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2025-2026学年甘肃省白银市靖远县第一中学高二（下）期末数学模拟试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c,已知，，b=5，则△ABC的面积为（　　）
A. B. C. D.
2.设两个复数集N={z|z=2cosθ+i（λ+3sinθ），θ∈R}，M={z|z=t+i（4-t2），t∈R}的交集为非空集合，则实数λ的取值范围是（　　）
A. [0，7] B. [1，7] C. [-，0] D. [-，7]
3.已知函数，则下列正确的是（　　）
A. f（x）最小正周期为2π
B. 是f（x）的一个对称中心
C. 将f（x）图象向右平移个单位长度后得到g（x）的图象，此时
D. 是f（x）的一个减区间
4.质数（primenumber）又称素数，一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，则这个数为质数.数学上把相差为2的两个素数叫做“孪生素数”，如：3和5，5和7， ，那么，如果我们在不超过30的自然数中，随机选取两个不同的数，记事件A：这两个数都是素数：事件B：这两个数不是孪生素数，则P（B|A）=（　　）
A. B. C. D.
5.已知函数f（x）=．若f（a）=f（b）（a＜b），则ab的最小值为（　　）
A. B. C. D.
6.已知F1、F2是双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的左右焦点，P是双曲线C上一点，且|PF1|+|PF2|=6a，△PF1F2的最小内角为30°，则双曲线C的离心率e为（　　）
A. B. 2 C. D.
7.已知点A（0，-1）是抛物线x2=2py的准线上一点，F为抛物线的焦点，P为抛物线上的点，且|PF|=m|PA|，若双曲线C中心在原点，F是它的一个焦点，且过P点，当m取最小值时，双曲线C的离心率为（　　）
A. B. C. D.
8.已知中心在原点的椭圆C的左焦点恰好为圆F：x2+y2+2x-3=0的圆心，有两顶点恰好是圆F与y轴的交点．若椭圆C上恰好存在两点关于直线y=x+t对称，则实数t的取值范围为（　　）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知函数，函数g（x）=b-f（2-x），其中b∈R，若函数y=f（x）-g（x）恰有2个零点，则b的值可以是（　　）
A. 1 B. C. 2 D. 3
10.双曲函数最初由17世纪数学家雅各布 伯努利提出：两端系于两个固定点的均匀绳索.在仅受其自身重力的作用下形成的曲线是什么曲线？他本人和伽利略起初都误认为是一条抛物线.但是，雅各布 伯努利随后通过不懈努力用微分方程推导出其曲线方程为：0），并称为悬链线.已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，g（x）是定义在R上的偶函数，且满足：f（x）+g（x）=ex，容易求得其中一个函数为最简单的悬链线方程，则（　　）
A. [g（x）]2-[f（x）]2=1
B. g（2x）=[g（x）]2+[f（x）]2
C. f（x-y）=f（x）f（y）-g（x）g（y）
D. g（x-y）=g（x）g（y）-f（x）f（y）
11.设数列{an}的前n项和为Sn，且，若S1=-50，则下列结论正确的有（　　）
A. a5＞0 B. 数列{an}单调递减
C. 当n=4时，Sn取得最小值 D. Sn＞0时，n的最小值为7
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知正实数m，n满足m+2n=1，则的最小值为______．
13.赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以直角三角形的斜边为边得到的正方形）.类比“赵爽弦图”，构造如图所示的图形，它是由三个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，且DF=AF，点P在AB上，BP=2AP，点Q是△DEF内（含边界）一点，若，则λ的最大值为 .
14.若函数f（x）=cos2x+asinx在区间[，]上的最小值大于零，则a的取值范围是______．
四、解答题：本题共6小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里C处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援（角度精确到1°）？
16.(本小题12分)
如图所示，棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，CD⊥AD，AB=4，CD=2，AD=PA=3，M为PA中点，.
（1）证明：B，C，M，N四点共面；
（2）求直线AC与平面BCNM所成线面角的正弦值.
17.(本小题12分)
某同学计划利用暑假时间到一家公司勤工俭学.该公司经理向他提供了三种付酬方案：第一种，每天支付38元；第二种，第1天付4元，从第2天起，每一天比前一天都多付4元；第三种，第1天付0.4元，以后每一天比前一天翻一番（即增加1倍）.
（1）假设该同学到商场勤工俭学的天数为n（n∈N*），An、Bn、Cn分别表示三种方案n天领取的报酬总和，求出An、Bn、Cn的表达式；
（2）请你帮他分析，选择哪种方式领取报酬更划算？
18.(本小题12分)
外形是双曲面的冷却塔具有众多优点，如自然通风和散热效果好，结构强度和抗变形能力强等，其设计原理涉及到物理学、建筑学等学科知识.如图1是中国华电集团的某个火力发电厂的一座冷却塔，它的外形可以看成是由一条双曲线的一部分绕着它的虚轴所在直线旋转而成，其轴截面如图2所示.已知下口圆面的直径为80米，上口圆面的直径为40米，高为90米，下口到最小直径圆面的距离为80米.
（1）求最小直径圆面的面积；
（2）双曲面也是直纹曲面，即可以看成是由一条直线绕另一条直线旋转而成，该直线叫做双曲面的直母线.过双曲面上的任意一点有且只有两条相交的直母线（如图3），对于任意一条直母线l，均存在一个轴截面和它平行，此轴截面截双曲面所得的双曲线有两条渐近线，且直母线l与其中一条平行.广州电视塔（昵称“小蛮腰”，如图4）就是根据这一理论设计的，极大地方便了建造、节约了成本（主钢梁在直母线上，钢筋不需要弯曲）.若图1中的冷却塔也采用直母线主钢梁，求主钢梁的长度（精确到0.01米，参考数据：）.
19.(本小题13分)
近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱.为调查居民垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中共计1000吨生活垃圾.经分拣以后数据统计如下表（单位：t）：
“厨余垃圾”箱 “可回收物”箱 “其他垃圾”箱
厨余垃圾 400 100 100
可回收物 30 240 30
其他垃圾 20 20 60
根据样本估计本市生活垃圾投放情况.
（1）厨余垃圾投放正确的经验概率是多少？
（2）居民生活垃圾投放错误的经验概率是多少？
（3）该市哪类垃圾箱中投放正确的经验概率最高？
20.(本小题16分)
已知函数f（x）=-2（x+a）lnx+x2-2ax-2a2+a,其中a＞0，求证：存在a∈（0，1），使得f（x）≥0在区间（1，+∞）上恒成立，且f（x）=0在区间（1，+∞）上有唯一解.
1.【答案】A
2.【答案】D
3.【答案】B
4.【答案】D
5.【答案】B
6.【答案】C
7.【答案】C
8.【答案】B
9.【答案】BD
10.【答案】ABD
11.【答案】AC
12.【答案】17
13.【答案】
14.【答案】（1，+∞）
15.【答案】解：连接BC，
由余弦定理得
BC2=202+102-2×20×10cos120°=700．
于是，BC=10，
∵，
∴sin∠ACB=，
∵∠ACB＜90°，
∴∠ACB=41°，
∴乙船应朝北偏东71°方向沿直线前往B处救援．
16.【答案】因为PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，
所以以A为原点，AB为x轴正方向，AD为y轴正方向，AP为z轴正方向，建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），B（4，0，0），C（2，3，0），D（0，3，0），P（0，0，3），，N（0，2，1）．
设BC与y轴交于S（0，t1，0），MN与y轴交于T（0，t2，0），
因为与共线，与共线，所以t2=6，
所以直线BC与直线MN相交，则B，C，M，N四点共面

17.【答案】
当1≤n≤9，n∈N*时，选方案一；当n≥10，n∈N*时，选方案三（答案不唯一）
18.【答案】解：（1）由图2建系可设截面双曲线的方程为，
它过点（20，10）及（40，-80），
∴，解得，
∴最小直径圆面的面积为；
（2）由（1）可知，渐近线的斜率k=，
由题意知，母线平行于渐近线且高为90，
则沿x轴方向的长为，
∴主钢梁的长度为≈150×0.655=98.25m．
19.【答案】
“厨余垃圾”箱
20.【答案】=ln2-1＜0，h（e）=e2-2e＞0，所以x0∈（2，e）．因为，所以a∈（0，1-ln2），得证
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