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第2章《一元二次方程》培优卷2026-2027学年上学期苏科版九年级数学上册（解析版）
全卷共三大题，24小题，满分为120分．
第一部分 选择题
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题只有一项是符合题目要求的．
1．若是一元二次方程，则m的值为（ ）
A． B．3 C． D．9
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义，未知数的最高次数为2，且二次项系数不为0．
【详解】解：∵方程为一元二次方程，
，
解得：，
故选：A．
2．若关于x的一元二次方程x2+2x﹣m＝0的一个根是x＝1，则m的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x＝1代入方程得1+2﹣m＝0，然后解关于m的一次方程即可．
【详解】解：把x＝1代入x2+2x﹣m＝0得1+2﹣m＝0，解得m＝3．
故选：C．
3．下列关于的方程中，一定有实数根的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据一元二次方程根的判别式进行计算即可求解．
【详解】解：A. ，
∴原方程没有实数根，故该选项不符合题意；
B. ，
∴原方程没有实数根，故该选项不符合题意；
C. ，，当时，，
∴原方程没有实数根，故该选项不符合题意；
D. ，，
∴原方程有实数根，故该选项符合题意．
故选：D．
4．用配方法解方程，配方后的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了配方法解一元二次方程．熟练掌握配方法解一元二次方程是解题的关键．
根据配方法解一元二次方程求解作答即可．
【详解】解：，
，
，
，
故选：A．
5．已知，是方程的两个根，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了根与系数的关系，根据根与系数的关系得，，然后再整体代入即可解答．
【详解】解：∵，是方程的两个根，
∴，，
∴，
故选D．
6．一元二次方程 的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．只有一个实数根
【答案】B
【分析】本题考查一元二次方程根的情况与判别式的关系，，一元二次方程有两个不相等的实数根；，一元二次方程有两个相等的实数根；，一元二次方程无实数根，熟练掌握此知识点是解决问题的关键．
根据一元二次方程根的情况与判别式的关系，求出一元二次方程的判别式，确定有两个相等的实数根即可得到答案．
【详解】解：，
，，
，
一元二次方程有两个相等的实数根，
故选：B．
7.一种药品经两次降价，由每盒50元调至40.5元，平均每次降价的百分率是（ ）
A．5% B．10% C．15% D．20%
【答案】B
【详解】设平均降价的百分率为x，
根据题意可得，50（1－x）2=40.5，
解得：x=0.1或1.9，x=1.9（不符合题意，舍去），
所以x=0.1=10％.
故选B.
关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是（ ）
A． B．且 C．且 D．
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根的判别式的运用，根据一元二次方程的定义可得，根据方程有两个不相等的实数根，可得，由此即可求解．
【详解】解：的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
且．
故选：C．
如图1，有一张长、宽的矩形硬纸片，裁去角上2个小正方形和2个小矩形
（图中阴影部分）之后，恰好折成如图2所示的有盖纸盒．若纸盒的底面积是，
则纸盒的高为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设当纸盒的高为时，纸盒的底面积是，根据长方形的面积公式结合纸盒的底面积是，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【详解】解：设当纸盒的高为时，纸盒的底面积是，
依题意，得：，
化简，得：，
解得：，．
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意，舍去，
答：纸盒的底面积是时，纸盒的高为．
故选：B．
关于的一元二次方程的新定义：若关于的一元二次方程：与，
称为“同族二次方程”如与就是“同族二次方程”
现有关于的一元二次方程：与是“同族二次方程”
那么代数式能取的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了配方法的应用以及一元二次方程的定义，利用“同族二次方程”定义列出关系式，再利用多项式相等的条件列出关于a与b的方程组，求出方程组的解得到a与b的值，进而利用非负数的性质确定出代数式的最大值即可．
【详解】解：与是“同族二次方程”，
，
，解得：，
，
代数式取的最大值是，
故选：A．
第二部分 非选择题
二、填空题：本大题共6个小题．每小题3分，共18分．把答案填在答题卡的横线上．
11.方程的根是__________．
【答案】，
【详解】解∶∵，
∴或，
解得，．
12．若关于的方程有两个相等的实数根，则实数的值为__________．
【答案】
【分析】根据方程有两个相等的实数根，得到根的判别式的值为，列方程求解即可得到的值.
【详解】解：对于一元二次方程，二次项系数为，一次项系数为，常数项为，
∵方程有两个相等的实数根，
∴根的判别式，
整理得，
解得.
13．若，为一元二次方程的两个根，则的值为__________．
【答案】
【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为，则，．
【详解】解：若，为一元二次方程的两个根，
，
，
故答案为：．
14．若是关于x的一元二次方程的一个根，则的值是________．
【答案】
【分析】利用方程的根满足原方程，将已知根代入方程得到与的关系式，再整理后代入所求代数式计算即可．
【详解】解：将代入得，
整理得，
等式两边同除以得，
移项得，
变形得，
因此．
某奶茶店销售一款招牌奶茶，每杯成本为5元．当售价为15元/杯时，平均每天能售出300杯．
市场调查发现，售价每降价1元，平均每天就能多售出50杯．店主希望扩大销量，提高知名度，
且使每天的销售利润仍保持在3000元，则每杯奶茶应降价____________元．
【答案】
【分析】设出每杯奶茶的降价金额，结合已知条件表示出每杯利润和每日销售量，根据总利润每杯利润销售量列方程求解，再根据扩大销量的要求选择符合题意的解即可.
【详解】解：设每杯奶茶应降价元，
由题意得：，
解得，；
∵店主希望扩大销量，降价越多销量越高，
∴舍去，取，
答：每杯奶茶应降价元.
在中，，，，点M从点A开始向点B以的速度运动，
同时，点N从点B开始向点C以的速度运动，当点N运动到点C后停止，点M也随之停止运动．
若使的面积为，则点M运动的时间是________．
【答案】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据题意得，，根据题意列出一元二次方程解题即可．
【详解】解：，，
当运动时间为时，，
则，
根据题意可得，
即，
整理得：，
解得（舍去），
则当的面积是时，点M运动的时间是．
故答案为：．
三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．解下列一元二次方程：
（1）3x（x﹣2）＝x﹣2；
（2）2x2﹣5x+3＝0．
【答案】（1）x1＝2，x2＝；（2）x1＝，x2＝1
【分析】（1）移项，提取公因式分解因式，转化为两个式子的积是0的形式，从而转化为两个一元一次方程求解；
（2）分解因式，转化为两个式子的积是0的形式，从而转化为两个一元一次方程求解．
【详解】解：（1）3x（x﹣2）=x﹣2，
3x（x﹣2）﹣（x﹣2）=0，
（x﹣2）（3x﹣1）=0，
∴x﹣2=0或3x﹣1=0，
∴x1=2，x2=；
（2）2x2﹣5x+3＝0，
（2x﹣3）（x﹣1）＝0，
∴2x﹣3＝0或x﹣1＝0，
∴x1＝，x2＝1．
18．目前，新能源汽车越来越受消费者青睐，据某市某品牌新能源汽车经销商至月份统计，
该品牌新能源汽车月份销售辆，月份销售辆．求该品牌新能源汽车销售量的月均增长率．
【答案】该品牌新能源汽车销售量的月均增长率为
【分析】设该品牌新能源汽车销售量的月均增长率为，根据该品牌新能源汽车月份销售辆，月份销售辆，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】解：设该品牌新能源汽车销售量的月均增长率为，
依题意得：，
解得：，不符合题意，舍去．
答：该品牌新能源汽车销售量的月均增长率为．
19．已知一元二次方程
(1) 若方程的一个根为，则的值为______．
(2) 若方程有相等的实数根，求a的值．
【答案】(1)0
(2)5
【分析】本题考查了一元二次方程的根与根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根的判别式与根的关系，注意二次项系数的取值情况是解答本题的关键．
（1）将代入一元二次方程，求出的值，然后代值求解即可；
（2）根据“方程有相等的实数根”可得，再结合二次项系数，即可求出的值．
【详解】（1）解：方程的一个根为，
，
解得：，
∴；
（2）解：根据题意，可得且，
解得：．
某商场“国庆”期间销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，
增加盈利，尽快减少库存，商场采取了降价措施，假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，
商场平均每天可多售出2件．
如果衬衫的单价降了15元，求降价后商场销售这批衬衫每天盈利多少元；
如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利1200元，那么衬衫的单价降了多少元？
【答案】(1)1250元
(2)20元
【分析】（1）根据题意“每天可售出20件”和“假设在一定的范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件”，得到答案；
（2）设衬衫的单价降了x元．根据题意等量关系：降价后的销量×每件的利润，根据等量关系列出方程即可．
【详解】（1）当单价降了15元时，盈利为(元)，
答：这批衬衫每天盈利1250元．
（2）设衬衫的单价降了x元．由题意得：
，
解得：，，
要尽快减少库存，
，
答：衬衫的单价降了20元．
21．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
(1) 求的取值范围．
(2) 设、是方程的两根，且，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了一元二次方程的根的情况与判别式的关系、及根与系数的关系及解一元二次方程等知识点，熟练掌握一元二次方程的相关知识是解题的关键．
（1）由一元二次方程的根的情况与判别式的关系可得，由此可解得的值．
（2）根与系数的关系及已知条件可得关于的一元二次方程，解得的值并根据（1）中的所得的的取值范围作出取舍即可得出答案．
【详解】（1）解：根据题意得：
，
解得：．
的取值范围是．
（2）解：根据题意得：，，
，
，
，
解得：，（不合题意，舍去），
的值是．
22．某宾馆有40个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为200元时，房间会全部住满：
当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，如果游客居住房间，
宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．
若每个房间定价增加30元，则这个宾馆这一天的利润为多少元？
若宾馆某一天获利8400元，则房价定为多少元？
【答案】(1)元
(2)房价定为300元或320元．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，有理数的混合运算，解题的关键是理解题意找到题目蕴含的相等关系，列出方程．
（1）根据利润房价的净利润入住的房间数可得；
（2）设每个房间的定价为a元，根据以上关系式列出方程求解可得．
【详解】（1）若每个房间定价增加30元，则这个宾馆这一天的利润为：
（元）；
（2）设每个房间的定价为a元，
根据题意，得：，
解得：或．
答：若宾馆某一天获利8400元，则房价定为300元或320元．
如果关于x的一元二次方程有两个实数根，
其中一个实数根是另一个实数根的2倍，那么称这样的方程是“倍根方程”，
例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“倍根方程”．
通过计算，判断是否是“倍根方程”．
若关于x的方程；是“倍根方程”，求代数式的值；
已知关于x的一元二次方程（是常数）是“倍根方程”，请直接写出m的值．
【答案】(1)是，理由见解析
(2)或
(3)或
【分析】本题考查了解一元二次方程，代数式求值，一元二次方程根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时，，，也考查了阅读理解能力．
（1）利用因式分解法解方程得到，然后根据新定义进行判断；
（2）利用因式分解法解方程得到，再根据新定义解得或，然后把或代入所求的代数式中运算即可；
（3）设方程的根的两根分别为，根据根与系数的关系得，然后求出α，再计算对应的m的值．
【详解】（1）解：，
，
或，
所以，
则方程是“倍根方程”；
（2）解：，
或，
解得，
∵是“倍根方程”，
∴或，
当时，；
当时，，
综上所述，代数式的值为26或5；
（3）解：根据题意，设方程的两根分别为，
根据根与系数的关系得 ，
解得或，
∴m的值为或．
如图，在长方形中，，，点从点出发沿边以的速度移动，
同时点从点出发沿边以的速度移动，当点运动到点时，，两点都停止运动，
设运动的时间为．
_____cm，________cm（用含的代数式表示）
当为何值时，的长度等于？
若点沿射线方向从A点出发以的速度移动，
点 Q沿射线方向从 C 点出发以的速度移动，同时出发，是否存在t，
使得三角形 的面积等于；若存在，请求出t；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)
(3)或
【分析】（1）根据点从点开始沿边向终点以的速度移动，可以求得；
（2）用含的代数式分别表示和的值，运用勾股定理求得为据此求出值；
（3）分、、三种情况进行讨论，结合三角形面积公式列方程求解即可．
【详解】（1）解：根据题意可知：，，
∵，
∴；
（2）解：由题意得：，
解得：（舍去），；
当时，的长度等于；
（3）解：存在，
根据题意可知，，，
①当时，，
，
整理得：，解得或（舍去）；
②当时，，
，
整理得：，
，方程无解；
③当时，，
，
整理得：，解得（舍去）或；
综上，当或时，三角形的面积等于．
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第2章《一元二次方程》培优卷2026-2027学年上学期苏科版九年级数学上册
全卷共三大题，24小题，满分为120分．
第一部分 选择题
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题只有一项是符合题目要求的．
1．若是一元二次方程，则m的值为（ ）
A． B．3 C． D．9
2．若关于x的一元二次方程x2+2x﹣m＝0的一个根是x＝1，则m的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．下列关于的方程中，一定有实数根的方程是（ ）
A． B．
C． D．
4．用配方法解方程，配方后的方程是（ ）
A． B． C． D．
5．已知，是方程的两个根，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．一元二次方程 的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．只有一个实数根
7.一种药品经两次降价，由每盒50元调至40.5元，平均每次降价的百分率是（ ）
A．5% B．10% C．15% D．20%
关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是（ ）
A． B．且 C．且 D．
如图1，有一张长、宽的矩形硬纸片，裁去角上2个小正方形和2个小矩形
（图中阴影部分）之后，恰好折成如图2所示的有盖纸盒．若纸盒的底面积是，
则纸盒的高为（ ）
A． B． C． D．
关于的一元二次方程的新定义：若关于的一元二次方程：与，
称为“同族二次方程”如与就是“同族二次方程”
现有关于的一元二次方程：与是“同族二次方程”
那么代数式能取的最小值是（ ）
A． B． C． D．
第二部分 非选择题
二、填空题：本大题共6个小题．每小题3分，共18分．把答案填在答题卡的横线上．
11.方程的根是__________．
12．若关于的方程有两个相等的实数根，则实数的值为__________．
13．若，为一元二次方程的两个根，则的值为__________．
14．若是关于x的一元二次方程的一个根，则的值是________．
某奶茶店销售一款招牌奶茶，每杯成本为5元．当售价为15元/杯时，平均每天能售出300杯．
市场调查发现，售价每降价1元，平均每天就能多售出50杯．店主希望扩大销量，提高知名度，
且使每天的销售利润仍保持在3000元，则每杯奶茶应降价____________元．
在中，，，，点M从点A开始向点B以的速度运动，
同时，点N从点B开始向点C以的速度运动，当点N运动到点C后停止，点M也随之停止运动．
若使的面积为，则点M运动的时间是________．
三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．解下列一元二次方程：
（1）3x（x﹣2）＝x﹣2；
（2）2x2﹣5x+3＝0．
18．目前，新能源汽车越来越受消费者青睐，据某市某品牌新能源汽车经销商至月份统计，
该品牌新能源汽车月份销售辆，月份销售辆．求该品牌新能源汽车销售量的月均增长率．
19．已知一元二次方程
(1) 若方程的一个根为，则的值为______．
(2) 若方程有相等的实数根，求a的值．
某商场“国庆”期间销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，
增加盈利，尽快减少库存，商场采取了降价措施，假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，
商场平均每天可多售出2件．
如果衬衫的单价降了15元，求降价后商场销售这批衬衫每天盈利多少元；
如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利1200元，那么衬衫的单价降了多少元？
21．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
(1) 求的取值范围．
(2) 设、是方程的两根，且，求的值．
22．某宾馆有40个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为200元时，房间会全部住满：
当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，如果游客居住房间，
宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．
若每个房间定价增加30元，则这个宾馆这一天的利润为多少元？
若宾馆某一天获利8400元，则房价定为多少元？
如果关于x的一元二次方程有两个实数根，
其中一个实数根是另一个实数根的2倍，那么称这样的方程是“倍根方程”，
例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“倍根方程”．
通过计算，判断是否是“倍根方程”．
若关于x的方程；是“倍根方程”，求代数式的值；
已知关于x的一元二次方程（是常数）是“倍根方程”，请直接写出m的值．
如图，在长方形中，，，点从点出发沿边以的速度移动，
同时点从点出发沿边以的速度移动，当点运动到点时，，两点都停止运动，
设运动的时间为．
_____cm，________cm（用含的代数式表示）
当为何值时，的长度等于？
若点沿射线方向从A点出发以的速度移动，
点 Q沿射线方向从 C 点出发以的速度移动，同时出发，是否存在t，
使得三角形 的面积等于；若存在，请求出t；若不存在，请说明理由．
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