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2025-2026学年广东省东北师范大学附属中学深圳学校高二（下）期末数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知集合A={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，，则A∩B=（　　）
A. {5，8} B. {2，5，8} C. {3，6，9} D. {1，5，9}
2.下列说法不正确的是（　　）
A. “a＞0＞b”是“”的充分不必要条件
B. 命题“ x≥0，ex≥sinx”是真命题
C. 由一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）得到经验回归方程，若相关系数r越小，则两组变量的相关性越弱
D. 甲、乙、丙三名大学生从勐焕大金塔、一寨两国、黄草坝、陇川欢乐水世界、南甸宣抚司署五个景点中各选一个去游玩，则共有125种不同选法
3.已知x＞0，y＞0，且x+2y-2xy=0，则x+2y的最小值是（　　）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
4.在的展开式中，二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（　　）
A. -64 B. 256 C. 960 D. 3840
5.已知函数f（x）=，则对任意实数x,有（　　）
A. f（-x）+f（x）=0 B. f（-x）-f（x）=0
C. f（-x）+f（x）=1 D. f（-x）-f（x）=
6.函数f（x）=ex（2x2-3x）的图象大致是（　　）
A. B.
C. D.
7.已知a=0.1，b=e0.1-1，c=sin0.1，则（　　）
A. b＞a＞c B. a＞b＞c C. a＞c＞b D. c＞a＞b
8.已知函数则方程的解的个数为（　　）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.一袋中有质地、大小完全相同的3个红球和2个白球，下列结论正确的是（　　）
A. 从中一次性任取3个球，恰有1个白球的概率是
B. 从中有放回地取球3次，每次任取1个球，恰好有2个白球的概率为
C. 从中不放回地取球，每次取1个球，取完白球就停止，记停止时取得的红球的数量为X，则
D. 从中不放回地取球2次，每次取1个球，则在第1次取到白球的条件下，第2次再取到白球的概率为
10.若函数的导函数f′（x）是偶函数，则下列说法正确的是（　　）
A. a=0
B. f（x）有3个不同的零点
C. f（x）最小值为
D. 对任意x1，x2，都有
11.设函数f（x）的定义域为R，f（x-1）为奇函数，f（2x+1）为偶函数，当x∈[-1，1]时，f（x）=1-x2，则（　　）
A. f（x）在（4，6）上有最大值
B. f（x）的图象关于点（3，0）对称
C.
D. 方程f（x）-lgx=0在（0，9）内有4个实数解
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若函数f（x）=-x3-3x-1的对称中心是 .
13.若曲线y=xex-ex，则曲线在x=1的切线方程为 .
14.如图是一块高尔顿板的示意图.黑点表示木钉.小球下落过程中，每次碰到木钉后可能向左或向右下落，其中向左下落的概率为，向右下落的概率为，最后落入底部的格子中.格子从左到右分别编号为0，1，2，…，10，则小球落入 号格子的概率最大.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题15分)
已知函数f（x）=-xlnx+2x+1.
（1）求函数f（x）的单调区间以及极值；
（2）求函数f（x）在[1，e2]上的最值.
16.(本小题15分)
泊松分布是一种常见的离散概率分布，若随机变量X只取非负整数值，取k值的概率为，则随机变量X的分布称为泊松分布.已知在一个时间周期内，某种放射源放射出的α粒子中经过计数器的粒子数X服从泊松分布，且一个周期内没有粒子经过计数器的概率为，每个周期内经过计数器的粒子数不受其他周期影响，且放射源状态稳定、持续放射.
（1）求一个周期内至少有2个α粒子经过计数器的概率（结果精确到0.1）；
（2）设经过3个周期后，满足一个周期内至少有2个α粒子经过计数器的周期共有Y个，求Y的分布列及数学期望.
参考数据：ln3≈1.099.
17.(本小题15分)
随着科技的进步，近年来，我国新能源汽车产业迅速发展，2006年，在国家节能减排的宏观政策指导下，科技部在“十一五”启动了“863”计划新能源汽车重大项目.自2011年起，国家相关部门重点扶持新能源汽车的发展，也逐步得到消费者的认可.各大品牌新能源汽车除了靠不断提高汽车的性能和质量来提升品牌竞争力，在广告投放方面的花费也是逐年攀升.小张同学对某品牌新能源汽车近8年出售的数量及广告费投入情况进行了统计，具体数据见下表：
年份代码 1 2 3 4 5 6 7 8
年销售量/十万辆 3 4 5 6 7 9 10 12
广告费投入/亿元 3.6 4.1 4.4 5.2 6.2 7.5 7.9 9.1
（1）求广告费投入y（亿元）与年销售量x（十万辆）之间的线性回归方程（精确到0.01）；
（2）若某人随机在甲、乙两家汽车店购买一辆汽车，如果在甲汽车店购买，那么购买新能源汽车的概率为0.6；如果在乙汽车店购买，那么购买新能源汽车的概率为0.8，求这个人购买的是新能源汽车的概率.
参考数据：，.
附：回归直线中，，.
18.(本小题15分)
已知函数.
（1）若a=2，求f（x）的定义域；
（2）若f（x）在[2，+∞）上单调递增，求a的取值范围；
（3）设g（x）=4x-2x+1，若对任意x1∈（0，1），存在x2∈[-1，1]，使得不等式f（x1）≥g（x2）成立，求a的取值范围.
19.(本小题17分)
（1）若已知函数f（x）=lnx-ax（a∈R）若函数f（x）在[1，e2]上有且仅有2个零点，求a的取值范围；
（2）若函数.
①若f（x）为增函数，求实数a的取值范围；
②证明：函数f（x）有且仅有一个零点.
1.【答案】B
2.【答案】C
3.【答案】A
4.【答案】C
5.【答案】C
6.【答案】B
7.【答案】A
8.【答案】B
9.【答案】AC
10.【答案】ABD
11.【答案】ABD
12.【答案】（0，-1）
13.【答案】ex-y-e=0
14.【答案】8
15.【答案】（1）单调递增区间为（0，e），单调递减区间为（e，+∞）；极大值为e+1，无极小值 （2）f（x）max=e+1，f（x）min=1
16.【答案】0.3
Y的分布列为：
Y 0 1 2 3
P 0.343 0.441 0.189 0.027
E（Y）=0.9
17.【答案】y=0.64x+1.52；
0.7．
18.【答案】（-∞，1）∪（1，+∞）；
（-∞，）；
（-∞，]
19.【答案】
①（-∞，3]；②证明：函数f（x）的定义域为（0，+∞），
令f（x）=0，可得，令，
则函数f（x）有且仅有一个零点等价于y=a与的图象有且仅有一个交点，
，
设（x＞0），则，
令m′（x）=0，则，解得x=1，
当0＜x＜1时，m′（x）＜0，m（x）单调递减；当x＞1时，m′（x）＞0，m（x）单调递增，
所以当x＞0时，m（x）在x=1处取得最小值，即，
所以h′（x）＞0，则h（x）在（0，+∞）上单调递增，
又当x→0+时，h（x）→-∞，当x→+∞时，h（x）→+∞，
所以h（x）在（0，+∞）上值域为R，
则y=a与的图象有且仅有一个交点，
故f（x）有且仅有一个零点
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