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18.2分式的乘法与除法
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若，则的值为（ ）．
A． B． C． D．
2．已知有序代数式串：x，，（，1）对其进行如下操作：
第1次操作：用第二个式子除以第一个式子得到一个新代数式，将得到的代数式作为新代数式串的最后一项，即得到新的代数式串：x，，；
第2次操作：用第三个式子除以第二个式子得到一个新代数式，将得到的代数式作为新代数式串的最后一项，即得到新的代数式串：x，，，；
依次进行上述操作，下列说法：
①第3次操作后得到的代数式串为：x，，，，；
②第10次操作后得到的新代数式与第20次操作后得到的新代数式相同；
③第2024次操作后得到的代数式串之积为；
其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．已知，则与的积为1的是（ ）
A． B． C． D．
4．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
5．计算的结果为（ ）
A．b B． C． D．
6．下列计算不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．x
8．计算·（-）·（）的结果是（ ）
A．- B． C．- D．-
9．代数式化简的结果为（ ）．
A． B． C． D．
10．若分式的值为整数，则正整数x的个数为（　　）
A．4 B．6 C．7 D．8
11．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
12．计算，下列结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．，填_______．
14．定义一种新运算*，规定运算法则为，则计算的结果是_______．
15．化简：___________．
16．若有意义，则x的取值范围是___________．
17．化简：___________．
三、解答题
18．计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
19．计算下列各式：
(1)；
(2)．
20．一张如图1的长方形铁皮，四个角都剪去边长为30厘米的正方形，再四周折起，做成一个有底无盖的铁盒如图2，铁盒底面长方形的长是，宽是，这个无盖铁盒各个面的面积之和称为铁盒的全面积．
(1)请用的代数式表示图1中原长方形铁皮的面积；
(2)若要在铁盒的各个外表面漆上某种油漆，每50元钱可漆的面积为，则油漆这个铁盒需要多少钱（用的代数式表示）？
(3)是否存在一个正整数，使得铁盒的全面积是底面积的正整数倍？若存在，请求出这个，若不存在，请说明理由．
21．如图，将四张长、宽分别为的长方形硬纸片拼成一个中间“带孔”的大正方形，已知拼成的大正方形的面积为，中间小正方形的面积为，求的值．

《18.2分式的乘法与除法》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B A A B D C D B B
题号 11 12
答案 D B
1．A
【分析】本题考查了等式的性质，分式的除法，根据等式的性质即可求解，解题的关键是熟记等式性质：等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质：等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式，同时掌握分式除法运算法则．
【详解】解：由可得，
∴，
∴，
∴，
故选：．
2．B
【分析】本题考查规律类探索、分式的除法，根据所给操作规则找出所得代数式串的变化规律，利用规律逐项判断即可．
【详解】解：由题意知，第3次操作时，用第四个式子除以第三个式子得到新代数式， ，将得到的代数式作为新代数式串的最后一项，即得到新的代数式串：x，，，，，故①正确；
依次类推，第4次操作后得到新的代数式串：x，，，，，，
第5次操作后得到新的代数式串：x，，，，，，x，
第6次操作后得到新的代数式串：x，，，，，，x，，
第7次操作后得到新的代数式串：x，，，，，，x，，，
……
观察可知，从第7次操作开始，第n次操作与第次操作后得到的新代数式相同，因此第10次操作后得到的新代数式与第16次、第22次操作后得到的新代数式相同，与第20次操作后得到的新代数式不同，故②错误；
观察可知，从第5次操作开始，新代数式串按照x，，，，，的顺序循环，每个循环的积为1，
第2024次操作后所得新代数式串有2026个代数式，，因此前2022个代数式的积为1，第2023至2026个代数式的积为：，
第2024次操作后得到的代数式串之积为，故③错误；
综上可知，正确的个数是1，
故选B．
3．A
【分析】根据分式的乘法运算法则求解即可．
此题考查了分式的乘法，解题的关键是掌握以上运算法则．
【详解】解：∵，
∴与的积为1的是．
故选：A．
4．A
【分析】本题考查了分式的乘方、乘除运算知识点，掌握分式的乘方运算法则以及分式的乘除运算法则是解题的关键．
本题根据分式的乘方运算法则和分式的乘除运算法则，对原式逐步进行乘方、转化和约分计算，得到最终的化简结果，即可解决分式的乘方与乘除混合运算问题．
【详解】解：原式
故选：A．
5．B
【分析】本题考查了分式的乘法，熟练掌握分式乘法的运算法则是解题的关键．
根据分式乘法的运算法则求解即可．
【详解】解：．
故选：B．
6．D
【分析】本题考查了含乘方的分式的乘除混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键．
根据分式的乘除混合运算法则以及分式的乘方逐一化简，即可判断答案．
【详解】解：A、
，
∴原计算正确，本选项不符合题意；
B、
，
∴原计算正确，本选项不符合题意；
C、
，
∴原计算正确，本选项不符合题意；
D、
，原计算错误，本选项符合题意．
故选：D．
7．C
【分析】除法转化为乘法，约分即可求解．
【详解】解：，
故选：C．
【点睛】本题考查了分式的除法，掌握分式除法法则是解题的关键．
8．D
【详解】试题分析：据分式的基本性质直接约分即可．
·（-）·（）=-，故选D.
考点：本题考查的是分式的乘除法
点评：解答本题的关键是熟练掌握分式的基本性质：分式的分子分母都乘以（或除以）一个不为0数（或式），分式的值不变．
9．B
【分析】本题考查分式乘法，约分，熟练掌握分式乘法法则是解题的关键．
先将每一个分式分子因式分解，再约分，然后根据分式乘法法则计算即可．
【详解】解：
．
故选：B．
10．B
【分析】先根据分式的混合运算化简，然后再根据其值为整数确定x的值即可解答．
【详解】解：
＝
＝，
∵分式的值为整数，
∴或或或且，
∴正整数或2或5或1或6或9，共6个．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了分式的化简、分式的值为整数的条件等知识点，正确化简分式是解答本题的关键．
11．D
【分析】先求出两个分式的乘积，然后根据分式的性质：分子和分母同时乘以或除以一个不为0的数，分式的值不变，进行求解即可．
【详解】解： ，
故选D．
【点睛】本题主要考查了分式的乘法和分式的化简，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
12．B
【分析】本题主要考查了分式的乘除混合计算，先把除法变成乘法，再根分式乘法计算法则求解即可．
【详解】解：
，
故选：B．
13．
【分析】本题考查了分数乘分数．根据分数的意义，把一个长方形平均分成12份，取其中的9份，可以用分数表示，在这9份中取6份，可用，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，据此列式计算即可．
【详解】解：由分析可知：．
故答案为：．
14．
【分析】先根据已知条件中的新定义，求出，，再代入，进行约分即可．
【详解】解：∵，
∴，，
∴
．
15．
【分析】根据分式的乘方运算，化简即可．
【详解】解：；
故答案为：
【点睛】本题考查分式得乘方运算．熟练掌握乘方的运算法则，是解题的关键．
16．且且
【分析】根据使分式有意义的条件：分式的分母不能为0求解即可．
【详解】解：∵有意义，
∴，，，
∴x的取值范围是且且．
故答案为：且且．
【点睛】本题考查分式有意义的条件，掌握分式的分母不能为0是解题关键．
17．
【分析】本题考查了分式的除法运算，解题的关键是熟练掌握分式除法运算法则．
将除法转化为乘法，并利用完全平方公式因式分解后约分．
【详解】解：原式
，
故答案为：．
18．（1）；（2）；（3）；（4）
【分析】（1）根据分式的乘法法则计算即可．
（2）除法转化为乘法后约分可得；
（3）除法转化为乘法，约分可得；
（4）变形后约分即可得．
【详解】解：（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【点睛】本题考查了分式的乘除法，分式乘除法的运算，归根到底是乘法的运算，当分子和分母是多项式时，一般应先进行因式分解，再约分．
19．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了含乘方的分式乘法计算，分式除法计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
（1）先计算乘方，再计算分式乘法即可得到答案；
（2）先把两个分式的分子分解因式，再把除法变成乘法后约分即可得到答案．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
20．(1)
(2)元；
(3)存在，或7或5或1．
【分析】此题考查整式的混合运算，掌握长方体的全面积与底面积的计算方法是解决问题的关键．
（1）根据图形表示出原长方形铁皮的面积即可；
（2）根据原长方形铁皮的面积剪去四个小正方形的面积，求出铁盒的表面积，乘以单价即可得到结果；
（3）假设存在，列出铁盒的全面积和底面积的公式，求整数倍数即可．
【详解】（1）解：原铁皮的面积是；
（2）油漆这个铁盒的表面积是：，
则油漆这个铁盒需要的钱数是：
元；
（3）铁盒的全面积是，
底面积是，
假设存在正整数n，使，
则，
当时，；
当时，；
当时，；
当时，．
所以存在铁盒的全面积是底面积的正整数倍，这时或7或5或1．
21．14
【分析】根据题意得到，，根据完全平方公式求出、根据分式的乘除法法则把原式化简，代入计算即可．
【详解】解：由题意得，，，，，
，，
，
，
．
【点睛】本题考查的是分式的乘除法，掌握分式的乘除法法则、完全平方公式、平方差公式是解题的关键．
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