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2025-2026学年陕西省西安市高新区第一中学高二（下）期末数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知集合A={x∈N|x2＜7}，B={-1，0，1，2，3}，则A∩B=（　　）
A. {1，2} B. {-1，0，1} C. {0，1，2} D. {1，2，3}
2.已知向量，，且，则m=（　　）
A. -4 B. 4 C. -9 D. 9
3.设随机变量X服从正态分布N（100，σ2），若P（X＜80）=0.1，则P（X＜120）=（　　）
A. 0.1 B. 0.2 C. 0.4 D. 0.9
4.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a2-a3+a4=5，则S5=（　　）
A. 10 B. 15 C. 20 D. 25
5.已知复数z1=1+2i在复平面内，复数z1，z2对应的点分别为Z1，Z2，且点Z1与点Z2关于直线y=x对称，则|z1-z2|=（　　）
A. B. C. D. 5
6.若，，则tanθ=（　　）
A. B. C. D. 2
7.设F1，F2分别为双曲线的左右焦点，过F2的直线交双曲线右支于A，B两点，若|F1A|=|AB|，则双曲线的离心率可以是（　　）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
8.在平行四边形ABCD中，，4AB2+2BD2=1，现沿BD将平行四边形ABCD折成直二面角A-BD-C，则三棱锥A-BCD的外接球的表面积为（　　）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.某超市统计了2025年前10个月该超市的营业额（单位：万元），得到了如图所示的折线图，则下列说法正确的是（　　）
A. 从二月份开始，每月与上个月相比，营业额下降得最多的是五月份
B. 这10个月营业额的极差为37万元
C. 前5个月营业额的方差大于后5个月营业额的方差
D. 这10个月营业额数据的下四分位数为23
10.设函数f（x）=（x3-x）lnx,则（　　）
A. f（x）是偶函数 B. f（x）≥0
C. f（x）在区间（0，1）上单调递增 D. x=1为f（x）的极小值点
11.已知点，B（x0，y0）均在抛物线C：y2=2px（p＞0）上，F是C的焦点，则（　　）
A. p=1 B. 直线AF∥y轴
C. 若y0＜-1，则|AF|＞|BF| D. 若|y0|＜2x0，则|AF|＜|BF|
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.等比数列{an}中，a1+a2=1，a4+a5=8，则{an}的前4项和等于 .
13.已知α，β为锐角，若，，则sinα+sinβ= ；
14.某同学在课下进行一场纸牌游戏，其规则如下：现有标注数字1—5和7的六张纸牌，随机发给三位同学，每位同学分到2张牌，则第一、二位同学分到的牌面数字之和均不小于第三位同学的牌面数字之和的概率是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知锐角△ABC三个内角A，B，C的对边分别是a,b,c,若ccosA+csinA=b+a.
（1）求C的大小；
（2）求的取值范围.
16.(本小题15分)
某科技公司在招聘人工智能工程师的选拔过程中，对200名应聘者进行专业技能测试.应聘者的测试成绩全部介于30分到80分之间，公司将所有成绩分成5组：[30，40），[40，50），…，[70，80]，整理得到如下的频率分布直方图（假设数据在组内均匀分布）：
（1）估计本次测试中成绩处于前60%的应聘者，其测试成绩不低于多少分？（结果保留整数）
（2）从成绩在[60，70）与[70，80]范围内的两组中，按分层抽样随机选出7人.现从这7人中随机选出两人，已知选取的两人中至少有1人成绩在[70，80]内，求这两人的成绩都在[70，80]内的概率.
17.(本小题15分)
已知四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，SA⊥底面ABCD，平面SAB⊥平面SBC.
（1）求证：BC⊥平面SAB；
（2）若SA=AB=1，AD=，点E在棱SC上，且SE=2EC，求平面ABD与平面BDE夹角的余弦值.
18.(本小题17分)
已知定点A1（-2，0）和A2（2，0），动点M满足直线MA1与MA2的斜率之积为定值.
（1）求动点M的轨迹方程，并指出随m变化时方程所表示的曲线C的形状；
（2）若m=-1，设直线l与曲线C相交于E，F两点，直线OE、l、OF的斜率分别为k1，k、k2（其中k＞0），△OEF的面积为S，若k1、k、k2依次成等比数列，
（i）求证|OE|2+|OF|2为定值；
（ii）求S的取值范围.
19.(本小题17分)
已知函数f（x）=（ax2+x+1）ex在点A（x0，f（x0））处的切线为l1.
（1）若x0=1时，切线l1与x轴平行，求a的值；
（2）若f（x）在x=-2处取得极大值，求a的取值范围；
（3）过点A的直线l2与l1垂直，当l1，l2都与x轴相交时，交点的横坐标分别是x1，x2.当时，求的取值范围.
1.【答案】C
2.【答案】C
3.【答案】D
4.【答案】D
5.【答案】A
6.【答案】B
7.【答案】A
8.【答案】A
9.【答案】AC
10.【答案】BD
11.【答案】ABD
12.【答案】5
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】

16.【答案】52

17.【答案】证明：过点A作AP⊥SB，垂足为P，因为平面SAB⊥平面SBC，
平面SAB∩平面SBC=SB，AP 平面SAB，所以AP⊥平面SBC，又BC 平面SBC，所以AP⊥BC，
又因为SA⊥底面ABCD，BC 底面ABCD，所以SA⊥BC，又SA∩AP=A，
所以BC⊥平面SAB

18.【答案】动点M的轨迹方程为，
当m∈（0，+∞），轨迹是焦点在x轴上的双曲线，且点A1（-2，0）和A2（2，0）不在曲线上；当m∈（-4，0），轨迹是焦点在x轴上的椭圆，且点A1（-2，0）和A2（2，0）不在曲线上；当m=-4，轨迹是圆，且点A1（-2，0）和A2（2，0）不在曲线上；当m∈（-∞，-4），轨迹是焦点在y轴上的椭圆，且点A1（-2，0）和A2（2，0）不在曲线上
（i）此时直线方程为，将代入韦达定理得，
，
因为，
所以代入得，
所以|OE|2+|OF|2定值为5．
（ii）S的取值范围为（0，1]
19.【答案】-1；
；
（-1，1）
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