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2025-2026学年陕西省西安中学高二（下）期末数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共24分。
1.已知集合A={x|x2-x-2≤0}，B={x|3≤3x＜81，x∈N}，则A∩B=（　　）
A. {1} B. {2} C. {1，2} D. {1，2，3}
2.已知复数z=，其中i为虚数单位，则z的虚部是（　　）
A. B. C. D.
3.下面是不同成对数据的散点图，从左到右对应的样本相关系数是r1，r2，r3，r4，其中最小的是（　　）
A. r1 B. r2 C. r3 D. r4
4.已知向量满足，且，则=（　　）
A. 0 B. 3 C. 6 D.
5.已知f（x）是奇函数，当x＜0时，f（x）=ln（-x）+2x+1，则f（1）=（　　）
A. 0 B. 1 C. 2 D. -1
6.已知变量x和y有较强的线性相关关系，根据下表中两个变量间的相关数据可以得到经验回归方程为，则（　　）
x 2 3 4 5
y 4 7 8 13
A. 经验回归直线必过点（3.5，7.5） B.
C. 当x=6时，预测值 D. 当x=2时，样本点对应的残差为0.2
7.已知函数，把函数f（x）的图象沿x轴向左平移个单位，得到函数g（x）的图象．下列关于函数g（x）的说法正确的是（　　）
A. 在上是减函数 B. 在区间上值域为[-1，1]
C. 函数g（x）是奇函数 D. 其图象关于直线对称
8.将1，2，3，…，9这九个正整数，填在如图所示的九宫格里，九宫格的中间填5，四个角填偶数，其余位置填奇数，则每一横行、每一坚列以及两条对角线上3个数字的和都等于15的概率为（　　）
A.
B.
C.
D.
二、多项选择题：本大题共4小题，共16分。
9.关于（2x-1）8的展开式，下列说法正确的是（　　）
A. 展开式共有8项 B. 展开式中第5项的二项式系数最大
C. 展开式各项的系数之和为1 D. 展开式中x3项的系数为448
10.下列说法正确的是（　　）
A. 3个不同的邮件投入到4个不同的邮箱，有34种投法
B. 6个朋友聚会，见面后每两人握手一次，一共握手15次
C. 若把英文“sorry”的字母顺序写错，则可能出现的错误共有59种
D. 将4名医护人员安排到呼吸、感染两个科室，要求每个科室至少有1人，则共有18种不同的安排方法
11.某校团委组织“喜迎二十大、永远跟党走、奋进新征程”学生书画作品比赛，经评审，评出一、二、三等奖作品若干（一、二等奖作品数相等），其中男生作品分别占40%，60%，60%．现从获奖作品中任取一件，记“取出一等奖作品”为事件A，“取出男生作品”为事件B，若P（AB）=0.12，则（　　）
A. P（B|A）=0.4 B. 一等奖与三等奖的作品数之比为3：4
C. P（A|B）=0.25 D. P（B）=0.54
12.某不透明的盒子里装有若干个形状、大小、材质完全相同的红色和黑色的小球，现从盒子里随机抽取小球，每次抽取一个，用随机变量X表示事件“抽到的小球为红色”发生的次数，下列说法正确的有（　　）
A. 若盒子里有2个红色小球，4个黑色小球，从盒子里不放回地抽取小球，则第一次抽到红色小球且第二次抽到黑色小球的概率为
B. 若盒子里有2个红色小球，4个黑色小球，从盒子里有放回地抽取6次小球，则且
C. 若盒子里有N（N＞6，N∈Z）个小球，其中红色小球有M个，从盒子里不放回地随机抽取6个小球，且有红色球的数学期望为2，则盒子里黑色小球的个数是红色小球个数的2倍
D. 若X B（3，p），η N（4，σ2），P（X=0）=0.343，P（4＜η＜5）=p,则P（η 3）=0.3
三、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.样本数据8，6，2，7，8，9，10的极差为 .
14.已知tan（π+α）=2 ，则= ______．
15.正△ABC的三个顶点都在球O的球面上，AB=AC=BC=2，若三棱锥O-ABC的体积为2，则该球的表面积为 .
16.害虫防控对于提高农作物产量具有重要意义.已知某种害虫产卵数y（单位：个）与温度x（单位：°C）有关，测得一组数据（xi，yi）（i=1，2， ，20），可用模型进行拟合，利用z=lny变换得到的线性回归方程为.若，则c1的值为 .
四、解答题：本题共5小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
近年来，随着互联网的发展，诸如“滴滴打车”“神州专车”等网约车服务在我国各城市迅猛发展，为人们出行提供了便利，但也给城市交通管理带来了一些困难．为掌握网约车在M省的发展情况，M省某调查机构从该省抽取了5个城市，分别收集和分析了网约车的A，B两项指标数xi，yi（i=1，2，3，4，5），数据如表所示：
城市1 城市2 城市3 城市4 城市5
A指标数x 2 4 5 6 8
B指标数y 3 4 4 4 5
经计算得：，．
（1）试求y与x间的相关系数r，并利用r说明y与x是否具有较强的线性相关系数（若|r|＞0.75，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）；
（2）建立y关于x的回归方程，并预测当A指标数为7时，B指标数的估计值．
附：相关公式：r=，，=-．
参考数据：≈0.55，≈0.95．
18.(本小题8分)
某地区有20000名学生参加数学联赛，随机抽取100名学生的成绩，绘制了频率分布直方图，如图所示.
（1）根据频率分布直方图，求样本平均数的估计值；（同一组数据用该区间的中点值作代表）
（2）根据频率分布直方图，求样本的第三四分位数（四舍五入精确到整数）；
（3）若所有学生的成绩X近似服从正态分布N（μ，σ2），其中μ为样本平均数的估计值，σ≈14.试估计成绩不低于90分的学生人数.
附：若随机变量X服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ-σ≤X≤μ+σ）≈0.6827，P（μ-2σ≤X≤μ+2σ）≈0.9545，P（μ-3σ≤X≤μ+3σ）≈0.9973.
19.(本小题10分)
△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为．
(1) 求sinBsinC；
(2) 若6cosBcosC＝1，a＝3，求△ABC的周长．
20.(本小题10分)
某公司为了解员工对人工智能模型的了解程度，组织了相关的知识答题竞赛，若规定成绩在80分（满分为100分）及以上为“比较了解”，80分以下为“不太了解”，随机抽取200名员工的成绩，得到如表的数据：
了解程度 性别 合计
男性 女性
比较了解 90 10 100
不太了解 70 30 100
合计 160 40 200
（1）依据小概率值α=0.001的独立性检验，判断该公司员工对人工智能模型的了解程度是否与员工性别有关联；
（2）设员工甲每道题回答是否正确相互独立，且每次答对的概率均为；
（i）若该知识竞赛设置n（n∈N*且n≥8）道题，甲仅答对其中8道题的概率最大，求n的值；
（ii）若该知识竞赛设置5道题，且答题规则如下：每次答一题，一旦答对，则结束答题；答错则继续答题，直到5道题答完，用X表示员工甲本次答题的题目数量，求X的分布列和期望.
参考公式与数据：χ2=，其中n=a+b+c+d.
α 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
21.(本小题12分)
2026年4月19日，在北京亦庄举办的人形机器人半程马拉松比赛，备受科技圈关注.赛前某机器人厂家对机器人进行比赛前的测试，进一步检验机器人的稳定性.假设机器人从初始点开始移动，每次的结果可能是向前或向后移动一个步（每步步长1米），向前移动的概率为p（0＜p＜1），向后移动的概率为1-p.
（1）若，求4次后停在初始点的概率；
（2）求机器人移动3次后停在初始点前方的概率；
（3）设计测试规则如下：第一轮测试，机器人从初始点开始移动，设置机器人前方移动的概率p=x,若机器人移动3次后停在初始点前方，则进入第二轮测试，否则测试结束；第二轮测试，机器人重新从初始点开始移动，重新设置机器人前方移动的概率p=a-x（0＜a＜2），移动3次后，若机器人停在初始点前方，则以机器人停留的位置与初始点的距离作为两轮测试的最终得分.若机器人停在初始点后方或初始点处，则两轮测试的最终得分为0分（规定测试一轮结束的得分也是0分）.记两轮测试最终得分为X，求X的数学期望E（X）.（结果用a与x表示）
1.【答案】C
2.【答案】B
3.【答案】D
4.【答案】D
5.【答案】D
6.【答案】D
7.【答案】D
8.【答案】C
9.【答案】BC
10.【答案】BC
11.【答案】ABD
12.【答案】AC
13.【答案】8
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】e-3
17.【答案】解：（1），，
又，，
∴r==≈0.95＞0.75，
∴线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合；
（2）=，
=-=4-0.3×5=2.5．
∴y关于x的回归方程为．
取x=7，得．
∴预测当A指标数为7时，B指标数的估计值为4.6．
18.【答案】62
71
455
19.【答案】解 ：（1）因为△ABC面积，且，
所以，所以．
由正弦定理得，
因为sinA≠0，所以．
（2）由（1）得，．
因为A+B+C＝π，所以，
又A∈(0，π)，所以，，，
由余弦定理得a2＝b2+c2-bc＝9， ①
由正弦定理得，，
所以， ②
由①②得：，
所以，即△ABC周长为．

20.【答案】有关联
（i）n=10；（ii）
X 1 2 3 4 5
P

21.【答案】
p2（3-2p）
3x2（3-2x）（a-x）2
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