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18.5分式方程
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知关于的分式方程 的解是非负数，则的取值范围是（　　）
A． B． C．且 D．或
2．对于非零实数、，规定．若，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
3．若关于x的不等式组至少有两个正整数解，且关于x的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数a的值之和为（ ）
A．8 B．14 C．18 D．38
4．甲、乙两人沿着阿克苏湿地公园总长度为的“健身步道”健步走，甲的速度是乙的1.2倍，甲比乙提前12分钟走完全程．设乙的速度为，则下列方程中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．为解决供水问题需铺设一条长2400米的管道，实际施工时……．设实际每天铺设管道米，可得方程．根据此情景，题中用“……”表示的缺失条件为（ ）．
A．每天比原计划少铺设20米，结果延期6天完成
B．每天比原计划多铺设20米，结果提前6天完成
C．每天比原计划少铺设6米，结果延期20天完成
D．每天比原计划多铺设6米，结果提前20天完成
6．若分式方程无解，则a的值是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．0
7．为改善办学条件，提升教学质量，某校计划投资80万元对教室进行升级改造．为了保证质量，实际每间教室的改造费用比原计划增加了，并比原计划多改造了5间教室，总投资追加了40万元．根据题意，实际每间教室的改造费用是（ ）
A．3万元 B．4万元 C．万元 D．6万元
8．施工队要铺设5000米的管道，因为天气原因需要停工2天，这样之后每天要比原计划多施工30米才能完成任务，设原计划每天施工米，所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．化简的结果是，则的值是（ ）
A．1 B． C．2 D．
10．若关于x的分式方程的解是非正数，则m的取值范围是（ ）
A． B．且 C．且 D．
11．如果关于x的方程无解，那么m的值为（ ）
A． B．0 C． D．
12．下列关于的方程：，，，中，是分式方程的有（ ）个．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
13．如图是一个电脑运算程序图，当输入不相等的，后，按照程序图运行，会输出一个结果．若，时，输出的结果为3，则的值为____．
14．某社区计划对某块区域进行绿化，经投标由甲、乙两个施工队来完成，已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化面积的2倍，并且甲、乙两队在分别独立完成面积为区域的绿化时，甲队比乙队少用3天．甲、乙两施工队每天分别能完成绿化的面积是多少？设乙施工队每天分别能完成绿化的面积是，则可以列方程为_______．
15．若分式方程有增根，则增根为_________．
16．小明读到关于某城际铁路的新闻报道后，搜集该线路的相关信息制作了下表：
区间段 区间近似里程（） 区间设计最高时速（） 相应所用时间（）
表中两个区间段（线路的一部分）以最高时速运行时相应所用的时间比约少，那么区间设计最高时速______．
17．关于x的方程有增根，则增根是________；且k的值是________．
三、解答题
18．解分式方程
19．（1）计算：；
（2）解方程：.
20．某文具商店计划售卖哪吒卡片．调查发现：每盒A款哪吒卡片的进货单价比B款哪吒卡片少5元，花500元购进A款哪吒卡片的数量与花750元购进B款哪吒卡片的数量相同．
(1)A、B两款的进货单价分别是每盒多少元？
(2)商店准备将售卖A、B两款卡片的利润每盒分别定为3元和5元，计划一共购买100盒哪吒卡片，A款哪吒卡片的盒数不得超过B款哪吒卡片的盒数，购买资金不超过1260元．在全部售完的情况下，请通过计算说明采用何种购买方案才能使获利最大？
21．在跨学科探究学习中，我们发现如下两个公式：如图①，在串联电路中，总电阻R满足；如图②，在并联电路中，总电阻R满足．
(1)如图③，已知，总电阻为，求的值；
(2)如图④，已知为定值电阻，现有两个电阻和，请问如何摆放和的位置，能够使得总电阻最小？（在图中填写并证明）
22．阅读下列素材，完成任务．
如何设计水果的购进方案
素材1 某水果店计划用9600元购进“左优红”和“晨香”两种葡萄进行销售，已知“左优红”的进价比“晨香”高4元/千克，用1800元能购进的“左优红”和用1200元能购进的“晨香”一样多．
素材2 根据该水果店所定的售价，每千克“左优红”葡萄的利润是每千克“晨香”葡萄利润的1.25倍，同样获得120元的利润，需要出售的“晨香”葡萄比需要出售的“左优红”葡萄多3千克．
问题解决
任务1 确定进价：求两种葡萄每千克的进价；
任务2 确定利润：求两种葡萄每千克的利润；
任务3 确定购进方案：若要使总利润不低于9000元，则最多能购进“左优红”葡萄多少千克？
《18.5分式方程》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A B D B A C A B A
题号 11 12
答案 A C
1．C
【分析】本题考查了解分式方程，分式方程的解．解分式方程可得，即得，得到，又由得到，据此即可求解．
【详解】解：分式方程去分母得，，
解得，
∵分式方程 的解是非负数，
∴，
∴，
又∵，即，
∴，
∴且，
故选：C．
2．A
【分析】本题考查新定义运算与解分式方程，先根据新定义将等式转化为分式方程，再按照解分式方程的步骤求解并检验即可，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵规定，且，
∴，
去分母，得，
去括号，得，
移项、合并同类项，得，
系数化为，得，
经检验，是原分式方程的解，
∴的值为，
故选：．
3．B
【分析】本题主要考查了求不等式组的解集，解分式方程，先解不等式组，确定出a的取值范围，再解分式方程，结合解为正整数的条件筛选出a的值，最后求和即可．
【详解】解：
解①得：
解②得：，
∵关于x的不等式组至少有两个正整数解
∴不等式组的解集为．
∵不等式组的解集至少有两个正整数解，则解集需包含至少两个整数．
当时，解集包含，
此时．
分式方程化简为：，
解得．
要求解为正整数且，则为大于等于2的整数，
即为大于等于6的偶数．
∵，
∴或8，
当时，不等式组的解集为，整数解为，满足条件．
当时，不等式组的解集为，整数解为，满足条件．
则所有满足条件的整数之和为，
故选：B．
4．D
【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，设乙的速度为，则甲的速度为，根据时间路程速度结合甲比乙提前12分钟走完全程，即可得出关于x的分式方程，此题得解，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
【详解】解：12分钟，
设乙的速度为，则甲的速度为，
根据题意，得：．
故选：D．
5．B
【分析】本题考查分式方程解应用题，根据方程的结构，分析原计划与实际施工的关系，原计划每天铺设米，实际每天铺设米，因此实际每天比原计划多铺设20米，从而确定缺失条件，即可得到答案，看懂分式方程，读懂题意是解决问题的关键．
【详解】解：方程中，分母和分别表示原计划与实际每天铺设的管道长度，原计划时间为，实际时间为，方程左边为原计划时间减去实际时间等于6，说明实际比原计划提前6天完成，
综上所述，缺失条件为“每天比原计划多铺设米，结果提前天完成”，
故选：B．
6．A
【分析】分式方程无解说明方程的解为无解，无解使原分式分母为0，先去分母将分式方程化为整式方程，再将无解代入整式方程即可求出a的值．
【详解】解：，
方程两边同乘，得
，
整理得，
∵ 分式方程无解，
∴ 原方程分母为，
解得，
把代入，得
，
解得．
7．C
【分析】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是找到题目中的等量关系．设原计划每间教室的建设费用是x万元，则实际每间建设费用为万元，根据“实际每间建设费用增加了，并比原计划多建设了5间教室，总投资追加了40万元”列出方程求解即可．
【详解】解：设原计划每间教室的建设费用是x万元，则实际每间建设费用为万元，
根据题意得：，
解得：，
经检验：是原方程的解，
（万元）
答：原计划每间教室的建设费用是万元，
故选：C．
8．A
【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
根据实际与原计划工作效率间的关系，可得出实际每天施工米，利用工作时间＝工作总量÷工作效率，结合实际比原计划少用2天（因为天气原因需要停工2天）完成任务，即可列出关于x的分式方程，此题得解．
【详解】解：∵原计划每天施工x米，
∴实际每天施工米．
根据题意得：
故选：A．
9．B
【分析】先列出方程，再解分式方程即可得出答案．
【详解】解：根据题意可得=，
去分母得：2（x-a）=2（x+1），
整理得：-2a=2
解得：a=-1
故选：B
【点睛】本题考查了分式方程的解法，考核学生的计算能力，属于基础题．
10．A
【分析】此题考查了解分式方程，分式方程的解，时刻注意分母不为这个条件．解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题．分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解表示出，根据方程的解为非正数求出的范围即可．
【详解】解：
分式方程去分母得：，
解得：，
由方程的解是非正数，得到，且，
解得：．
故选：A．
11．A
【分析】先将分式方程化为整式方程，根据分式方程无解分类讨论即可求解．
【详解】解：，
化为整式方程为：，
解得，
x的方程无解，
∴，
，
解得．
故选A．
【点睛】本题考查了分式方程无解问题，分两种情况：一种是把分式方程化成整式方程后，整式方程无解；一种是把分式方程化成整式方程后，整式方程有解，但这个解使分式方程的分母为0，是增根，熟练掌握理解这两种情况是解题关键．
12．C
【分析】本题考查了分式方程的定义，熟练掌握分式方程的定义是解题的关键．分母中含有未知数的方程叫做分式方程，根据定义逐项分析即可．
【详解】解：关于的方程中，分母不含未知数，不是分式方程；
关于的方程中，分母中含未知数，是分式方程；
关于的方程中，分母中含未知数，是分式方程；
关于的方程中，分母中含未知数，是分式方程；
故选：C．
13．或
【分析】本题考查了解分式方程，分类讨论；分两种情况，解分式方程即可．
【详解】解：当时，，
解得：，
经检验是原方程的解；
当时，，
解得：，
经检验是原方程的解；
综上，x的值为或．
故答案为：或．
14．
【分析】本题考查了分式方程的应用，设乙施工队每天能完成绿化的面积是，则甲施工队每天能完成绿化的面积是，根据工作时间=工作总量÷工作效率结合甲、乙两队在分别独立完成面积为区域的绿化时甲队比乙队少用3天，即可得出关于x的分式方程．
【详解】设乙施工队每天能完成绿化的面积是，则甲施工队每天能完成绿化的面积是，
依题意，得：，
故答案为：．
15．2
【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母即可．分母中的和互为相反数，那么最简公分母是．
【详解】解：原方程有增根，
最简公分母，
解得，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了分式方程，解题的关键是确定增根的可能值，只需让最简公分母为0即可．本题需注意，当分母互为相反数时，最简公分母是其中的一个．
16．
【分析】本题考查了分式方程的实际应用，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键．由题意得，然后解方程并检验即可．
【详解】解：由题意得，，
解得：，
经检验：是原方程的解，
∴区间设计最高时速，
故答案为：．
17． 2
【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根，应先确定增根的可能性，让最简公分母，得到，然后代入化简后的整式方程算出k的值．
【详解】∵原方程有增根，
∴最简公分母，解得，
原方程两边都乘，
得：，
当时，
解得，
故答案为：；2．
【点睛】本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
18．无解
【分析】此题考查了解分式方程．分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，并检验，即可求解．
【详解】解：
方程两边同时乘以得：
去括号得：
解得：，
当时，，
∴原方程无解．
19．（1）；（2）
【分析】（1）根据完全平方公式及单项式乘以多项式法则去括号，再计算加减法；
（2）去分母化为整式方程，求出整式方程的解并检验即可．
【详解】解：（1）
；
（2）
去分母，得，
去括号，得，
移项，合并同类项，得，
检验：当时，，
∴是原分式方程的解．
【点睛】此题考查了整式的混合运算，解分式方程，掌握整式混合运算的计算法则及解分式方程的解法是解题的关键．
20．(1)A款的进货单价是10元，则B款的进货单价是15元
(2)购进A款48盒、B款52盒时获得的利润最大
【分析】本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用，理解题意是解答的关键．
（1）设A款的进货单价是元，则B款的进货单价是元，根据题意列分式方程求解即可；
（2）设购进B款盒，则购进A款盒，根据题意求得求解即可．
【详解】（1）解：设A款的进货单价是x元，则B款的进货单价是元，
根据题意，可得，
解得，
经检验，是该方程的解，
，
答：A款的进货单价是10元，则B款的进货单价是15元；
（2）解：设购进B款n盒，则购进A款盒，
款哪吒卡片的盒数不得超过款哪吒卡片的盒数，
，解得：，
根据题意得：，解得：，
，n取整数为50，51，52，
当时，，获利为：（元）；
当时，，获利为：（元）；
当时，，获利为：（元）．
因为，所以购进A款48盒、B款52盒时获得的利润最大．
21．(1)
(2)在串联电路上，在并联电路上，
理由如下：
证明：①当在上方，在下方，则，
②当在上方，在下方，则，
∵，
∴，
∴当在串联电路上，在并联电路上，能够使得总电阻最小，
则如下图摆放能使得总电阻最小：
【分析】本题考查了数学与物理的跨学科探究题，考查了解分式方程，分式的运算，比较分式的大小，熟练掌握知识点，借助于物理学科知识是解题的关键．
（1）由题意得，解分式方程即可；
（2）分类讨论，①当在上方，在下方，则，②当在上方，在下方，则，由得，因此当在串联电路上，在并联电路上，能够使得总电阻最小；
【详解】（1）解：由题意得：，
解得，
经检验，是原方程的解，
∴；
（2）略
22．任务1：“左优红”葡萄的进价为12元/千克，“晨香”葡萄的进价为8元/千克；
任务2：“左优红”葡萄的利润为10元/千克，“晨香”葡萄的利润为8元/千克；
任务3：若要使总利润不低于9000元，则最多能购进“左优红”葡萄300千克．
【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，正确理解题意，寻找等量关系或不等关系是解题的关键；
（1）设“左优红”葡萄的进价为元/千克，根据题意，列分式方程，解方程即可；
（2）设“晨香”葡萄的利润为元/千克，根据题意，列分式方程，解方程即可；
（3）设购进“左优红”葡萄千克，根据题意，列不等式，解不等式即可．
【详解】解：任务1：设“左优红”葡萄的进价为元/千克，则“晨香”葡萄的进价为元/千克．
由题意，得，
解得，经检验，是原分式方程的解，且符合题意，则．
答：“左优红”葡萄的进价为12元/千克，“晨香”葡萄的进价为8元/千克．
任务2：设“晨香”葡萄的利润为元/千克，则“左优红”葡萄的利润为元/千克．
由题意，得，解得，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，则．
答：“左优红”葡萄的利润为10元/千克，“晨香”葡萄的利润为8元/千克．
任务3：设购进“左优红”葡萄千克，购进“晨香”葡萄千克，
由题意，得，
，
若要使利润不低于9000元，则，即，
解得，
的最大值为300．
答：若要使总利润不低于9000元，则最多能购进“左优红”葡萄300千克．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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