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2025-2026学年四川省眉山市仁寿县第一中学北校区高一（下）期末数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知复数z满足iz+1=2i,则|z|=（　　）
A. B. C. 4 D. 8
2.某校为了解同学们对“天宫课堂”这种授课模式的兴趣，决定利用分层抽样的方法从高一、高二、高三学生中选取：90人进行调查，已知该校高一年级学生有400人，高二年级学生有500人，高一年级学生有600人，则抽取的学生中，高一年级有（　　）
A. 40人 B. 36人 C. 30人 D. 24人
3.已知a,b是两条不同直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是（　　）
A. 若a⊥α，a⊥β，则α∥β B. 若a∥α，a∥β，则α∥β
C. 若a∥b,a∥α，则b∥α D. 若α⊥β，a∥α，则a⊥β
4.已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为（　　）
A. （-2，4） B. （-1，2） C. （4，-8） D. （2，-4）
5.如果数据x1、x2、…、xn的平均值为，方差为s2，则3x1+2、3x2+2、…、3xn+2的平均值和方差分别是（　　）
A. 和s2 B. 3+2和9s2 C. 3+2和3s2 D. 3+2和9s2+2
6.函数的一个对称中心是（　　）
A. B. C. D.
7.四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，且PA=AB=4，则直线PB与平面PAC所成角为（　　）
A. B. C. D.
8.在正四棱锥P-ABCD中，AB=PA=4，当过P，C，D三点的球的体积最小时，该球被平面ABCD所截截面的面积为（　　）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.有6个相同的球，分别编号1、2、3、4、5、6，从中先不放回的随机取两次，再将球全部放回随机取一次，以上每次抽取一个小球，记事件A：第一次取球编号数字小于3；B：第二次取球编号数字为偶数；C：第三次取球编号为6；D：前两次取球编号数字和为7；E：第一、三次取球编号数字至少有一个1.则下列说法正确的是（　　）
A. B. 事件A与事件C相互独立
C. 事件A与事件E相互独立 D. 事件A与事件B相互独立
10.如图，设Ox,Oy是平面内相交成60°的两条数轴，，分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量.若，则把有序数对（x,y）叫作向量在坐标系xOy中的坐标，记为.在该坐标系中，，，则（　　）
A.
B.
C.
D. 在上的投影向量为
11.如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，将△ADE，△BEF，△CDF分别沿DE，EF，DF折起，使A，B，C三点重合于点A1，得到三棱锥A1-DEF下列关于该三棱锥的说法正确的有（　　）
A. A1D⊥EF
B. 点A1到平面DEF的距离为
C. 三棱锥A1-DEF的外接球的体积为
D. 点G，H分别是DE，DF上的动点，则△A1GH周长的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某市在2026高考模拟测试评卷中，实行双评加抽样三评的评卷方法.已知收到有效的数学答卷为5万份，有效的物理答卷为3万份，有效的化学答卷为2.5万份.若双评后利用分层抽样的方法抽取210份样卷进行三评，则应抽取数学样卷的份数为 .
13.定义：向量叫向量与的外积，且的模为（其中表示向量与的夹角）.已知点A（0，1），B（2，0），C（3，2），则= .
14.数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，“勒洛四面体”就是其中之一．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分．如图，在勒洛四面体中，正四面体ABCD的棱长为4，则该勒洛四面体内切球的半径是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
设复数z=1+mi（m∈R）.
（1）若（2-i）z是实数，求m的值；
（2）若是纯虚数，求复数z的共轭复数.
16.(本小题15分)
某研究机构为了了解各年龄层对高考改革方案的关注程度，随机选取了200名年龄在[20，45]内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图（分第一～六组区间分别为[20，25），[25，30），[30，35），[35，40），[40，45），[40，45]）.
（1）求选取的市民年龄在[40，45]内的人数及a的值；
（2）利用频率分布直方图，估计200名市民的年龄的平均数和第80百分位数；
（3）若从第3，4组用分层抽样的方法选取5名市民进行座谈，再从中选取2人在座谈会中作重点发言，求作重点发言的市民中至少有一人的年龄在[35，40）内的概率.
17.(本小题15分)
已知向量，若，与的夹角为.
（1）求；
（2）求与夹角的余弦值.
18.(本小题17分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c,已知向量=（sinA，sinB），=（cosB，cosA），且 =sin2C.
（1）求角C的大小；
（2）若△ABC为锐角三角形，，求a+b的取值范围；
（3）设△ABC的面积为，AB边上的中线CD长为2，求c的长.
19.(本小题17分)
已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=1，AB=2，M是PB的中点.
（1）证明：BC⊥平面PAC；
（2）判断直线CM与平面PAD的位置关系，并证明你的结论；
（3）求二面角A-MC-B的余弦值.
1.【答案】A
2.【答案】D
3.【答案】A
4.【答案】B
5.【答案】B
6.【答案】B
7.【答案】A
8.【答案】B
9.【答案】ABD
10.【答案】ABD
11.【答案】ACD
12.【答案】100
13.【答案】5
14.【答案】
15.【答案】；
1+ i．
16.【答案】20，a=0.06 平均数为32.25，第80百分位数为37.5
17.【答案】；
．
18.【答案】
19.【答案】证明：（1）由PA⊥底面ABCD，BC 底面ABCD，则PA⊥BC，
在直角梯形ABCD中，因为AD=CD=1，∠DAB=90°，AB=2，
所以AC=，BC=，
所以AB2=AC2+BC2，则AC⊥BC，
又PA AC=A，PA，AC 平面PAC，
所以BC⊥平面PAC；
解：（2）CM∥平面PAD，证明如下：
如图：
取PA中点E，连接ME，DE，由于M是PB的中点，故ME∥AB，且ME=1，
由AB∥DC，则ME∥DC，且ME=DC，
从而四边形CDEM是平行四边形，故CM∥DE，
又CM 平面PAD，DE 平面PAD，所以CM∥平面PAD；
（3）作AN⊥CN，垂足为N，连接BN，如图：
在Rt△PAB中，AM=MB，又AC=CB，所以△AMC≌△BMC，可得AN=BN，
则△AMN≌△BMN，故BN⊥CM，故∠ANB为所求二面角的平面角，
由（1）知BC⊥平面PAC，由PC 平面PAC，可得BC⊥PC，
在Rt△PCB中，CM=MB，所以，
在等腰三角形AMC中，，所以，
因为AB=2，在△ANB中，由余弦定理得，
所以二面角的余弦值为．
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