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2025-2026学年湖北省某地区高二（下）期末数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.下列函数的求导正确的是（　　）
A. （x-2）′=-2x B.
C. D. （xcosx）′=cosx-xsinx
2.已知函数f（x）=alnx+x2在x=1处的切线方程为3x-y-b=0，则a+b的值为（　　）
A. -1 B. 3 C. 4 D. 5
3.已知随机变量X服从正态分布N（-1，σ2），且P（X＞1）=0.3，则P（-3＜X＜1）=（　　）
A. 0.3 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.7
4.某校举行“数学文化节”活动，有5个不同的节目参加汇演，其中包含一个舞蹈节目和一个合唱节目，要求舞蹈节目必须在合唱节目之前演出，且这两个节目不能相邻，则不同的节目顺序有（　　）
A. 36种 B. 72种 C. 24种 D. 240种
5.（2x+y）（x-2y）5的展开式中x3y3的系数为（　　）
A. -160 B. -120 C. -10 D. 30
6.在6件工艺品中，有2件二等品，4件一等品，现从中抽取3件，设抽得二等品件数为X，则E（2X+1）的值为（　　）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 2
7.如果今天是星期五，那么22026天后是星期几？（　　）
A. 星期一 B. 星期二 C. 星期四 D. 星期日
8.设a,b,c∈（0，1），满足，则（　　）
A. a＞b＞c B. b＞a＞c C. c＞a＞b D. b＞c＞a
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.某智能机器人公司从2019年起连续7年的利润情况如表所示，若y关于x的经验回归方程为，则（　　）
第x年 1 2 3 4 5 6 7
利润y亿元 2.9 3.3 3.6 4.4 m 5.2 5.9
A. 变量y与x负相关 B. m=4.8
C. 当x=3时，残差为-0.2 D. 预测当x=9时，利润约为6.9亿元
10.已知，则下列结论正确的有（　　）
A. a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6=1 B. a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6=729
C. a2+a4+a6=365 D. a4=240
11.设函数，x∈R.则下列说法正确的是（　　）
A. g（x）是偶函数 B. g（x）在x=0处取得最大值
C. 方程ln（1+ex）=2x有且仅有一个实根 D. 对任意x∈R，都有
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若，则n= .
13.已知随机变量X～B（4，p），E（3X-2）=5，则D（3X-2）= .
14.已知一袋中有标有号码1、2、3、4的卡片各一张，每次从中取出一张，记下号码后放回，当四种号码的卡片全部取出时即停止，则恰好取6次卡片时停止的概率为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
某校对学生的艺术特长进行调查，得到如下数据.
有艺术特长 无艺术特长
男 250 100
女 350 150
（1）用频率估计概率，从本校的男生中任选两名，求他们有且只有一名有艺术特长的概率；
（2）在犯错误的概率不超过0.1的前提下，是否可以认为学生性别与有无艺术特长有关.
附：，n=a+b+c+d.
α=P（χ2≥k） 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
16.(本小题15分)
甲、乙两个袋子中，各放有大小和形状相同的小球若干.每个袋子中标号为0的小球有1个，标号为1的有3个，标号为2的有m个.从一个袋子中任取两个球，取到的标号都是2的概率是.
（1）求m的值；
（2）从两个袋子中各取一个小球，用X表示这两个小球的标号之差的绝对值，求X的分布列和期望.
17.(本小题15分)
已知函数.
（1）求f（x）在[-2，3]上的最大值和最小值；
（2）求f（x）过原点的切线方程.
18.(本小题17分)
现有除颜色外都相同的3个红球和3个白球，随机取3个球放入一个不透明的袋中，记袋中红球的个数为X0.从袋中随机摸出一个球，并放入一个另一种颜色的球，经过n次摸球，袋中的红球个数记为Xn.
（1）求P（X0=1）和P（X0=3）；
（2）求P（X1=2）；
（3）当X0=2时，求随机变量X2的分布列和数学期望E（X2）.
19.(本小题17分)
已知函数.
（1）当k=1时，求f（x）的最小值；
（2）讨论f（x）的单调性；
（3）若f（x）存在极小值，且极小值等于-（lnk）2，求证：k+lnk＞2e.
1.【答案】D
2.【答案】B
3.【答案】B
4.【答案】A
5.【答案】B
6.【答案】A
7.【答案】D
8.【答案】C
9.【答案】BC
10.【答案】ABD
11.【答案】ACD
12.【答案】2或3
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】
在犯错误的概率不超过0.1的前提下，不可以认为学生性别与有无艺术特长有关
16.【答案】m=2
X的分布列为：
X 0 1 2
P

17.【答案】最大值为4e2，最小值为0
y=0和
18.【答案】；
X2 0 2
P

19.【答案】e-1 当k≤1时，f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增；当1＜k＜e时，f（x）在（lnk，1）上单调递减，在（0，lnk）、（1，+∞）上单调递增；当k=e时，则f（x）在（0，+∞）上单调递增；当k＞e时，则f（x）在（1，lnk）上单调递减，在（0，1）、（lnk，+∞）上单调递增 证明：由题意可知k＞0，由（2）可知，当0＜k≤1时，
函数f（x）的极小值为f（1）=e-k=-（lnk）2，此时k-（lnk）2=e，
因为lnk≤0，因此（lnk）2≥0，此时k-（lnk）2≤1，等式k-（lnk）2=e不成立；当1＜k＜e时，函数f（x）的极小值为f（1）=e-k=-（lnk）2，此时k-（lnk）2=e，
因为1＜k＜e，因此0＜lnk＜1，因此-1＜-（lnk）2＜0，
由不等式的性质可得0＜k-（lnk）2＜e，等式k-（lnk）2=e不成立；当k=e时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，函数f（x）无极值；当k＞e时，函数f（x）的极小值为，
可得，令t=lnk，因此t＞1，且k=et，因此，
先证明不等式，其中x1＞x2＞0，
即证，
令，，其中t＞1，因此，
所以，函数g（t）在（1，+∞）上为增函数，当t＞1时，g（t）＞g（1）=0，
所以，当x1＞x2＞0时，，
设，即，所以，
上述两个等式相除得，
所以，所以，因此lnet+lnt＞2，
即ln（tet）＞2，可得tet＞e2，
由基本不等式可得，故原不等式得证
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