资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
浙教版新版九上第一单元 新知超前
二次函数——单元小结（解析版）
一、二次函数的定义与识别
1. 二次函数的定义：形如y=ax +bx+c（a,b,c是常数，a≠0）的函数。
2. 二次函数的一般形式：y=ax +bx+c，其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项。
3. 二次函数的识别：等号右边是整式，自变量最高次数为2，二次项系数不为0。
4. 列二次函数关系式：从实际问题中找等量关系，列式后化简为一般形式。
二、二次函数的图象
1. y=ax 的图象：是抛物线，顶点在(0,0)，对称轴为y轴。a>0开口向上，a<0开口向下。|a|越大开口越小。
2. y=ax +k：由y=ax 上下平移|k|个单位得到，顶点(0,k)。
3. y=a(x-h) ：由y=ax 左右平移|h|个单位得到，顶点(h,0)，对称轴x=h。
4. y=a(x-h) +k（顶点式）：顶点(h,k)，对称轴x=h。一般式通过配方化为顶点式。
5. 平移规律：左加右减（x变化），上加下减（常数项变化），平移不改变形状和开口方向。
三、二次函数的性质
1. 对称轴：直线x=-b/(2a)（一般式），或x=h（顶点式）。
2. 顶点坐标：(-b/(2a),(4ac-b )/(4a))（一般式），或(h,k)（顶点式）。
3. 开口方向：a>0开口向上，a<0开口向下。
4. 最值：a>0时，当x=-b/(2a)有最小值(4ac-b )/(4a)；a<0时有最大值。
5. 增减性：a>0时，对称轴左侧y随x增大而减小，右侧y随x增大而增大；a<0时相反。
四、二次函数与一元二次方程
1. 与y轴交点：令x=0，得交点(0,c)。
2. 与x轴交点：令y=0，解ax +bx+c=0。由Δ=b -4ac判断：Δ>0两个交点，Δ=0一个交点，Δ<0无交点。
3. 交点横坐标与方程根：图象与x轴交点的横坐标=对应一元二次方程的根。
4. 图象法解不等式：y>0→图象在x轴上方；y<0→图象在x轴下方。结合开口方向写解集。
五、二次函数的应用
1. 利润最大问题：利润=(售价-成本)×销量。设涨价x元→表示销量变化→列利润函数→配方求最值。
2. 面积最值问题：设一边x→用条件表示另一边→面积=长×宽→二次函数→顶点求最值。
3. 拱桥/抛物线轨迹问题：建坐标系→设解析式→待定系数法求参数→代入求解。
4. 解题关键：正确建立坐标系，找准已知点的坐标，选择合适的解析式形式。
考点一 二次函数的定义与识别
【解题思路】二次函数定义三要素：整式、最高次2、a≠0。列关系式时找等量关系→化简为一般式。
例1．下列函数是二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义，是解题的关键．根据二次函数的定义，形如的函数是二次函数，仅选项C符合此形式．
【详解】解：∵二次函数的标准形式为，
A．是反比例函数，不符合二次函数定义，故A不符合题意；
B．是一次函数，不符合二次函数定义，故B不符合题意；
C．，其中，符合二次函数定义，故C符合题意；
D．不符合二次函数定义，故D不符合题意．
故选C．
考点二 二次函数的图象与平移
【解题思路】平移口诀：左加右减(x变)，上加下减(常数项变)。平移不改变a的值和开口方向。顶点式直接读出顶点(h,k)。
例2．将抛物线向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到抛物线的解析式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】左右平移改变自变量的值：左加右减；上下平移改变因变量的值：上加下减，据此即可求解．
【详解】解：平移后抛物线的解析式为：
即为：
故选：D
变式1．抛物线的顶点坐标是______．
【答案】
【分析】本题考查二次函数的性质；二次函数，顶点坐标为，根据抛物线的顶点式直接得出其顶点坐标．
【详解】解：根据解析式得：顶点坐标是．
故答案为：．
考点三 二次函数的性质
【解题思路】先求对称轴和顶点坐标，再判断增减性和最值。a>0开口向上有最小值；a<0开口向下有最大值。
例3．二次函数的最小值是_________．
【答案】3
【分析】本题主要考查了求二次函数的最值，
将二次函数的关系式配方，根据抛物线的性质可得答案．
【详解】解：二次函数，
∵，
∴抛物线的开口向上，函数有最小值，
即当时，二次函数的最小值为3．
故答案为：3．
变式1．已知点，，在二次函数的图象上，则，，之间的大小关系是______（用“”连接）．
【答案】
【分析】本题考查二次函数的性质．由二次函数解析式可得抛物线开口方向及对称轴，进而求解．
【详解】解：∵，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线，
∵，
∴，
故答案为：．
考点四 二次函数与一元二次方程
【解题思路】与x轴交点个数看Δ：>0两个，=0一个，<0无。交点横坐标=方程根。y>0看x轴上方。
例4．抛物线与轴交点的坐标为______．
【答案】
【分析】求出时，，即得答案．
【详解】解：当时，，
所以抛物线与轴交点的坐标为；
故答案为：．
考点五 二次函数的应用
【解题思路】应用题关键是建坐标系或设变量，列出二次函数后用配方法或顶点公式求最值，注意检验实际意义。
例5．兰州是全国有名的“瓜果城”，某水果店销售一批白兰瓜，若每斤盈利元，每天可售出斤．经市场调查发现，若每斤降价元，每天可多售出斤．设每斤降价元，每天盈利为元，则与的函数关系式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的应用，求出降价后每斤的盈利及销售量，再相乘即可求解，理解题意是解题的关键．
【详解】解：∵每斤降价元，
∴每斤盈利为元，
∵每降价元多售出斤，
∴降价元多售出斤，
∴销售量为斤，
∴，
故选：．
变式1．如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，如果水面上升，那么水面宽度为______．
【答案】
【分析】本题考查二次函数的知识，解题的关键是根据题意，从图中读取信息，则，设点是原点，得到点，的坐标；设二次函数的解析式为：，求出解析式；再根据水面上升米，则，代入函数解析式，求出，即可．
【详解】由题意得，，，
∵抛物线关于轴对称，
∴，
设点是原点，
∴点，，
设二次函数的解析式为：，
∴，
∴，
∴二次函数的解析式为：，
当水面上升米交抛物线，交于点，
∴，
∴，
解得：，
∴点，，
∴，
∴水面宽度为米．
故答案为：．
一、选择题
1．（2024·安徽池州·三模）已知二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，关键能根据图象得出各个系数的符号和各系数之间的关系，A、把抛物线与x轴的一个交点为代入函数解析式即可；B、由图象的开口方向和图象与y轴的交点位置可知a、c的正负，即可判断该选项；C、根据抛物线与x轴有两个交点可判断该选项；D、当时，表示出函数值y，即可判断该选项．
【详解】A、抛物线与x轴的一个交点为，
，即，
故A错误；
B、抛物线开口方向向上，
，
由抛物线与y轴的交点可知，
，
故B错误；
C、抛物线与x轴有两个交点，
，即，
故C错误；
D、由图象可知，抛物线与x轴的另一个交点为，
当时，，
即，
故D正确．
2．（25-26八年级下·北京·期末）将抛物线平移，得到抛物线，下列平移方式中，正确的是（ ）
A．向左平移3个单位，向上平移5个单位
B．向右平移3个单位，向上平移5个单位
C．向左平移5个单位，向下平移3个单位
D．向右平移5个单位，向上平移3个单位
【答案】A
【详解】解：∵的顶点坐标为，的顶点坐标为，
∴顶点从平移到，需要先向左平移3个单位，再向上平移5个单位．
3．（23-24九年级上·江苏盐城·阶段检测）将抛物线（）的图象向右平移个单位，下列说法正确的是（　　）
A．对称轴没有改变 B．顶点坐标没有改变
C．开口方向改变了 D．函数最值没有改变
【答案】D
【分析】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，根据抛物线平移后的形状不变，开口方向不变，顶点坐标改变，即可求解．
【详解】解： 将函数（）的图象向右平移个单位，，
a不变，开口方向不变，顶点的横坐标变化，纵坐标不变化，对称轴变化，函数最值没有改变
故选：D．
4．（23-24九年级上·湖北荆州·阶段检测）若是关于x的二次函数，则a的值是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】A
【分析】根据二次函数的定义求解即可．
【详解】解：∵是关于x的二次函数，
∴且，
∴，
故选：A．
二、填空题
5．（23-24九年级上·广东广州·阶段检测）正方形边长，若边长增加，增加后正方形的面积为，与的函数关系式为________．
【答案】/
【分析】本题考查了列二次函数关系式，根据正方形面积等于边长的平方，即可求解．
【详解】解：依题意，，
故答案为：．
6．（24-25九年级上·上海·阶段检测）二次函数的图像与y轴的交点坐标是______．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，求出自变量为时的函数值即可得到二次函数的图象与轴的交点坐标．
【详解】解：把代入得：，
该二次函数的图象与轴的交点坐标为，
故答案为：．
7．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）写出一个顶点在轴上，开口向上的抛物线：________________．
【答案】（答案不唯一）
【分析】写出一个二次项系数大于0且一次项为0的二次函数，即可求解．
【详解】解：依题意，一个顶点在轴上，开口向上的抛物线可以是，
故答案为：（答案不唯一）．
三、解答题
8．（23-24八年级下·全国·课后作业）已知函数，回答下列问题：
(1)m取什么值时，此函数是二次函数？
(2)m取什么值时，此函数是一次函数？
【答案】(1)
(2)或或或或
【分析】本题考查了一次函数的定义，二次函数的定义；
（1）由二次函数的定义得，即可求解；
（2）由一次函数的定义得①当时，②当时，③当时，进行求解，即可求解；
理解二次函数的定义：“一般地，形如（a、b、c是常数，）的函数叫做二次函数．”，能根据一次函数的定义进行分类讨论是解题的关键．
【详解】（1）解：由题意得
，
解得：；
故时，此函数是二次函数；
（2）解：①当时，
解得：；
②当时，
解得：，；
③当时，
解得：，；
综上所述：取或或或或，此函数为一次函数．
9．（2025九年级上·全国·专题练习）在下列表达式中，为自变量，问哪些是二次函数？
，，，，，，．
【答案】二次函数有：，，，．
【分析】本题考查了二次函数的定义，解题关键是掌握一次函数与二次函数的定义条件：（1）一次函数的定义条件是：、为常数，，自变量次数为1；（2）二次函数的定义条件是：、、为常数，，自变量最高次数为2．根据二次函数的定义即可得出答案．
【详解】解：二次函数有：，，，．
10．（23-24九年级上·江苏徐州·期中）下表是二次函数的部分取值情况：
x … 0 1 2 3 …
y … 0 c 4 3 n …
根据表中信息，回答下列问题：
(1)二次函数图象的顶点坐标是　　，　　；
(2)在图中的平面直角坐标系内描点画出该二次函数的图象，观察图象，写出时x的取值范围　　；

(3)该二次函数的图象经过怎样平移可以得到的图象？
(4)若抛物线上两点的横坐标满足，则　　0(填“＞”“＜”或“＝”) ．
【答案】(1)，3
(2)，图见解析
(3)抛物线向左平移1个单位，向下平移4个单位即可得到的图象
(4)
【分析】（1）将代入得，解得，，则，然后作答即可；
（2）描点作图，由图象可知时x的取值范围为，
（3）根据左加右减、上加下减进行作答即可；
（4）由题意知，当时，随的增大而减小，由，可得，然后求解判断即可．
【详解】（1）解：将代入得，，
解得，，
∴，
∴顶点坐标为，
故答案为：，3；
（2）解：作图如下：

∴时x的取值范围为，
故答案为：；
（3）解：∵
∴抛物线向左平移1个单位，向下平移4个单位即可得到的图象；
（4）解：由题意知，当时，随的增大而减小，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
11．（20-21九年级上·陕西渭南·期中）已知二次函数（为常数，）．求证：不论为何值，抛物线与轴总有两个不同的公共点．
【答案】抛物线与轴总有两个不同的公共点
【分析】根据根的判别式进行求解，当时，二次函数有两个不相等的实根，即与轴总有两个不同的交点，由此即可求解．
【详解】解：，
，
∴抛物线与轴总有两个不同的公共点．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
浙教版新版九上第一单元 新知超前
二次函数——单元小结（原卷版）
一、二次函数的定义与识别
1. __________：形如________________（a,b,c是常数，__________）的函数。
2. __________：y=ax +bx+c，其中__________是二次项系数，____是一次项系数，____是常数项。
3. __________：等号右边是__________，自变量最高次数为______，二次项系数__________。
4. __________：从实际问题中找__________，列式后__________为一般形式。
二、二次函数的图象
1. __________：是__________，顶点在__________，对称轴为__________。__________开口向上，__________开口向下。__________开口越小。
2. __________：由y=ax ________________得到，顶点__________。
3. __________：由y=ax ________________得到，顶点__________，对称轴__________。
4. __________（顶点式）：顶点__________，对称轴__________。一般式通过__________化为顶点式。
5. __________：________________（x变化），________________（常数项变化），平移不改变__________。
三、二次函数的性质
1. __________：直线__________（一般式），或__________（顶点式）。
2. __________：________________（一般式），或__________（顶点式）。
3. __________：__________开口向上，__________开口向下。
4. __________：a>0时，当________________有________________；a<0时有__________。
5. __________：a>0时，对称轴左侧________________，右侧________________；a<0时相反。
四、二次函数与一元二次方程
1. __________：令__________，得交点__________。
2. __________：令__________，解________________。由________________判断：__________两个交点，__________一个交点，__________无交点。
3. __________：图象与x轴交点的__________=对应一元二次方程的__________。
4. __________：y>0→图象在x轴__________；y<0→图象在x轴__________。结合开口方向写解集。
五、二次函数的应用
1. __________：利润=________________。设涨价x元→表示销量变化→列利润函数→________________。
2. __________：设一边x→用条件表示另一边→面积=__________→二次函数→________________。
3. __________：________________→设解析式→________________求参数→代入求解。
4. __________：正确________________，找准________________，选择________________。
考点一 二次函数的定义与识别
【解题思路】二次函数定义三要素：整式、最高次2、a≠0。列关系式时找等量关系→化简为一般式。
例1．下列函数是二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
考点二 二次函数的图象与平移
【解题思路】平移口诀：左加右减(x变)，上加下减(常数项变)。平移不改变a的值和开口方向。顶点式直接读出顶点(h,k)。
例2．将抛物线向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到抛物线的解析式是（ ）
A． B．
C． D．
变式1．抛物线的顶点坐标是______．
考点三 二次函数的性质
【解题思路】先求对称轴和顶点坐标，再判断增减性和最值。a>0开口向上有最小值；a<0开口向下有最大值。
例3．二次函数的最小值是_________．
变式1．已知点，，在二次函数的图象上，则，，之间的大小关系是______（用“”连接）．
考点四 二次函数与一元二次方程
【解题思路】与x轴交点个数看Δ：>0两个，=0一个，<0无。交点横坐标=方程根。y>0看x轴上方。
例4．抛物线与轴交点的坐标为______．
考点五 二次函数的应用
【解题思路】应用题关键是建坐标系或设变量，列出二次函数后用配方法或顶点公式求最值，注意检验实际意义。
例5．兰州是全国有名的“瓜果城”，某水果店销售一批白兰瓜，若每斤盈利元，每天可售出斤．经市场调查发现，若每斤降价元，每天可多售出斤．设每斤降价元，每天盈利为元，则与的函数关系式为（ ）
A． B．
C． D．
变式1．如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，如果水面上升，那么水面宽度为______．
一、选择题
1．（2024·安徽池州·三模）已知二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（25-26八年级下·北京·期末）将抛物线平移，得到抛物线，下列平移方式中，正确的是（ ）
A．向左平移3个单位，向上平移5个单位
B．向右平移3个单位，向上平移5个单位
C．向左平移5个单位，向下平移3个单位
D．向右平移5个单位，向上平移3个单位
3．（23-24九年级上·江苏盐城·阶段检测）将抛物线（）的图象向右平移个单位，下列说法正确的是（　　）
A．对称轴没有改变 B．顶点坐标没有改变
C．开口方向改变了 D．函数最值没有改变
4．（23-24九年级上·湖北荆州·阶段检测）若是关于x的二次函数，则a的值是（ ）
A．2 B． C． D．
二、填空题
5．（23-24九年级上·广东广州·阶段检测）正方形边长，若边长增加，增加后正方形的面积为，与的函数关系式为________．
6．（24-25九年级上·上海·阶段检测）二次函数的图像与y轴的交点坐标是______．
7．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）写出一个顶点在轴上，开口向上的抛物线：________________．
三、解答题
8．（23-24八年级下·全国·课后作业）已知函数，回答下列问题：
(1)m取什么值时，此函数是二次函数？
(2)m取什么值时，此函数是一次函数？
9．（2025九年级上·全国·专题练习）在下列表达式中，为自变量，问哪些是二次函数？
，，，，，，．
10．（23-24九年级上·江苏徐州·期中）下表是二次函数的部分取值情况：
x … 0 1 2 3 …
y … 0 c 4 3 n …
根据表中信息，回答下列问题：
(1)二次函数图象的顶点坐标是　　，　　；
(2)在图中的平面直角坐标系内描点画出该二次函数的图象，观察图象，写出时x的取值范围　　；

(3)该二次函数的图象经过怎样平移可以得到的图象？
(4)若抛物线上两点的横坐标满足，则　　0(填“＞”“＜”或“＝”) ．
11．（20-21九年级上·陕西渭南·期中）已知二次函数（为常数，）．求证：不论为何值，抛物线与轴总有两个不同的公共点．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑