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18.3分式的加法与减法
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知x≠0，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．如图，一个正确的运算过程被盖住了一部分，则被盖住的部分是（ ）
A． B． C． D．1
3．已知，，设，，结论Ⅰ：当时，；结论Ⅱ：当时，，对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是( )
A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对
C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对
4．计算等于（ ）
A． B．1 C． D．
5．下列运算中正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．给定一列数，我们把这列数中第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，以此类推，第个数记为．已知，并规定：，，下列说法：
①；
②；
③对于任意正整数，都有成立
其中正确结论的个数有（　　）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
7．计算：的值是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
8．某飞行器在相距为m的甲、乙两站间往返飞行一次，在没有风时，飞行器的速度为v，所需时间为t1；如果风速度为p时（0＜p＜v），飞行器顺风飞行速度为（v＋p），逆风飞行速度为（v﹣p），所需时间为t2．则t1、t2的大小关系为（ ）
A．t1＜t2 B．t1≤t2 C．t1≥t2 D．t1＞t2
9．如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为的正方形去掉一个边长为的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为的正方形，两块试验田的小麦都收获了．设“丰收1号”小麦和“丰收2号”小麦的单位面积产量分别为和．则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．是的倍
10．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
11．一水池有甲、乙两个进水管，若单独开甲、乙管各需要a h，b h可注满空池，现两管同时打开，那么注满空池的时间是（ ）
A． B． C． D．
12．下列各式运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．计算： _______
14．对于代数式，，定义运算“”：，例如：，若，则____．
15．对于正数，规定，例如：，，则的值为________．
16．如果，那么的值是_____________．
17．计算：＝______．
三、解答题
18．先化简，再从中取一个数代入求值．
19．计算：
(1)；
(2)；
(3)．
20．我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，其中“作差法”就是常用的方法之一，所谓“作差法”：就是通过作差、变形，并利用差的符号确定它们的大小，即要比较代数式M、N的大小，只要作出它们的差，若，则；若，则；若，则．
【类比应用】
已知小丽和小颖购买同一种商品的平均价格分别为元/千克和元/千克（a、b是正数，且），试比较小丽和小颖所购买商品价格的高低．
21．为了促进旅游业的发展，某度假村计划修一条1000的时光隧道，让甲工程队单独做需要天完成，让乙工程队单独做需要天完成．（）
(1)求甲工程队的工作效率与乙工程队的工作效率之差．
(2)若甲、乙工程队一起完成这项工程，则需要多长时间？
22．观察下列一组等式，根据你所发现的规律解答问题：
第1个等式：；第2个等式：；
第3个等式：；第4个等式：；…
(1)第5个等式是_______________；
(2)用含（为正整数）的代数式表示第个等式，并证明等式的正确性．
23．小张在学习分式时，不确定自己做的练习是否正确，于是请教了强大的AI软件，请你仔细阅读小张的解答过程，并补充完整的分析．
豆包给出分析： 这个解答从第______步开始出现错误； 虽然最终答案是0，但过程存在逻辑错误． 正确解答为：，其中 解：原式
先化简，再求值：，其中 解：原式 ① ② 当时，原式 ③
《18.3分式的加法与减法》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D A B C B A A C A
题号 11 12
答案 D A
1．D
【分析】先通分，然后进行同分母分式加减运算，即可得到结果．
【详解】解：，
故选D.
【点睛】分式的加减运算中，如果是同分母分式，那么分母不变，把分子直接相加减即可；如果是异分母分式，则必须先通分，把异分母分式化为同分母分式，然后再相加减．
2．D
【分析】本题考查了分式的加减，熟练掌握分式加减的运算法则是解题的关键．设被盖住的部分为，由题意得，利用等式的性质求出表示的式子即可得出答案．
【详解】解：设被盖住的部分为，
由题意得，，
，
被盖住的部分为1．
故选：D．
3．A
【分析】先将M、N式分别通分合并，再根据结论Ⅰ、Ⅱ的情况解答．
【详解】解：，
，
结论Ⅰ：当时，观察M、N两式，分母一样，对于分子，
，
，
M、N的分子、分母是一样的，
，
故结论Ⅰ正确．
，
，
结论Ⅱ：，
原式，
，，
，
，
，
，
故结论Ⅱ正确．
故选：A．
【点睛】本题考查代数式的化简运算，要注意运算关系和顺序，合理利用题中给出的结论，正确化简是解答本题的关键．
4．B
【分析】本题考查分式的加法，先变为同分母分式，再进行加法计算即可．
【详解】解：，
故选：B．
5．C
【分析】根据分式的性质、分式的加减运算进行计算即可求解．
【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了分式的性质，分式的运算法则，熟练掌握分式的性质与运算法则是解题的关键．
6．B
【分析】本题考查了数字类规律探索，根据题中规定发现并总结出一般规律是解题的关键．
根据题中规定，分别算出，发现并总结出一般规律，即可判断说法①；
根据题中规定，分别算出，发现并总结出一般规律，即可判断说法②；
根据题中规定，分别算出，，比较二者的结果，即可判断说法③；
综上，即可得出所有正确的说法．
【详解】，
，，
，，
由此，，……，这列数每4个循环一次，即．
①，，故①正确；
②，，，
，，
又，……，这列数每4个循环一次，即，
，……，这列数也是每4个循环一次，即．
又，
，
，故②不正确；
③，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，故③正确；
综上，正确结论为①③，共2个，
故选：B．
7．A
【分析】本题考查分式化简求值，先通分，再由同分母的分式减法运算计算即可得到答案，熟记分式减法运算是解决问题的关键．
【详解】解：，
故选：A．
8．A
【分析】直接根据题意表示出t1、t2的值，进而利用分式的性质计算得出答案．
【详解】解∶∵，
，
∵，
∴
故选∶A．
【点睛】此题主要考查了列代数式，正确进行分式的加减运算法则是解题关键．
9．C
【分析】本题考查了分式的混合运算：分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．先利用平均数的定义得到，，再计算和，从而可得到正确答案．
【详解】解：根据题意得，，
，
，
，
，
即，所以选项正确；
，
，所以选项错误．
故选：．
10．A
【分析】根据分式的混合运算顺序和运算法则计算可得．
【详解】解：
=
=
=
故选A．
【点睛】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
11．D
【分析】本题主要考查了列代数式（分式），解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系，当题中没有一些必须的量时，为了简便，可设其为1．
注满空池的时间＝工作总量1÷甲乙效率之和，设工作总量为1，求出甲乙的工作效率，然后求共同工作的时间．
【详解】解：设工作量为1，甲乙的工作效率分别为、，
依题意得：．
故选：D．
12．A
【分析】根据分式的混合运算法则进行计算即可；
【详解】解：A、，故选项A正确；
B、，故选项B错误；
C、，故选项C错误；
D、、、不是同类项，不能合并，故选项D错误；
故选：A．
【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键
13．
【分析】本题主要考查了分式的减法计算，直接根据同分母分式减法计算法则求解即可．
【详解】解：
，
故答案为：．
14．
【分析】本题考查新定义，分式的混合运算，由 可得答案，解题的关键是掌握分式的加减混合运算顺序和运算法则.
【详解】解： 根据题意得：
，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
15．
【分析】本题考查代数式求值，分式的加法运算，涉及新定义运算，根据，得到，从而得到规律，运用规律计算即可得到答案，理解新定义运算并发现规律是解决问题的关键．
【详解】解：，
，
，
，
，
故答案为：．
16．1
【分析】先将原分式进行化简，然后将已知式子变形代入求解即可得出结果．
【详解】解：∵
∴
，
．
故答案为：1．
【点睛】题目主要考查分式的化简及求代数式的值，熟练掌握运算法则是解题关键．
17．1
【分析】先把第二个分式变形，然后根据同分母分式加减法法则计算．
【详解】解：原式=
=
=1．
【点睛】本题考查了分式的加减运算，同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母的分式相加减，先把它们通分，变为同分母分式，再加减．分式运算的结果要化为最简分式或者整式．
18．，当时，原式．
【分析】本题考查了分式的化简求值．先把括号里通分，再把除法转化为乘法，并把分子分母分解因式约分化简，最后把合适的所给字母的值代入计算．
【详解】解：
，
由题意：、、，
故a取1，当时，
原式．
19．(1)
(2)
(3)
【分析】根据同分母分式加减法法则进行计算，若分母互为相反数，则先统一分母再进行计算．
【详解】（1）解：；
（2）解：；
（3）解：．
20．小丽的价格高，小颖的价格低
【分析】根据题意利用“作差法”即，然后根据分式的加减计算法则进行计算即可得到答案．
【详解】解：∵a、b是正数，且a≠b，
，
∴．
∴小丽的价格高，小颖的价格低．
【点睛】本题主要考查了分式的加减运算，解题的关键在于能够熟练分式加减运算的法则．
21．(1)米/天
(2)天
【分析】本题考查了分式加减乘除运算的实际应用，找到题中的数量关系是解题的关键．
（1）根据工作效率等于工作量除以工作时间，分别求出甲乙的工作效率即可求解；
（2）求出甲、乙合作的工作效率，用总的工作量除以合作工作效率即可求解；
【详解】（1）解： 一条1000的时光隧道，让甲工程队单独做需要天完成，让乙工程队单独做需要天完成，
甲工程队的工作效率为米/天，乙工程队的工作效率为米/天，
甲工程队的工作效率与乙工程队的工作效率之差为米/天．
答：甲工程队的工作效率与乙工程队的工作效率之差为米/天．
（2）解：甲、乙工程队一起完成这项工程，工作效率为，
则完成工程需要的时间为：（天）
答：若甲、乙工程队一起完成这项工程，则需要天．
22．(1)
(2)，证明见解析
【分析】本题主要考查了有理数的混合运算、分式的加减乘除混合运算，数字规律，列代数式，关键是找出数字的规律变化．
(1)观察规律写出即可；
(2)观察出规律：等号左边第一个分数分母为n，分子比分母大1；第二个分数分母为，分子固定为2；等号右边的分数分母为等号左边两个分数分母的乘积，分子为.
【详解】（1）解：(1) 第1个等式：； 第2个等式：；
第3个等式：；第4个等式：；……
根据此规律，第5个等式为：.
故答案为：.
（2）由题目中给定的规律，第n个等式为：.
下面证明：等式左边=右边
∴.
23．①；，0
【分析】此题考查了同分母分式的加减运算以及代数求值，根据同分母分式的加减运算法则求解即可．
【详解】解：这个解答从第①步开始出现错误；
原式
当时，原式．
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