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2025-2026学年浙江省丽水市庆元中学高一（下）期末数学模拟试卷（3）
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知i为虚数单位，满足（1+i）z=1-2i,则在复平面上对应的点在（　　）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.sin 110° cos40°-cos70° sin40°=（　　）
A. B. C. D.
3.高一某班有56名学生，其中男生24人，女生32人.按性别进行分层，用分层随机抽样的方法，从该班学生中抽取14人参加跳绳比赛，如果样本按比例分配，则应抽取的男生人数为（　　）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
4.设m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列说法正确的是（　　）
A. 若m α，n β，α∥β，则m∥n B. 若α∩β=n,m∥n,m⊥γ，则α⊥γ
C. 若m⊥n,n⊥β，则m∥β D. 若m⊥n,n∥α，则m⊥α
5.如图，在△ABC中，点M，N分别是边AC，BC的中点，AN与BM相交于点G，设=，=，则=（　　）
A.
B.
C.
D.
6.已知圆锥的轴截面是等边三角形，若该圆锥的表面积与球O的表面积相等，则该圆锥的体积与球O的体积之比为（　　）
A. B. C. D.
7.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c.已知，则△ABC的面积为（　　）
A. B. C. D.
8.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的体对角线BD1垂直于平面α，直线l与平面α所成角为60°，在正方体ABCD-A1B1C1D1绕体对角线BD1旋转的过程中，记BC与直线l所成的最小角为θ，则cosθ=（　　）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.不透明的袋中装有5个大小质地完全相同的小球，其中3个红球、2个白球，从袋中一次性取出2个球，记事件A=“两球同色”，事件B=“两球异色”，事件C=“至少有一红球”，则（　　）
A. B.
C. 事件A与事件B是对立事件 D. 事件A与事件B不是相互独立事件
10.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,下列说法中正确的有（　　）
A. 若sinA＞sinB，则A＞B
B. 若cos2A＞cos2B，则A＜B
C. 若cosA＜sinB，则△ABC为锐角三角形
D. 若，且△ABC为锐角三角形，则a的取值范围是
11.如图，点P是棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1的表面上一个动点，F是线段A1B1的中点，则（　　）
A. 若点P满足AP⊥B1C，则动点P的轨迹长度为
B. 三棱锥A-PB1D1体积的最大值为
C. 当直线AP与AB所成的角为45°时，点P的轨迹长度为
D. 当P在底面ABCD上运动，且满足PF∥平面B1CD1时，线段PF长度最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知复数，i为虚数单位，则|z|= .
13.= .
14.已知正n边形A1A2…An内接于单位圆O，且满足的顶点Ai共有n-3个，若正三角形PMN的顶点M、N在圆O上，则的最大值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
某研究机构为了了解各年龄层对高考改革方案的关注程度，随机选取了200名年龄在[20，45]内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图（分第一～六组区间分别为[20，25），[25，30），[30，35），[35，40），[40，45），[40，45]）.
（1）求选取的市民年龄在[40，45]内的人数及a的值；
（2）利用频率分布直方图，估计200名市民的年龄的平均数和第80百分位数；
（3）若从第3，4组用分层抽样的方法选取5名市民进行座谈，再从中选取2人在座谈会中作重点发言，求作重点发言的市民中至少有一人的年龄在[35，40）内的概率.
16.(本小题15分)
如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，已知M是线段BC的中点.
（1）求证：D1C∥平面DB1M；
（2）若BC⊥BD，平面ABCD⊥平面DBB1D1，A1D1⊥平面DBB1D1，求证：A1，B，C，D1四点共面.
17.(本小题15分)
已知函数.
（1）设θ∈[0，π），函数f（x+θ）是偶函数，求θ的值；
（2）若f（x）在区间上恰有三条对称轴，求实数m的取值范围.
18.(本小题17分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AB⊥AD，AB=BC=AP=2，AD=4.
（1）证明：CD⊥平面PAC；
（2）求二面角B-PC-D的大小；
（3）点T是棱PC上的动点（不包括端点），求直线TD与平面ABCD所成角的正切值的取值范围.
19.(本小题17分)
布洛卡点是三角形内部的一个特殊的点，由法国数学家亨利 布洛卡于19世纪提出，它通过等角条件联系三角形边与顶点，其角度和位置揭示了三角形的对称性与比例特性，是经典几何学中兼具美学与实用价值的点.其定义如下：设P是△ABC内一点，若∠PAB=∠PBC=∠PCA=θ，则称点P为△ABC的布洛卡点，角θ为△ABC的布洛卡角.如图，在△ABC中，记它的三个内角分别为A，B，C，其对边分别为a,b,c,△ABC的面积为S，点P为△ABC的布洛卡点，其布洛卡角为θ，请完成以下各题：
（1）若a=c,且PC=PB，求tanθ；
（2）若，△ABC的面积为
①求a2+b2+c2；
②△ABC的外接圆上任一点为Q，试探究QA2+QB2+QC2是否为定值？若是，请求出该值；若不是，请说明理由.
1.【答案】B
2.【答案】A
3.【答案】B
4.【答案】B
5.【答案】D
6.【答案】D
7.【答案】A
8.【答案】B
9.【答案】BCD
10.【答案】AB
11.【答案】CD
12.【答案】
13.【答案】2
14.【答案】48
15.【答案】20，a=0.06 平均数为32.25，第80百分位数为37.5
16.【答案】证明过程见解答；
证明过程见解答．
17.【答案】解：（1）=，
∴，
∵f（x+θ）为偶函数，∴，
∵θ∈[0，π），∴，
∴，或，
∴或；
（2）∵，∴，且f（x）在区间上恰有三条对称轴，
∴，解得，
∴m的取值范围为：．
18.【答案】证明见解析； ； ．
19.【答案】 ①a2+b2+c2=24；②16
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