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2025-2026学年湖南省永州市第一中学高一（下）期末数学模拟试卷（一）
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知复数z满足iz+1=2i,则|z|=（　　）
A. B. C. 4 D. 8
2.如果数据x1、x2、…、xn的平均值为，方差为s2，则3x1+2、3x2+2、…、3xn+2的平均值和方差分别是（　　）
A. 和s2 B. 3+2和9s2 C. 3+2和3s2 D. 3+2和9s2+2
3.
4.设非零平面向量，，两两不垂直，那么“（）=（ ）”是“∥”的（　　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.已知a,b是两条不同直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是（　　）
A. 若a⊥α，a⊥β，则α∥β B. 若a∥α，a∥β，则α∥β
C. 若a∥b,a∥α，则b∥α D. 若α⊥β，a∥α，则a⊥β
6.一个圆柱形水杯的底面半径为3，高为8.若向其中放入一个半径为2的实心金属球，且金属球完全浸没在水中，则水面上升的高度为（　　）
A. B. C. D.
7.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=3，BC=2，CC1=4，点E，F分别为CC1，AD的中点，则异面直线EF和AD1所成角的余弦值为（　　）
A.
B.
C.
D.
8.已知，若向量满足，则的最大值为（　　）
A. B. 2 C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.有6个相同的球，分别编号1、2、3、4、5、6，从中先不放回的随机取两次，再将球全部放回随机取一次，以上每次抽取一个小球，记事件A：第一次取球编号数字小于3；B：第二次取球编号数字为偶数；C：第三次取球编号为6；D：前两次取球编号数字和为7；E：第一、三次取球编号数字至少有一个1.则下列说法正确的是（　　）
A. B. 事件A与事件C相互独立
C. 事件A与事件E相互独立 D. 事件A与事件B相互独立
10.在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a,b,c,a=3，，acosB=（2c-b）cosA+2acosC，则（　　）
A. 2b=c B. 2B=C
C. D. AD的范围为（0，4]
11.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P，Q，R分别为AB，BC，C1D1的中点，则下列说法正确的是（　　）
A. B1C⊥BD1
B. 直线PR与D1Q所成的角为
C. 若三棱锥Q-C1CP的所有顶点都在球O的表面上，则球O的表面积为14π
D. 过点Q且与直线AC1垂直的平面截正方体ABCD-A1B1C1D1所得截面多边形的面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某学校高一年级在校人数为600人，其中男生350人，女生250人，为了解学生身高发展情况，按分层随机抽样的方法抽出的男生身高为一个样本，其样本平均数为172cm,抽出的女生身高为一个样本，其样本平均数为160cm,则可估计该校高一学生的平均身高为 cm.
13.抽奖箱中共6个球，这6个球的形状、大小完全相同，每个球上面分别标有数字1，2，3，4，5，6中的一个，且没有重复出现的数字标号，现从中随机抽出两个球（不放回），则两个球之间的数字标号互质的概率为 .
14.已知直二面角α-l-β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，B∈β，BD⊥l，D为垂足．若AB=2，AC=BD=1，则D到平面ABC的距离等于______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在等边△ABC中，AB=1，D，E分别是AB和BC的中点，，设=，=.
（1）用向量，表示，并求||；
（2）求向量与的夹角的余弦值.
16.(本小题15分)
高一年级举行了一次“数学建模能力竞赛”，为了解本次测试竞赛情况，年级从中抽取了部分学生的成绩x进行统计.将成绩进行整理后，分为五组（50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100），其中第1组频数是第2组频数的一半，请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题：
（1）若根据这次成绩，年级择优选取40%的同学晋级下一轮竞赛，请问晋级分数线定为多少合理？
（2）年级以各学习小组的平均分和方差为团体奖励依据.若某学习小组10位学生测试分数的平均数，标准差s=6，若该小组得分分别为95分和85分的A、B两位学生宣布退赛，求该小组余下8位学生分数的平均数与方差；
（3）在下一轮比赛中，甲、乙、丙三人同时回答一道有关模型检验的问题.已知甲回答正确的概率是，甲、乙两人都回答正确的概率是，乙、丙两人至少一人回答正确的概率是.每人回答正确与否相互独立.求甲、乙、丙三人中至少两人回答正确的概率.
17.(本小题15分)
如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，AB=AP=1，.
（1）当PB∥平面ACE时，求实数λ的值；
（2）当时，求PC与平面ACE所成角的正弦值.
18.(本小题17分)
已知三角形ABC的角A、B、C所列的边为a,b,c,且b=2，，延长BC到点D.
（1）若CD=3，求AD的长；
（2）若∠B=2∠D，3BC=4CD，求AD的长.
19.(本小题17分)
矩形ABCD中，AB=2AD=2，P为线段DC的中点，将△ADP沿AP折起，使得平面ADP⊥平面ABCP.在新构造的四棱锥D-PABC中，求解以下问题：
（1）求四棱锥D-PABC的体积.
（2）求二面角P-AD-B的余弦值.
（3）在DC上是否存在点E使得AD//平面PBE？若存在，求出点E的位置；若不存在，请说明理由；
1.【答案】A
2.【答案】B
3.【答案】

4.【答案】C
5.【答案】A
6.【答案】B
7.【答案】B
8.【答案】C
9.【答案】ABD
10.【答案】AC
11.【答案】ACD
12.【答案】167
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：(1)因为，，
则，
由于为等边三角形，AB=1，则，且与的夹角为，
故，
则
，
因此；
(2)因为，故，
因此，


，
，
设向量与的夹角为，
∴.
16.【答案】73；
90，38.75；
．
17.【答案】； ．
18.【答案】
19.【答案】 存在，E是线段CD上靠近点C的三等分点
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