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25.3实际问题与一元二次方程
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，四边形是一块边长为的正方形花圃，现将它改造为矩形的形状，是边上一点，是延长线上的一点，．有下列结论：①的长为时，改造后花圃的面积与原正方形花圃的面积相等；②的长有两个不同的值满足花圃面积为；③改造后花圃的面积可以比原正方形花圃的面积增加．其中，正确结论的个数有（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
2．近十年来，云南铁路“八出省五出境”骨架网络基本成型，形成了以昆明为中心，1小时覆盖滇中城市群，2至3小时覆盖滇西、滇南、滇东南地区，2至5小时通达周边省会城市，6至11小时辐射北上广深和香港的高铁交通圈．2023年春运期间，国铁昆明局累计发送旅客约1042万人次；2025年春运期间，国铁昆明局累计发送旅客约1485万人次．设国铁昆明局春运期间累计发送旅客人次的年平均增长率为x，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．某厂一月份产值为100万元，设平均月增长率为，结果第一季度总产值为330万元，则列方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．某渔具店销售一种鱼饵，每包成本价为10元，经市场调研发现：售价为20元时，每天可销售40包，售价每上涨1元，销量将减少3包．如果想获利480元，设这种鱼饵的售价上涨x元，根据题意可列方程为（ ）．
A． B．
C． D．
5．某口罩生产厂2020年1月份平均日产20万个，1月底因防控新冠疫情需求，工厂立即决定从2月份起扩大产能，3月份平均日产量达到45万个，则口罩日产量的月平均增长率是（ ）
A．20% B．30% C．40% D．50%
6．一件工艺品进价为100元，标价为135元售出，每天可售出100件，根据销售统计，一件工艺品每降低1元出售，则每天可多售出4件，要使顾客尽量得到优惠，且每天获得利润为3596元，每件工艺品需降价（　　）
A．4元 B．6元 C．4元或6元 D．5元
7．如图，用的篱笆靠墙围成一个的矩形养鸡场．已知墙长，则该养鸡场中垂直于墙的边长为（ ）

A． B． C．或 D．
8．有一种“微信点名”活动，需要回答一系列问题，并将问题和自己的答案在朋友圈中发布，同时还规定“@”一定数量的其他人，邀请他们也参与活动．小明被邀请参加一次“微信点名”活动，他决定参与并按规定“@”其他人，如果收到小明邀请的人也同样参与了活动并按规定“@”其他人，且从小明开始算起，转发两轮后共有91人被邀请参与该活动．设参与该活动后规定“@”x人，则可列出的方程为（ ）
A． B． C． D．
9．某校八年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排15场比赛，则八年级班级的个数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
10．如图是某校五四青年的宣传海报，中间是一个长与宽之比为的矩形图案，周围是宽度为的白色边框，其中图案面积等于边框面积的2倍，设这张矩形图案的长为，根据题意列出方程为（ ）
A． B．
C． D．
11．某市要组织一次篮球联赛，比赛组织者邀请x个队参赛，赛制为单循环形式，每两队之间都赛一场，计划安排28场比赛，则x满足的方程为（ ）
A． B． C． D．
12．某市计划从今年第二季度开始到本年底对全市共285个社区全部实现垃圾分类．已知该市第二季度已有60个社区率先实现垃圾分类，预计第三、四季度实现垃圾分类的社区个数较前一季度的平均增长率均为x，则下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
13．“水是生命之源，树是水的卫士．”为了更好地让大家珍惜树木，小红将宣传语转发给若干人，收到的人再把这条宣传语转发给相同的人数，若在这个过程中包括小红一共有157人收到了这条宣传语，则小红将这条宣传语转发给了______人．
14．在某种病毒的传播过程中，每轮1人平均会传染人，若最初2人感染该病毒，经过两轮传染，感染总人数达到人，则可列方程为______
15．请根据图片内容填空：每轮传染中，平均一个人传染了___________人．
16．一种药品经过两次降价，药价从每盒50元降至32元，平均每次降价的百分率是______．
17．如图，将面积为4的等腰三角形纸片沿图中的虚线剪成四块图形，这四块图形恰好能拼成一个没有缝隙的正方形，则该等腰三角形的底边长为________．
三、解答题
18．如图所示，某学校有一道长为米的墙，计划用米长的围栏靠墙围成一个面积为平方米的矩形草坪，求的长．

19．如图所示，用同样规格黑白两色的正方形瓷砖铺设矩形地面，请观察下列图形并解答有关问题：
（1）在第n个图形中，每一横行有 块瓷砖，每一竖列有 块瓷砖（均用含n的代数式表示）；
（2）设铺设地面所用瓷砖的总块数为y，请写出与（1）中的函数表达式（不要求写出自变量n的取值范围）；
（3）按上述铺设方案，铺一块这样的矩形地面共用了506块瓷砖，求此时n的值；
（4）若黑瓷砖每块4元，白瓷砖每块3元，在问题（3）中，共需花多少元购买瓷砖？
（5）是否存在黑瓷砖与白瓷砖的块数相等的情形？请通过计算说明为什么．
20．一个长方体的长与宽的比为5∶2，高为，表面积为，画出这个长方体的展开图．
21．根据以下素材，完成项目式探索任务：
问题的提出
根据以下提供的素材，在总费用（新墙的建筑费用与门的价格和）不高于6400元的情况下，如何设计最大饲养室面积的方案
素材1：如图是某农场拟建两间矩形饲养室，饲养室的一面靠现有墙，中间用一道墙隔开，计划中建筑材料可建围墙的总长为20米，开2个门，且门宽均为1米．
素材2：2个门要求同一型号，有关门的采购信息如表．
型号 ① ② ③
规格（门宽） 1米 1.2米 1米
单价（元） 250 280 300
素材3：与现有墙平行方向的墙建筑费用为400元/米，与现有墙垂直方向的墙建筑费用为200元/米.
任务1 确定饲养室的形状 设，矩形的面积为，求关于的函数表达式．
任务2 探究自变量的取值范围．
任务3 确定设计方案（写出选择该方案的理由） 我的设计方案是选型号_____门，当_____米，_____米时，有最大值，最大值为_____平方米．
22．如图，中，，于点，现将沿折叠得到，将沿折叠得到，延长和相交于点．
（1）求证：四边形是正方形；
（2）连接分别交，于点，，将绕点逆时针旋转，使与重合，得到，试判断线段，，之间的数量关系，并说明理由．
（3）若，，，求，的长．
23．如图，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底长，下底长，上下底相距．在两腰中点连线处有一条横向甬道，上下底之间有两条纵向甬道，各甬道的宽度相等．甬道的面积是梯形面积的六分之一，甬道的宽应是多少米（结果保留小数点后两位）？
《25.3实际问题与一元二次方程》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A C C D B B D B D
题号 11 12
答案 C D
1．B
【分析】此题考查了一元二次方程的应用、整式的混合运算等知识．求出改造后花圃的面积和原正方形花圃的面积即可判断①；设的长为，则，根据面积列出方程，解方程即可判断②；设的长为，则，求出改造后花圃的面积，与原正方形花圃的面积作差即可判断③．
【详解】解：①当的长为时，，
∴改造后花圃的面积为，
∵原正方形花圃的面积为，
∴改造后花圃的面积与原正方形花圃的面积相等；故①正确；
②设的长为，则，
∵花圃面积为；
∴，
即，
解得，，（负值，不合题意），
∴的长为，
即的长有一个值满足花圃面积为；
故②错误，
设的长为，则，
∴改造后花圃的面积为，
由原正方形花圃的面积为
，
若，即，
∵，
∴方程无实数根，
即改造后花圃的面积不可以比原正方形花圃的面积增加．
故③错误，
故选：B
2．A
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键．设国铁昆明局春运期间累计发送旅客人次的年平均增长率为x，根据题意列出方程即可解答．
【详解】解：设国铁昆明局春运期间累计发送旅客人次的年平均增长率为x，
由题意得，．
故选：A．
3．C
【分析】本题考查了列一元二次方程，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．先求出二月份产值为万元，三月份产值为万元，再根据第一季度总产值为330万元列出方程即可得．
【详解】解：∵某厂一月份产值为100万元，设平均月增长率为，
∴该厂二月份产值为万元，三月份产值为万元，
∵第一季度总产值为330万元，
∴可列方程为，
故选：C．
4．C
【分析】设这种鱼饵的售价上涨x元，则每包的销售利润为（20+x﹣10）元，每天可销售（40﹣3x）包，利用每天的销售利润＝每包的销售利润×每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程即可．
【详解】解：设这种鱼饵的售价上涨x元，则每包的销售利润为（20+x﹣10）元，每天可销售（40﹣3x）包，
依题意得：（20+x﹣10）（40﹣3x）＝480．
故选：C．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，列代数式，找准等量关系每天的销售利润＝每包的销售利润×每天的销售量，正确列出一元二次方程是解题的关键．
5．D
【分析】设口罩日产量的月平均增长率是x，根据该口罩厂1月份及3月份的平均日产量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】解：设口罩日产量的月平均增长率是x，
依题意得：20（1+x）2=45，
解得：x1=0.5=50%，x2=-2.5（不合题意，舍去）．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
6．B
【分析】设每件工艺品需降价元，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：设每件工艺品需降价元，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，，
要使顾客尽量得到优惠，
，
要使顾客尽量得到优惠，且每天获得利润为3596元，每件工艺品需降价6元，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
7．B
【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，掌握根据几何图形的边长与面积关系列方程，并结合实际限制条件筛选解是解题的关键．
设垂直于墙的边长为米，平行于墙的边长为米，根据面积列方程求解，再结合墙长限制筛选符合条件的解．
【详解】解：设该养鸡场中垂直于墙的边长为米，平行于墙的边长为米
∵ 养鸡场的面积为
∴
整理方程得：
因式分解得：
解得：或
∵墙长为，
∴平行于墙的边长不能超过
当时，平行于墙的边长为米
∵，不符合墙长限制，故舍去；
当时，平行于墙的边长为米
∵，符合墙长限制
∴ 该养鸡场中垂直于墙的边长为．
故选：B．
8．D
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，理解题意，根据从小明开始算起，转发两轮后共有91人被邀请参与该活动列出一元二次方程即可．
【详解】解：设参与该活动后规定“@”x人，则可列出的方程为，
故选：D．
9．B
【分析】设有x个班级参加比赛，根据题目中的比赛规则，可得一共进行了场比赛，即可列出方程，求解即可．
【详解】解：设有x个班级参加比赛，
，
，
解得：（舍），
则共有6个班级参加比赛，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是读懂题意，得到比赛总数的等量关系．
10．D
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．分别表示出图案面积和海报面积，根据边框面积图案面积，可得海报面积图案面积边框面积，即可列出方程．
【详解】解：通过题意易知，矩形的面积，
又∵矩形的周围是的边框，
∴整个海报的长为，宽为，面积为，
又∵边框面积矩形图案面积，
∴边框面积，
∴海报面积图案面积边框面积，
即．
故选：D．
11．C
【分析】理解单循环赛的含义列出方程．
【详解】解：每个队都要赛（x-1）场，总场数=，即=28，
故选：C．
【点睛】本题考查列一元二次方程，解题关键是理解单循环形式赛的含义．
12．D
【分析】分别求出第二、三、四季度实现垃圾分类的社区个数，根据总个数为285列方程，即可判断正确选项．
【详解】解：∵第二季度实现垃圾分类的社区个数为，第三、四季度实现垃圾分类的社区个数较前一季度的平均增长率为，
∴第三季度实现垃圾分类的社区个数为，第四季度实现垃圾分类的社区个数为，
∵到本年底全部285个社区都要实现垃圾分类，
∴三个季度实现垃圾分类的总个数为285，
可得方程，
因此正确选项为D．
13．12
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，熟练掌握根据实际问题列一元二次方程并求解是解题的关键．设小红转发给人，根据传播过程中收到宣传语的总人数关系列方程求解．
【详解】解：设小红将这条宣传语转发给了人．依题意得
，
，
，
∴或
解得或（舍去）
故答案为：．
14．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找到列方程的等量关系是解决问题的关键．每轮1人平均会传染人，最初2人感染该病毒，可得出第一轮感染后总人数为人，第二轮感染后总人数为，根据两轮共有人感染列方程即可．
【详解】解：根据题意，列方程得：
故答案为： ．
15．10
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
设每轮传染中，平均一个人传染了人，根据“感染1个人，此人未被有效隔离，经过两轮传染后共有121名感染者”，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】解：设平均一个人传染了个人，根据题意得，
解得，，（舍去）
所以，平均一个人传染了10个人，
故答案为：10．
16．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为．设平均每次降价的百分率为x，根据该药品的原价及经两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其大于0且小于1的值即可得出结论．
【详解】解：设平均每次降价的百分率为x，
根据题意，得：，
解得：（舍去），
∴平均每次降价的百分率是，
故答案为：．
17．
【分析】根据面积相等，得到正方形的边长为2，根据图形推出，，结合三线合一，得出，设，，利用三角形面积公式列方程，即可求解．
【详解】解：如图，标记各点，
面积为4的等腰三角形纸片剪成四块图形恰好能拼成一个没有缝隙的正方形，
正方形的面积为4，
正方形的边长为2，
由图形可知，，，，
，，
等腰三角形，
，
设，，
，
，
解得：或（舍），
，
即该等腰三角形的底边长为．
18．8米
【分析】本题主要考查一元二次方程的运用，理解数量关系，正确列式面积的计算方法是解题的关键．
设矩形草坪边的长为米，则边的长为米，根据围成一个面积为平方米的矩形草坪，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．
【详解】解：设矩形草坪边的长为米，则边的长为米，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，
∵，
∴，
∴，
答：的长为米．
19．（1）n+3，n+2；（2）y＝n2+5n+6；（3）20；（4）1604元；（5）不存在黑白瓷砖块数相等的情况，见解析
【分析】（1）观察图形，找出规律即可；
（2）第1个图形有4×3块瓷砖，第2个图形有5×4块瓷砖，第3个图形有6×5块瓷砖，所以可以推出瓷砖的总块数为y=（n+3）（n+2）；
（3）把y=506代入（2）所求的函数表达式中求解即可；
（4）先假设黑瓷砖与白瓷砖块数相等的情形，根据黑、白瓷砖数量相等，看是否得到n的整数解即可．
【详解】解：（1）观察图形可知，每一横行有 （n+3）块瓷砖，每一竖列有（n+2）块瓷砖．
故答案为：n+3，n+2．
（2）第1个图形有4×3块瓷砖，第2个图形有5×4块瓷砖，第3个图形有6×5块瓷砖，所以可以推出瓷砖的总块数为y=（n+3）（n+2）；
∴y＝（n+2）（n+3）＝n2+5n+6．
（3）当y＝506时，n2+5n+6＝506，即n2+5n﹣500＝0．
解得：n1＝20，n2＝﹣25（舍去）．
∴此时的n值为20．
（4）白瓷砖的块数：n（n+1）＝20×21＝420．
黑瓷砖的块数：506﹣420＝86．
∴共需：86×4+420×3＝1604（元）．
（5）不存在黑白瓷砖块数相等的情况，理由如下：
当黑白瓷砖块数相等时，有：
n（n+1）＝n2+5n+6﹣n（n+1）．
∴n2﹣3n﹣6＝0．
解得：或
∵n是整数．
∴不合题意，故不存在黑白瓷砖块数相等的情形．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，函数关系式，观察图形规律等等，解题的关键在于能够准确地找到图形规律进行求解.
20．见解析
【分析】设这个长方体的长为cm，则宽为cm，根据表面积列出一元二次方程，故可求解．
【详解】解：设这个长方体的长为cm，则宽为cm，得，
整理，得，
解得，．
因为长方体的棱长不能为负数，所以不符合题意，舍去，所以，
所以这个长方体的长为（cm），宽为（cm）．
这个长方体的展开图如图所示（单位：cm）．
【点睛】此题主要考查一元二次方程的几何应用与几何体的展开图，解题的关键是根据表面积公式列出方程求解．
21．任务1、；
任务2、当选型号①门时，自变量x的取值范围为：，当选型号③门时，自变量x的取值范围为：；
任务3、我的设计方案是选型号①门，，，S的最大值为．
【分析】题目主要考查二次函数的应用及不等式的应用，理解题意，列出函数关系式及不等式是解题关键．
任务1、根据题意得出，然后计算面积即可得出函数关系式；
任务2、根据题意得出，代入确定，再由所需费用分两种情况列出不等式求解即可；
任务3、根据任务1中函数关系式及其性质求解即可；
【详解】解：任务1、由题可知，设，则，
则 ；
任务2、由题意知，
即，
解得：，
根据题意可得：新墙建筑费用为元，
若选型号①门，则总费用为元，
∵总费用不高于6400元，
∴，
解得：，
若选型号③门，则总费用为元，
∵总费用不高于6400元，
∴，解得：，
综上所述：当选型号①门时，自变量x的取值范围为：，当选型号③门时，自变量x的取值范围为：；
任务3、由任务1知：，
∵，图象开口向下，且，
∴当时，面积S有最大值为，
此时，
∴我的设计方案是选型号①门，，，S的最大值为．
22．（1）见解析；（2），理由见解析；（3），
【分析】（1）由图形翻折变换的性质可知∠ABE＝∠AGE＝∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝AD即可得出结论；
（2）连接NH，由△ABM≌△ADH，得AM＝AH，BM＝DH，∠ADH＝∠ABD＝45°，故∠NDH＝90°，再证△AMN≌△AHN，得MN＝NH，由勾股定理即可得出结论；
（3）设AG＝x，则EC＝x 4，CF＝x 6，在Rt△ECF中，利用勾股定理即可得出AG的值，同理可得出BD的长，设NH＝y，在Rt△NHD，利用勾股定理即可得出MN的值．
【详解】（1）证明：∵△AEB由△AED翻折而成，
∴∠ABE＝∠AGE＝90°，∠BAE＝∠EAG，AB＝AG，
∵△AFD由△AFG翻折而成，
∴∠ADF＝∠AGF＝90°，∠DAF＝∠FAG，AD＝AG，
，
∵∠EAG＋∠FAG＝∠EAF＝45°，
∴∠ABE＝∠AGE＝∠BAD＝∠ADC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
又∵AB＝AD，
∴四边形ABCD是正方形；
（2），
理由：连接NH，如图，
∵△ADH由△ABM旋转而成，
∴△ABM≌△ADH，
∴AM＝AH，BM＝DH，
∵由（1）可知∠BAD＝90°，AB＝AD，
∴∠ADH＝∠ABD＝45°，
∴∠NDH＝90°，
在△AMN与△AHN中
∴△AMN≌△AHN，
∴MN＝NH，
∴；
（3），，，
设AG＝BC＝x，则EC＝x 4，CF＝x 6，
在Rt△ECF中，
∵，
即（x 4）2＋（x 6）2＝100，
解得x1＝12，x2＝ 2（舍去）
∴，
∵AG＝AB＝AD＝12，∠BAD＝90°，
∴，
，
，，
设NH＝，
在Rt△NHD中，
∵，
即，
解得，即，
．
【点睛】本题考查了正方形的性质与判定，翻折变换及勾股定理，三角形全等的性质与判定，解一元二次方程，勾股定理的运用是解题的关键．
23．甬道的宽度约为6.50m
【分析】设花坛中甬道的宽为m，由题意可列出方程，求解x即可．
【详解】解；梯形的中位线长为（ m），
设花坛中甬道的宽为m，根据题意，得，
整理，得，
解得，，
因为不符合题意，舍去，
所以，即甬道的宽度约为6.50m．
【点睛】本题涉及一元二次方程的应用，难度中等，解题的关键是根据题意找到数量关系列方程求解．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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