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2025-2026学年江苏省南京市高一（下）期末数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.在复平面内，-1+i对应的点在（　　）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.已知平面向量，，若，则x=（　　）
A. B. C. D.
3.已知l，m是直线，α是平面，且m α，则“l⊥m”是“l⊥α”的（　　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.已知tanα=2，则tan2α的值为（　　）
A. - B. - C. D.
5.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c.若sinA：sinB：sinC=4：5：6，则cosB=（　　）
A. B. C. D.
6.在边长为3的正方形ABCD中，，则=（　　）
A. -5 B. 5 C. 6 D. 9
7.一组样本数据x1，x2，x3，…，x8的平均数为，标准差为2.另一组样本数据x1，x2，x3，…，x8，的平均数为，标准差为s,则（　　）
A. ，s＜2 B. ，s＞2 C. ，s＞2 D. ，s＜2
8.若用半径为2的半圆卷成一个圆锥，则圆锥的体积为（　　）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.在△ABC中，M为边AB的中点，则（　　）
A. B.
C. D.
10.同时抛掷两枚均匀硬币，记“出现两个正面”为事件A，“出现一正一反”为事件B，则（　　）
A. B. C. A与B为互斥事件 D. A+B为必然事件
11.如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，∠DAB=60°，AA1=AB=AD=2，M，N分别为棱BB1，B1C1的中点，则（　　）
A. MN∥平面ADD1A1
B. D1N⊥BC
C. 直线MN与平面CC1D1D所成角的正弦值为
D. 三棱柱ABD-A1B1D1的外接球的表面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知复数，则||= .
13.某学生8次素养测试的成绩统计如下：72，76，78，82，86，88，92，98，则该组数据的第80百分位数为 .
14.海上A，B两个小岛相距海里，从A岛望B岛和C岛所成的视角为60°，从B岛望A岛和C岛所成的视角为75°，则B，C两岛之间相距 海里.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知向量=（1，-2），=（-3，2），求：
（1）|-2|；
（2）向量+与-的夹角的余弦值.
16.(本小题15分)
已知，.
（1）求sin2α和的值；
（2）若，，求证：.
17.(本小题15分)
某校知识竞赛分初赛、复赛两轮.某班从甲、乙两名学生中选拔一人参加学校知识竞赛（初赛），抽取了两人5次模拟测试的成绩，统计结果如下表：
第1次 第2次 第3次 第4次 第5次
甲的成绩（分） 90 95 92 100 98
乙的成绩（分） 95 94 100 96 90
（1）试根据以上数据比较两名同学的平均水平和稳定性，并确定参加初赛的对象；
（2）初赛要求如下：参赛者从5道编号为“1、2、3、4、5”的试题中随机抽取3道作答，已知该参赛者会这5道试题中的3道（编号为奇数的题目）.
（i）写出参赛者抽到的题号构成的样本空间Ω；
（ii）规定抽取的3道题至少答对2题方可进入复赛，求参赛者能进入复赛的概率.
18.(本小题17分)
如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC.
（1）若∠ACB=90°，求证：平面PBC⊥平面PAC；
（2）已知M为PB的中点，，F是棱PC上的一点.
（i）若EF∥平面ABC，求；
（ii）若EF⊥平面PAB，试判断△ABC的形状，并给出证明.
19.(本小题17分)
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a,b,c,.
（1）求B；
（2）若a=1，.
（i）试判断△ABC的形状，并说明理由；
（ii）设点M在边AC上，连接BM并延长至点D，且.求△ACD面积的最大值及此时点M的位置.
1.【答案】B
2.【答案】D
3.【答案】B
4.【答案】B
5.【答案】B
6.【答案】C
7.【答案】A
8.【答案】B
9.【答案】BCD
10.【答案】AC
11.【答案】ABC
12.【答案】2
13.【答案】92
14.【答案】15
15.【答案】

16.【答案】，
由（1）知，
因为，
因为，，所以0＜α+β＜π，
所以
17.【答案】乙参加知识竞赛较合适
（i）Ω={（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，3，4），（1，3，5），（1，4，5），（2，3，4），（2，3，5），（2，4，5），（3，4，5）}；（ii）
18.【答案】因为PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，
所以BC⊥PA，
因为∠ACB=90°，所以BC⊥AC，PA∩AC=A，PA，AC 平面PAC，
所以BC⊥平面PAC．
因为BC 平面PBC，所以平面PBC⊥平面PAC
（i）2；（ii）△ABC是等腰三角形，理由如下：
因为EF⊥平面PAB，EF 平面PCN，
所以平面PCN⊥平面PAB．
因为PA⊥平面ABC，PA 平面PAB，
所以平面PAB⊥平面ABC．
在平面PCN内过C作CN1⊥PN，
因为CN1 平面PCN，平面PCN⊥平面PAB，平面PCN∩平面PAB=PN，
所以CN1⊥平面PAB；同理，过C作CN2⊥AB，可知CN2⊥平面PAB．
因为过平面PAB外一点C有且只有一条直线与该平面垂直，
所以CN1，CN2重合，由于AB∩PN=N，
所以N1，N2，N重合，
所以CN⊥AB，
因为N为AB中点，故AC=BC，即△ABC是等腰三角形
19.【答案】
（i）△ABC是直角三角形，在△ABC中，a=1，，由（1）知．
在△ABC中，由正弦定理，
得．
因为a＜b，所以A＜B，
所以，，
所以△ABC是直角三角形；（ii），点M在AC边上靠近C的三等分点
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