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专题05 自由落体运动与竖直上抛运动
一、自由落体运动的基本公式
匀变速直线运动 自由落体运动
v＝v0＋at v＝gt
x＝v0t＋at2 h＝gt2
v2－v＝2ax v2＝2gh
二、自由落体的推论
1.连续相等时间T内的高度差：；
2.物体的平均速度公式：；
3.中间位移速度公式：；
4.第一个T内、第二个T内、第三个T内、…、第n个T内下落的高度之比hⅠ∶hⅡ∶hⅢ∶…∶hN＝1∶3∶5∶…∶(2n－1)。
5.下落连续相同高度所用时间之比tⅠ∶tⅡ∶tⅢ∶…∶tN＝1∶(－1)∶(－)∶…∶(－)
三、竖直上抛运动
1．竖直上抛运动的定义
将物体以某一初速度v0竖直向上抛出，物体只在重力作用下所做的运动就是竖直上抛运动。
2．竖直上抛运动的实质
初速度v0>0、加速度a＝－g的匀变速直线运动(以竖直向上为正方向，g为重力加速度的大小)。
3．竖直上抛运动的规律
基本公式eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(速度与时间的关系式：v＝v0－gt,位移与时间的关系式：h＝v0t－\f(1,2)gt2,速度与位移的关系式：v2－v＝－2gh))
重要结论eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(上升时间t＝\f(v0,g),上升的最大高度H＝\f(v,2g),落回出发点的总时间t总＝\f(2v0,g)))
4．竖直上抛运动的特点
(1)对称性
①时间对称性：对同一段距离，上升过程和下降过程所用时间相等。如图，tAB＝tBA，tOC＝tCO。
②速度对称性：上升过程和下降过程通过同一点时速度大小相等，方向相反。如图，vB＝－vB′，vA＝－vA′。
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(2)多解性
通过某一点可能对应两个时刻，即物体可能处于上升阶段，也可能处于下降阶段。
自由落体运动与竖直上抛运动
自由落体运动 竖直上抛运动
条件 （1）物体只受重力；（2）由静止开始下落 （1）物体只受重力；（2）初速度方向竖直向上
性质 初速度为0的匀加速直线运动 加速度为g，上升阶段做匀减速直线运动，下降阶段做自由落体运动
运动规律 (1)速度与时间的关系式：v＝gt。(2)位移与时间的关系式：h＝gt2。(3)速度与位移的关系式：v2＝2gh (1)速度与时间的关系式：v＝v0－gt。(2)位移与时间的关系式：h＝v0t－gt2。(3)速度与位移的关系式：v2－v＝－2gh。(4)上升的最大高度：H＝eq \f(v,2g)。(5)上升到最高点所用时间：t上＝。
模型1 自由落体运动
【解题指导】1.自由落体运动是初速度为零、加速度为g的匀加速直线运动，可利用比例关系及推论等规律解题。
①从开始下落，连续相等时间内下落的高度之比为1∶3∶5∶7∶…。
②Δv＝gΔt。相等时间内，速度变化量相同。
③连续相等时间T内下落的高度之差Δh＝gT2。
2.物体由静止开始的自由下落过程才是自由落体运动，而从中间截取的一段运动过程不是自由落体运动，等效于竖直下抛运动，应该用初速度不为零的匀变速直线运动规律去解决此类问题。
【典例01】2025年7月新加坡世锦赛上，我国运动员陈芋汐夺得女子单人10米跳台冠军。若运动员训练时从10米跳台上自由落下，不计空气阻力，g取10m/s2，则下列说法正确的是（ ）
A．若运动员体重增加则下落更快
B．运动员入水时的速度大小为5m/s
C．运动员在空中下落时间为1s
D．运动员在空中后5米所用时间为
【答案】D
【详解】A. 自由落体运动的加速度与质量无关，故体重增加不会影响下落快慢，故A错误；
B. 入水时位移，由
解得，故B错误；
C. 由位移—时间公式
解得，故C错误；
D. 对前5 m有
解得
后5m用时，故D正确。
故选D。
【变式1-1】
如图所示，用一细绳将一个小球悬挂在天花板上，小球正下方有一圆筒，圆筒高，现剪断细线，让小球从静止开始下落，经过时间，小球到达圆筒顶部，不计空气阻力，小球可视为质点，取，小球下落过程中没有与圆筒发生接触。求：
(1)小球开始下落时，离圆筒的高度H；
(2)小球通过圆筒的时间。
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）小球从静止自由下落，经到达圆筒顶部，下落高度即
（2）小球到达圆筒顶部时的速度
通过圆筒的过程为匀加速直线运动，初速度，位移，由运动学公式
解得（舍去负根）
【变式1-2】如图是高中物理人教版必修第一册课本封面上的沙漏照片。若近似认为砂粒下落的初速度为零，不计砂粒间下落时的相互影响，设砂粒随时间均匀漏下，下落砂粒数与时间成正比，忽略空气阻力，当出口下方0~1cm范围内有30粒砂粒，则出口下方4~9cm范围的砂粒数约为（　　）
A．20粒 B．30粒 C．40粒 D．60粒
【答案】B
【详解】砂粒随时间均匀漏下，故下落砂粒数与时间成正比，0~1cm范围内的砂粒下落时间为
4~9cm范围的砂粒下落时间为
设4~9cm范围的砂粒数为x，则
代入数据
得粒
故选B。
模型2 竖直上抛运动
【解题指导】竖直上抛运动的处理方法
(1)分段法
①上升过程：v0≠0、a＝－g的匀减速直线运动。此过程可用逆向思维的方法分析计算。
②下降过程：自由落体运动。
(2)全程法
①整个过程：初速度v0竖直向上、加速度g竖直向下的匀变速直线运动，应用规律v＝v0－gt，h＝v0t－gt2。
②正负号的含义(取竖直向上为正方向)
a．v>0表示物体上升，v<0表示物体下降。
b．h>0表示物体在抛出点上方，h<0表示物体在抛出点下方。
【典例02】如图甲所示，是一种训练儿童反应和肢体协调能力的“抓棋子”游戏。某次游戏中，小朋友沿竖直方向将棋子自A处由静止加速到B处，到B处时立即松手，棋子由于惯性继续向上运动。小朋友迅速用同一只手将水平地面上相隔一定距离的棋子捡起，恰好在A处接住抛出的棋子。已知A处离地10cm，B处离地50cm，从B处松手去抓地面上棋子到回A处接住空中棋子的时间为0.4s，棋子从A处运动到B处可视为匀加速直线运动，不计空气阻力，重力加速度g取10m/s 。则棋子从A处运动B处的加速度为（　　）
A．0.8m/s B．1m/s C．1.25m/s D．1.5m/s
【答案】C
【详解】由题知，棋子从A处运动到B处可视为匀加速直线运动，设棋子从A处运动到B处的加速度为，在B处的速度为，则有
棋子在B处离开手后，以速度做竖直上抛运动，经时间落到A处，取竖直向上为正方向，根据竖直上抛运动规律有
其中
联立解得
故选C。
【变式2-1】如图为我校举办的篮球比赛中抢发球场景，裁判将篮球从距地面处向上抛起（视为竖直上抛），学生稍后向上起跳将下落中的篮球拍向队友，为了更快拍到球需在自身起跳达到最高处时刚好碰到篮球。已知篮球被抛出时的初速度，学生静态摸高，跳起后摸高，忽略空气阻力，取。求
(1)学生跳至最高点的时间？
(2)为了更快拍到球学生需在裁判抛球后多久起跳？
【答案】(1)0.3s
(2)0.9s
【详解】（1）学生起跳后做竖直上抛运动，上升的高度为：
竖直上抛上升过程可逆向看作自由落体运动，由
代入数据得：
解得学生跳至最高点的时间
（2）设篮球从抛出到运动至 处的总时间为 ，取向上为正方向，对篮球由竖直上抛位移公式：
代入数据
得：
整理得
解得两个解： ，对应篮球上升过程经过；
，对应篮球下落过程经过。
题目要求拍下落的篮球且更快拍到，因此取总时间
设抛球后经过 学生起跳，满足 ，因此：
【变式2-2】如图所示，气球下面用细线吊着一个物体，从地面由静止释放后一起匀加速上升，时速度达到，此时细线恰好断开。重力加速度大小，不计物体受到的空气阻力，在物体落地前的过程中，求：
(1)物体离地面的最大高度；
(2)从气球被释放到物体再次落回地面的时间；
(3)气球被释放后，经时间时物体获得的速度。
【答案】(1)80m
(2)12s
(3)20m/s
【详解】（1）物体匀加速上升的加速度为
匀加速上升的高度为
细线断开后，物体做竖直上抛运动，继续上升的高度
物体离地面的最大高度
（2）细线断开后，物体从 60m处开始运动，以向上为正方向，根据位移-时间公式，有
代入数据解得 （舍去）
从气球被释放到物体再次落回地面的时间
（3）前6s物体随气球匀加速上升，末速度v = 20 m/s
后4s物体做竖直上抛运动，根据速度公式，有
负号表示速度方向向下，大小为20m/s。
模型3 自由落体运动与竖直上抛运动的相遇问题
【解题指导】（1）常规处理方法：根据自由落体运动和竖直上抛运动的位移关系列方程求解；
（2）转换参考系法：由于自由落体运动和竖直上抛运动的加速度均为重力加速度，以自由落体运动为参考系，则竖直上抛运动物体相对自由落体运动为匀速直线运动。
【典例03】如图所示，小球从距地面高度处由静止自由下落，同时小球从地面以初速度竖直上抛。已知均可视为质点，不计空气阻力，重力加速度取。下列说法正确的是（　　）
A．两球不会在空中相遇
B．两球相遇时，球下落的时间为
C．两球相遇时，球上升的高度为
D．两球相遇时，球的速度大小为
【答案】B
【详解】AB．设经过时间t，A、B在空中相遇，A球做自由落体运动的位移为
B球做竖直上抛运动的位移为
由几何关系有
联立以上各式解得，故A错误B正确；
C．两球相遇时，球上升的高度为，故C错误；
D．两球相遇时，球的速度大小为，故D错误。
故选B。
【变式3-1】如图所示是我国S-300防空导弹防御系统的发射装置。一次演习中，某时刻雷达监测到一“入侵”飞行器在距地面50km高度处的P点水平匀速飞行，经过信息处理，30s后从地面上发射一枚导弹，导弹以的加速度竖直向上运动，在距离P点80km处成功将飞行器拦截。已知重力加速度大小取，导弹可以视为质点，则飞行器的速度大小为（　　）
A．100m/s B．800m/s C．1000m/s D．1600m/s
【答案】C
【详解】设飞行器飞行的高度为，导弹的加速度为，飞行器的速度为，根据题意
联立解得
故选C。
【变式3-2】（多选）广州塔观景台高度约450m，图为两个小球的运动场景：①从观景台t=0时刻由静止释放小球；②t=4s时从地面以40m/s初速度竖直上抛另一小球。忽略空气阻力，g取10m/s2，下列分析正确的是（ ）
A．自由下落的小球第1s内的位移为5m
B．竖直上抛的小球从抛出至上升到最高点的时间为8s
C．两小球第一次相遇时刻为t=8.625s
D．竖直上抛的小球上升的最大高度为40m
【答案】AC
【详解】A． 自由落体位移公式可知，自由下落的小球第1s内的位移为，故A正确；
B．竖直上抛小球上升到最高点时速度减为0，则有
解得，故B错误；
C．从第一个球下落开始计时，设t时刻两球相遇，则有
将代入解得
自由下落小球落地时间为
说明相遇时小球均未落地，故C正确；
D．竖直上抛最大高度，故D错误；
故选AC。
【变式3-3】
1．如图为我国跳高运动员张国伟某次比赛中的瞬间，他曾经最好的成绩是2.38米，此时重心升高约为1.2米。请估算他起跳离地时，竖直向上速度最接近的数值为（　　）
A．3m/s B．4m/s C．5m/s D．6m/s
【答案】C
【详解】运动员起跳后竖直方向可视为竖直上抛运动，上升到最高点时竖直速度减为0，
根据匀变速直线运动公式，，取重力加速度
解得，该数值最接近。
故选 C。
2．“眼疾手快”玩具可用来锻炼人的反应能力。如图所示，该玩具的圆棒长度为0.4m，游戏者将手放在棒的正下方，手离棒下端的距离h为0.8m。现让棒自由下落，不计空气阻力，重力加速度g取。若从棒由静止释放开始计时，则游戏者能抓住棒的时刻可能是（　　）
A．0.25s B．0.35s C．0.45s D．0.55s
【答案】C
【详解】设手恰好抓住棒的下端，由有
解得
设手恰好抓住棒的上端，由有
解得，则手能抓住棒的时刻，综上可知ABD错误，C正确。
故选C。
3．热气球匀速升空过程中，乘客手中的苹果不慎滑落，忽略一切阻力。苹果从脱手到落地过程中，位移随时间和速度随时间的关系图像正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】AB．以竖直向上为正方向，设热气球的初速度为，忽略阻力时，苹果会以初速度开始在重力的作用下做竖直上抛运动，位移与时间的关系为
x-t图像应该是一条抛物线，故AB错误；
CD．苹果运动的速度与时间关系为，故C正确，D错误。
故选C。
4．为研究自由落体运动，从某砖墙前的高处由静止释放一个石子，让其自由落下，拍摄到石子下落过程中的照片如图所示。由于石子的运动，它在照片上留下了一条模糊的径迹，已知每层砖的平均厚度为6.0cm，这个照相机的曝光时间为，则拍摄到的石子位置A距石子下落的起始位置的距离约为（　　）
A．1.25m B．2.5m C．5.0m D．7.5m
【答案】C
【详解】由图可知，在曝光的时间内，物体下降了大约有两层砖的厚度，即12cm，曝光时间为，所以AB段的平均速度为
由于曝光时间很短，可以近似认为石子在这段时间内的平均速度等于位置 A 的瞬时速度，即，根据自由落体运动公式有
取，代入上式，解得
故选C。
5．如图所示，某同学正在从1楼乘坐电梯去13楼，上升过程中他将手中的小球多次以相同的初速度（相对于电梯）竖直向上抛出（未撞击到天花板），每次小球均落回到手中（抛出点），抛出点相对于电梯的位置可认为不变。其中有三次分别在电梯匀加速、匀速和匀减速运动过程中抛出，小球这三次在空中运动的时间分别记作和，空气阻力忽略不计，小球每次抛出至落回抛出点的过程中电梯的运动规律不变，下列关系中正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】以电梯为参考系，向上为正方向，分析小球相对电梯的加速度，结合运动学公式推导运动时间：设电梯加速度大小为a，小球初速度相对电梯恒为，落回抛出点时相对电梯位移为0。
电梯匀加速上升（对应时间 ），实际小球相对电梯的加速度大小为
由位移公式得
解得
同理可知，电梯匀速运动时
电梯匀减速上升时，实际小球相对电梯的加速度大小为
同理可得
比较可知。
故选A。
6．2026年春节晚会上表演武术的机器人引起轰动，宇树科技在测试人形机器人的反应和肢体协调能力的训练过程中，机器人沿竖直方向将石子从A处由静止匀加速到B处后松手，石子由于惯性继续向上运动。同时机器人去捡地面石子并恰好在A处接住石子。已知A离地0.10m，B离地0.60m，从松手到接住的时间为0.5s，A处运动到B处可视为匀加速直线运动，不计空气阻力，重力加速度g取。则石子从A处运动B处的加速度为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题知，石子从A处运动到B处可视为匀加速直线运动，设石子从A处运动到B处的加速度为，在B处的速度为，则有
石子在B处离开手后，以速度做竖直上抛运动，经时间落到A处，取竖直向上为正方向，根据竖直上抛运动规律有
其中
联立解得
故选C。
7．在地质、地震、勘探、气象和地球物理等领域的研究中，需要重力加速度g的精确值，这可由实验精确测得。近年来测g值的一种方法叫“对称自由下落法”，它是将测g转变为测量长度和时间，具体做法：如图所示，将真空长直管沿竖直方向放置，自其中O点竖直上抛小球，测得小球从离开O点到落回O点所用的时间为，小球在运动过程中经过比O点高H的P点，小球从离开P点到落回P点所用的时间为，则g等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】将小球的运动分解为竖直向上的匀减速直线运动和竖直向下的自由落体运动，根据，则从最高点下落到O点所用时间为，设小球从O点上升的最大高度为，则
设小球从P点上升的最大高度为，同理有
依据题意有
联立解得
故选B。
8．2025年11月28日，华为Mate80系列正式发售，其配置第二代昆仑玻璃，耐摔程度比普通玻璃提升20倍。如图所示，某数码博主对该款手机进行防摔测试，将手机屏朝下，从距离水平木地板1.25 m高处由静止释放，撞击后竖直向上弹起的高度为．手机完好无损。已知该手机质量为，从开始下落至第一次反弹到最大高度所用时间共，全程手机屏始终与木地板平行，不计空气阻力，重力加速度取，取竖直向下为正方向。从开始下落至第一次反弹到最大高度的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．手机从释放到落地前的平均速度大小为
B．手机与木地板撞击过程所用时间为
C．手机前内和后内的位移大小之比为
D．手机全过程的路程为
【答案】C
【详解】BD．由题意可知，下落高度，反弹高度，总时间
全过程路程
取竖直向下为正方向，自由下落过程，由
解得
故落地速度
反弹上升过程，可看成逆过程为自由下落的过程，由
解得
撞击过程时间，BD错误；
A．手机从释放到落地前的平均速度大小，A错误；
C．前正好是整个下落过程，位移大小
后的起始时刻为
时手机仍在下落，以释放点为原点，向下为正，则此时的位置
时，手机在反弹最高点，位置
所以后位移大小
因此位移比，C正确；
故选C。
9．一物体从某星球表面竖直向上抛出（不计气体阻力）时的图像如图所示，顶点坐标为（5s，20m），则（ ）
A．该星球表面的重力加速度为
B．该物体上升的时间为
C．和时速度相同
D．该物体时速度大小为
【答案】A
【详解】AB．由图像可知，该物体上升的时间为，下落的时间也为；设该星球表面的重力加速度大小为，下落过程由运动学公式可得
解得，故A正确，B错误；
C．根据对称性可知，物体在和时速度大小相等，方向相反，故C错误；
D．物体在时开始做自由落体运动，所以该物体时速度大小为，故D错误。
故选A。
10．科技馆中的一个展品如图所示，在较暗处有一个不断均匀滴水的水龙头，在一种特殊的间歇闪光灯的照射下，若调节间歇闪光间隔时间正好与水滴从下落到的时间相同，可以看到一种奇特的现象，水滴似乎不再下落，而是像固定在图中的、、、四个位置不动，对出现的这种现象，下列描述正确的是（ ）
A．水滴在下落过程中通过相邻两点之间的时间满足
B．闪光的间隔时间是
C．水滴在相邻两点间的平均速度满足
D．水滴在各点的速度之比满足
【答案】B
【详解】A．因相同时间间隔内看到的水滴好像不动，可知水滴在下落过程中通过相邻两点之间的时间相等，都等于闪光时间间隔，即满足，A错误；
B．根据可知闪光的间隔时间是，B正确；
C．水滴在相邻两点间的位移之比为，根据，可知平均速度满足，C错误；
D．根据v=gt，可知水滴在各点的速度之比满足 ，D错误。
故选B。
11．时刻从某点竖直上抛一个小球，用一台固定相机每隔时间拍一张照片（不计曝光时间），、、、时刻的照片从左向右排列如图所示，不计空气阻力，重力加速度为g，则小球的初速度为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】小球竖直上抛，以抛出点为原点，向上为正，位移公式
由上式，竖直上抛运动存在对称性，上升和下降阶段中，同一高度对应的两个时刻关于最高点时刻对称。因此和的中点即为到达最高点的时刻，即
到达最高点时速度为零，故
故选B。
12．（多选）如图所示，制作一把“人的反应时间测量尺”。A同学用两个手指捏住一把长50cm的直尺的顶端，B同学用一只手在直尺0刻度位置做捏住直尺的准备，但手不碰到直尺。在A同学放开手指让直尺下落时，B同学立刻捏住直尺。读出B同学捏住直尺的刻度，就是直尺下落的高度，根据自由落体公式算出直尺下落的时间就是B同学的反应时间。已知重力加速度g取，则（　　）
A．若将该直尺的刻度改造成“反应时间”，则其刻度均匀的
B．若某同学的反应时间约为0.4s，则不可以用该直尺测量该同学的反应时间
C．测量时，B同学把手放在零刻线下少许的位置，测量的反应时间大于真实的反应时间
D．若A同学松开直尺时误给直尺向下的初速度，则测量的反应时间偏大
【答案】BD
【详解】A．根据
可得
可知t与h不是线性关系，则若将该直尺的刻度改造成“反应时间”，则其刻度是不均匀的，故A错误；
B．若某同学的反应时间约为0.4s，则下落的高度
则不可以用该直尺测量该同学的反应时间，故B正确；
C．测量时，B同学把手放在零刻线下少许的位置，下落高度的测量值偏小，可知测量的反应时间小于真实的反应时间，故C错误；
D．若A同学松开直尺时误给直尺向下的初速度，则测量的位移偏大，根据可知，反应时间偏大，故D正确。
故选BD。
13．（多选）为了估测楼房的高度，一同学将一石块从楼顶自由落下，不计空气阻力，只要测出下列哪个物理量就可算出楼房的高度（　　）
A．石块下落到地面的时间
B．石块下落一半时间所走的位移
C．石块下落最后一秒所走的位移
D．石块下落第一秒所走的位移
【答案】ABC
【详解】A. 根据，已知石块下落到地面的时间t，可求解楼房高度h，A正确；
B. 石块下落一半时间所走的位移h1，则，则，B正确；
C. 石块下落最后一秒所走的位移，则由，，联立可求解h，C正确；
D. 石块下落第一秒的位移为，该数值为定值，与楼房高度无关，故无法求出楼房高度，即由石块下落第一秒所走的位移不能求解h，D错误。
故选ABC。
14．图甲为意大利著名建筑物比萨斜塔，相传伽利略在此做过自由落体实验。如图乙所示，现将两个小铁球P和Q用长L=6.2m不可伸长的轻绳连接，从与比萨斜塔的塔顶等高的A处将悬吊Q球的P球由静止释放，测得Q球落地的时间t=3s，忽略空气阻力，g取10m/s2，可能用到3.22=10.24，求：
(1)开始下落时，PQ连接体的加速度大小；
(2)比萨斜塔的高度H；
(3)P、Q球落地的时间差△t。
【答案】(1)10m/s2
(2)51.2m
(3)0.2s
【详解】（1）开始下落时，PQ连接体只受重力作用，则加速度大小为g=10m/s2；
（2）根据自由落体运动的规律，对Q从开始下落打落到地面有
解得H=51.2m
（3）根据，可得P落地的时间
P、Q球落地的时间差
15．如图所示是某供电公司的一名工作人员在高空进行野外电缆线维护。工作人员不慎将手中的一个物体脱落，若物体从静止开始下落，下落总时间为，不计空气阻力。g取。求：
(1)物体下落的高度是多少？
(2)物体在前2s内的平均速度是多少？
(3)物体在最后1s内下落的高度是多少？
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）根据自由落体运动公式可得物体下落的高度为
（2）物体在前2s内下落的高度为
则物体在前2s内的平均速度为
（3）物体在前3s内下落的高度为
则物体在最后1s内下落的高度为
16．屋檐边缘每隔相同时间有一滴水滴落下。若某一滴水共用时2s落到地面，恰好有另一滴水离开房檐开始下落，并且空中还有另外两滴水滴正在下落，取g=10m/s2.求：
(1)此屋檐的离地高度；
(2)此时空中两滴水相距多远。
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）水滴做自由落体运动，已知落地总时间，由自由落体位移公式
代入 、
解得
（2）当第一滴水滴落地时，恰好有新水滴离开屋檐，空中还有2滴水，说明总下落时间对应3个相等的时间间隔，因此滴水时间间隔
此时空中两滴水滴，下落时间分别为、
两滴间距为下落位移差
代入数据得
17．小球从离水平地面高度为的某处以一定初速度竖直上抛，不考虑空气阻力，小球上升至最高点后自由下落，第一次碰到地面前瞬间的速度大小是抛出时的两倍。小球和地面碰撞后再次反弹，小球每次反弹速度的大小为碰前速度大小的一半，重复若干次后停在地面上，重力加速度为。已知等比数列求和公式为，求：
(1)小球抛出时的初速度大小；
(2)小球从抛出到停在地面上所走过的全部路程。
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设初速度竖直向上，第一次落地时速度大小为，方向向下。取向上为正，位移，加速度，由速度位移关系
即
解得
（2）第一次落地前：上升高度
下落高度
路程
第一次落地后反弹速度大小，上升高度
路程
第二次落地后反弹速度大小，上升高度
路程
后续路程成等比数列，公比，从第一次落地后开始，后续路程之和（n趋于无穷大）
总路程
01 核心知识
02 模型归纳
03 模型突破
04 综合素养提升
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专题05 自由落体运动与竖直上抛运动
一、自由落体运动的基本公式
匀变速直线运动 自由落体运动
v＝v0＋at v＝gt
x＝v0t＋at2 h＝gt2
v2－v＝2ax v2＝2gh
二、自由落体的推论
1.连续相等时间T内的高度差：；
2.物体的平均速度公式：；
3.中间位移速度公式：；
4.第一个T内、第二个T内、第三个T内、…、第n个T内下落的高度之比hⅠ∶hⅡ∶hⅢ∶…∶hN＝1∶3∶5∶…∶(2n－1)。
5.下落连续相同高度所用时间之比tⅠ∶tⅡ∶tⅢ∶…∶tN＝1∶(－1)∶(－)∶…∶(－)
三、竖直上抛运动
1．竖直上抛运动的定义
将物体以某一初速度v0竖直向上抛出，物体只在重力作用下所做的运动就是竖直上抛运动。
2．竖直上抛运动的实质
初速度v0>0、加速度a＝－g的匀变速直线运动(以竖直向上为正方向，g为重力加速度的大小)。
3．竖直上抛运动的规律
基本公式eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(速度与时间的关系式：v＝v0－gt,位移与时间的关系式：h＝v0t－\f(1,2)gt2,速度与位移的关系式：v2－v＝－2gh))
重要结论eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(上升时间t＝\f(v0,g),上升的最大高度H＝\f(v,2g),落回出发点的总时间t总＝\f(2v0,g)))
4．竖直上抛运动的特点
(1)对称性
①时间对称性：对同一段距离，上升过程和下降过程所用时间相等。如图，tAB＝tBA，tOC＝tCO。
②速度对称性：上升过程和下降过程通过同一点时速度大小相等，方向相反。如图，vB＝－vB′，vA＝－vA′。
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(2)多解性
通过某一点可能对应两个时刻，即物体可能处于上升阶段，也可能处于下降阶段。
自由落体运动与竖直上抛运动
自由落体运动 竖直上抛运动
条件 （1）物体只受重力；（2）由静止开始下落 （1）物体只受重力；（2）初速度方向竖直向上
性质 初速度为0的匀加速直线运动 加速度为g，上升阶段做匀减速直线运动，下降阶段做自由落体运动
运动规律 (1)速度与时间的关系式：v＝gt。(2)位移与时间的关系式：h＝gt2。(3)速度与位移的关系式：v2＝2gh (1)速度与时间的关系式：v＝v0－gt。(2)位移与时间的关系式：h＝v0t－gt2。(3)速度与位移的关系式：v2－v＝－2gh。(4)上升的最大高度：H＝eq \f(v,2g)。(5)上升到最高点所用时间：t上＝。
模型1 自由落体运动
【解题指导】1.自由落体运动是初速度为零、加速度为g的匀加速直线运动，可利用比例关系及推论等规律解题。
①从开始下落，连续相等时间内下落的高度之比为1∶3∶5∶7∶…。
②Δv＝gΔt。相等时间内，速度变化量相同。
③连续相等时间T内下落的高度之差Δh＝gT2。
2.物体由静止开始的自由下落过程才是自由落体运动，而从中间截取的一段运动过程不是自由落体运动，等效于竖直下抛运动，应该用初速度不为零的匀变速直线运动规律去解决此类问题。
【典例01】2025年7月新加坡世锦赛上，我国运动员陈芋汐夺得女子单人10米跳台冠军。若运动员训练时从10米跳台上自由落下，不计空气阻力，g取10m/s2，则下列说法正确的是（ ）
A．若运动员体重增加则下落更快
B．运动员入水时的速度大小为5m/s
C．运动员在空中下落时间为1s
D．运动员在空中后5米所用时间为
【变式1-1】
如图所示，用一细绳将一个小球悬挂在天花板上，小球正下方有一圆筒，圆筒高，现剪断细线，让小球从静止开始下落，经过时间，小球到达圆筒顶部，不计空气阻力，小球可视为质点，取，小球下落过程中没有与圆筒发生接触。求：
(1)小球开始下落时，离圆筒的高度H；
(2)小球通过圆筒的时间。
【变式1-2】如图是高中物理人教版必修第一册课本封面上的沙漏照片。若近似认为砂粒下落的初速度为零，不计砂粒间下落时的相互影响，设砂粒随时间均匀漏下，下落砂粒数与时间成正比，忽略空气阻力，当出口下方0~1cm范围内有30粒砂粒，则出口下方4~9cm范围的砂粒数约为（　　）
A．20粒 B．30粒 C．40粒 D．60粒
模型2 竖直上抛运动
【解题指导】竖直上抛运动的处理方法
(1)分段法
①上升过程：v0≠0、a＝－g的匀减速直线运动。此过程可用逆向思维的方法分析计算。
②下降过程：自由落体运动。
(2)全程法
①整个过程：初速度v0竖直向上、加速度g竖直向下的匀变速直线运动，应用规律v＝v0－gt，h＝v0t－gt2。
②正负号的含义(取竖直向上为正方向)
a．v>0表示物体上升，v<0表示物体下降。
b．h>0表示物体在抛出点上方，h<0表示物体在抛出点下方。
【典例02】如图甲所示，是一种训练儿童反应和肢体协调能力的“抓棋子”游戏。某次游戏中，小朋友沿竖直方向将棋子自A处由静止加速到B处，到B处时立即松手，棋子由于惯性继续向上运动。小朋友迅速用同一只手将水平地面上相隔一定距离的棋子捡起，恰好在A处接住抛出的棋子。已知A处离地10cm，B处离地50cm，从B处松手去抓地面上棋子到回A处接住空中棋子的时间为0.4s，棋子从A处运动到B处可视为匀加速直线运动，不计空气阻力，重力加速度g取10m/s 。则棋子从A处运动B处的加速度为（　　）
A．0.8m/s B．1m/s C．1.25m/s D．1.5m/s
【变式2-1】如图为我校举办的篮球比赛中抢发球场景，裁判将篮球从距地面处向上抛起（视为竖直上抛），学生稍后向上起跳将下落中的篮球拍向队友，为了更快拍到球需在自身起跳达到最高处时刚好碰到篮球。已知篮球被抛出时的初速度，学生静态摸高，跳起后摸高，忽略空气阻力，取。求
(1)学生跳至最高点的时间？
(2)为了更快拍到球学生需在裁判抛球后多久起跳？
【变式2-2】如图所示，气球下面用细线吊着一个物体，从地面由静止释放后一起匀加速上升，时速度达到，此时细线恰好断开。重力加速度大小，不计物体受到的空气阻力，在物体落地前的过程中，求：
(1)物体离地面的最大高度；
(2)从气球被释放到物体再次落回地面的时间；
(3)气球被释放后，经时间时物体获得的速度。
模型3 自由落体运动与竖直上抛运动的相遇问题
【解题指导】（1）常规处理方法：根据自由落体运动和竖直上抛运动的位移关系列方程求解；
（2）转换参考系法：由于自由落体运动和竖直上抛运动的加速度均为重力加速度，以自由落体运动为参考系，则竖直上抛运动物体相对自由落体运动为匀速直线运动。
【典例03】如图所示，小球从距地面高度处由静止自由下落，同时小球从地面以初速度竖直上抛。已知均可视为质点，不计空气阻力，重力加速度取。下列说法正确的是（　　）
A．两球不会在空中相遇
B．两球相遇时，球下落的时间为
C．两球相遇时，球上升的高度为
D．两球相遇时，球的速度大小为
【变式3-1】如图所示是我国S-300防空导弹防御系统的发射装置。一次演习中，某时刻雷达监测到一“入侵”飞行器在距地面50km高度处的P点水平匀速飞行，经过信息处理，30s后从地面上发射一枚导弹，导弹以的加速度竖直向上运动，在距离P点80km处成功将飞行器拦截。已知重力加速度大小取，导弹可以视为质点，则飞行器的速度大小为（　　）
A．100m/s B．800m/s C．1000m/s D．1600m/s
【变式3-2】（多选）广州塔观景台高度约450m，图为两个小球的运动场景：①从观景台t=0时刻由静止释放小球；②t=4s时从地面以40m/s初速度竖直上抛另一小球。忽略空气阻力，g取10m/s2，下列分析正确的是（ ）
A．自由下落的小球第1s内的位移为5m
B．竖直上抛的小球从抛出至上升到最高点的时间为8s
C．两小球第一次相遇时刻为t=8.625s
D．竖直上抛的小球上升的最大高度为40m
1．如图为我国跳高运动员张国伟某次比赛中的瞬间，他曾经最好的成绩是2.38米，此时重心升高约为1.2米。请估算他起跳离地时，竖直向上速度最接近的数值为（　　）
A．3m/s B．4m/s C．5m/s D．6m/s
2．“眼疾手快”玩具可用来锻炼人的反应能力。如图所示，该玩具的圆棒长度为0.4m，游戏者将手放在棒的正下方，手离棒下端的距离h为0.8m。现让棒自由下落，不计空气阻力，重力加速度g取。若从棒由静止释放开始计时，则游戏者能抓住棒的时刻可能是（　　）
A．0.25s B．0.35s C．0.45s D．0.55s
3．热气球匀速升空过程中，乘客手中的苹果不慎滑落，忽略一切阻力。苹果从脱手到落地过程中，位移随时间和速度随时间的关系图像正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．为研究自由落体运动，从某砖墙前的高处由静止释放一个石子，让其自由落下，拍摄到石子下落过程中的照片如图所示。由于石子的运动，它在照片上留下了一条模糊的径迹，已知每层砖的平均厚度为6.0cm，这个照相机的曝光时间为，则拍摄到的石子位置A距石子下落的起始位置的距离约为（　　）
A．1.25m B．2.5m C．5.0m D．7.5m
5．如图所示，某同学正在从1楼乘坐电梯去13楼，上升过程中他将手中的小球多次以相同的初速度（相对于电梯）竖直向上抛出（未撞击到天花板），每次小球均落回到手中（抛出点），抛出点相对于电梯的位置可认为不变。其中有三次分别在电梯匀加速、匀速和匀减速运动过程中抛出，小球这三次在空中运动的时间分别记作和，空气阻力忽略不计，小球每次抛出至落回抛出点的过程中电梯的运动规律不变，下列关系中正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．2026年春节晚会上表演武术的机器人引起轰动，宇树科技在测试人形机器人的反应和肢体协调能力的训练过程中，机器人沿竖直方向将石子从A处由静止匀加速到B处后松手，石子由于惯性继续向上运动。同时机器人去捡地面石子并恰好在A处接住石子。已知A离地0.10m，B离地0.60m，从松手到接住的时间为0.5s，A处运动到B处可视为匀加速直线运动，不计空气阻力，重力加速度g取。则石子从A处运动B处的加速度为（　　）
A． B． C． D．
7．在地质、地震、勘探、气象和地球物理等领域的研究中，需要重力加速度g的精确值，这可由实验精确测得。近年来测g值的一种方法叫“对称自由下落法”，它是将测g转变为测量长度和时间，具体做法：如图所示，将真空长直管沿竖直方向放置，自其中O点竖直上抛小球，测得小球从离开O点到落回O点所用的时间为，小球在运动过程中经过比O点高H的P点，小球从离开P点到落回P点所用的时间为，则g等于（　　）
A． B． C． D．
8．2025年11月28日，华为Mate80系列正式发售，其配置第二代昆仑玻璃，耐摔程度比普通玻璃提升20倍。如图所示，某数码博主对该款手机进行防摔测试，将手机屏朝下，从距离水平木地板1.25 m高处由静止释放，撞击后竖直向上弹起的高度为．手机完好无损。已知该手机质量为，从开始下落至第一次反弹到最大高度所用时间共，全程手机屏始终与木地板平行，不计空气阻力，重力加速度取，取竖直向下为正方向。从开始下落至第一次反弹到最大高度的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．手机从释放到落地前的平均速度大小为
B．手机与木地板撞击过程所用时间为
C．手机前内和后内的位移大小之比为
D．手机全过程的路程为
9．一物体从某星球表面竖直向上抛出（不计气体阻力）时的图像如图所示，顶点坐标为（5s，20m），则（ ）
A．该星球表面的重力加速度为
B．该物体上升的时间为
C．和时速度相同
D．该物体时速度大小为
10．科技馆中的一个展品如图所示，在较暗处有一个不断均匀滴水的水龙头，在一种特殊的间歇闪光灯的照射下，若调节间歇闪光间隔时间正好与水滴从下落到的时间相同，可以看到一种奇特的现象，水滴似乎不再下落，而是像固定在图中的、、、四个位置不动，对出现的这种现象，下列描述正确的是（ ）
A．水滴在下落过程中通过相邻两点之间的时间满足
B．闪光的间隔时间是
C．水滴在相邻两点间的平均速度满足
D．水滴在各点的速度之比满足
11．时刻从某点竖直上抛一个小球，用一台固定相机每隔时间拍一张照片（不计曝光时间），、、、时刻的照片从左向右排列如图所示，不计空气阻力，重力加速度为g，则小球的初速度为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】小球竖直上抛，以抛出点为原点，向上为正，位移公式
由上式，竖直上抛运动存在对称性，上升和下降阶段中，同一高度对应的两个时刻关于最高点时刻对称。因此和的中点即为到达最高点的时刻，即
到达最高点时速度为零，故
故选B。
12．（多选）如图所示，制作一把“人的反应时间测量尺”。A同学用两个手指捏住一把长50cm的直尺的顶端，B同学用一只手在直尺0刻度位置做捏住直尺的准备，但手不碰到直尺。在A同学放开手指让直尺下落时，B同学立刻捏住直尺。读出B同学捏住直尺的刻度，就是直尺下落的高度，根据自由落体公式算出直尺下落的时间就是B同学的反应时间。已知重力加速度g取，则（　　）
A．若将该直尺的刻度改造成“反应时间”，则其刻度均匀的
B．若某同学的反应时间约为0.4s，则不可以用该直尺测量该同学的反应时间
C．测量时，B同学把手放在零刻线下少许的位置，测量的反应时间大于真实的反应时间
D．若A同学松开直尺时误给直尺向下的初速度，则测量的反应时间偏大
13．（多选）为了估测楼房的高度，一同学将一石块从楼顶自由落下，不计空气阻力，只要测出下列哪个物理量就可算出楼房的高度（　　）
A．石块下落到地面的时间
B．石块下落一半时间所走的位移
C．石块下落最后一秒所走的位移
D．石块下落第一秒所走的位移
14．图甲为意大利著名建筑物比萨斜塔，相传伽利略在此做过自由落体实验。如图乙所示，现将两个小铁球P和Q用长L=6.2m不可伸长的轻绳连接，从与比萨斜塔的塔顶等高的A处将悬吊Q球的P球由静止释放，测得Q球落地的时间t=3s，忽略空气阻力，g取10m/s2，可能用到3.22=10.24，求：
(1)开始下落时，PQ连接体的加速度大小；
(2)比萨斜塔的高度H；
(3)P、Q球落地的时间差△t。
15．如图所示是某供电公司的一名工作人员在高空进行野外电缆线维护。工作人员不慎将手中的一个物体脱落，若物体从静止开始下落，下落总时间为，不计空气阻力。g取。求：
(1)物体下落的高度是多少？
(2)物体在前2s内的平均速度是多少？
(3)物体在最后1s内下落的高度是多少？
16．屋檐边缘每隔相同时间有一滴水滴落下。若某一滴水共用时2s落到地面，恰好有另一滴水离开房檐开始下落，并且空中还有另外两滴水滴正在下落，取g=10m/s2.求：
(1)此屋檐的离地高度；
(2)此时空中两滴水相距多远。
17．小球从离水平地面高度为的某处以一定初速度竖直上抛，不考虑空气阻力，小球上升至最高点后自由下落，第一次碰到地面前瞬间的速度大小是抛出时的两倍。小球和地面碰撞后再次反弹，小球每次反弹速度的大小为碰前速度大小的一半，重复若干次后停在地面上，重力加速度为。已知等比数列求和公式为，求：
(1)小球抛出时的初速度大小；
(2)小球从抛出到停在地面上所走过的全部路程。
01 核心知识
02 模型归纳
03 模型突破
04 综合素养提升
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