不相等的实数根，
∴
∴
．
故答案为：14．
【点睛】本题主要考查了根与系数的关系，一元二次方程根的定义，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
15．3或7/7或3
【分析】根据，可得或，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴或，
∴或．
故答案为：3或7．
【点睛】本题考查的是解一元二次方程，解答本题的关键把看作一个整体，同时注意的值是一个非负数．
16．
【分析】本题考查了一元一次方程的定义，一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式的意义，首先考虑是一元一次方程的情况，再考虑是一元二次方程时，利用时有实数根得出不等式即可．
【详解】解：当方程是一元一次方程时，可得；
当方程是一元二次方程时，
∵关于x的方程有实数根，
∴，，
∴且，
综上，m的取值范围是，
故答案为：．
17．3
【分析】先由正比例函数的定义得到，，再求解即可．
【详解】∵是y关于x的正比例函数，
∴，，
解得，，，
故，
故答案为3．
【点睛】本题考查了正比例函数的定义和解一元二次方程，解题时注意．
18．(1)
(2)
【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握利用直接开平方法求解方程是解题的关键；
（1）根据直接开平方法可进行求解方程；
（2）根据直接开平方法可进行求解方程
【详解】（1）解：移项，得，
根据平方根的意义，得，
即．
（2）解：移项，得，
两边同除以3，得，
根据平方根的意义，得，
即．
19．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）根据配方法求解即可；
（2）先移项，然后根据因式分解法解一元二次方程，即可求解；
（3）先移项，然后根据因式分解法解一元二次方程，即可求解；
（4）根据公式法解一元二次方程，即可求解．
【详解】（1）解：
解得；
（2）解：
解得；
（3）解：
解得；
（4）解：在中，，
∴
，
∴
，
解得．
20．见解析
【分析】设这个长方体的长为cm，则宽为cm，根据表面积列出一元二次方程，故可求解．
【详解】解：设这个长方体的长为cm，则宽为cm，得，
整理，得，
解得，．
因为长方体的棱长不能为负数，所以不符合题意，舍去，所以，
所以这个长方体的长为（cm），宽为（cm）．
这个长方体的展开图如图所示（单位：cm）．
【点睛】此题主要考查一元二次方程的几何应用与几何体的展开图，解题的关键是根据表面积公式列出方程求解．
21．(1)见解析
(2)．
【分析】（1）以为圆心，为半径作圆交于点，作的平分线，再以为圆心，为半径作圆交于点，连接，则四边形就是所作的菱形；
（2）先证明，设菱形的边长为，，在和中，利用正弦函数的定义求得，得到，解方程即可求解．
【详解】（1）解：四边形就是所作的菱形；

（2）解：∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设菱形的边长为，，则，
在中，，
∴，则，
在中，，
整理得，
解得，
∴．
【点睛】本题考查了尺规作图，正弦函数的定义，菱形的性质，解一元二次方程，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
22．(1)0或
(2)或1
【分析】本题考查的是一元二次方程的应用.
（1）根据互为相反数的两数之和为0，列出方程，进行求解即可．
（2）根据的值比的值大3，再建立方程求解即可.
【详解】（1）解：由题意得：，
即，
整理得，
即，
解得：，
即为0或时，与的值互为相反数．
（2）解：由题意得：
即
整理得
即
解得：
即为或1时，的值比的值大3．
23．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出Δ=16+4m2＞0，由此可证出该方程有两个不等的实根；
（2）根据根与系数的关系可得x1+x2=4①、x1 x2=-m2②，结合x1+2x2=9③，可求出x1、x2的值，将其代入②中即可求出m的值．
【详解】（1）证明：∵在方程x2-4x-m2=0中，Δ=（-4）2-4×1×（-m2）=16+4m2＞0，
∴该方程有两个不等的实根；
（2）解：∵该方程的两个实数根分别为x1、x2，
∴x1+x2=4①，x1 x2=-m2②．
∵x1+2x2=9③，
∴联立①③解之，得：x1=-1，x2=5，
∴x1 x2=-5=-m2，
解得：m=±．
【点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：（1）牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）联立x1+x2=4①、x1+2x2=9③，求出x1、x2的值．
24．(1)300
(2)5
【分析】（1）设小型设备的使用时间为x小时，则大型设备的使用时间为小时，根据题意列出方程，即可求解；
（2）由（1）得：大型设备的原来使用时间为小时，根据题意可得小型设备的使用时间为小时，大型设备铺设公路每小时为米，大型设备的使用时间为小时，根据题意列出方程，即可求解．
【详解】（1）解：设小型设备的使用时间为x小时，则大型设备的使用时间为小时，根据题意得：
，
解得：，
答：小型设备的使用时间为300小时；
（2）解：由（1）得：大型设备的原来使用时间为小时，
根据题意得：小型设备的使用时间为小时，大型设备铺设公路每小时为米，大型设备的使用时间为小时，
∴，
整理得：，
解得：（舍去）．
即m的值为5．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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