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2025-2026学年河北省石家庄市桥西区七年级（下）期末数学试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.计算a2 a3的结果是（　　）
A. 5a B. 6a C. a6 D. a5
2.“这么近，那么美，周末到河北”，据统计，某周末河北省共接待游客约3370000人.数据3370000用科学记数法表示为（　　）
A. 3.37×106 B. 3.37×107 C. 3.37×108 D. 3.37×109
3.能说明命题“若x2＞9，则x＞3”是假命题的一个反例是（　　）
A. x=4 B. x=-4 C. x=1 D. x=-1
4.如图，取两根木条，将它们钉在一起，得到一个相交线的模型.转动木条，当∠1增大10°时，则下列说法正确的是（　　）
A. ∠4增大10° B. ∠3减小10° C. ∠2减小10° D. ∠2与∠4的和不变
5.下列各式从左到右的变形是因式分解的是（　　）
A. （a+1）（a-1）=a2-1 B. a2-6a+9=（a-3）2
C. -18a4b3=-6a2b2 3a2b D. a2+2a+1=a（a+2）+1
6.某等腰三角形的两边长分别为3，6，则这个等腰三角形的周长是（　　）
A. 12 B. 15 C. 12或15 D. 不能确定
7.如图，BD是△ABC的中线，点E，F分别为BD，CE的中点，若△AFC的面积为3，则△ABC的面积为（　　）
A. 6
B. 9
C. 10
D. 12
8.如图，将周长为15cm的△ABC沿BC方向平移1cm得△DEF，连接AD，则四边形ABFD的周长为（　　）
A. 16cm
B. 17cm
C. 18cm
D. 19cm
9.下列命题是真命题的是（　　）
A. 有公共顶点且相等的角是对顶角
B. 直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离
C. 过一点有且只有一条直线与已知直线平行
D. 锐角三角形的三条高一定交于同一点
10.某校准备举办知识竞赛，计划用160元购买定价分别为16元/件、24元/件的A，B两种奖品奖励获胜者，若恰好花完，则不同的购买方案（两种奖品均需购买）有（　　）
A. 3种 B. 4种 C. 5种 D. 6种
11.若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是（　　）
A. a≤-3 B. a＞-3 C. -3＜a≤2 D. -1≤a＜3
12.如图，BD，CD分别是△ABC的内角∠ABC和外角∠ACF的平分线，BD交AC于点O，且AB∥CD，CE平分∠ACB交BD于点E，连接AD.则下列说法正确的个数是（　　）
①；
②∠BEC=90°+∠ABD；
③∠CAB=∠CBA；
④∠BAC+∠BDC=∠BOC.
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.分解因式：2a2-18= ．
14.= .
15.如图，DE⊥AB，∠A=30°，∠D=55°，则∠ACB的度数为 .
16.在△ABC中，AD是BC边上的高，若BC=5，BD=2，AD=6，则△ACD的面积为 .
三、计算题：本大题共4小题，共34分。
17.（1）计算；
（2）解方程组.
18.先化简，再求值：（x-2）2-x（x+2），其中x=1.
19.解不等式组，并写出该不等式组的整数解.
20.某电器超市共采购A，B两种型号的电风扇60台，每台进价分别为160元、120元，下表是近两周的销售情况（进价、售价均保持不变，利润=销售收入-进货成本）：
销售时段 销售数量/台 销售收入/元
A型 B型
第一周 3 4 1200
第二周 5 8 2200
（1）求A，B两种型号的电风扇的销售单价；
（2）若超市销售完这60台电风扇的利润不少于2160元，则至少采购A种型号的电风扇多少台？
四、解答题：本题共4小题，共38分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.(本小题8分)
如图，在四边形ABCD中，点E在BC边上，点F在DC边上，连接BD，EF.
已知EF⊥CD，BD⊥CD，∠ADB=∠FEC.求证：AD∥BC.
补全下列证明过程：
证明：∵EF⊥CD，BD⊥CD，
∴∠BDC=90°，∠EFC=90°（______①）.
∴∠BDC=∠EFC.
∴EF∥BD（______②）.
∴∠FEC=______③.
∵∠FEC=∠ADB，
∴∠ADB=∠DBC（______④），
∴AD∥BC.
22.(本小题9分)
现有Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ三种型号的卡片各若干张，如图1所示，Ⅰ型卡片是边长为a的正方形，Ⅱ型卡片是边长为b的正方形，Ⅲ型卡片是宽为a,长为b的长方形（a＜b）.
（1）取1张Ⅰ型卡片，1张Ⅱ型卡片，2张Ⅲ型卡片，可拼成一个大正方形，则该正方形的边长为______；
（2）如果用若干张Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ三种型号的卡片拼成一个长、宽分别为（3a+2b）和（2a+5b）的长方形，则需要Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ三种型号卡片共______张.
（3）将I，Ⅱ和Ⅲ卡片摆放成如图2所示的长方形ABCD（不重叠，无缝隙），其中长方形ABCD的周长为30，空白部分的面积为20，求图2中阴影部分的面积.
23.(本小题9分)
定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的2倍，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”.例如：在△ABC中，如果∠A=80°，∠B=40°，那么∠A与∠B互为“友爱角”，△ABC为“友爱三角形”.
（1）如图1，△ABC是“友爱三角形”，且∠A与∠B互为“友爱角”（∠A＞∠B），∠ACB=90°.
①∠A= ______°，∠B= ______°；
②若CD是△ABC的高，则△BCD是“友爱三角形”吗？为什么？
（2）如图2，在△ABC中，∠ACB=70°，∠A=66°，D是边AB上一点（不与点A，B重合），连接CD，若△ACD是“友爱三角形”，直接写出∠ACD的度数.
24.(本小题12分)
实践与探究
材料：将一副直角三角尺分别记作三角尺ABC和三角尺DEF，其中∠ACB=∠EFD=90°，∠BAC=30°，∠DEF=45°.
（1）操作一：将两个三角尺按如图1所示的方式摆放，其中点C，D，A，F在同一条直线上，另两条直角边所在的直线分别为MN，PQ，AB与DE相交于点O，则∠BOE的度数为______°；
（2）操作二：保持MN，PQ不变，将图1中的两个三角尺旋转到如图2所示的位置，其中点B在MN上，点F在PQ上，点A与点E重合，点C与点D重合.若∠NBC=6∠PFA，求∠PFA的度数；
（3）操作三：如图3，将图1中的三角尺ABC绕点B以每秒1°的速度顺时针旋转，同时三角尺DEF绕点F以每秒4°的速度顺时针旋转，设运动时间为t秒.当0≤t≤90时，若线段AB与三角尺DEF的一条直角边（边EF或DF）平行，请直接写出所有满足条件的t的值.
1.【答案】D
2.【答案】A
3.【答案】B
4.【答案】C
5.【答案】B
6.【答案】B
7.【答案】D
8.【答案】B
9.【答案】D
10.【答案】A
11.【答案】A
12.【答案】A
13.【答案】2（a+3）（a-3）
14.【答案】-4
15.【答案】115°
16.【答案】21或9
17.【答案】-9

18.【答案】-6x+4，原式=-2．
19.【答案】2＜x＜3.5，该不等式组的整数解为3．
20.【答案】A种型号的电风扇的销售单价为200元，B种型号的电风扇的销售单价为150元
至少采购A种型号的电风扇36台
21.【答案】①垂直的定义；②同位角相等，两直线平行；③∠DBC；④等量代换．
22.【答案】a+b
35
34
23.【答案】①60；30；②△ BCD是“友爱三角形”，理由如下：
∵CD是△ABC的高，
∴CD⊥AB，
∴∠CDB=90°，
在Rt△BCD中，∠CDB=90°，
∴∠B+∠BCD=90°，
由①可知：∠B=30°，
∴∠BCD=90°-∠B=60°，
∴∠BCD=2∠B，
∴△BCD是“友爱三角形”
∠ACD的度数为33°或38°
24.【答案】105
∠PFA=9°
t的值为20秒或50秒或80秒
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