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2025-2026学年广东省深圳市实验学校高中园高一（下）期末数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.样本数据5，8，8，9，9，9的众数为（　　）
A. 4 B. 8 C. 8.5 D. 9
2.已知半径为R的球的体积与表面积相等，则R=（　　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3.已知向量，则t=（　　）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 0
4.如图，平行四边形O′A′B′C′是水平放置的四边形OABC的直观图，O′C′=2，，则四边形OABC的面积S=（　　）
A.
B.
C.
D.
5.如图，在平行四边形ABCD中，M为AB的中点，AC与DM交于点O，则=（　　）
A.
B.
C.
D.
6.已知一组数据x1，x2，x3，…，xn的平均数为，将这组数据分别加上它们的平均数，得到一组新数据，则新数据与原数据相比（　　）
A. 平均数不变 B. 方差不变 C. 极差变大 D. 中位数不变
7.为深入学习贯彻习近平新时代中国特色社会主义思想，某校于2026年1月组织高一、高二、高三三个年级共400名学生参加“青春心向党 奋进新征程”党史知识竞赛.如图，结合参赛学生的年级分布饼图与高一学生的排名分布频率条形图，下列命题中错误的是（　　）
A. 这400名学生中，高一人数比高二人数多40
B. 成绩前200名的高一学生有90人
C. 成绩前100名的学生中，高三学生人数不超过64
D. 成绩第101名到第200名的学生中，高二人数比高一人数多
8.已知非零向量与满足，且，点D是△ABC的边AB上的动点，则的最小值为（　　）
A. -1 B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.若复数z满足zi=3+4i（i为虚数单位），则（　　）
A. B. |z|=5 C. D. z2=7-24i
10.一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的五张号签，从中有放回地随机选取两张号签，每次取一张.事件A=“第一次取到标号为1或2的号签”，事件B=“第二次取到标号为5的号签”，事件C=“两张号签标号之和为5”，则（　　）
A. A与B独立 B. B与C对立 C. D.
11.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是BD的中点，N是线段CD1上一动点，则下列说法正确的有（　　）
A. 三棱锥N-BAA1的体积随着点N的位置的改变而随之变化．
B. 无论点N在何处，始终有B1D⊥平面ACN成立．
C. 直线MN与平面ABCD所成角的正切值的取值范围为．
D. 平面BDN截得正方体ABCD-A1B1C1D1的截面可能是三角形或四边形．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若，是单位向量，且 =-，则与的夹角是______．
13.在△ABC中，b=ccosA，则△ABC一定为 三角形.（选填“锐角”、“直角”、“钝角”、“等腰”）
14.如图所示的电路中，每个元件接通的概率均为且相互独立，则这个电路接通的概率为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题15分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c,且.
（1）求角B；
（2）若C=75°，b=2，求边a.
16.(本小题15分)
在四棱锥S-ABCD中，平面SAB⊥平面ABCD，，底面ABCD为菱形，AB=2，，E，F分别是SA，BC的中点.
（1）求证：EF∥平面SCD；
（2）求点B到平面SCD的距离.
17.(本小题15分)
已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，B是钝角，且a=2bsinA．
（1）求B的大小；
（2）若△ABC的面积为，且b=7，求a+c的值；
（3）若b=6，求△ABC面积的最大值．
18.(本小题15分)
某校高一年级开设有羽毛球训练课，期末对学生进行羽毛球五项指标（正手发高远球、定点高远球、吊球、杀球以及半场计时往返跑）考核，满分100分.参加考核的学生有40人，考核得分的频率分布直方图如图所示.
（1）由频率分布直方图，求出图中t的值，并估计考核得分的第60百分位数；
（2）为了提升同学们的羽毛球技能，校方准备招聘高水平的教练.现采用分层抽样的方法（样本量按比例分配），从得分在[70，90）内的学生中抽取5人，再从中挑出两人进行试课，求两人得分分别来自[70，80）和[80，90）的概率；
（3）现已知直方图中考核得分在[70，80）内的平均数为75，方差为6.25，在[80，90）内的平均数为85，方差为0.5，求得分在[70，90）内的平均数和方差.
19.(本小题17分)
“风筝”是中国传统文化中不可或缺的一部分，距今已有2000多年的历史.相传在东周春秋时期，墨翟以木头制成木鸟，是人类最早的风筝起源.后来鲁班用竹子，改进墨翟的风筝材质，直至东汉期间，蔡伦改进造纸术后，坊间才开始以纸做风筝，称为“纸鸢”.到南北朝时，风筝开始成为传递信息的工具；从隋唐开始，由于造纸业的发达，民间开始用纸来裱糊风筝；到了宋代的时候，放风筝成为人们喜爱的户外活动.风筝主要由骨架、风筝面、尾翼、提线、放飞线五部分组成.如图（1）就是一个由菱形的风筝面ABCD和两个直角三角形尾翼△ADQ和△CDP所组成的风筝.其中，PD⊥CD，QD⊥AD，AD=1，.现将此风筝的两个尾翼分别沿AD、CD折起，使得点P与点Q重合于点S，并连结BS，得到如图（2）所示的四棱锥S-ABCD.
（1）求证：AC⊥平面SBD；
（2）若E为棱SA上一点，记；
①若，求直线CE与平面SBD所成角的正切值；
②是否存在点E使得直线CE与直线AD所成角为60°，若存在，请求出λ的值，若不存在，请说明理由.
1.【答案】D
2.【答案】C
3.【答案】A
4.【答案】B
5.【答案】A
6.【答案】B
7.【答案】D
8.【答案】C
9.【答案】BD
10.【答案】ACD
11.【答案】BCD
12.【答案】
13.【答案】直角
14.【答案】
15.【答案】45°

16.【答案】取SD的中点M，连接ME，MC，
因为E，M分别为SA，SD的中点，则EM∥AD且，
又因为F为BC的中点，且四边形ABCD为菱形，则FC∥AD且，
可得EM∥FC且EM=FC，可知四边形EFCM是平行四边形，则EF∥MC，
且MC 平面SCD，EF 平面SCD，所以EF∥平面SCD

17.【答案】解：（1）∵，
∴利用正弦定理可得：，又sinA≠0，
∴可得：，
∵B是钝角，
∴；
（2）∵．
∴可得：ac=15，
∵b2=a2+c2-2accosB，
∴49=（a+c）2-ac，
∴a+c=8；
（3）∵b2=a2+c2-2accosB，
∴36=a2+c2+ac≥2ac+ac，
∴ac≤12，
∴，（当且仅当时面积取最大值）．
18.【答案】解：（1）由题意得：10×（0.01+0.015+0.020+t+0.025）=1，
解得t=0.03，
设第60百分位数为x,
则0.01×10+0.015×10+0.02×10+0.03×（x-80）=0.6，
解得x=85，
即第60百分位数为85；
（2）由题意知，抽出的5位同学中，得分在[70，80）的有人，设为A、B，
在[80.90）的有人，设为a、b、c,
则样本空间为Ω={（A，B），（A，a），（A，b），（A，c），（B、a），（B，b），（B，c），（a,b），（a,c），（b,c）}，n（Ω）=10，
设事件M=“C两人分别来自[70，80）和[80，90）”，
则M=（A，a），（A，b），（A，c），（B，a），（B，b），（B，c）}，n（M）=6，
因此，
所以两人得分分别来自[70，80）和[80，90）的概率为；
（3）考核得分在[70，80）内的人数为0.02×10×40=8人，在[80，90）内的人数为0.03×10×40=12人，
所以得分在[70，90）内的平均数为×7585=81，
方差为×[6.25+（75-81）2][0.5+（85-81）2]=26.8．
19.【答案】（1）证明：连接AC，交BD于点O，
∵底面ABCD为菱形，∴AC⊥BD，
由题意知，SD⊥AD，SD⊥CD，
∵AD∩CD=D，AD 平面ABCD，CD 平面ABCD，
∴SD⊥平面ABCD，
又AC 平面ABCD，∴SD⊥AC，
∵SD∩BD=D，SD 平面SBD，BD 平面SBD，
∴AC⊥平面SBD．
（2）解：①连结SO，交CE于点G，
由（1）得CO⊥平面SBD，
∴∠CGO为直线CE与平面SBD所成角，
∵，AD=CD=1，∠BAD=60°，
∴，即△SAC为等边三角形，
∵，∴，
在△SEC中，∠ASC=60°，，
由余弦定理得，CE2=SE2+SC2-2SE SCcos∠ASC=+3-2×××cos60°=，即CE=，
∴，
∴，
∴，
∴，
故直线CE与平面SBD所成角的正切值为．
②连结BE，
∵BC∥AD，
∴∠ECB或其补角为直线CE与直线AD所成角，
假设存在点E，满足∠ECB=60°，
由得，，，
在△SEC中，∠ASC=60°，，
由余弦定理得，CE2=SE2+SC2-2SE SCcos∠ASC=3λ2+3-2×××cos60°=3λ2-3λ+3，
过点E作EH⊥AD于H，
由SD⊥平面ABCD，AD 平面ABCD，得SD⊥AD，∴EH∥SD，
由得，，
∵AD=1，∴DH=λ，，
在△DHB中，由余弦定理得，，
由EH∥SD，SD⊥平面ABCD得，EH⊥平面ABCD，
又HB 平面ABCD，∴EH⊥HB，
在Rt△EHB中，由勾股定理得，，
在△BCE中，BC=1，∠ECB=60°，
由余弦定理得，，
解得或（舍负），
故存在使得直线CE与直线AD所成角为60°．
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