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2025-2026学年广东省深圳市实验学校高中部高一（下）期末数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知复数，则在复平面内，z的共轭复数对应的点位于（　　）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.若样本数据：1，2，a,6，7的平均数为4，则此样本的第60%位数为（　　）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
3.设m,n是两条不同的直线，α，β是两个平面，下列说法错误的是（　　）
A. 若m⊥α，α⊥β，则m∥β B. 若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥n
C. 若α∩β=m,n∥α，n∥β，则m∥n D. 若α∥β，m α，那么m∥β
4.如图，水平放置的四边形ABCD的斜二测直观图为矩形A'B'C'D'，已知A'O'=O'B'=1，B′C′=1，则四边形ABCD的周长为（　　）
A.
B.
C. 8
D. 10
5.某零件加工厂认定工人通过试用期的方法为：随机选取试用期中的5天，再从每天生产的零件中分别随机抽取25件，要求每天合格品均不低于22件．若甲、乙、丙三人在其5天抽检样本中的合格品件数统计如下，甲：中位数为24，极差不超过2；乙：平均数为23，方差不超过1；丙：众数为23，方差不超过1，则一定能通过试用期的有（　　）
A. 甲、乙 B. 甲、丙 C. 乙、丙 D. 甲、乙、丙
6.已知向量，，，则三棱锥S-ABC的体积为（　　）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
7.已知点O是△ABC的外心，AC=3，AB=4，，若，则12m-9n=（　　）
A. -4 B. -1 C. 1 D. 7
8.四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形，点E、F分别为PC、AD的中点，连接BF交CD的延长线于点G，平面BGE将四棱锥P-ABCD分成两部分的体积分别为V1，V2且满足V1＞V2，则=（　　）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.设三个事件为A，B，C，则（　　）
A. 若A，B，C两两独立，则P（ABC）=P（A）P（B）P（C）
B. 若A，B，C两两互斥，则P（A∪B∪C）=P（A）+P（B）+P（C）
C. 若A与B相互独立，则与相互独立
D. 若P（A）＞0，P（B）＞0，则A，B相互独立与A，B互斥不同时成立
10.如图，平行六面体ABCD-A1B1C1D1的棱长均为2，∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=60°，点E，F分别在棱BB1，DD1上，且BE=2B1E，D1F=2DF，则（　　）
A. A，E，C1，F四点共面
B. 在上的投影向量为
C. 直线AC1与EF所成角的余弦值为
D.
11.如图，在正三棱台ABC-DEF中，AB=AD=2，，点M在△DEF内运动（包含边界），则（　　）
A. 直线CD与BE所成角的正切值为
B. 当MC∥平面ABED时，M的轨迹长度为2
C. 直线MC与平面DEF所成角余弦值的最大值为
D. 当MC⊥MF时，M的轨迹长度为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若向量，，，且，，共面，则m=______．
13.已知四面体ABCD的各顶点都在同一球面上，若AB=BC=CD=DA=BD=2，二面角A-BD-C的平面角为60°，则该球的表面积是 .
14.如图，AP、AQ是某水域的两直线型岸边，∠PAQ=120°，AD是∠PAQ的角平分线，且AD=2.某养殖户准备经过D点安装一直线型隔离网BC（B、C分别在AP、AQ上），围成△ABC养殖区.若AB、AC都不超过8，则隔离网BC长度的取值范围是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,已知a=2，.
（1）若b=4，求sinA的值；
（2）若△ABC的面积S=3，求b和c的值.
16.(本小题15分)
如图，四棱锥S-ABCD的体积为，底面为矩形，△SAD为正三角形，平面SAD⊥平面ABCD，AB=1，P为AD的中点.
（1）若E为SB的中点，证明：PE∥平面SCD；
（2）棱SA上是否存在点M，使平面PBM与平面SAD夹角的余弦值为？若存在，求；若不存在，说明理由.
17.(本小题15分)
某校开展天文知识竞赛，并将成绩不低于80分的参赛学生评为航天达人.现从1000名参赛学生中随机抽取80名，统计他们的成绩，并绘制成如图所示的频率分布直方图.
（1）估计所有参赛学生成绩的第75百分位数；
（2）若在抽取的80名学生中，用比例分配的分层随机抽样方法从成绩不低于70分的学生中随机抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求这2人均为航天达人的概率；
（3）已知[80，90）组的方差为12，[90，100]组的方差为8，试估计所有航天达人成绩的方差（结果保留整数）.
18.(本小题17分)
在平面四边形ABCD中，AB=AD=2，∠BAD=60°，∠BCD=30°，将△ABD沿BD翻折，使平面ABD⊥平面BCD，此时AD⊥CD，P，M分别为AD，CD的中点.
（1）用几何法证明：BP⊥平面ACD；
（2）用几何法求MP与平面BPC所成角的正弦值；
（3）用几何法求二面角P-BM-D的余弦值.
注：本题建系不给分.
19.(本小题17分)
在斜三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a,b,c,记λ=.
（1）若λ=2，求cosC的最小值；
（2）若cos（A-B）-cosC=，且C为钝角，求λ的最大值；
（3）直接写出两个函数f（λ）与g（λ）的解析式，使得对于一切满足条件的λ，都有tan=f（λ），且代数式恒为定值.
1.【答案】C
2.【答案】C
3.【答案】A
4.【答案】D
5.【答案】A
6.【答案】D
7.【答案】C
8.【答案】B
9.【答案】BCD
10.【答案】ABD
11.【答案】ABD
12.【答案】5
13.【答案】
14.【答案】[4，]
15.【答案】解：（1）根据题意可知，，且0＜B＜π，
所以，
由正弦定理得，
又b=4，
；
（2）因为，所以c=5，
由余弦定理得：，

16.【答案】证明：取SC的中点F，连接DF，EF，
∵E，F分别为SB，SC的中点，∴EF∥BC，，
∵PD∥BC，，∴EF∥PD，EF=PD，
∴四边形PDFE为平行四边形，∴PE∥FD，
又∵FD 平面SCD，PE 平面SCD，∴PE∥平面SCD．
存在，
17.【答案】82.5
33
18.【答案】证明：因为AB=AD，∠BAD=60°，
所以△ABD为等边三角形，
又P为AD的中点，所以BP⊥AD，
取BD中点E，连接AE，则AE⊥BD，
因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，AE 平面ABD，
所以AE⊥平面BCD，又CD 平面BCD，
所以AE⊥CD，
又CD⊥AD，AD∩AE=A，AD，AE 平面ABD，
所以CD⊥平面ABD．
BP 平面ABD，CD⊥BP．
又CD∩AD=D，CD，AD 平面ACD，
BP⊥平面ACD

19.【答案】cosC的最小值为；
λ的最大值为；
存在，使代数式恒为定值-1，理由见解析．
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