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浙教版新版九上第一单元 新知超前
1.5.1 二次函数的应用①（原卷版）
知识点1 利润最大问题
利润=______________________。设涨价（或降价）x元，用x表示____________的变化，列出______________________，通过______________________求最大值。注意______________________（如售价不低于成本等约束）。
知识点2 矩形面积最值问题
设矩形一边长为x，根据______________________表示另一边长，面积=__________，得到面积关于x的__________，用__________或__________求最大面积。注意考虑__________（墙长、门的宽度等）。
知识点3 三角形面积最值问题
三角形面积=__________。设变量x表示底边长，根据条件表示__________，面积为关于x的__________，化为__________求最大（或最小）面积。
考点1 利润最大问题
【解题思路】设变量→列利润函数→化为一般式→配方求顶点横坐标即为最优定价→代入得最大利润。注意检验x的取值范围。
例1．某超市销售一种商品，每件成本为元，销售人员经调查发现，该商品每月的销售量（件）与销售单价（元）之间满足函数关系式，若要求销售单价不得低于成本，为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为（ ）
A．元 B．元 C．元 D．元
变式1．某商品每个售价元时，每天能售出个，若售价每提高元，日销售量就要少售出个，若售价每提高元，则日销售量为____个．设每天利润为元，商品进价每个为元，则与的函数解析式是____．要使日利润达到最大，则每个售价应定为____元．
变式2．某农场经过前期调研得知，他们培育的一种新品种蔬菜有30天的上市时间，蔬菜的出场产量随上市时间（天）的函数关系满足，销售价格（元）随上市时间（天）的函数关系满足
(1)求蔬菜上市第3天时的出场产量及销售价格；
(2)若蔬菜上市第天的出场产量恰好为，求的值；
(3)若每天出场的蔬菜都能按当天的销售价格（元）销售完，那么蔬菜上市第几天的销售额最高？最高是多少元？（销售额销售价格销售量）
考点2 矩形面积最值
【解题思路】设一边为x→用总长条件表示另一边→面积=两边乘积→得二次函数→配方或顶点公式求最值→检验实际约束。
例2．如图，用一段长为60米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，设矩形菜园的面积为（单位：米），的长为（单位：米）则关于的函数关系式是___________．
变式1．某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留宽的门．已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为，则能建成的饲养室总占地面积最大为________ ．
变式2．如图所示，是一个长、宽的矩形花园，根据需要将它的长缩短、宽增加，要想使修改后的花园面积达到最大，则__________．
考点3 三角形面积最值
【解题思路】设底边长为x→用条件表示高（和差、比例或勾股）→S= 底×高→得二次函数→配方求最值。
例3．小磊要制作一个三角形钢架模型，在这个三角形中，长度为x的边与这条边上的高之和为，则这个三角形的最大面积为（ ）
A． B． C． D．
变式1．如图，在中，，，，点P从点A沿向点C以的速度运动，同时点Q从点C沿向点B以的速度运到（点Q运动到点B停止），在运动过程中，四边形的面积最小值为 _______．
变式2．一块三角形材料的形状如图所示，，，．用这块材料剪出一个矩形，其中点，，分别在，，上．则可剪出矩形的最大面积为_____．
一、选择题
1．（24-25九年级上·山东威海·期末）如图，在一个直角三角形内部作一个矩形，其中和分别在两直角边上，如果设矩形的一边的长为，要使矩形面积最大，的取值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·天津红桥·三模）冬季蔬菜大棚内某天的温度（单位：）与时间（单位：）满足函数关系式，其中．有下列结论：
①蔬菜大棚内当天的温度可以是；
②蔬菜大棚内当天的温度的最大值为；
③蔬菜大棚内当天的温度不低于19℃的时长为．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．（23-24九年级上·江西上饶·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标依次为，，．若抛物线与有公共点，则a 的取值范围是（ ）

A． B． C． D．
二、填空题
4．（24-25九年级上·江苏南通·阶段检测）一雪橇运动员沿着一斜坡滑下，滑下的时间x（秒）与滑下的路程y（米）之间的函数关系式是，当运动员滑下的时间秒时，他滑下的路程y为______米．
5．（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）某商店购进一批单价为50元的日用商品，如果以单价每个60元销售时，每周能卖出120个，若这种商品零售价每涨价1元，周销售量就减少3个，但物价部门规定，单个利润不能超过成本价的，则每周获得的最大利润为_________元．
6．（25-26九年级上·河北唐山·期中）某酒店有种客房24间，当每天每间的定价为200元时，房间可全部住满；当每个房间每天每增加10元，就会有一个房间空闲．
（1）若每间定价为220元，则每天空闲________个房间；
（2）每间定价为________元时，种客房一天的营业额最大．
三、解答题
7．（23-24九年级上·宁夏吴忠·期中）某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按拟定的价格进行试销，通过对5天的试销情况进行统计，得到如下数据：
单价（元/件） 30 34 38 40 42
销量（件） 40 32 24 20 16
(1)通过对上面表格中的数据进行分析，发现销量（件）与单价（元/件）之间存在一次函数关系，求关于的函数关系式；
(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然存在（1）中的关系，且该产品的成本是20元/件．为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少，最大利润是多少？
8．（24-25九年级上·云南昭通·期末）某租赁公司提供某种设备的租赁服务，每台设备的月租金定价（单位：千元）与租出设备数量（单位：台）符合一次函数关系，下图是与的函数关系图象（其中），且每台设备的月维护成本为10千元．
(1)求关于的函数解析式（也称关系式）；
(2)当每台设备月租金定为多少千元时，租赁公司可获得最大利润？最大利润是多少千元？
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浙教版新版九上第一单元 新知超前
1.5.1 二次函数的应用①（解析版）
知识点1 利润最大问题
利润=(售价-成本)×销量。设涨价（或降价）x元，用x表示销量的变化，列出总利润关于x的二次函数，通过配方法化为顶点式求最大值。注意自变量x的取值范围（如售价不低于成本等约束）。
知识点2 矩形面积最值问题
设矩形一边长为x，根据周长、篱笆长或墙体条件表示另一边长，面积=长×宽，得到面积关于x的二次函数，用配方法或顶点公式求最大面积。注意考虑实际约束条件（墙长、门的宽度等）。
知识点3 三角形面积最值问题
三角形面积= ×底×高。设变量x表示底边长，根据条件表示高与x的关系，面积为关于x的二次函数，化为顶点式求最大（或最小）面积。
考点1 利润最大问题
【解题思路】设变量→列利润函数→化为一般式→配方求顶点横坐标即为最优定价→代入得最大利润。注意检验x的取值范围。
例1．某超市销售一种商品，每件成本为元，销售人员经调查发现，该商品每月的销售量（件）与销售单价（元）之间满足函数关系式，若要求销售单价不得低于成本，为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为（ ）
A．元 B．元 C．元 D．元
【答案】B
【分析】设每月所获利润为元，按照利润销售量(售价一成本)列出二次函数，并根据二次函数的性质求得最值即可．
【详解】解：设每月所获利润为元，
∴，
整理得：，
当时，每月所获利润最大．
故选：．
变式1．某商品每个售价元时，每天能售出个，若售价每提高元，日销售量就要少售出个，若售价每提高元，则日销售量为____个．设每天利润为元，商品进价每个为元，则与的函数解析式是____．要使日利润达到最大，则每个售价应定为____元．
【答案】
【分析】由每天能售出500个，若售价每提高1元，日销售量就要少售出10个，即可推到出答案；由总利润销售数量单个利润即可求解．
本题考查了二次函数的应用销售问题的数量关系的运用，利润售价进价的运用，二次函数的解析式的性质的运用，二次函数的最值的运用，解答时求出二次函数的解析式是关键．
【详解】解：若售价每提高元，日销售量就要少售出个，则日销售量为：，
设每天利润为元，商品进价每个为元，则与的函数解析式是：
，
∵，
∴当利润最大时，可得：，
∴此时每个售价为：（元），
故答案为：，，．
变式2．某农场经过前期调研得知，他们培育的一种新品种蔬菜有30天的上市时间，蔬菜的出场产量随上市时间（天）的函数关系满足，销售价格（元）随上市时间（天）的函数关系满足
(1)求蔬菜上市第3天时的出场产量及销售价格；
(2)若蔬菜上市第天的出场产量恰好为，求的值；
(3)若每天出场的蔬菜都能按当天的销售价格（元）销售完，那么蔬菜上市第几天的销售额最高？最高是多少元？（销售额销售价格销售量）
【答案】(1)蔬菜上市第3天时的出场产量是，销售价格是元
(2)的值是10或22
(3)蔬菜上市第11天的销售额最高，最高是1764元
【分析】本题考查的是二次函数的实际应用，理解题意是关键．
（1）把代入，再计算即可；
（2）把，再建立方程求解即可；
（3）设每天的销售额为元，则，再利用二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：令．则，．
∴蔬菜上市第3天时的出场产量是，销售价格是元．
（2）解：令，
得．
解得，．
∴所求的的值是10或22．
（3）解：设每天的销售额为元，则
．
∴当时，取得最大值1764．
即蔬菜上市第11天的销售额最高，最高是1764元．
考点2 矩形面积最值
【解题思路】设一边为x→用总长条件表示另一边→面积=两边乘积→得二次函数→配方或顶点公式求最值→检验实际约束。
例2．如图，用一段长为60米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，设矩形菜园的面积为（单位：米），的长为（单位：米）则关于的函数关系式是___________．
【答案】
【分析】本题考查的是列二次函数关系式，不等式组的应用，由，，再利用面积公式建立二次函数关系式即可，利用边长的限制条件列不等式组可得x的取值范围．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
变式1．某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留宽的门．已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为，则能建成的饲养室总占地面积最大为________ ．
【答案】
【分析】分析题意，可设该饲养室的宽为，用表示饲养室的长，利用矩形的面积长宽表示出饲养室的面积；可建墙体的总长为，三处各留宽的门，根据图形可知则总长为，则饲养室的长为，面积；观察可知面积是的二次函数，结合二次函数的性质，将改写为顶点式，即可求出的最大值．本题考查与图形有关的二次函数应用，解答本题的关键是用二次函数表示出面积与矩形的长的函数关系式．
【详解】解：可建墙体的总长为，三处各留宽的门，则总长为．
设该饲养室的宽为，则长为，
该饲养室的面积．
由二次函数的性质可知当时，取最大值，最大值为．
故答案为：．
变式2．如图所示，是一个长、宽的矩形花园，根据需要将它的长缩短、宽增加，要想使修改后的花园面积达到最大，则__________．
【答案】
【分析】先根据矩形的面积公式列出函数关系式，再根据二次函数的性质即可求得结果．
【详解】解：由题意得修改后的花园面积，
∵，
∴当时，修改后的花园面积达到最大．
考点3 三角形面积最值
【解题思路】设底边长为x→用条件表示高（和差、比例或勾股）→S= 底×高→得二次函数→配方求最值。
例3．小磊要制作一个三角形钢架模型，在这个三角形中，长度为x的边与这条边上的高之和为，则这个三角形的最大面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的最值问题，主要利用了三角形的面积，整理出二次函数的顶点式解析式的形式是解题的关键．表示出这边上的高，然后利用三角形的面积公式列式整理，根据二次函数的最值问题解答．
【详解】解：设边长为，则边上的高为，
三角形的面积，
∵，
∴时，三角形的面积有最大值为50，
故选：B．
变式1．如图，在中，，，，点P从点A沿向点C以的速度运动，同时点Q从点C沿向点B以的速度运到（点Q运动到点B停止），在运动过程中，四边形的面积最小值为 _______．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的最值，勾股定理．利用分割图形求面积法找出是解题的关键．在中，利用勾股定理可得，设运动时间为，则，，利用分割图形求面积法可得，利用配方法即可求出四边形的面积最小值．
【详解】解：在中，，，，
，
设运动时间为，则，，
当时，四边形的面积取最小值，最小值为．
故答案为：15．
变式2．一块三角形材料的形状如图所示，，，．用这块材料剪出一个矩形，其中点，，分别在，，上．则可剪出矩形的最大面积为_____．
【答案】12
【分析】本题考查了矩形的性质、解直角三角形、二次函数的性质，由正切的定义可得，设，则，结合，得出，表示出矩形的面积，再由二次函数的性质计算即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：∵，，，
∴，
∵四边形为矩形，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∴矩形的面积
，
∵，
∴当时，矩形的面积最大，为，
故答案为：．
一、选择题
1．（24-25九年级上·山东威海·期末）如图，在一个直角三角形内部作一个矩形，其中和分别在两直角边上，如果设矩形的一边的长为，要使矩形面积最大，的取值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，二次函数的应用，先证明，可得，然后根据二次函数的性质解答即可．
【详解】解：如图，设矩形的一边的长为，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵，，
∴，即，
∴，
∴；
∴矩形的面积，
∵，
∴当时，面积有最大值．
故选：C．
2．（2025·天津红桥·三模）冬季蔬菜大棚内某天的温度（单位：）与时间（单位：）满足函数关系式，其中．有下列结论：
①蔬菜大棚内当天的温度可以是；
②蔬菜大棚内当天的温度的最大值为；
③蔬菜大棚内当天的温度不低于19℃的时长为．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，依据题意得，，故当时，有最大值为19.4，且当时，随的增大而增大，进而逐个判断可以得解．解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
【详解】解：由题意得，，
当时，有最大值为19.4，且当时，随的增大而增大，故②错误．
，且当时，，
蔬菜大棚内当天的温度可以是，故①正确．
令，
．
或．
的图象开口向下，
蔬菜大棚内当天的温度不低于的时长为：小时，故③正确．
综上，正确的有①③，共2个．
故选：C．
3．（23-24九年级上·江西上饶·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标依次为，，．若抛物线与有公共点，则a 的取值范围是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分与有交点，与有交点列不等式即可得到答案；
【详解】解：当与有交点时，
，
解得：，
当与有交点时，
，
解得：，
故答案为：，
故选：A；
二、填空题
4．（24-25九年级上·江苏南通·阶段检测）一雪橇运动员沿着一斜坡滑下，滑下的时间x（秒）与滑下的路程y（米）之间的函数关系式是，当运动员滑下的时间秒时，他滑下的路程y为______米．
【答案】40
【分析】把代入即可得到答案．
此题考查了已知自变量的值求对应的函数值，准确计算是解题的关键．
【详解】解：将代入中，
得，
即他滑下的路程为40米，
故答案为： 40．
5．（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）某商店购进一批单价为50元的日用商品，如果以单价每个60元销售时，每周能卖出120个，若这种商品零售价每涨价1元，周销售量就减少3个，但物价部门规定，单个利润不能超过成本价的，则每周获得的最大利润为_________元．
【答案】1575
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，设涨价x元，每周获得的利润为W元，则每周的销售量为个，根据总利润等于单个利润乘以销售量列出W关于x的函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可．
【详解】解：设涨价x元，每周获得的利润为W元，则每周的销售量为个，
由题意得，
，
∵单个利润不能超过成本价的，
∴，
∴，
∵，
∴当时，W随x的增大而增大，
∴当时，W有最大值，最大值为，
∴每周获得的最大利润为元，
故答案为：．
6．（25-26九年级上·河北唐山·期中）某酒店有种客房24间，当每天每间的定价为200元时，房间可全部住满；当每个房间每天每增加10元，就会有一个房间空闲．
（1）若每间定价为220元，则每天空闲________个房间；
（2）每间定价为________元时，种客房一天的营业额最大．
【答案】 2 220
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
（1）根据当每天每间的定价为200元时，房间可全部住满；当每个房间每天每增加10元，就会有一个房间空闲，求解即可；
（2）设客房每间定价为元，营业额为，根据营业额＝住的客房数×房间定价，列出关于的函数解析式，再结合二次函数的性质即可判断得解．
【详解】解：（1）若每间定价为220元，增加了2个10元，就会有2个房间空闲．
故答案为：2．
（2）设客房每间定价为元，营业额为，
依题意得：，
当时，最大．
故答案为：220．
三、解答题
7．（23-24九年级上·宁夏吴忠·期中）某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按拟定的价格进行试销，通过对5天的试销情况进行统计，得到如下数据：
单价（元/件） 30 34 38 40 42
销量（件） 40 32 24 20 16
(1)通过对上面表格中的数据进行分析，发现销量（件）与单价（元/件）之间存在一次函数关系，求关于的函数关系式；
(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然存在（1）中的关系，且该产品的成本是20元/件．为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少，最大利润是多少？
【答案】(1)
(2)当元/件时，工厂获得最大利润450元
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式和二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
（1）设所求一次函数关系式为，用待定系数法求解即可；
（2）设利润为元，产品的单价为元/件，根据利润等于每件的利润乘以销售量，列出关于的函数关系式，将其写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案．
【详解】（1）设所求一次函数关系式为
将代入，
得
解得，
（2）设利润为元，产品的单价为元/件，根据题意，
得
∴当元/件时，工厂获得最大利润450元．
8．（24-25九年级上·云南昭通·期末）某租赁公司提供某种设备的租赁服务，每台设备的月租金定价（单位：千元）与租出设备数量（单位：台）符合一次函数关系，下图是与的函数关系图象（其中），且每台设备的月维护成本为10千元．
(1)求关于的函数解析式（也称关系式）；
(2)当每台设备月租金定为多少千元时，租赁公司可获得最大利润？最大利润是多少千元？
【答案】(1)
(2)当每台设备月租金定为 20 千元时，租赁公司每月出租该设备可获得最大利润，最大利润是 200 千元．
8【分析】本题主要考查了求一次函数的关系式，二次函数的应用，求二次函数的最大值，
【详解】（1）解：由函数图象，可设，
函数图象过点，
∴，
解得： ，
关于的函数解析式为；
（2）解：设租赁公司每月出租该设备获得的利润为千元，
则 ，
因此抛物线的开口向下，当 时，有最大值为 200 ．
又因为，
所以，当每台设备月租金定为 20 千元时，租赁公司每月出租该设备可获得最大利润，
最大利润是 200 千元．
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