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第十八章分式
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列选项中，是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
2．花江峡谷大桥是贵州交通的重要枢纽，全长约2890米．甲、乙两支施工队分别从大桥两端同时相向施工，甲队的施工效率是乙队的2倍，两队合作100天可完成大桥主体工程．设乙队每天施工米，下列分式方程中能正确表示题意的是（ ）
A． B．
C． D．
3．意大利数学家斐波那契早在13世纪就提出了分式方程，在其《算经》一书中记载了大量的分式方程问题．有一个“分钱问题”是这样的：一组人平分10元钱，每人分得若干；若再加上6人，平分40元钱，则第二次每人所得与第一次相同．设第一次分钱的人数为人，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．（ ）
A．1 B．ab C． D．
5．若把分式中m和n的值都扩大2倍，那么分式的值（ ）
A．缩小为原来的 B．扩大为原来的2倍
C．扩大为原来的4倍 D．不变
6．某防疫封控小区进行全员核酸筛查，计划m个人a天完成任务，照这样计算，若减少n个人时，完成工作所要的天数是（ ）
A． B． C． D．
7．若等式成立，则x应满足的条件是（ ）
A． B． C． D．或
8．分式，，的最简公分母是 ( )
A． B．
C． D．
9．分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．分式与分数有很多类似之处，因此我们在学习分式的一些知识时，经常借助分数的有关知识来得出.比如，分式的基本性质是借助分数的基本性质猜想得出的，这里体现的数学思想是（ ）
A．方程思想 B．数形结合思想 C．类比思想 D．分类讨论思想
11．化简分式后得（　　）
A． B． C． D．
12．化简的结果是（ ）
A．1 B． C． D．
二、填空题
13．已知，则__________．
14．化简：__________．
15．一份稿件，甲单独打字需a天完成，乙单独打字需b天完成，两人共同打需________天完成．
16．填空：
（1）分式，的最简公分母是______；
（2）分式，，的最简公分母是______．
17．关于x的分式方程有增根，则___________．
三、解答题
18．先化简，再求值，其中x，y是方程组的解．
19．计算：
(1)．
(2)．
20．我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，其中“作差法”就是常用的方法之一，所谓“作差法”：就是通过作差、变形，并利用差的符号确定它们的大小，即要比较代数式M、N的大小，只要作出它们的差，若，则；若，则；若，则．
【类比应用】
已知小丽和小颖购买同一种商品的平均价格分别为元/千克和元/千克（a、b是正数，且），试比较小丽和小颖所购买商品价格的高低．
21．、两地相距60km，甲骑自行车从地出发1.5小时后，乙也从地出发追赶甲，乙的速度比甲快，当追到地时，甲比乙先到20分钟，求甲、乙两人的速度．
22．小滨、小江在探索“求代数式的值”时发现，在一定条件下，有些代数式的值始终相等，有些代数式存在最大值或最小值．已知．
小滨：的值始终等于1．
小江：尽管的值不能被确定，但能求出最小值．其说理过程如下：，由知，当时，存在最小值2．
(1)试判断小滨的说法是否正确，并说明理由．
(2)在的条件下，下列代数式：①；②；③；④（，n为整数）．
（i）值始终保持不变的代数式有：________（填序号）；
根据这些代数式的特点，写出一个类似的、值始终保持不变的代数式________．
（ii）上述分式中是否存在最大值或者最小值，若有，请求出此分式的最大（或最小）值；若没有，请说明理由．
23．比较两个数的大小时，我们常常用到“作差法”：
如果，那么；
如果，那么；
如果，那么．
(1)已知，且，，试用“作差法”比较、的大小，并说明理由；
(2)对于正数，，，，如果，则、满足的关系是_____________．
《第十八章分式》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C C C B C C B A C
题号 11 12
答案 B D
1．C
【分析】本题考查的是最简分式的定义，一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．根据最简分式的概念逐项判断即可．
【详解】解∶A．是整式，不是分式，不符合题意；
B．，故不是最简分式，不符合题意；
C．是最简分式，符合题意；
D．，故不是最简分式，不符合题意；
故选：C．
2．C
【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找到相应的等量关系是解决问题的关键，注意工作时间=工作总量÷工作效率．
乙队每天施工米，甲队每天施工米，两队合作每天施工米，合作100天完成2890米，由此列方程即可．
【详解】解：设乙队每天施工米，则甲队每天施工米．
依题意得：．
故选：C．
3．C
【分析】本题考查根据实际问题列分式方程，根据第二次每人所得与第一次相同，列出方程即可．
【详解】解：设第一次分钱的人数为人，由题意，得：
；
故选C．
4．C
【分析】本题考查了分式的乘除法的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键．
现将除法化为乘法，再约分即可．
【详解】解：∵，
∴，
故选：C．
5．B
【分析】解：m和n都扩大为原来的2倍后，代入分式计算并化简，比较新分式与原分式的值即可解答．
【详解】解：∵m和n都扩大为原来的2倍，
∴ 新分式为，
∵原分式为，
∴分式的值扩大为原来的2倍，
故选B．
6．C
【分析】首先表示出一个人每天的工作量是，则个人一天的工作是：，则完成这件工作所要的天数即可表示出来．
【详解】．
故选：C
【点睛】本题主要考查了列代数式，把总工作量当作1，正确表示出一个人每天的工作量是解决本题的关键．
7．C
【分析】本题主要考查了分式的基本性质，
根据分式的基本性质：分子和分母都乘以一个不等于0的数或整式，分式的性质不变，解答即可.
【详解】解：分式的分子和分母都乘以x（），得，
所以x应满足的条件是.
故选：C.
8．B
【分析】最简公分母定义∶通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．
确定最简公分母的一般方法：如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数；相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里.分母是多项式的要先分解因式．
【详解】解：，
分式，，的最简公分母是．
故选B．
【点睛】本题考查了最简公分母的定义，熟练掌握最简公分母的定义是解答本题的关键．
9．A
【分析】本题考查分式有意义的条件，掌握分母不为零的条件是解题的关键．
根据分式的分母不为零的计算出x的范围即可．
【详解】解：由题可知，
，
解得．
故选：．
10．C
【分析】根据类比思想的概念判断即可．本题主要考查分式的混合运算和数学常识，解题的关键是掌握类比思想的概念．
【详解】解：我们学习了分式的概念，基本性质和运算．回顾学习分式的过程，常常是先回顾分数的概念、分数的基本性质和分数的运算法则，然后推广得到分式的概念、分式的基本性质和分式的运算法则．这种研究方法主要体现的数学思想是类比思想，
故选：C．
11．B
【分析】根据分式的性质，化简分式，得出答案.
【详解】解：，
故选：B.
【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，解此题的关键在于分母能用平方差公式分解，这样才能上下约分，得出答案.
12．D
【分析】括号里通分化简，然后根据除以一个数等于乘以这个数的倒数计算即可．
【详解】解：原式，
故选：D．
【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟知运算法则是解题的关键．
13．5
【分析】本题考查了分式的加减法、解二元一次方程组，熟练掌握相关知识点是解题的关键．先利用异分母分式的加减法计算得到，从而得到关于的方程组，求解方程即可得出答案．
【详解】解：，
，
，
，
解得：，
．
故答案为：5．
14．
【分析】本题考查分式的基本性质．正确运用分式的基本性质，将分子分母中的公因式约去是正确解题的关键．
【详解】
故答案为：．
15．
【分析】甲单独打字需a天完成，乙单独打字需b天完成，则甲、乙的工作效率分别为 、 ，由此求解即可．
【详解】解：由题意可得，两人共同打需要 天，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了分式的应用，解题的关键在于能够找到甲、乙的工作效率．
16．
【分析】本题考查最简公分母，根据确定最简公分母的方法：①确定系数：确定各分母中系数的最小公倍数；②确定因式：分母中所有因式的最高次幂的积．
（1）根据确定最简公分母的方法求解即可；
（2）根据确定最简公分母的方法求解即可．
【详解】解：（1）分式，的最简公分母是；
故答案为：
（2）分式，，的最简公分母是，
故答案为：
17．
【分析】等式两边同时乘以公因式，化简分式方程，然后根据方程有增根，求出的值，即可求出．
【详解】，
解：方程两边同时乘以，得，
∴，
∵原方程有增根，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查分式方程的知识，解题的关键是掌握分式方程的增根．
18．，-1
【分析】先根据分式的混合计算法则化简，然后解二元一次方程组求出x、y的值，最后代值计算即可
【详解】解：
；
用①×3-②×2得：，解得，
把代入①得：，解得，
∴方程组的解为，
∴原式．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，解二元一次方程组，熟知相关计算法则是解题的关键．
19．(1)
(2)
【分析】（1）（2）本题主要考查了分式的乘法，熟知相关计算法则是解题的关键．
根据分式的乘法计算法则求解即可．
【详解】（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
20．小丽的价格高，小颖的价格低
【分析】根据题意利用“作差法”即，然后根据分式的加减计算法则进行计算即可得到答案．
【详解】解：∵a、b是正数，且a≠b，
，
∴．
∴小丽的价格高，小颖的价格低．
【点睛】本题主要考查了分式的加减运算，解题的关键在于能够熟练分式加减运算的法则．
21．甲的速度为，乙的速度为
【分析】本题是一道行程问题的应用题，考查了列分式方程解实际问题的运用，分式方程的解法的运用，解答时找到反映整个题意的等量关系是关键，求出解后验根不能忘记．设甲的速度为，则乙的速度为．根据乙走完全程的时间甲行驶的时间小时分钟为等量关系建立方程求出其解就可以了．
【详解】解：设甲的速度为，则乙的速度为．
根据题意得 ，
解这个方程得：．
经检验，是原方程的根．
故乙的速度为：．
答：甲的速度为，乙的速度为．
22．(1)小滨的说法正确，理由见解析
(2)（i）①②④；；（ii）有最小值，没有最大值
【分析】本题主要考查了分式的加法计算，分式的约分，正确理解题意是解题的关键．
（1）把所求分式变形为，再把第一个分式约分，再计算分式加法即可得到结论；
（2）（i）把①变形为，再把第一个分式约分，进一步计算加法即可得到结论；把②变形为，再把两个分式约分，进一步计算加法即可得到结论；分别求出和时③的结果即可得到结论；把④中的两个分式通分化简即可得到结论；（ii）把通分得到，进一步得到；再证明，从而得到当时，有最小值，最小值为9，且无最大值，据此可得结论．
【详解】（1）解：小滨的说法正确，理由如下：
∵，
∴
，
∴小滨的说法正确；
（2）解：（i）①∵，
∴
；
②
；
③当时，，
当时，，
∴的值不是定值；
④
；
∴①②④是定值，③不是定值；
满足题意的式子可以为，证明如下：
；
（ii）
；
，
，
∵，
∴当时，有最小值，最小值为9，
∴当时，有最大值，最大值为，
∴当时，有最小值，最小值为；
∵无最大值，
∴无最小值，即没有最大值，
∴有最小值，没有最大值．
23．(1)；理由见解析
(2)
【分析】本题主要考查了分式的性质和分式的加减运算，正确理解题意是解题的关键．
（1）把两个分式作差，判断得到分子、分母大于0，再比较大小即可；
（2）等式通分，判断得到分母不为0，推出分子，由此即可得到结论．
【详解】（1）解：，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，即；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵为正数，
∴分母不为0，
∴，．
故答案为：．
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