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2025-2026学年广西南宁市第三中学高二（下）期末数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.集合，N={x|x2-2x-3≤0}，则M∩N=（　　）
A. （3，+∞） B. [3，+∞） C. [0，3] D. （0，3]
2.已知随机事件A与B满足，，且，则P（B|A）=（　　）
A. B. C. D.
3.已知随机变量X服从二项分布B（n,p），则“p=”是“方差D（x）=n”的（　　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x2+2x+m（m为常数），则f（-2）=（　　）
A. 4 B. 7 C. -7 D. 8
5.若函数f（x）=（a-2）（ex+e-x）+|x|+b有奇数个零点，则4a2+b2的最小值是（　　）
A. 6 B. 8 C. 16 D. 18
6.某晚会由4个歌舞节目和2个机器人表演节目组成，若要求机器人表演节目不能相邻出演且前3个节目中至少有一个是机器人表演节目，则不同的节目安排方法有（　　）种.
A. 216 B. 360 C. 432 D. 672
7.若直线l同时是曲线y=aex（a＞1）和曲线y=ex+a的切线，则l斜率的最小值为（　　）
A. 1 B. 2 C. e D. 2e
8.已知函数，若f（x）=m有四个零点x1，x2，x3，x4，且满足x1＜x2＜x3＜x4，则x1-x2+x3x4+m的取值范围是（　　）
A. （-4，-2] B. C. [-2，-1） D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.下列说法正确的有（　　）
A. 一组数据1，2，3，4，5，6，7，8的第30百分位数为3
B. 若随机变量X～B（4，），则E（X）=2
C. 若事件A，B满足P（A）+P（B）=1，则A与B是对立事件
D. 若事件A，B满足，则事件A，B相互独立
10.已知的展开式中第3项的二项式系数为21，则下列说法正确的是（　　）
A. n=7 B. 展开式中存在常数项
C. 展开式的所有项的系数和为128 D. 27n-6能被7整除
11.已知函数f（x），g（x）的定义域为R，且g（2-x）+f（x）=1，g（x）-f（x-1）=-1，若y=f（x）的图象关于直线x=1对称，则（　　）
A. f（2026-x）+f（x-2025）=2 B.
C. g（x）是奇函数 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.曲线y=x2+在点（1，2）处的切线方程为 ．
13.已知函数f（x）=|lnx|-ax,若f（x）＞0有且只有一个整数解，则实数a的取值范围为 .
14.一个袋子中装有形状大小完全相同的6个球，其中有2个红球，4个白球，从中随机逐一取球，每次抽取后不放回，记X为抽完某一种颜色所有的球所需的次数，则X的数学期望E（X）= .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c,（2a-c）cosB=bcosC.
（1）求角B的大小；
（2）若a=2，c=3，点D在边AC上，且BD平分∠ABC，求BD的长.
16.(本小题15分)
为了解居民体育锻炼情况，某地区对辖区内居民体育锻炼进行抽样调查.统计其中200名居民体育锻炼的次数与年龄，得到如下的频数分布表.
年龄次数 [20，30） [30，40） [40，50） [50，60]
每周0 2次 33 22 22 23
每周3 4次 12 17 25 22
每周5次及以上 3 3 12 6
（1）若把年龄在[20，40）的锻炼者称为青年，年龄在[40，60]的锻炼者称为中年，每周体育锻炼不超过2次的称为体育锻炼频率低，
不低于3次的称为体育锻炼频率高，根据小概率值α=0.01的独立性检验判断体育锻炼频率的高低与年龄是否有关联；
（2）从每周体育锻炼5次及以上的锻炼者中，按照表中年龄段采用按比例分配的分层随机抽样，抽取8人，
再从这8人中随机抽取3人，记这3人中年龄在[30，40）与[50，60]的人数分别为X，Y，ξ=|X-Y|，求ξ的分布列与期望；
参考公式：.
附：
α 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001
xa 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
17.(本小题15分)
如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形，∠ADC=60°，PA=1，AB=2，，平面PAB⊥底面ABCD，直线PC与底面ABCD所成的角为30°.
（1）证明：平面PAD⊥平面PAC；
（2）求二面角B-PC-D的余弦值.
18.(本小题17分)
已知椭圆的左、右顶点分别为A1，A2，上、下顶点分别为B1，B2，记四边形A1B1A2B2的内切圆为C，P为Γ上任意一点，过P作C的两条切线分别交Γ于M，N两点.
（1）求C的标准方程；
（2）求证：OP⊥OM；
（3）求|MP|+|NP|最小值.
19.(本小题17分)
已知函数f（x）=lnx-x+1.
（1）求f（x）的极值；
（2）若f（x）+kx≤xlnx+1恒成立，求实数k的取值范围；
（3）当a≥1时，讨论g（x）=f（ex）+axcosx在区间上零点的个数.
1.【答案】D
2.【答案】C
3.【答案】A
4.【答案】C
5.【答案】B
6.【答案】C
7.【答案】C
8.【答案】C
9.【答案】ABD
10.【答案】AD
11.【答案】ABD
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】B=60°
16.【答案】认为体育锻炼频率的高低与年龄有关 分布列为：
ξ 0 1 2
P

17.【答案】（1）证明：因为PA=1，AB=2，，所以PA2+AB2=PB2，则PA⊥AB．
又因为平面PAB⊥底面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，所以PA⊥平面ABCD．
而AC 平面ABCD，所以PA⊥AC．
于是∠PCA即为PC与底面ABCD所成的角，即∠PCA=30°．
因为PA=1，所以，PC=2，
由∠ADC=60°，DC=AB=2，得AC2=AD2+DC2-2 AD DC cos60°，解得AD=1，
从而AD2+AC2=DC2，于是AD⊥AC，
因为AD∩PA=A，所以AC⊥平面PAD．
而AC 平面PAC，所以平面PAC⊥平面PAD．
（2）解：由（1）知AC、AD、AP两两垂直，分别以AC、AD、AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系．
因为P（0，0，1），，，D（0，1，0），
所以，，，
设平面PBC的一个法向量为，则解得
取x=1，则．
设平面PDC的一个法向量为，则解得
取a=1，则．
令二面角B-PC-D为θ，显然θ为钝角，则．
所以二面角B-PC-D的余弦值为．

18.【答案】x2+y2=3 证明：当点P在顶点时，
由（1）知，OP⊥OM成立；
当点P不在顶点时，
设直线PM的方程为mx+ny=1，
因为PM与曲线C相切，
所以，
整理得．
联立，
可得，
即kOM，kOP是该方程的两根，
所以，
则OP⊥OM
19.【答案】f（x）的极大值为0，无极小值 （-∞，1] 3个零点
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