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2025-2026学年重庆市九龙坡区高二（下）期末数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知命题p： x∈R，x2-x+1＞0，则 p（　　）
A. x∈R，x2-x+1≤0 B. x∈R，x2-x+1≤0
C. x∈R，x2-x+1＞0 D. x∈R，x2-x+1≥0
2.若一质点的位移s（单位：米）关于时间t（单位：秒）的函数关系式为s（t）=2sint+1，则该质点在时的瞬时速度为（　　）
A. B. 2 C. D. 1
3.已知集合M，N均为R的子集，且N∩（ RM）= ，则（　　）
A. M N B. M∩N= C. M∪N=M D. M∪N=R
4.“x＞5”是的（　　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.设随机变量X服从两点分布，已知P（X=1）=m,，则D（X）=（　　）
A. B. C. D.
6.现用Python生成随机秘钥，该秘钥共4位，前3位在1，2，3，4，5这五个数字中进行选择（可以重复），第4位要求从X，Y，Z这三个字母中进行选择，则可生成秘钥的数量为（　　）
A. 60 B. 75 C. 180 D. 375
7.已知正数x,y满足x-y+xy=0，则的最小值为（　　）
A. 4 B. 7 C. 8 D. 9
8.若函数f（x）=（x2-x-1）ex-m有3个零点，则实数m的取值范围是（　　）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知，则（　　）
A. a0=3 B. a2=-90 C. a10=-2 D.
10.已知函数，则（　　）
A. f（x）在区间（1，+∞）上单调递增
B. f（x）的最大值为
C. 过原点且与曲线f（x）相切的直线方程为
D. 不等式的解集为
11.在一次篮球训练课上，教师为了训练学生投篮，规定：若学生出现连续2次投篮命中，则该学生停止投篮.小明同学参加了本次训练，小明每次投篮的命中率为，且各次投篮是否命中相互独立.则（　　）
A. 小明同学投篮2次就停止投篮的概率为
B. 小明同学投篮4次就停止投篮的概率为
C. 小明同学投篮3次后没有停止投篮的概率为
D. 小明同学投篮总次数的数学期望为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数的所有极值点之和为 .
13.某人参加趣味射击比赛，比赛按轮进行，每轮比赛中需射击固定或移动目标一次，其中每轮中出现固定目标的概率为，此人击中固定目标的概率为，出现移动目标的概率为，此人击中移动目标的概率为，每轮是否击中目标相互独立.则此人在一轮射击中击中目标的概率为 .
14.现有甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者将到A，B，C三个社区开展防电信诈骗宣传活动（三个社区开展活动的时间不重复），向市民普及防诈骗、反诈骗的知识.要求每名志愿者选择1个社区或2个社区，且每个社区恰有2人选择，则不同选择方案的种数为 .（用数字作答）
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数f（x）=xlnx-x.
（1）若直线y=x+b是曲线f（x）的一条切线，求实数b的值；
（2）求f（x）的单调区间和极值.
16.(本小题15分)
某公司为研究“微短剧”喜好与观众性别是否有关联进行了一次调查，并将收集的数据整理后填入如下列联表：
性别 “微短剧”喜好 合计
喜欢 不喜欢
男 45 45 90
女 75 35 110
合计 120 80 200
（1）根据小概率值α=0.01的独立性检验，能否认为“微短剧”喜好与观众性别有关？
（2）现从喜欢“微短剧”的观众样本中按分层（按性别分层）随机抽样的方法抽取8人，进行调研，再从这8人中随机抽取4人，记这4人中女观众的人数为X，求X的分布列和数学期望.
附：，n=a+b+c+d.
α 0.1 0.05 0.01 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 10.828
17.(本小题15分)
某商家对其销售的一种商品的销售情况进行统计分析.
（1）统计该商品在2025年1-6月的销售量如下：
月份代号x 1 2 3 4 5 6
销售量y（单位：万件） 1.5 2.3 2.8 3.2 3.7 4.5
已知销售量y与月份x具有较强的线性相关关系，求y关于x的经验回归方程，并求样本点（2，2.3）对应的残差；
（2）经统计该商品的销售利润X（单位：万元）近似服从正态分布N（8，2.25），求销售利润在（6.5，11）的概率.
附：回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：.
若X～N（μ，σ2），则P（|X-μ|＜σ）=0.6827，P（|X-μ|＜2σ）=0.9545.
18.(本小题17分)
某工厂有甲、乙两台机器设备生产同一型号的零件，经质检人员抽样检测发现：甲机器生产的一批零件的合格率为94%，乙机器生产的一批零件的合格率为98%，已知甲、乙两台机器各生产的这批零件的数量很大，请用频率估计概率解答下列问题.
（1）现从甲机器和乙机器生产的这批零件中各抽取1个零件，求这2个零件中恰有1件为合格品的概率；
（2）若甲机器和乙机器各生产的这批零件混合放在一起，其合格率为97%，现从混合放在一起的零件中随机抽取n（n≥2）件.
（i）当n=3时，记这3个零件来自甲机器生产的零件的个数为X，求X的分布列和数学期望；
（ii）记其中恰有2件不合格品的概率为Pn，求Pn取得最大值时n的值.
19.(本小题17分)
已知函数，.
（1）求f（x）的最小值；
（2）若g（x）≥b恒成立，求ab的最大值；
（3）若g（x）有两个零点x1，x2，且x1＜x2，证明：.
1.【答案】A
2.【答案】D
3.【答案】C
4.【答案】A
5.【答案】A
6.【答案】D
7.【答案】C
8.【答案】D
9.【答案】BD
10.【答案】BCD
11.【答案】ABD
12.【答案】-1
13.【答案】
14.【答案】180
15.【答案】b=-e
单调递减区间为（0，1），单调递增区间为（1，+∞），极小值为f（1）=-1，无极大值
16.【答案】能认为“微短剧”喜好与观众性别有关
X的分布列为：
X 1 2 3 4
P
数学期望为
17.【答案】；0.14
0.8186
18.【答案】0.0776
（i）X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
；（ii）66
19.【答案】1
证明：g（x）=ex-ax=0有两个零点，即ex=ax有两个根，
因为a＞0，所以x＞0，由（2）知，g（x）在x=lna处取最小值a（1-lna），
由g（x）有两个零点，得a（1-lna）＜0 lna＞1 a＞e，
此时0＜x1＜lna＜x2，且，，，
要证，将代入，得，
不等式变为：，
又因为x1满足，即，
代入上式：，
已知x1∈（0，1），x2∈（1，+∞）且，
取对数得：x1-lnx1=x2-lnx2，令φ（x）=x-lnx，则φ（x1）=φ（x2），
我们需要证明x1＜1+lnx2，
由于x1∈（0，1）是φ（x）=φ（x2）在（0，1）上的唯一解，且φ（x）在（0，1）上递减，
只需证明φ（1+lnx2）＜φ（x1）=φ（x2），
因为x2＞1，所以1+lnx2＞1，
而x1∈（0，1），φ（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，
要证x1＜1+lnx2，即证φ（x1）＞φ（1+lnx2），
已知φ（x1）=φ（x2），所以只需证φ（x2）＞φ（1+lnx2）对于x2＞1成立，
令t=x2＞1，设D（t）=（t-lnt）-[1+lnt-ln（1+lnt）]=t-2lnt-1+ln（1+lnt），
当t＞1时，lnt＞0，，
设m（t）=t-lnt-1，t＞1，则所以m（t）＞m（1）=0，
所以D'（t）＞0，则D（t）在（1，+∞）单调递增，D（t）＞D（1）=0，
所以φ（x2）＞φ（1+lnx2）成立，
即x1＜1+lnx2成立，所以
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