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25.1一元二次方程的概念
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．给出下列方程：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是一元二次方程的有（ ）
A．1个 B．2个 C．4个 D．5个
2．若关于的一元二次方程的常数项为0，则的值等于（ ）
A．1 B．0 C．1或2 D．2
3．下列方程中，属于一元二次方程的是（　　）
A． B．
C． D．
4．若关于的一元二次方程中的，，满足，则方程必有根（ ）
A． B． C． D．
5．把一元二次方程配方转化成的形式，正确的结果是（ ）
A． B． C． D．
6．若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（　　）
A． B．
C．且 D．且
8．若方程是关于的一元二次方程，则（ ）
A． B． C． D．
9．关于的一元二次方程的新定义：若关于的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”如与就是“同族二次方程”现有关于的一元二次方程：与是“同族二次方程”那么代数式能取的最小值是（ ）
A． B． C． D．
10．关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（ ）
A． B． C．或 D．
11．将一元二次方程化为一般形式，正确的是（ ）
A． B． C． D．
12．已知关于x的方程（m﹣1）x2+3x﹣1＝0是一元二次方程，则m的取值范围是（　　）
A．m＜1 B．m≠0 C．m＞1 D．m≠1
二、填空题
13．若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是______．
14．把一元二次方程化成一般形式是__________．
15．只含有一个未知数（一元），并且未知数项的最高次数是2（二次）的整式方程叫做______________．一元二次方程经过整理都可化成一般形式__________．其中ax 叫作________，a是_______；bx叫作_______，b是_______；c叫作______．
16．若是关于的一元二次方程，则的取值范围为______．
17．关于的一元二次方程的一个解为1，则________．
三、解答题
18．已知是方程的一个根，求代数式的值．
19．先化简，再求值：，其中是方程的根．
20．已知：关于的方程．
(1)试说明无论取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
(2)如果方程有一个根为3，试求的值．
21．已知m是方程的根，求代数式的值．
《25.1一元二次方程的概念》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D D A A C C B A C
题号 11 12
答案 C D
1．B
【分析】本题考查了一元二次方程的概念,理解并掌握一元二次方程的定义是解题关键.
根据一元二次方程的定义解答,一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数.由这四个条件对六个方程进行验证.
【详解】解：①满足条件：仅含未知数，最高次数为2,且为整式方程,是一元二次方程.
②未明确,若则最高次数变为一次,不符合条件.
③若（即），则二次项系数为0，未知数最高次变为一次,无法确定.
④展开化简得：.
方程整理后,未知数的最高次数是1,不符合一元二次方程的定义,不是一元二次方程.
⑤展开化简得:.
方程整理后符合一元二次方程的定义,是一元二次方程.
⑥含分式,不是整式方程.
综上，仅①⑤符合条件,
故选：B.
2．D
【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的定义以及因式分解法解一元二次方程，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
根据常数项为0，二次项系数不为0，确定出m的值即可．
【详解】解：∵关于的一元二次方程的常数项为0，
∴，，
∴，
解得（舍去）或．
故选：D．
3．D
【详解】解：是二元一次方程，不是一元二次方程，故A不符合；
，当时，不是一元二次方程，故B不符合；
一元一次方程，不是一元二次方程，故C不符合；
符合一元二次方程的定义，是一元二次方程，故D符合．
4．A
【分析】根据方程根的定义，只需将选项中的值代入方程左边，验证是否能得到的形式，结合已知条件，即可判断方程必有的根．
【详解】解：当时，代入方程左边得：
，
，
满足方程，因此方程必有一根为．
5．A
【分析】本题考查一元二次方程的配方法，按照配方法的步骤，先移项，再在等式两边加上一次项系数一半的平方，将左边整理为完全平方式，对比选项即可得到结果．
【详解】解：∵原方程为 ，
移项得 ，
配方得，
整理得 ，
∴．
6．C
【分析】根据一元二次方程的定义得到．据此可以求得m的取值范围．
【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程，
∴．
∴．
故选C．
【点睛】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是．特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
7．C
【分析】本题考查了一元二次方程的定义以及判别式的应用，根据关于的一元二次方程有实数根，得出，再解出的取值范围，即可作答．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根，
∴
∴且
故选：C
8．B
【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，解一元一次不等式，绝对值方程等知识点，深刻理解一元二次方程的定义是解题的关键．
根据一元二次方程的定义可得且，解该一元一次不等式和绝对值方程即可得出答案．
【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程，
∴且，
解得：．
故选：B
9．A
【分析】本题考查了配方法的应用以及一元二次方程的定义，利用“同族二次方程”定义列出关系式，再利用多项式相等的条件列出关于a与b的方程组，求出方程组的解得到a与b的值，进而利用非负数的性质确定出代数式的最大值即可．
【详解】解：与是“同族二次方程”，
，
，解得：，
，
代数式取的最大值是，
故选：A．
10．C
【分析】利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后求出的值后对各选项进行判断．
【详解】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
且，
解得或．
故选：C．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
11．C
【分析】一元二次方程的一般形式为，只需展开原式，移项合并同类项即可得到结果
【详解】解：原方程为，
∵展开方程左边，得，
合并同类项得，
移项整理为一般形式，两边同乘得
12．D
【分析】只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程，根据一元二次方程的定义判断即可．
【详解】解：∵关于x的方程（m﹣1）x2+3x﹣1＝0是一元二次方程，
∴m﹣1≠0，
∴m≠1，
故选：D
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
13．
【分析】本题考查了一元二次方程的定义．通过化简后，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程．熟记相关定义即可．
【详解】解：由题意得：，
∴，
故答案为：．
14．
【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程一般形式是解题的关键．一元二次方程的一般形式是：（，，是常数且），在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．根据题意将一元二次方程化为一般形式即可．
【详解】解：
一元二次方程化成一般形式是，
故答案为：．
15． 一元二次方程 ax ＋bx＋c＝0（a≠0） 二次项 二次项系数 一次项 一次项系数 常数项
【解析】略
16．且
【分析】根据一元二次方程的定义及二次根式有意义的条件直接列不等式求解即可得到答案；
【详解】解：∵是关于的一元二次方程，
∴，，
解得：且，
故答案为：且；
【点睛】本题考查一元二次方程定义及二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握两个知识点．
17．2
【分析】将已知解代入原方程得到关于的方程，求解后结合一元二次方程二次项系数不为的条件，确定的值．
【详解】解：把代入，得 ，
整理得，因式分解得 ，
解得，，
原方程为一元二次方程，
二次项系数 ，即，
．
18．5
【分析】本题考查了分式的除法，一元二次方程的解．
先化简代数式，再利用方程条件求值即可．
【详解】解：原式
，
∵m是方程的根，
∴，
即，
∴原式的值为5．
19．；3
【分析】此题考查了一元二次方程的根，分式的化简求值，先计算括号内的分式加减法，再计算分式的除法，得到化简结果，再把方程变形后整体代入即可求出计算结果．
【详解】解：原式
．
∵是方程的根，
∴，
．
原式．
20．(1)见解析
(2)2009
【分析】本题考查了一元二次方程.
（1）根据根的判别式计算即可；
（2）将代入原方程得到，再代入计算即可.
【详解】（1）证明：，
无论取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：方程有一个根为3，
，即．
．
21．1
【分析】本题考查了整式的混合运算-化简求值，一元二次方程的解．根据题意易得：，从而可得，然后代入式子中进行计算即可解答．
【详解】解：是方程的根，
，
，
．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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