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2025-2026学年天津市河东区高一（下）期末数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共32分。
1.抛掷一枚骰子，记事件A为“落地时向上的数是奇数”，事件B为“落地时向上的数是偶数”，事件C为“落地时向上的数是3的倍数”，事件D为“落地时向上的数是2或4”，则下列每对事件是互斥事件但不是对立事件的是（　　）
A. A与B B. B与C C. A与D D. B与D
2.某中学高一年级有学生1200人，高二年级有学生1000人，高三年级有学生800人，现在要用分层随机抽样的方法从三个年级中抽取m人参加表演，若高二年级被抽取的人数为20，则m=（　　）
A. 50 B. 60 C. 64 D. 75
3.已知平面α、β，直线l α，直线m不在平面α上，下列说法正确的是（　　）
A. 若α∥β，m∥β，则l∥m B. 若α∥β，m⊥β，则l⊥m
C. 若l∥m，α∥β，则m∥β D. 若l⊥m，m∥β，则α⊥β
4.从1、2、3、4这四个数中一次随机取两个，则取出的这两数字之和为偶数的概率是（　　）
A. B. C. D.
5.从一副混合后的扑克牌不含大小王（52张）中随机抽取1张，事件A为“抽得红桃K”，事件B为“抽得黑桃”，则概率P（A+B）=（　　）
A. B. C. D.
6.有一组样本数据：15，16，11，11，14，20，11，13，13，24，13，18，则这组样本数据的上四分位数是（　　）
A. 11 B. 12 C. 16 D. 17
7.已知甲、乙两个医疗团队同时独立破解某一医学难题，甲独立攻克该难题的概率为，甲、乙中恰有一个团队攻克该难题的概率为，则该难题被攻克的概率为（　　）
A. B. C. D.
8.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，，AD=1，点E是棱PB的中点.直线AB与平面ECD的距离为（　　）
A. 1
B.
C.
D.
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
9.如图所示是一个样本容量为100的频率分布直方图，则由图形中的数据，可知其第60百分位数为 .
10.某班级随机抽取20名学生解答某题的时间记录如下表：
解答时间/分 [0，5） [5，10） [10，15） [15，20]
频数 2 10 6 2
若每组数据以区间中点值代替，则20名学生解答时间的平均值为 .
11.为强化安全意识，某学校拟在未来的连续5天中随机抽取2天进行紧急疏散演练，那么选择的2天恰好为连续2天的概率是______（结果用最简分数表示）．
12.已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为a,侧棱长为，则AC1与侧面ABB1A1所成角的大小为 .
13.已知样本x1，x2，x3，…，xn方差s2=2，则样本2x1+1，2x2+1，2x3+1，…，2xn+1的标准差为 .
14.如图，已知平面四边形ABCD，AB＝BC＝3，CD＝1，，∠ADC＝90°，沿直线AC将△ACD翻折成△ACD′，直线AC与BD′所成角的余弦的最大值是 ．
三、解答题：本题共5小题，共44分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题8分)
在正方体ABCD-A1B1C1D1中：
（1）求证：AC∥平面A1BC1；
（2）求证：平面A1BC1⊥平面BB1D1D．

16.(本小题9分)
某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为
（1）求频率分布直方图中的值；
（2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；
（3）从评分在的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在的概率.
17.(本小题9分)
甲、乙两人进行投篮比赛，比赛的规则是，每轮比赛每人投一次篮，投中得2分，未投中得0分，若干轮比赛后，最后总得分多的获胜，最后总得分相同则为平局.为了在比赛中取得比较好的成绩，甲、乙两人在比赛前进行了针对性训练，训练后投篮情况如表：
甲 乙
投篮次数 120 120
命中的次数 80 90
若比赛中每个人投篮命中与否相互之间没有影响，且以频率代替概率.
（1）估计甲、乙每次投篮命中的概率；
（2）事件A=“某轮比赛中甲、乙得分相同”，求P（A）；
（3）求两轮比赛后，乙的总得分大于甲的总得分的概率.
18.(本小题9分)
如图，在三棱台ABC-A1B1C1中，A1A⊥平面ABC，AB⊥AC，AB=AC=AA1=2，A1C1=1，M为BC中点，N为AB的中点.
（1）求证：A1N∥平面AMC1；
（2）求平面AMC1与平面ACC1A1所成夹角的余弦值；
（3）求点C到平面AMC1的距离.
19.(本小题9分)
如图，已知四棱锥P-ABCD，AD=2BC，E，F分别是棱PD，PA的中点，且B，C，E，F四点共面.
（1）求证：BC∥AD；
（2）M是线段CE上的动点，线段AD上是否存在点N，使MN∥平面PAB？若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由.
1.【答案】C
2.【答案】B
3.【答案】B
4.【答案】B
5.【答案】A
6.【答案】D
7.【答案】B
8.【答案】B
9.【答案】14
10.【答案】9.5
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】证明：（1）因为AA1∥CC1，AA1=CC1，
所以四边形ACC1A1为平行四边形，
所以AC∥A1C1，
又A1C1 平面A1BC1，AC 平面A1BC1，
所以AC∥平面A1BC1；
（2）易知A1C1⊥B1D1，
因为BB1⊥平面A1B1C1D1，A1C1 平面A1B1C1D1，
所以BB1⊥A1C1，
因为BB1∩B1D1=B1，BB1，B1D1 平面BB1D1D，
所以A1C1⊥平面BB1D1D，
因为A1C1 平面A1BC1，
所以平面A1BC1⊥平面BB1D1D．
16.【答案】解：（1）因为（0.004+a+0.018+0.022×2+0.028）×10=1，
所以a=0.006．
（2）由所给频率分布直方图知，
50名受访职工评分不低于80的频率为（0.022+0.018）×10=0.4．
所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4．
（3）受访职工中评分在[50，60）的有：50×0.006×10=3（人），记为A1，A2，A3；
受访职工中评分在[40，50）的有：50×0.004×10=2（人），记为B1，B2，
从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，
它们是Ω={（A1，A2），（A1，A3），（A2，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（B1，B2）}．
又因为所抽取2人的评分都在[40，50）的结果有1种，即（B1，B2），
故所求的概率为P=．
17.【答案】（1）甲、乙每次投篮命中的概率分别为、 （2） （3）两轮比赛后乙的总得分大于甲的总得分的概率为
18.【答案】证明见解答； ； ．
19.【答案】因为E，F分别是棱PD，PA的中点，所以在△PAD中，EF是中位线，
所以EF∥AD，因为EF 平面ABCD，AD 平面ABCD，
所以EF∥平面ABCD，因为平面BCEF经过直线EF，且与平面ABCD交于BC，
根据线面平行的性质定理可得：EF∥BC，
又因为EF∥AD，所以BC∥AD
线段AD上存在点N（即AD的中点），使得MN∥平面PAB，证明如下：
由（1）知BC∥AD且AD=2BC，
取线段AD的中点N，连接CN，
因为BC∥AD且，
所以四边形ABCN是平行四边形，从而CN∥AB，
因为AB 平面PAB，CN 平面PAB，所以CN∥平面PAB，
又因为E，F分别是PD，PA的中点，所以EF∥AD且，
结合且BC∥AD，可得EF∥BC且EF=BC，
所以四边形BCEF是平行四边形，从而CE∥BF，
因为BF 平面PAB，CE 平面PAB，所以CE∥平面PAB，
因为CN∩CE=C，且CN∥平面PAB，CE∥平面PAB，
所以平面CEN∥平面PAB，
又因为MN 平面CEN，
所以MN∥平面PAB
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