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2026年广东省汕头市濠江区九年级下学期学业质量检测卷（数学）
1．下列以数学家名字命名的图形中，是轴对称图形的是（　　）
A．赵爽弦图 B．斐波那契螺旋线
C．阿基米德螺线 D．笛卡尔心形线
【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：、赵爽弦图是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的大正方形，无论沿哪条直线对折，直线两侧的部分都无法完全重合，所以它不是轴对称图形，故A错误.
、斐波那契螺旋线是一种优美的曲线，它没有对称轴，无论沿哪条直线对折，直线两侧的部分都不能完全重合，因此不是轴对称图形，故B错误.
、阿基米德曲线是一种螺旋线，它也不存在对称轴，沿任何直线对折后，直线两侧的部分都无法完全重合，所以不是轴对称图形，故C错误.
、笛卡尔心形线是一个经典的轴对称图形，它有一条对称轴，沿这条对称轴对折后，直线两侧的部分能够完全重合，是轴对称图形，故D正确.
故答案为：．
【分析】根据轴对称图形的定义，分别对A、B、C、D 各选项判断即可得赵爽弦图不是轴对称图形，斐波那契螺旋线不是轴对称图形，阿基米德曲线不是轴对称图形，笛卡尔心形线是轴对称图形，即可得答案.
2．2025年是不平凡的一年．这一年，我国有效应对局地干旱、洪涝、连阴雨等不利气象灾害，粮食总产量达14298亿斤，再创历史新高，连续两年站稳1.4万亿斤台阶．“14298亿”用科学记数法表示为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：根据科学记数法得方法得：14298亿．
故答案为：C.
【分析】根据科学记数法的表示方法为，确定的值即可得答案.
3．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【知识点】不等式的解及解集；在数轴上表示不等式组的解集
【解析】【解答】解：，
解①得：，
解②得：，
不等式组的解集为：.
把解集在数轴上表示为：
故答案为：B.
【分析】分别解出①、②不等式，即可得不等式组的解集为，把解集在数轴上表示出来即可得答案.
4．下列视图中，可能是圆柱体的俯视图的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：圆柱体竖直放置时，俯视图是圆；圆柱体水平放置时，俯视图是矩形， 当矩形是特殊矩形时即为正方形.
A选项三角形，B选项平行四边形，D选项六边形，都错误，C选项正方形正确.
只有C选项可能是圆柱体的俯视图．
故答案为：C.
【分析】根据圆柱体竖直放置时，俯视图是圆；圆柱体水平放置时，俯视图是矩形， 当矩形是特殊矩形时即为正方形，即可得答案.
5．实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】实数在数轴上的表示；不等式的性质；绝对值的概念与意义；判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解：A．∵表示数a的点比表示数b的点离原点远，
∴，故A正确.
B．∵且，
∴，故B不正确.
C．∵，
∴，故C不正确.
D．由数轴可知：，故D不正确.
故答案为：A.
【分析】根据数a的点比表示数b的点离原点远，得，再结合得，根据得，由数轴可知：，即可得答案.
6．如果圆的半径是，圆心到直线的距离是，那么直线与圆的位置关系是（　　）
A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定
【答案】A
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：根据题意得：圆的半径，圆心到直线的距离
直线与圆的位置关系是相离．
故答案为：A.
【分析】根据直线与圆位置关系的判定规则，当圆心到直线的距离大于圆的半径时，直线与圆相离，即可得答案.
7．已知，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用；分式的值；二次根式的乘除混合运算
【解析】【解答】解：．
故答案为：A.
【分析】根据完全平方公式把转换为，然后把代入计算即可得答案.
8．如图是年月的月历，小李同学用图2形框在图1的月历上框出四个数字，将该图形框上下左右移动，且一定要框住月历中的四个日期．若其中两个日期如图3所示，则与的数量关系是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】探索数与式的规律；一元一次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题
【解析】【解答】解：月历横排相邻两个数相差，竖排相邻两个数相差，
第一排的两个数字为，，第二排的两个数字为，，
，
，
故答案为：．
【分析】通过观察月历，月历横排相邻两个数相差，竖排相邻两个数相差，即可第一排的两个数字为，，第二排的两个数字为，，即可列方程推出与的数量关系．
9．如图，用边长相等的3个正五边形和中间的正三角形密铺成了如图所示的花瓣形图案，每个正五边形均与三角形有一组公共边，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等边三角形的性质；多边形内角与外角；平面镶嵌（密铺）；正多边形的性质
【解析】【解答】解：∵3个正五边形的边长相等，
∴3个正五边形的每个内角都相等，
∵正五边形的内角和为：，
∴每个内角度数为，
∵正三角形的每个内角度数为，周角为，
．
故答案为：B.
【分析】根据正五边形内角和公式得正五边形的内角和为540度，即可计算出正五边形每个内角度数为108度，再根据正三角形的每个内角度数为，周角为，即可求出的度数．
10．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点都在网格的格点上，则下列结论中不正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简；平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】解：如图，
A、，故A正确，不选.
B、根据题意得：，故B正确，不选.
C、∵，
∴，
∴，故C错误，选C.
D、∵，
∴，
∵，
∴，
∴，故D正确，不选.
故答案为：C.
【分析】根据勾股定理得，可判断A正确，观察图形得，故B正确，再根据勾股定理得，结合得，即可得，可判断C，根据勾股定理得
，即可得相等，再根据即可得，进一步得可判断D，即可得答案.
11．分式方程的解是　 　．
【答案】5
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：
去分母得：
去括号得：
移项合并同类项得：
检验：当时，
∴原方程的解为.
故答案为：5.
【分析】把去分母、去括号、移项合并同类项得：，检验后知道原方程的解为.
12．2026年3月14日是全球的第七个“国际数学日”，其主题为“数学与希望”．为了让同学们更好地领略数学的魅力，某校在活动日策划了“数阵寻宝”“方程追击”“连数成画”三个挑战游戏．每人随机选择参与其中一个游戏，则小陈和小赵选择的游戏相同的概率为　 　．
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：记三个挑战游戏分别为，，．根据题意，画出树状图：
根据树状图得：所有等可能的结果总数为9种．其中小陈和小赵选择相同游戏的结果有种．
∴小陈和小赵选择的游戏相同的概率为．
故答案为：.
【分析】记三个挑战游戏分别为，，，根据题意画出树状图如下，根据树状图得：所有等可能的结果总数为9种．其中小陈和小赵选择相同游戏的结果有种，代入概率公式计算即可得答案.
13．如图，数学课上，老师让同学们从卡纸上剪下一个扇形，它可以折成一个底面半径为，高为的圆锥体，那么这个扇形的面积是　 　．
【答案】
【知识点】扇形面积的计算；圆锥的计算；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，
设圆锥的母线为，这个扇形的圆心角，则：，
∵圆锥的底面周长等于扇形的弧长，
∴，
∴，解得：，
∴．
故答案为：.
【分析】根据勾股定理，结合圆锥体底面半径为，高为，计算出母线的长度为10，再根据弧长公式可知圆心角为216度，再根据面积公式即可得扇形的面积为.
14．钢琴调音时，琴弦的振动频率 f（单位：）与琴弦的张力调节系数满足某种函数关系．调音师在某架钢琴调音时记录了以下数据：
张力调节系数 … 1 2 3 4 …
振动频率（） … 429 432 435 438 …
已知钢琴标准音高为，此时琴弦的振动频率为，调音师要将该钢琴调至标准音高，则张力调节系数应增加　 　．
【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：设该函数关系式为，把代入得：
，解得：，
∴该函数关系式为，
当时，，此时，
当时，，此时，
∵，
∴调音师要将该钢琴调至标准音高，则张力调节系数应增加．
故答案为：.
【分析】根据琴弦的振动频率 f（单位：）与琴弦的张力调节系数满足一次函数关系，设该函数关系式为，把代入即可列方程组，解出即可得该函数关系式为，分别求出当、430时，x的值即可得调音师要将该钢琴调至标准音高，则张力调节系数应增加．
15．计算：　 　．（结果用乘方表示）
【答案】
【知识点】完全平方公式及运用；乘方的相关概念；求算术平方根
【解析】【解答】解：
.
故答案为：.
【分析】把变形为，进一步计算即可得答案.
16．计算：．
【答案】解：原式
.
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的混合运算；求特殊角的三角函数值；实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】根据二次根式的化简方法以及特殊角的三角函数值化简得，再进行加减运算即可得答案.
17．如图，在中，．
（1）【动手操作】按以下要求，用无刻度的直尺和圆规作图（不写作法，保留作图痕迹）：
①作边的中线；
②再作点关于点的对称点，并连接、；
（2）【推理证明】求证：四边形是菱形．
【答案】（1）解：根据尺规作图的方法，作①②图形如下：
①如图所示，即为所求．
②如图所示，点、、即为所求．
（2）证明：如图，
∵，
∴是等腰三角形．
∵是边的中线，
∴．
∵，
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴四边形是菱形．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；菱形的判定；尺规作图-垂直平分线；尺规作图-中线
【解析】【分析】（1）先作线段的垂直平分线，与交于点，连接即得到边上的中线，再延长至点，使，最后连接、，即可得答案.
（2）先根据相等得是等腰三角形，再根据是边的中线，得相等，结合相等，即可判断四边形是平行四边形，再结合相等，即可证明四边形是菱形．
（1）解：①如图所示，即为所求．
②如图所示，点、、即为所求．
（2）证明：∵，
∴是等腰三角形．
∵是边的中线，
∴．
∵，
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴四边形是菱形．
18．近年来，露营成为广受人们欢迎的假日休闲方式，从家边绿地到旷野山林，各具特色的露营地吸引着大家前去体验，各式帐篷已成为户外活动的必要装备，其中抛物线型帐篷支架简单，携带方便，适合休闲旅行使用．如图1，这款帐篷搭建时张开的宽度，顶部高度，在图1中以所在直线为x轴，的中点为原点，建立平面直角坐标系．
（1）求帐篷支架对应的抛物线的函数表达式；
（2）每款帐篷张开时的宽度和顶部高度都会影响其容纳椅子的数量，图2为一张椅子摆人这款帐篷后的简易视图，椅子高度，宽度，若在帐篷内沿所在的水平方向摆放一排这种椅子（椅子间的间隔忽略不计），求最多可摆放的椅子数量．
【答案】（1）解：帐逢张开时的宽度，顶部高度，
，顶点坐标为．
设抛物线的函数表达式为，
将代入，得，解得，
抛物线的函数表达式为．
（2）解：椅子的高度，宽度，
将代入，得，解得，
∴，（把），
最多可撰放6把椅子．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【分析】（1）根据帐逢张开时的宽度，顶部高度，求出，顶点坐标为，设抛物线的函数表达式为，列方程组求解即可得抛物线的函数表达式.
（2）将代入，解出的值，然后用两根之差除以椅子的宽度即可得最多可撰放6把椅子．
（1）解：帐逢张开时的宽度，顶部高度，
，顶点坐标为．
设抛物线的函数表达式为，
将代入，得，
解得，
抛物线的函数表达式为．
（2）解：椅子的高度，宽度，
将代入，
得，
解得，
，
（把），
最多可撰放6把椅子．
19．问题：如何仅用直尺和圆规，过圆上一点作已知圆的切线？
【拓展作法】小明提出一种想法：如图，设点为上一点，先作射线交于点，再以上一点为圆心（点不与点、重合），以长为半径画圆弧，交射线于点，交射线于点，连接．
（1）【推理证明】小明认为此时是的切线．请你帮小明写出证明过程；
（2）【数值计算】若，，求的半径．
【答案】（1）证明：如图，
根据题意得：．
点在同一条直线上，
为的直径．
，即．
为的半径，
为的切线．
（2）解：如图，
连接，
为的直径，
．
，
，
，
．
．
．
，
．
．
的半径为．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；切线的判定与性质；解直角三角形；圆与三角形的综合；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）根据题意得相等，根据为的直径得，再根据为的半径，即可得为的切线．
（2）根据为的直径，得等于90度，根据相等，得相等，根据等于等于90度，即可得相等，即可得
等于，即可得，进一步得的半径为．
（1）证明：依题意得．
点在同一条直线上，
为的直径．
，即．
为的半径，
为的切线．
（2）解：如图，连接，
为的直径，
．
，
，
，
．
．
．
，
．
．
的半径为．
20．英歌舞是潮汕特色民俗，融武术、舞蹈、戏剧于一体，文化底蕴深厚、艺术魅力独特．当地精选甲、乙、丙三名青年重点培养，助力非遗活态传承．现组织专项测试，综合考评三人理论与实操能力，精准掌握优缺点，为定制培养、推动青年创新传承英歌舞提供依据．
在英歌舞理论知识测试中，甲、乙、丙三名青年的得分（满分为分）分别为分，分，分．技艺实践能力由位评委根据其表演呈现效果进行评分（每位评委打分分且为整数），各位评委打分之和作为该培养对象技艺实践能力成绩．甲、乙两人技艺实践能力得分的条形图，丙技艺实践能力得分的扇形图如下：
甲、乙、丙三名青年的技艺实践能力情况统计表
培养对象 评委打分的中位数 评委打分的众数 技艺实践能力成绩 方差
甲
乙
丙
（1）填空： ， ；
（2）请根据方差数据，分析哪位培养对象的技艺实践能力表现更稳定，评委对其评价的一致性程度更高？并说明理由．
（3）为全面考量三名培养对象的综合素质，组委会决定按照英歌舞理论知识测试成绩占，技艺实践能力成绩占的比例计算综合成绩．请分别计算甲、乙、丙三名培养对象的综合成绩，并判断谁的综合成绩最高，以此作为后续重点培养对象？
（4）如果你是组委会成员，为了使得选拔的英歌舞传承人培养对象的综合素质更全面，请你再增加一个评分维度，并基于这三个评分维度重新分配评分权重．
【答案】（1）；
（2）解：评委对乙青年技艺实践能力的评价一致性程度更高，理由如下：
由条形图可知，甲青年评委打分从低到高排列为：，，，，，，，，，．
．
．
，
．
评委对乙青年技艺实践能力的评价一致性程度更高．
（3）解：甲青年的综合成绩为，
乙青年的综合成绩为，
丙青年的综合成绩为．
，
乙青年的综合成绩最高，可作为后续重点培养对象．
（4）解：增加“团队协作能力”这一个评分维度，
评分权重重新分配为：英歌舞理论知识、技艺实践能力、团队协作能力这三个维度的评分权重分别为30%、50%、20%．
【知识点】扇形统计图；加权平均数及其计算
【解析】【解答】（1）解：计算丙的各分数评委人数：
得分的人数：
得分的人数：
得分的人数：
得分的人数：
得分的人数：
将丙的个得分从小到大排序，取第、第位得分的平均值得到中位数：.
统计乙的个评委得分的出现次数，得分出现的次数和得分出现的次数最多，得到众数.
∴，．
故答案为：；.
【分析】（1）根据丙的扇形图占比，计算丙的各分数评委人数，再排序即可找到中位数，再根据甲、乙得分条形图得乙的个评委的所有打分，根据次数最多的得分，即可得众数.
（2）根据条形图可知甲青年评委打分从低到高排序，即可求平均数，再根据方差公式即可计算方差，再对比三人的方差大小，即可得答案.
（3）按照题目给定的权重，分别将三人的理论成绩乘以对应权重、技艺实践成绩乘以对应权重后求和，得到各自的综合成绩，比较大小即可得答案.
（4）新增的维度需要贴合英歌舞传承人的实际需求，权重分配要保证原有核心考察项的占比不被过度削弱，同时覆盖传承人需要具备的其他重要能力，保障选拔的综合素质更全面．
（1）解：计算丙的各分数评委人数：
得分的人数：
得分的人数：
得分的人数：
得分的人数：
得分的人数：
将丙的个得分从小到大排序，取第、第位得分的平均值得到中位数：；
统计乙的个评委得分的出现次数，得分出现的次数和得分出现的次数最多，得到众数；
所以，．
（2）解：评委对乙青年技艺实践能力的评价一致性程度更高．
理由如下：由条形图可知，甲青年评委打分从低到高排列为：，，，，，，，，，．
．
．
，
．
评委对乙青年技艺实践能力的评价一致性程度更高．
（3）解：甲青年的综合成绩为，
乙青年的综合成绩为，
丙青年的综合成绩为．
，
乙青年的综合成绩最高，可作为后续重点培养对象．
（4）解：例如：增加“团队协作能力”这一个评分维度．
评分权重重新分配为：英歌舞理论知识、技艺实践能力、团队协作能力这三个维度的评分权重分别为30%、50%、20%．
21．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点在轴的正半轴上，，点在反比例函数的图象上，为等边三角形，延长与反比例函数的图象在第三象限交于点．连接并延长与反比例函数的图象在第一象限交于点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）求点的坐标及的面积．
【答案】（1）解：如图，
，为等边三角形，
，
过点B作，垂足为H，
∴，，
．
点在上，
，得．
反比例函数的表达式为．
（2）解：点与点关于原点对称
．
设直线的解析式为，
代入，得，，解得，
直线的解析式为．
联立得，，化简得：
解得或．
将代入得，，
．
的面积．
答：点的坐标为，的面积为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数系数k的几何意义；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；等边三角形的性质
【解析】【分析】（1）过点B作垂直，垂足为H，根据等于2，为等边三角形，可得等于2，即可得，根据勾股定理得，即可得点的坐标为，将点代入，解出，即可得反比例函数解析式.
（2）根据点与点关于原点对称得，设直线的解析式为，根据待定系数法列方程组即可得出直线的解析式，再联立反比例函数解析式列出方程组，解出得的坐标，即可得得底为，高为的纵坐标，再根据三角形面积公式计算即可得的面积.
（1）解：，为等边三角形，
，
过点B作，垂足为H，
则，，
．
点在上，
，得．
反比例函数的表达式为．
（2）解：点与点关于原点对称
．
设直线的解析式为，
代入，得，，
解得，
直线的解析式为．
联立得，
解得或．
将代入得，，
．
的面积．
答：点的坐标为，的面积为．
22．【停车位的数学建模】
某住宅小区为方便业主停车，拟在角落处增设一个矩形停车位，其中，．车位的三面围墙及墙高度高于车顶，车库门前有一条平行于且与距离为的人行横道线．已知车辆停在该车位，驾驶座车门完全打开时，车门与车身夹角为．当驾驶座车门与车身夹角不小于时，驾驶员能顺畅从驾驶座下车．
图2是汽车外形的部分数据：①车身长度；②驾驶座车门长度；③车头宽度；④两个车外后视镜完全打开时车身宽度为；⑤车身宽度（不含两个后视镜）；⑥车外后视镜纵向长度．
假设：车身始终与墙保持平行，车外后视镜完全打开时，后视镜与墙之间有的安全距离．
参考数据：，，；，，；，，．
结合上述条件，回答下列问题：
（1）【实际应用】如图1，当汽车倒入矩形停车位时，驾驶员能否顺畅从驾驶座下车？请说明理由；
（2）【实践探究】如图3，当汽车车身的一部分停放在直角梯形区域内，驾驶员将驾驶座车门完全打开时，汽车是否占用人行横道？请说明理由．
【答案】（1）解：驾驶员能顺畅从驾驶座下车．理由如下：
如图1，
过点作于点，
根据题意得：车外后视镜完全打开时与车身的距离为：，，
车外后视镜完全打开时与墙之间有的安全距离，
此时另一侧车身与墙之间的距离为，
车身与墙之间的距离为，
假设驾驶座车门与车身的夹角，
在中，，
，
∵，
驾驶员能顺畅从驾驶座下车.
（2）解：当汽车车身的一部分停放在直角梯形区域内，驾驶员将驾驶座车门完全打开时，汽车不会占用人行横道．理由如下：
如图3，
过点O作，交于点P，过点D作，交于点Q，过点Q作，交于点H，考虑极限状态，汽车车头刚好到达线段，若此时O点到的距离超过，则车门能完全打开，设与交点为J，则，则，
四边形是矩形，
，，
，
，则，
在中，由（1）知：，
，
，
在中，，，
，
驾驶座车门能完全打开，
当汽车车身的一部分停放在直角梯形区域内，驾驶员将驾驶座车门完全打开时，汽车不会占用人行横道．
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）过点作于点，计算出车外后视镜完全打开时与车身的距离15cm，，根据 车外后视镜完全打开时与墙之间有的安全距离，即可得此时另一侧车身与墙之间的距离为25cm，即可得车身与墙之间的距离为50cm，假设驾驶座车门与车身的夹角，根据锐角三角函数得，即可得驾驶员能顺畅从驾驶座下车.
（2）过点O作，交于点P，过点D作，交于点Q，过点Q作，交于点H，考虑极限状态，汽车车头刚好到达线段，若此时O点到的距离超过，则车门能完全打开，设与交点为J，则，则，即可得四边形是矩形，进一步得，在中，由（1）知：，即可得，进一步计算出，，即可得当汽车车身的一部分停放在直角梯形区域内，驾驶员将驾驶座车门完全打开时，汽车不会占用人行横道．
（1）解：驾驶员能顺畅从驾驶座下车．理由如下：
在图1中，过点作于点，
依题意，车外后视镜完全打开时与车身的距离为，，
车外后视镜完全打开时与墙之间有的安全距离，
此时另一侧车身与墙之间的距离为，
车身与墙之间的距离为，
假设驾驶座车门与车身的夹角，
在中，，
，
∵，
驾驶员能顺畅从驾驶座下车；
（2）解：当汽车车身的一部分停放在直角梯形区域内，驾驶员将驾驶座车门完全打开时，汽车不会占用人行横道．理由如下：
考虑极限状态，汽车车头刚好到达线段，若此时O点到的距离超过，则车门能完全打开，
如图，设与交点为J，则，则，
过点O作，交于点P，过点D作，交于点Q，过点Q作，交于点H，
四边形是矩形，
，，
，
，则，
在中，由（1）知：，
，
，
在中，，，
，
，
驾驶座车门能完全打开，
当汽车车身的一部分停放在直角梯形区域内，驾驶员将驾驶座车门完全打开时，汽车不会占用人行横道．
23．中，已知，平分．
（1）如图1，如果，，求的长；
（2）如图2，过点作的垂线，与边的延长线交于点．
①试猜想线段与边的数量关系，并证明；
②在线段上截取，连接，当时，探究是否存在实数，使得成立？如果存在，请求出的值；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：如图1，
∵平分，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴.
（2）解：①如图2，
图2
取中点，连接，
∵，
∴是直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴.
②如图3，
图3
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴，
∴，
∴，
同理：，
∴
由（1）得，
设，则，，，
由（1）得：，即
整理得，解得(负值舍去
由①得：，
∴
∴，，
∴，
∴
∴存在实数，且使得成立．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；相似三角形的判定；角平分线的概念；直角三角形斜边上的中线；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据角平分线性质得相等，根据相等，即可得相等，根据等于5，根据，即可证明、相似，根据相似性质得相等，再计算出，，即可列方程解出，即可计算出的长.
（2）①取中点，连接，根据垂直，判断是直角三角形，即可得相等，相等，进一步得相等，再证明，即可得答案.
②根据相等，得等于，即可得，再根据相等得，再根据即可得等于36度，进一步得，即可得，同理得，即可得，由（1）得相似，根据相似性质得相等，设，则，，，再根据列方程解得，进一步推理得，即可得
，代入即可计算得实数，使得成立．
（1）解：∵平分，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，，
∴，，
∴，
∴，（负值舍去）．
∴，
∴；
（2）解：①如图，取中点，连接，
∵，
∴是直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴；
②如图，∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴，
∴，
∴，
同理：，
∴
由（1）得，
设，则，，，
由（1）得，即
整理得，解得(负值舍去
由①得，
∴
∴，，
∴，
∴，
∴存在实数，且使得成立．
1 / 12026年广东省汕头市濠江区九年级下学期学业质量检测卷（数学）
1．下列以数学家名字命名的图形中，是轴对称图形的是（　　）
A．赵爽弦图 B．斐波那契螺旋线
C．阿基米德螺线 D．笛卡尔心形线
2．2025年是不平凡的一年．这一年，我国有效应对局地干旱、洪涝、连阴雨等不利气象灾害，粮食总产量达14298亿斤，再创历史新高，连续两年站稳1.4万亿斤台阶．“14298亿”用科学记数法表示为（　　）
A． B．
C． D．
3．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
4．下列视图中，可能是圆柱体的俯视图的是（　　）
A． B．
C． D．
5．实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．如果圆的半径是，圆心到直线的距离是，那么直线与圆的位置关系是（　　）
A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定
7．已知，则（　　）
A． B． C． D．
8．如图是年月的月历，小李同学用图2形框在图1的月历上框出四个数字，将该图形框上下左右移动，且一定要框住月历中的四个日期．若其中两个日期如图3所示，则与的数量关系是（　　）
A． B． C． D．
9．如图，用边长相等的3个正五边形和中间的正三角形密铺成了如图所示的花瓣形图案，每个正五边形均与三角形有一组公共边，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
10．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点都在网格的格点上，则下列结论中不正确的是（　　）
A． B． C． D．
11．分式方程的解是　 　．
12．2026年3月14日是全球的第七个“国际数学日”，其主题为“数学与希望”．为了让同学们更好地领略数学的魅力，某校在活动日策划了“数阵寻宝”“方程追击”“连数成画”三个挑战游戏．每人随机选择参与其中一个游戏，则小陈和小赵选择的游戏相同的概率为　 　．
13．如图，数学课上，老师让同学们从卡纸上剪下一个扇形，它可以折成一个底面半径为，高为的圆锥体，那么这个扇形的面积是　 　．
14．钢琴调音时，琴弦的振动频率 f（单位：）与琴弦的张力调节系数满足某种函数关系．调音师在某架钢琴调音时记录了以下数据：
张力调节系数 … 1 2 3 4 …
振动频率（） … 429 432 435 438 …
已知钢琴标准音高为，此时琴弦的振动频率为，调音师要将该钢琴调至标准音高，则张力调节系数应增加　 　．
15．计算：　 　．（结果用乘方表示）
16．计算：．
17．如图，在中，．
（1）【动手操作】按以下要求，用无刻度的直尺和圆规作图（不写作法，保留作图痕迹）：
①作边的中线；
②再作点关于点的对称点，并连接、；
（2）【推理证明】求证：四边形是菱形．
18．近年来，露营成为广受人们欢迎的假日休闲方式，从家边绿地到旷野山林，各具特色的露营地吸引着大家前去体验，各式帐篷已成为户外活动的必要装备，其中抛物线型帐篷支架简单，携带方便，适合休闲旅行使用．如图1，这款帐篷搭建时张开的宽度，顶部高度，在图1中以所在直线为x轴，的中点为原点，建立平面直角坐标系．
（1）求帐篷支架对应的抛物线的函数表达式；
（2）每款帐篷张开时的宽度和顶部高度都会影响其容纳椅子的数量，图2为一张椅子摆人这款帐篷后的简易视图，椅子高度，宽度，若在帐篷内沿所在的水平方向摆放一排这种椅子（椅子间的间隔忽略不计），求最多可摆放的椅子数量．
19．问题：如何仅用直尺和圆规，过圆上一点作已知圆的切线？
【拓展作法】小明提出一种想法：如图，设点为上一点，先作射线交于点，再以上一点为圆心（点不与点、重合），以长为半径画圆弧，交射线于点，交射线于点，连接．
（1）【推理证明】小明认为此时是的切线．请你帮小明写出证明过程；
（2）【数值计算】若，，求的半径．
20．英歌舞是潮汕特色民俗，融武术、舞蹈、戏剧于一体，文化底蕴深厚、艺术魅力独特．当地精选甲、乙、丙三名青年重点培养，助力非遗活态传承．现组织专项测试，综合考评三人理论与实操能力，精准掌握优缺点，为定制培养、推动青年创新传承英歌舞提供依据．
在英歌舞理论知识测试中，甲、乙、丙三名青年的得分（满分为分）分别为分，分，分．技艺实践能力由位评委根据其表演呈现效果进行评分（每位评委打分分且为整数），各位评委打分之和作为该培养对象技艺实践能力成绩．甲、乙两人技艺实践能力得分的条形图，丙技艺实践能力得分的扇形图如下：
甲、乙、丙三名青年的技艺实践能力情况统计表
培养对象 评委打分的中位数 评委打分的众数 技艺实践能力成绩 方差
甲
乙
丙
（1）填空： ， ；
（2）请根据方差数据，分析哪位培养对象的技艺实践能力表现更稳定，评委对其评价的一致性程度更高？并说明理由．
（3）为全面考量三名培养对象的综合素质，组委会决定按照英歌舞理论知识测试成绩占，技艺实践能力成绩占的比例计算综合成绩．请分别计算甲、乙、丙三名培养对象的综合成绩，并判断谁的综合成绩最高，以此作为后续重点培养对象？
（4）如果你是组委会成员，为了使得选拔的英歌舞传承人培养对象的综合素质更全面，请你再增加一个评分维度，并基于这三个评分维度重新分配评分权重．
21．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点在轴的正半轴上，，点在反比例函数的图象上，为等边三角形，延长与反比例函数的图象在第三象限交于点．连接并延长与反比例函数的图象在第一象限交于点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）求点的坐标及的面积．
22．【停车位的数学建模】
某住宅小区为方便业主停车，拟在角落处增设一个矩形停车位，其中，．车位的三面围墙及墙高度高于车顶，车库门前有一条平行于且与距离为的人行横道线．已知车辆停在该车位，驾驶座车门完全打开时，车门与车身夹角为．当驾驶座车门与车身夹角不小于时，驾驶员能顺畅从驾驶座下车．
图2是汽车外形的部分数据：①车身长度；②驾驶座车门长度；③车头宽度；④两个车外后视镜完全打开时车身宽度为；⑤车身宽度（不含两个后视镜）；⑥车外后视镜纵向长度．
假设：车身始终与墙保持平行，车外后视镜完全打开时，后视镜与墙之间有的安全距离．
参考数据：，，；，，；，，．
结合上述条件，回答下列问题：
（1）【实际应用】如图1，当汽车倒入矩形停车位时，驾驶员能否顺畅从驾驶座下车？请说明理由；
（2）【实践探究】如图3，当汽车车身的一部分停放在直角梯形区域内，驾驶员将驾驶座车门完全打开时，汽车是否占用人行横道？请说明理由．
23．中，已知，平分．
（1）如图1，如果，，求的长；
（2）如图2，过点作的垂线，与边的延长线交于点．
①试猜想线段与边的数量关系，并证明；
②在线段上截取，连接，当时，探究是否存在实数，使得成立？如果存在，请求出的值；如果不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：、赵爽弦图是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的大正方形，无论沿哪条直线对折，直线两侧的部分都无法完全重合，所以它不是轴对称图形，故A错误.
、斐波那契螺旋线是一种优美的曲线，它没有对称轴，无论沿哪条直线对折，直线两侧的部分都不能完全重合，因此不是轴对称图形，故B错误.
、阿基米德曲线是一种螺旋线，它也不存在对称轴，沿任何直线对折后，直线两侧的部分都无法完全重合，所以不是轴对称图形，故C错误.
、笛卡尔心形线是一个经典的轴对称图形，它有一条对称轴，沿这条对称轴对折后，直线两侧的部分能够完全重合，是轴对称图形，故D正确.
故答案为：．
【分析】根据轴对称图形的定义，分别对A、B、C、D 各选项判断即可得赵爽弦图不是轴对称图形，斐波那契螺旋线不是轴对称图形，阿基米德曲线不是轴对称图形，笛卡尔心形线是轴对称图形，即可得答案.
2．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：根据科学记数法得方法得：14298亿．
故答案为：C.
【分析】根据科学记数法的表示方法为，确定的值即可得答案.
3．【答案】B
【知识点】不等式的解及解集；在数轴上表示不等式组的解集
【解析】【解答】解：，
解①得：，
解②得：，
不等式组的解集为：.
把解集在数轴上表示为：
故答案为：B.
【分析】分别解出①、②不等式，即可得不等式组的解集为，把解集在数轴上表示出来即可得答案.
4．【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：圆柱体竖直放置时，俯视图是圆；圆柱体水平放置时，俯视图是矩形， 当矩形是特殊矩形时即为正方形.
A选项三角形，B选项平行四边形，D选项六边形，都错误，C选项正方形正确.
只有C选项可能是圆柱体的俯视图．
故答案为：C.
【分析】根据圆柱体竖直放置时，俯视图是圆；圆柱体水平放置时，俯视图是矩形， 当矩形是特殊矩形时即为正方形，即可得答案.
5．【答案】A
【知识点】实数在数轴上的表示；不等式的性质；绝对值的概念与意义；判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解：A．∵表示数a的点比表示数b的点离原点远，
∴，故A正确.
B．∵且，
∴，故B不正确.
C．∵，
∴，故C不正确.
D．由数轴可知：，故D不正确.
故答案为：A.
【分析】根据数a的点比表示数b的点离原点远，得，再结合得，根据得，由数轴可知：，即可得答案.
6．【答案】A
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：根据题意得：圆的半径，圆心到直线的距离
直线与圆的位置关系是相离．
故答案为：A.
【分析】根据直线与圆位置关系的判定规则，当圆心到直线的距离大于圆的半径时，直线与圆相离，即可得答案.
7．【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用；分式的值；二次根式的乘除混合运算
【解析】【解答】解：．
故答案为：A.
【分析】根据完全平方公式把转换为，然后把代入计算即可得答案.
8．【答案】D
【知识点】探索数与式的规律；一元一次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题
【解析】【解答】解：月历横排相邻两个数相差，竖排相邻两个数相差，
第一排的两个数字为，，第二排的两个数字为，，
，
，
故答案为：．
【分析】通过观察月历，月历横排相邻两个数相差，竖排相邻两个数相差，即可第一排的两个数字为，，第二排的两个数字为，，即可列方程推出与的数量关系．
9．【答案】B
【知识点】等边三角形的性质；多边形内角与外角；平面镶嵌（密铺）；正多边形的性质
【解析】【解答】解：∵3个正五边形的边长相等，
∴3个正五边形的每个内角都相等，
∵正五边形的内角和为：，
∴每个内角度数为，
∵正三角形的每个内角度数为，周角为，
．
故答案为：B.
【分析】根据正五边形内角和公式得正五边形的内角和为540度，即可计算出正五边形每个内角度数为108度，再根据正三角形的每个内角度数为，周角为，即可求出的度数．
10．【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简；平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】解：如图，
A、，故A正确，不选.
B、根据题意得：，故B正确，不选.
C、∵，
∴，
∴，故C错误，选C.
D、∵，
∴，
∵，
∴，
∴，故D正确，不选.
故答案为：C.
【分析】根据勾股定理得，可判断A正确，观察图形得，故B正确，再根据勾股定理得，结合得，即可得，可判断C，根据勾股定理得
，即可得相等，再根据即可得，进一步得可判断D，即可得答案.
11．【答案】5
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：
去分母得：
去括号得：
移项合并同类项得：
检验：当时，
∴原方程的解为.
故答案为：5.
【分析】把去分母、去括号、移项合并同类项得：，检验后知道原方程的解为.
12．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：记三个挑战游戏分别为，，．根据题意，画出树状图：
根据树状图得：所有等可能的结果总数为9种．其中小陈和小赵选择相同游戏的结果有种．
∴小陈和小赵选择的游戏相同的概率为．
故答案为：.
【分析】记三个挑战游戏分别为，，，根据题意画出树状图如下，根据树状图得：所有等可能的结果总数为9种．其中小陈和小赵选择相同游戏的结果有种，代入概率公式计算即可得答案.
13．【答案】
【知识点】扇形面积的计算；圆锥的计算；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，
设圆锥的母线为，这个扇形的圆心角，则：，
∵圆锥的底面周长等于扇形的弧长，
∴，
∴，解得：，
∴．
故答案为：.
【分析】根据勾股定理，结合圆锥体底面半径为，高为，计算出母线的长度为10，再根据弧长公式可知圆心角为216度，再根据面积公式即可得扇形的面积为.
14．【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：设该函数关系式为，把代入得：
，解得：，
∴该函数关系式为，
当时，，此时，
当时，，此时，
∵，
∴调音师要将该钢琴调至标准音高，则张力调节系数应增加．
故答案为：.
【分析】根据琴弦的振动频率 f（单位：）与琴弦的张力调节系数满足一次函数关系，设该函数关系式为，把代入即可列方程组，解出即可得该函数关系式为，分别求出当、430时，x的值即可得调音师要将该钢琴调至标准音高，则张力调节系数应增加．
15．【答案】
【知识点】完全平方公式及运用；乘方的相关概念；求算术平方根
【解析】【解答】解：
.
故答案为：.
【分析】把变形为，进一步计算即可得答案.
16．【答案】解：原式
.
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的混合运算；求特殊角的三角函数值；实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】根据二次根式的化简方法以及特殊角的三角函数值化简得，再进行加减运算即可得答案.
17．【答案】（1）解：根据尺规作图的方法，作①②图形如下：
①如图所示，即为所求．
②如图所示，点、、即为所求．
（2）证明：如图，
∵，
∴是等腰三角形．
∵是边的中线，
∴．
∵，
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴四边形是菱形．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；菱形的判定；尺规作图-垂直平分线；尺规作图-中线
【解析】【分析】（1）先作线段的垂直平分线，与交于点，连接即得到边上的中线，再延长至点，使，最后连接、，即可得答案.
（2）先根据相等得是等腰三角形，再根据是边的中线，得相等，结合相等，即可判断四边形是平行四边形，再结合相等，即可证明四边形是菱形．
（1）解：①如图所示，即为所求．
②如图所示，点、、即为所求．
（2）证明：∵，
∴是等腰三角形．
∵是边的中线，
∴．
∵，
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴四边形是菱形．
18．【答案】（1）解：帐逢张开时的宽度，顶部高度，
，顶点坐标为．
设抛物线的函数表达式为，
将代入，得，解得，
抛物线的函数表达式为．
（2）解：椅子的高度，宽度，
将代入，得，解得，
∴，（把），
最多可撰放6把椅子．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【分析】（1）根据帐逢张开时的宽度，顶部高度，求出，顶点坐标为，设抛物线的函数表达式为，列方程组求解即可得抛物线的函数表达式.
（2）将代入，解出的值，然后用两根之差除以椅子的宽度即可得最多可撰放6把椅子．
（1）解：帐逢张开时的宽度，顶部高度，
，顶点坐标为．
设抛物线的函数表达式为，
将代入，得，
解得，
抛物线的函数表达式为．
（2）解：椅子的高度，宽度，
将代入，
得，
解得，
，
（把），
最多可撰放6把椅子．
19．【答案】（1）证明：如图，
根据题意得：．
点在同一条直线上，
为的直径．
，即．
为的半径，
为的切线．
（2）解：如图，
连接，
为的直径，
．
，
，
，
．
．
．
，
．
．
的半径为．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；切线的判定与性质；解直角三角形；圆与三角形的综合；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）根据题意得相等，根据为的直径得，再根据为的半径，即可得为的切线．
（2）根据为的直径，得等于90度，根据相等，得相等，根据等于等于90度，即可得相等，即可得
等于，即可得，进一步得的半径为．
（1）证明：依题意得．
点在同一条直线上，
为的直径．
，即．
为的半径，
为的切线．
（2）解：如图，连接，
为的直径，
．
，
，
，
．
．
．
，
．
．
的半径为．
20．【答案】（1）；
（2）解：评委对乙青年技艺实践能力的评价一致性程度更高，理由如下：
由条形图可知，甲青年评委打分从低到高排列为：，，，，，，，，，．
．
．
，
．
评委对乙青年技艺实践能力的评价一致性程度更高．
（3）解：甲青年的综合成绩为，
乙青年的综合成绩为，
丙青年的综合成绩为．
，
乙青年的综合成绩最高，可作为后续重点培养对象．
（4）解：增加“团队协作能力”这一个评分维度，
评分权重重新分配为：英歌舞理论知识、技艺实践能力、团队协作能力这三个维度的评分权重分别为30%、50%、20%．
【知识点】扇形统计图；加权平均数及其计算
【解析】【解答】（1）解：计算丙的各分数评委人数：
得分的人数：
得分的人数：
得分的人数：
得分的人数：
得分的人数：
将丙的个得分从小到大排序，取第、第位得分的平均值得到中位数：.
统计乙的个评委得分的出现次数，得分出现的次数和得分出现的次数最多，得到众数.
∴，．
故答案为：；.
【分析】（1）根据丙的扇形图占比，计算丙的各分数评委人数，再排序即可找到中位数，再根据甲、乙得分条形图得乙的个评委的所有打分，根据次数最多的得分，即可得众数.
（2）根据条形图可知甲青年评委打分从低到高排序，即可求平均数，再根据方差公式即可计算方差，再对比三人的方差大小，即可得答案.
（3）按照题目给定的权重，分别将三人的理论成绩乘以对应权重、技艺实践成绩乘以对应权重后求和，得到各自的综合成绩，比较大小即可得答案.
（4）新增的维度需要贴合英歌舞传承人的实际需求，权重分配要保证原有核心考察项的占比不被过度削弱，同时覆盖传承人需要具备的其他重要能力，保障选拔的综合素质更全面．
（1）解：计算丙的各分数评委人数：
得分的人数：
得分的人数：
得分的人数：
得分的人数：
得分的人数：
将丙的个得分从小到大排序，取第、第位得分的平均值得到中位数：；
统计乙的个评委得分的出现次数，得分出现的次数和得分出现的次数最多，得到众数；
所以，．
（2）解：评委对乙青年技艺实践能力的评价一致性程度更高．
理由如下：由条形图可知，甲青年评委打分从低到高排列为：，，，，，，，，，．
．
．
，
．
评委对乙青年技艺实践能力的评价一致性程度更高．
（3）解：甲青年的综合成绩为，
乙青年的综合成绩为，
丙青年的综合成绩为．
，
乙青年的综合成绩最高，可作为后续重点培养对象．
（4）解：例如：增加“团队协作能力”这一个评分维度．
评分权重重新分配为：英歌舞理论知识、技艺实践能力、团队协作能力这三个维度的评分权重分别为30%、50%、20%．
21．【答案】（1）解：如图，
，为等边三角形，
，
过点B作，垂足为H，
∴，，
．
点在上，
，得．
反比例函数的表达式为．
（2）解：点与点关于原点对称
．
设直线的解析式为，
代入，得，，解得，
直线的解析式为．
联立得，，化简得：
解得或．
将代入得，，
．
的面积．
答：点的坐标为，的面积为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数系数k的几何意义；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；等边三角形的性质
【解析】【分析】（1）过点B作垂直，垂足为H，根据等于2，为等边三角形，可得等于2，即可得，根据勾股定理得，即可得点的坐标为，将点代入，解出，即可得反比例函数解析式.
（2）根据点与点关于原点对称得，设直线的解析式为，根据待定系数法列方程组即可得出直线的解析式，再联立反比例函数解析式列出方程组，解出得的坐标，即可得得底为，高为的纵坐标，再根据三角形面积公式计算即可得的面积.
（1）解：，为等边三角形，
，
过点B作，垂足为H，
则，，
．
点在上，
，得．
反比例函数的表达式为．
（2）解：点与点关于原点对称
．
设直线的解析式为，
代入，得，，
解得，
直线的解析式为．
联立得，
解得或．
将代入得，，
．
的面积．
答：点的坐标为，的面积为．
22．【答案】（1）解：驾驶员能顺畅从驾驶座下车．理由如下：
如图1，
过点作于点，
根据题意得：车外后视镜完全打开时与车身的距离为：，，
车外后视镜完全打开时与墙之间有的安全距离，
此时另一侧车身与墙之间的距离为，
车身与墙之间的距离为，
假设驾驶座车门与车身的夹角，
在中，，
，
∵，
驾驶员能顺畅从驾驶座下车.
（2）解：当汽车车身的一部分停放在直角梯形区域内，驾驶员将驾驶座车门完全打开时，汽车不会占用人行横道．理由如下：
如图3，
过点O作，交于点P，过点D作，交于点Q，过点Q作，交于点H，考虑极限状态，汽车车头刚好到达线段，若此时O点到的距离超过，则车门能完全打开，设与交点为J，则，则，
四边形是矩形，
，，
，
，则，
在中，由（1）知：，
，
，
在中，，，
，
驾驶座车门能完全打开，
当汽车车身的一部分停放在直角梯形区域内，驾驶员将驾驶座车门完全打开时，汽车不会占用人行横道．
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）过点作于点，计算出车外后视镜完全打开时与车身的距离15cm，，根据 车外后视镜完全打开时与墙之间有的安全距离，即可得此时另一侧车身与墙之间的距离为25cm，即可得车身与墙之间的距离为50cm，假设驾驶座车门与车身的夹角，根据锐角三角函数得，即可得驾驶员能顺畅从驾驶座下车.
（2）过点O作，交于点P，过点D作，交于点Q，过点Q作，交于点H，考虑极限状态，汽车车头刚好到达线段，若此时O点到的距离超过，则车门能完全打开，设与交点为J，则，则，即可得四边形是矩形，进一步得，在中，由（1）知：，即可得，进一步计算出，，即可得当汽车车身的一部分停放在直角梯形区域内，驾驶员将驾驶座车门完全打开时，汽车不会占用人行横道．
（1）解：驾驶员能顺畅从驾驶座下车．理由如下：
在图1中，过点作于点，
依题意，车外后视镜完全打开时与车身的距离为，，
车外后视镜完全打开时与墙之间有的安全距离，
此时另一侧车身与墙之间的距离为，
车身与墙之间的距离为，
假设驾驶座车门与车身的夹角，
在中，，
，
∵，
驾驶员能顺畅从驾驶座下车；
（2）解：当汽车车身的一部分停放在直角梯形区域内，驾驶员将驾驶座车门完全打开时，汽车不会占用人行横道．理由如下：
考虑极限状态，汽车车头刚好到达线段，若此时O点到的距离超过，则车门能完全打开，
如图，设与交点为J，则，则，
过点O作，交于点P，过点D作，交于点Q，过点Q作，交于点H，
四边形是矩形，
，，
，
，则，
在中，由（1）知：，
，
，
在中，，，
，
，
驾驶座车门能完全打开，
当汽车车身的一部分停放在直角梯形区域内，驾驶员将驾驶座车门完全打开时，汽车不会占用人行横道．
23．【答案】（1）解：如图1，
∵平分，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴.
（2）解：①如图2，
图2
取中点，连接，
∵，
∴是直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴.
②如图3，
图3
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴，
∴，
∴，
同理：，
∴
由（1）得，
设，则，，，
由（1）得：，即
整理得，解得(负值舍去
由①得：，
∴
∴，，
∴，
∴
∴存在实数，且使得成立．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；相似三角形的判定；角平分线的概念；直角三角形斜边上的中线；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据角平分线性质得相等，根据相等，即可得相等，根据等于5，根据，即可证明、相似，根据相似性质得相等，再计算出，，即可列方程解出，即可计算出的长.
（2）①取中点，连接，根据垂直，判断是直角三角形，即可得相等，相等，进一步得相等，再证明，即可得答案.
②根据相等，得等于，即可得，再根据相等得，再根据即可得等于36度，进一步得，即可得，同理得，即可得，由（1）得相似，根据相似性质得相等，设，则，，，再根据列方程解得，进一步推理得，即可得
，代入即可计算得实数，使得成立．
（1）解：∵平分，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，，
∴，，
∴，
∴，（负值舍去）．
∴，
∴；
（2）解：①如图，取中点，连接，
∵，
∴是直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴；
②如图，∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴，
∴，
∴，
同理：，
∴
由（1）得，
设，则，，，
由（1）得，即
整理得，解得(负值舍去
由①得，
∴
∴，，
∴，
∴，
∴存在实数，且使得成立．
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