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广西南宁二中学区2026年九年级中考二模考试数学试题
1．下面各数是负数的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列立体图形中，主视图，左视图，俯视图都是圆的是（ ）
A． B．
C． D．
3．今年广西三月三期间，南宁车站大约发送旅客万人次．数据用科学记数法表示为（ ）
A． B．
C． D．
4．若长度分别为，，的三条线段能组成一个三角形，则的值可能是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，“云形”盖住的点的坐标可能是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，若的三边长，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在中，，，将线段水平向左平移个单位得到线段，若四边形为菱形，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．某同学参加学校举行的“十大歌手”评选活动，位评委分别给出了评分，去掉一个最高分、一个最低分后，剩下的个评分与原始的个评分相比一定不发生变化的是（ ）
A．中位数 B．加权平均数 C．算术平均数 D．众数
9．如图，木工师傅只用两枚钉子就把一根木条固定在墙上，依据的数学原理是（ ）
A．两点确定一条直线 B．经过一点有无数条直线
C．垂线段最短 D．两点之间，线段最短
10．，是关于的一元二次方程两个根，则值为（ ）
A． B． C． D．
11．中国古人用十二根长短不同的竹子做成律管，用它们分别吹出十二个标准音，称为十二律，十二根竹管的管长和频率乘积为定值，设管长为，频率为，选取组数对，在平面直角坐标系中进行描点，则下列描点正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．《算学启蒙》是我国古代的数学著作，其中有一道题：“今有罗七尺，绫九尺，其价適等，只云绫尺价不及罗尺价三十六文．问：二色尺价各几何？”意思是：7尺罗类丝绸和9尺绫类丝绸的价格相同，每尺绫类丝绸的价格比罗类丝绸少36文，问这两类丝绸每尺的价格各是多少文？设罗类丝绸每尺的价格为x文，绫类丝绸每尺的价格为y文，则可以列出的方程组为（　　）
A． B． C． D．
13．单项式的系数为　 　．
14．如图，在月历表中任取天，恰好这一天是星期二的概率是　 　．
15．用若干张图中的直角三角形和四边形纸片密铺（不重叠、无空隙）成图，则　 　°．
16．汽车在转弯时会产生内轮差盲区，内轮差指车辆在转弯时前内轮与后内轮转弯半径之差．如图所示，为了安全，许多路口都设置如图的“右转危险区”（阴影部分）示意图．，与扇形分别相切于点，点，与扇形分别相切于点，点，后内轮转弯半径，前内轮转弯半径，．则“右转危险区”（阴影部分）的面积是　 　．
17．按要求完成下列计算：
（1）计算：；
（2）化简：．
18．如图，在扇形中，．
（1）尺规作图：作的中点（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，连接，，并且，交于点，若．
①求的长；
②如图，将如图中的扇形围成圆锥，，恰好重合，求圆锥的底面半径．
19．某校开展牛顿杯物理竞赛，并对竞赛成绩开展抽样调查（成绩为百分制，为卓越奖，为优秀奖；为鼓励奖）．
【数据的收集】随机抽取名学生成绩如下：
93.5 75.5 89.5 81 46.5 95.5 82 77.5 81.5 55.5
99 70.5 86 92 95.5 52 57 65.5 68 85.5
【数据的整理】成绩频数分布表如下：
分组 组中值 划记 频数
一
正
【数据的描述】成绩频数分布直方图如下：
【数据的分析与应用】根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空： ； ；并补全成绩的频数分布直方图；
（2）求本次抽样的平均数（计算平均数时，用这组数据的组中值代表该组的实际数据）；
（3）若该校参加竞赛的学生共有人，估算该校获得卓越奖的人数．
20．如图，的对角线，为的中点，连接，并延长，交的延长线于点，连接．
（1）求证：；
（2）求证：四边形是矩形．
21．已知三个正整数，，满足，且，求，，．
解：，；
由，，可得，
，解得，
又，解得，
综上，的取值范围是① ，
为正整数，② ．
（1）直接填空：① ；② ．
（2）类比上述探究方法，求出的取值范围；
（3）直接写出方程的正整数解．
22．【研究背景】某实验室研发了一款面向复杂地形场景的巡检机器人．为避免其与障碍物发生碰撞，优化起跳性能，研究团队将机器人近似看作一点，以起跳点为坐标原点，水平向右为轴正方向，在固定起跳仰角下，机器人的跳跃高度与跳跃水平距离的关系，可用函数描述，式中为起跳速度（单位：），，是常数，轨迹系数由起跳速度的大小与仰角共同决定．
例如：以起跳时，则满足；以起跳时，则满足．
【模型研究】如图，将机器人跳跃轨迹抽象成形如的二次函数图象（，均为常数，，），该函数图象与轴交于点，取抛物线顶点，过作轴于点．机器人单次跳跃的水平距离为线段的长，跳跃最大高度为线段的长，经研究发现与存在一定的比例关系．
（1）当，时，则，；
（2）用含，的式子来表示，的长度，并求出的值；
【模型应用】图是研究团队利用高速摄像机记录的某次机器人连续两次跳跃的轨迹，两次跳跃均以某相同的起跳仰角起跳，每段跳跃轨迹均可用描述，两次共跳了远．在起跳点正上方处，设置有一条平行于地面的观测线．若两次跳跃过程中，均未触碰到，设两次跳跃的最大高度分别为，．
（3）①求的值；
②设其第一次起跳的速度为（单位：），求的取值范围．
23．四边形的形状特征与几何性质，和它的对角线有着密不可分的关系．在凸四边形中，若它的两条对角线互相垂直，且其中一条对角线与四边形的一边相等，则称该凸四边形为“垂等四边形”．如图，在四边形中，，，此时，四边形是“垂等四边形”．
【探究性质】
（1）如图，在垂等四边形中，，与相交于点．
①判断与的数量关系是______；
②若，，求垂等四边形的面积；
【判定推理】
（2）如图，在中，，将绕点顺时针旋转，得到，若点恰好落在的垂直平分线上，连接，，求证：四边形是垂等四边形；
【综合运用】
（3）如图，在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别为，，，点为平面内一个动点，若以，，，为顶点的四边形是垂等四边形，且，直接写出点的坐标．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】正数、负数的概念与分类
【解析】【解答】解：∵ 负数的定义为小于0的数，
又∵，，，，
∴ 只有是负数．
故答案为：A.
【分析】由负数定义：数值小于 0 的数为负数；分别对比四个数与 0 的大小，只有 2满足小于 0；确定对应选项.
2．【答案】D
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：A、圆锥的主视图、左视图是三角形，俯视图是带圆心的圆；
B、圆柱的主视图、左视图是矩形，俯视图是圆；
C、四面体的三视图不含圆；
D、球体任意方向的视图都是圆，因此主视图、左视图、俯视图都是圆．
故答案为：D．
【分析】由三视图定义，分别回忆圆锥、圆柱、四面体、球体的三种视图形状；筛选出主、左、俯视图全部为圆的立体图形，只有球体.
3．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：数据用科学记数法表示为．
故答案为：C.
【分析】由科学记数法定义，明确a必须满足1≤a<10，；数原数整数位数，1390400共7 位，n=位数 1=6；匹配正确形式1.3904×106.
4．【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：长度分别为，，的三条线段能组成一个三角形，
，即，
观察选项，只有满足 ，
故答案为：C．
【分析】由三角形三边定理，任意两边之和大于第三边、任意两边之差小于第三边，列出不等式；计算得到第三边a的取值区间25．【答案】B
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵图案盖住的点在第二象限，且第二象限的点的符号特征为，
∴“云形”图案盖住的点的坐标可能是．
故答案为：B.
【分析】由图像位置，确定遮挡点位于第二象限；由各象限坐标符号规律，得出第二象限点符号为( ，+)；匹配选项中横坐标负、纵坐标正的坐标( 2，2).
6．【答案】D
【知识点】勾股定理的逆定理；求正切值
【解析】【解答】解：∵
∴
∴
∴ 是直角三角形，且，
在中，．
故答案为：D.
【分析】由三边长度，用勾股逆定理，判定直角与直角顶点∠B；由正切定义：锐角正切 = 对边 ÷ 邻边，找准∠C的对边AB、邻边BC；代入数值计算得.
7．【答案】B
【知识点】菱形的性质；平移的性质
【解析】【解答】解：∵四边形为菱形，
∴，
∴，
∴将线段水平向左平移个单位得到四边形为菱形．
故答案为：B.
【分析】由菱形四边相等的性质，得到BM=AB=3；由线段和差关系，算出CM=BC BM=2；由平移的距离对应线段CM长度，得出平移单位n=2.
8．【答案】A
【知识点】平均数及其计算；加权平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【解答】解：将7个评分从小到大排序，设为，
∵原始7个数据的中位数为排序后第4个数，即，去掉最高分和最低分后，剩余5个数据排序为，其中位数为第3个数，仍为，
∴中位数一定不发生变化，
加权平均数和算术平均数的总和与数据个数都改变，因此可能发生变化，
众数可能因去掉数据后发生改变．
故答案为：A.
【分析】由中位数定义：奇数个数据取正中间一个；7 个数中间是第 4 位，去掉首尾各 1 个剩 5 个数，中间依旧是原来第 4 位的数，由平均数、众数定义，数据总和、重复数字可能发生变化，因此三者数值可能改变；确定只有中位数不变.
9．【答案】A
【知识点】两点确定一条直线
【解析】【解答】解：∵木工师傅只用两枚钉子就把一根木条固定在墙上，
∴这一操作利用了“经过两点有且只有一条直线”的性质 即两点确定一条直线．
故答案为：A.
【分析】由两颗钉子对应两个点，要固定木条即锁定唯一一条直线；由直线公理：两点确定一条直线.
10．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：对于一元二次方程，
若方程两根为，则两根之积，
∵原方程为，可得，
∴．
故答案为：B.
【分析】由一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），两根之积公式为；对比方程标准形式，确定a=1，常数项c= 5；代入计算得x1x2= 5.
11．【答案】D
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：∵十二根竹管的管长和频率乘积为定值，设管长为x，频率为y，
∴，
即，
根据反比例函数的图象可知，只有选项D符合题意．
故答案为：D.
【分析】由 “x、y乘积为定值”，推出y=，判定为反比例函数；由实际意义：管长x>0，频率y>0，图像仅在第一象限，且x越大y越小，单调递减；匹配散点分布呈递减曲线趋势.
12．【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵设罗类丝绸每尺价格为文，绫类丝绸每尺价格为文，
根据“7尺罗类丝绸和9尺绫类丝绸价格相等”，可得，
根据“每尺绫类丝绸的价格比罗类丝绸少36文”，可得，
∴所列方程组为，
故答案为：A．
【分析】 本题考查了列二元一次方程组， 设绫每尺价x文，罗每尺价y文，根据7尺绫类丝绸和9尺罗类丝绸的价格相同， 每尺绫类丝绸的价格比罗类丝绸少36文，即可列出对应方程组．
13．【答案】3
【知识点】单项式的次数与系数
【解析】【解答】解：单项式的系数为，
故答案为：．
【分析】由单项式系数概念：只看字母前面的数字部分；提取3a2b的数字因数3，即为系数.
14．【答案】
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：由图可知，该月历表中显示的日期从1号到30号，共有30天，
观察月历表可知，星期二的日期分别为2号，9号，16号，23号，30号，共有5天，
则恰好这一天是星期二的概率为．
故答案为：.
【分析】由月历表格，确定总天数 30；逐行找出所有星期二日期，计数得 5 天；由古典概型概率公式：P=，约分得到.
15．【答案】180
【知识点】平面镶嵌（密铺）
【解析】【解答】解：由图像可知，中间是由2个角，1个角和两个直角组成，
∴，
解得．
故答案为：180.
【分析】平面密铺核心性质：拼接在同一个顶点的所有角相加等于360 ；找出该顶点全部内角：两个x、一个y、两个直角，列出等式；移项化简，直接求出2x+y的值.
16．【答案】
【知识点】正方形的判定与性质；切线的性质；扇形面积的计算；多边形的面积
【解析】【解答】解：延长和相交于点，
∵，与扇形分别相切于点，点，
∴，，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形，
同理，四边形是正方形，
“右转危险区”的面积
．
故答案为：.
【分析】由切线 + 直角条件，判定内外两块区域分别为边长 12、6 的正方形；阴影面积等价转化：大正方形减去小正方形，再减去大扇形、补上小扇形；分别算出正方形、扇形面积，合并同类项得到最终表达式.
17．【答案】（1）解：
.
（2）解：
．
【知识点】平方差公式及应用；分式的乘除法；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【分析】（1）先算乘方( 2)2=4，再算乘法，最后算减法，遵循 “先乘方，再乘除，后加减” 的有理数运算顺序。
（2）分子用平方差公式因式分解；分式除法法则：除以一个分式等于乘它的倒数；约分消去(a+1)、(a 1)，得到最简结果a.
（1）解：
；
（2）解：
．
18．【答案】（1）解：如下图，
分别以A、B为圆心，以大于的长度为半径画弧，两弧交于点E，连接，射线与交于点C，点C即为所求.
（2）①设扇形的半径为R，则，
，
，
是的中点，
，
，
，
在中，
，即，
解得：，
；
②设圆锥底面半径为r ，
，
，
圆锥的底面半径是2．
【知识点】弧长的计算；圆锥的计算；尺规作图-作角的平分线；已知余弦值求边长
【解析】【分析】(1) 由弧中点的性质（圆心与弧中点的连线垂直平分弧所对弦AB），转化为作线段AB的垂直平分线，垂直平分线与弧AB的交点即为所求中点C，由此确定尺规作图操作。
(2)①由C是弧中点，推出OC⊥AB、OC平分∠AOB，得到Rt△AOD与∠AOD=60 ；设扇形半径为R，由CD=3得到直角三角形邻边OD=R 3； 在Rt△AOD中，由锐角三角函数cos60 =列出关于R的方程，解方程求出扇形半径；再由弧长计算公式，代入圆心角、扇形半径，算出弧AB的长度.
②由扇形围成圆锥的模型关系：扇形弧长 = 圆锥底面圆的周长；设底面半径为r，结合圆周长公式C=2πr建立等式；将上一问求出的弧长代入方程，解方程得到圆锥底面半径.
（1）解：如下图，
分别以A、B为圆心，以大于的长度为半径画弧，两弧交于点E，连接，射线与交于点C，点C即为所求；
（2）①设扇形的半径为R，则，
，
，
是的中点，
，
，
，
在中，
，即，
解得：，
；
②设圆锥底面半径为r ，
，
，
圆锥的底面半径是2．
19．【答案】（1）2；6；
频数分布直方图如下，
（2）解：本次抽样的平均数：，
答：本次抽样的平均数为77.5.
（3）解：（人），
答：该校获得卓越奖的人数为165人．
【知识点】频数（率）分布直方图；加权平均数及其计算；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：根据名学生成绩得，；
故答案为：2；6.
【分析】(1)由抽样总人数固定为 20 人，已知其余 5 组频数，用总频数依次减去已知各组频数，先算出60≤x<70组的频数a；再用总人数减去全部已知 5 组频数，算出80≤x<90组的频数b；得到a、b后，依据频数补全直方图对应长方形高度.
(2) 由题目规定 “用组中值代表每组全部数据”，先找到每一组对应的组中值与对应频数；再由加权平均数公式：加权平均数 =，代入所有组数据求和后除以20，算出本次抽样平均分.
(3)由题干定义卓越奖标准x≥80，对应表格里80≤x<90、90≤x≤100两组；先由样本算出这两组频数之和，得到样本中卓越奖占比；再由用样本估计总体思想，用全校总人数 300 乘该占比，估算出全校获得卓越奖的总人数.
（1）解：根据名学生成绩得，；
频数分布直方图如下，
（2）解：本次抽样的平均数：，
答：本次抽样的平均数为77.5；
（3）解：（人），
答：该校获得卓越奖的人数为165人．
20．【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，
，，
E为的中点，
，
在和中，
，
.
（2）证明：由（1）得，，
又，
四边形是平行四边形，
，点F在的延长线上，
，
四边形是矩形．
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的判定；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】(1) 由已知ABCD是平行四边形，推出对边AD∥BC（即AD∥BF）；再由两直线平行，得到内错角∠DAE=∠CFE、∠ADE=∠FCE；结合E是CD中点，得到一组边DE=CE；最后根据AAS 全等判定定理，两组角 + 一组对边对应相等，证明两个三角形全等.
(2)由 (1) 的全等结论，先得到对应边AD=CF；再结合平行四边形性质AD∥CF，一组对边平行且相等，先证出四边形ACFD是平行四边形；再由题干条件AC⊥BC，F在BC延长线上，推出∠ACF=90 ；最后根据矩形判定定理：有一个内角是直角的平行四边形是矩形，完成证明.
（1）证明：四边形是平行四边形，
，
，，
E为的中点，
，
在和中，
，
；
（2）证明：由（1）得，，
又，
四边形是平行四边形，
，点F在的延长线上，
，
四边形是矩形．
21．【答案】（1），2
（2）解：已知，则，∵，
∴，
∴，即，
解得，
又∵，
解得，
结合，
∴的取值范围是.
（3），，．
【知识点】分式的化简求值；解分式方程；解一元一次不等式组
【解析】【解答】（1）解：，
；
由，，
可得，
，解得，
又，
解得，
综上，的取值范围是，
为正整数，
；
故答案为：，2.
（3）解：由是正整数且，得，代入，即，
解得，
∴方程的正整数解为，，．
【分析】（1）由0>；把原式中、全部放大为，得到>1，解出x<3；再将、缩小为 0，得<1，解出x>1；结合x是正整数，确定x=2.
（2）将x=2代入原式，算出+=；同理由y，把放大为，得到>，解出y<4；再将缩小为 0，得<，解出y>2；结合x=2（3）由y是正整数且2（1）解：，
；
由，，
可得，
，解得，
又，
解得，
综上，的取值范围是，
为正整数，
；
（2）解：已知，则，
∵，
∴，
∴，即，
解得，
又∵，
解得，
结合，
∴的取值范围是；
（3）解：由是正整数且，得，
代入，即，
解得，
∴方程的正整数解为，，．
22．【答案】（1）解：当，时，跳跃轨迹为抛物线，令，则，解得，，
∴，
∴，
∵抛物线，
∴顶点B的坐标为，
∴．
（2）解：对于抛物线， 令，则，解得，，
∴，
∴，
∵抛物线，
∴顶点B的坐标为，
∴．
∴．
（3）解：①∵每段跳跃轨迹均可用，∴，
∵第一次跳跃距离为，最大高度为，第二次跳跃距离为，最大高度为，
由（2）可知，，，
∴，，
∵两次共跳了远，即，
∴．
②由①有，
∴，
∵两次跳跃的高度和均小于，
∴，
∴，
∵跳跃轨迹均可用，
∴由（2）可得，
∴，
解得．
【知识点】解一元一次不等式组；二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】(1)已知a=1，b=6得到具体抛物线解析式，由抛物线与 x 轴交点求水平距离OA：令y=0解方程，零点差值即为OA长度；再通过配方法把抛物线化为顶点式，顶点纵坐标就是最大跳跃高度BC.
(2)对通用形式y= ax2+bx，先令y=0求与 x 轴交点，推导出OA的代数式；再配方求出顶点纵坐标，得到BC代数式；最后作分式除法，约去参数得到固定比值.
（3）①由题干轨迹式y=，对应通用式得a=，b=2；结合 (2) 问结论水平距离最大高度=2，推出单段最大高度=单段水平距离；已知两段水平距离之和OH+HK=3，整体代换求出两段最大高度之和.
②由①得到FG= DE，结合“两次跳跃均不触碰MN（高度均小于 1m）”列出不等式组，解出DE的取值区间；再用 (2) 问顶点高度公式把DE表示为含v12的代数式，代入DE范围解分式不等式，最终得到v12范围.
23．【答案】(1) ①；
②，
，
，，
．
（2）
证明：连接、，交于点F，
是旋转得到的，
，
，
，
，
，
，
，
，
即，
点在的垂直平分线上，
，
四边形是垂等四边形．
（3），，．
【知识点】三角形的面积；旋转的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；多边形的面积
【解析】【解答】（1）解：①四边形是“垂等四边形”，
，，
，
，
，
，
化简得．
故答案为：.
（3）解：，，，，，
设P点坐标为，分三种情况讨论：
①，
是对角线，且，
四边形是“垂等四边形”，
连接，、交于点，过点P分别作轴，轴，垂足分别为点E，点F，如下图
，
又
得，
得，则，
，
中，，
，，
，
将代入，得，
点P的坐标为．
②，
是对角线，，
四边形是“垂等四边形”，
过点作轴，垂足为点，如下图
，
，
，
，则，
在中，，
，
即，
，
在中，，
，
点P的坐标为．
③，
点P必然在的延长线上，即在y轴上，
过B点作线段，交y轴于点P，
如下图；
是对角线，，
四边形是“垂等四边形”，
，，
，
点P的坐标为．
综上所述，满足条件的点P有三个，坐标分别是，，．
【分析】（1）由AC⊥BD得直角三角形，结合AB=AC等腰三角形底角相等，用三角形内角和、外角性质，把∠BAC拆分为两个∠DBC，推出∠BAC=2∠DBC；对角线垂直四边形面积 =×对角线乘积；把四边形拆分为△ABC、△ACD，分别表示面积后合并，提取公因式得到面积公式，代入AC=6、BD=8直接计算.
（2）由旋转性质得AB=AD、AC=AE、旋转角相等，证△BAD∽△CAE，得到对应角相等；结合D在BC垂直平分线上得BD=CD；通过角度代换推导对角线BD⊥CE；最后对照垂等四边形定义：对角线互相垂直，一组对角线BD与边CD相等，完成证明.
（3）先算出定点坐标线段长度：BC=6，由BP=BC得BP=6；根据谁是对角线、哪条对角线垂直、哪条对角线等于边分三类分类讨论： ① 对角线AC⊥BP，BP=BC，满足垂等定义；用面积法列方程、勾股定理求横纵坐标； ② 对角线AB⊥PC，AB=AC，满足垂等定义；利用三角形等面积、勾股分步求线段长，转化为坐标； ③对角线AP⊥BC，BC为对角线，BP=BC，满足垂等定义；由BC在 x 轴，垂线平行 y 轴，直接在 y 轴上用勾股求P坐标； 最后汇总三类情况的全部点坐标.
1 / 1广西南宁二中学区2026年九年级中考二模考试数学试题
1．下面各数是负数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】正数、负数的概念与分类
【解析】【解答】解：∵ 负数的定义为小于0的数，
又∵，，，，
∴ 只有是负数．
故答案为：A.
【分析】由负数定义：数值小于 0 的数为负数；分别对比四个数与 0 的大小，只有 2满足小于 0；确定对应选项.
2．下列立体图形中，主视图，左视图，俯视图都是圆的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：A、圆锥的主视图、左视图是三角形，俯视图是带圆心的圆；
B、圆柱的主视图、左视图是矩形，俯视图是圆；
C、四面体的三视图不含圆；
D、球体任意方向的视图都是圆，因此主视图、左视图、俯视图都是圆．
故答案为：D．
【分析】由三视图定义，分别回忆圆锥、圆柱、四面体、球体的三种视图形状；筛选出主、左、俯视图全部为圆的立体图形，只有球体.
3．今年广西三月三期间，南宁车站大约发送旅客万人次．数据用科学记数法表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：数据用科学记数法表示为．
故答案为：C.
【分析】由科学记数法定义，明确a必须满足1≤a<10，；数原数整数位数，1390400共7 位，n=位数 1=6；匹配正确形式1.3904×106.
4．若长度分别为，，的三条线段能组成一个三角形，则的值可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：长度分别为，，的三条线段能组成一个三角形，
，即，
观察选项，只有满足 ，
故答案为：C．
【分析】由三角形三边定理，任意两边之和大于第三边、任意两边之差小于第三边，列出不等式；计算得到第三边a的取值区间25．如图，“云形”盖住的点的坐标可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵图案盖住的点在第二象限，且第二象限的点的符号特征为，
∴“云形”图案盖住的点的坐标可能是．
故答案为：B.
【分析】由图像位置，确定遮挡点位于第二象限；由各象限坐标符号规律，得出第二象限点符号为( ，+)；匹配选项中横坐标负、纵坐标正的坐标( 2，2).
6．如图，若的三边长，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理的逆定理；求正切值
【解析】【解答】解：∵
∴
∴
∴ 是直角三角形，且，
在中，．
故答案为：D.
【分析】由三边长度，用勾股逆定理，判定直角与直角顶点∠B；由正切定义：锐角正切 = 对边 ÷ 邻边，找准∠C的对边AB、邻边BC；代入数值计算得.
7．如图，在中，，，将线段水平向左平移个单位得到线段，若四边形为菱形，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】菱形的性质；平移的性质
【解析】【解答】解：∵四边形为菱形，
∴，
∴，
∴将线段水平向左平移个单位得到四边形为菱形．
故答案为：B.
【分析】由菱形四边相等的性质，得到BM=AB=3；由线段和差关系，算出CM=BC BM=2；由平移的距离对应线段CM长度，得出平移单位n=2.
8．某同学参加学校举行的“十大歌手”评选活动，位评委分别给出了评分，去掉一个最高分、一个最低分后，剩下的个评分与原始的个评分相比一定不发生变化的是（ ）
A．中位数 B．加权平均数 C．算术平均数 D．众数
【答案】A
【知识点】平均数及其计算；加权平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【解答】解：将7个评分从小到大排序，设为，
∵原始7个数据的中位数为排序后第4个数，即，去掉最高分和最低分后，剩余5个数据排序为，其中位数为第3个数，仍为，
∴中位数一定不发生变化，
加权平均数和算术平均数的总和与数据个数都改变，因此可能发生变化，
众数可能因去掉数据后发生改变．
故答案为：A.
【分析】由中位数定义：奇数个数据取正中间一个；7 个数中间是第 4 位，去掉首尾各 1 个剩 5 个数，中间依旧是原来第 4 位的数，由平均数、众数定义，数据总和、重复数字可能发生变化，因此三者数值可能改变；确定只有中位数不变.
9．如图，木工师傅只用两枚钉子就把一根木条固定在墙上，依据的数学原理是（ ）
A．两点确定一条直线 B．经过一点有无数条直线
C．垂线段最短 D．两点之间，线段最短
【答案】A
【知识点】两点确定一条直线
【解析】【解答】解：∵木工师傅只用两枚钉子就把一根木条固定在墙上，
∴这一操作利用了“经过两点有且只有一条直线”的性质 即两点确定一条直线．
故答案为：A.
【分析】由两颗钉子对应两个点，要固定木条即锁定唯一一条直线；由直线公理：两点确定一条直线.
10．，是关于的一元二次方程两个根，则值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：对于一元二次方程，
若方程两根为，则两根之积，
∵原方程为，可得，
∴．
故答案为：B.
【分析】由一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），两根之积公式为；对比方程标准形式，确定a=1，常数项c= 5；代入计算得x1x2= 5.
11．中国古人用十二根长短不同的竹子做成律管，用它们分别吹出十二个标准音，称为十二律，十二根竹管的管长和频率乘积为定值，设管长为，频率为，选取组数对，在平面直角坐标系中进行描点，则下列描点正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：∵十二根竹管的管长和频率乘积为定值，设管长为x，频率为y，
∴，
即，
根据反比例函数的图象可知，只有选项D符合题意．
故答案为：D.
【分析】由 “x、y乘积为定值”，推出y=，判定为反比例函数；由实际意义：管长x>0，频率y>0，图像仅在第一象限，且x越大y越小，单调递减；匹配散点分布呈递减曲线趋势.
12．《算学启蒙》是我国古代的数学著作，其中有一道题：“今有罗七尺，绫九尺，其价適等，只云绫尺价不及罗尺价三十六文．问：二色尺价各几何？”意思是：7尺罗类丝绸和9尺绫类丝绸的价格相同，每尺绫类丝绸的价格比罗类丝绸少36文，问这两类丝绸每尺的价格各是多少文？设罗类丝绸每尺的价格为x文，绫类丝绸每尺的价格为y文，则可以列出的方程组为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵设罗类丝绸每尺价格为文，绫类丝绸每尺价格为文，
根据“7尺罗类丝绸和9尺绫类丝绸价格相等”，可得，
根据“每尺绫类丝绸的价格比罗类丝绸少36文”，可得，
∴所列方程组为，
故答案为：A．
【分析】 本题考查了列二元一次方程组， 设绫每尺价x文，罗每尺价y文，根据7尺绫类丝绸和9尺罗类丝绸的价格相同， 每尺绫类丝绸的价格比罗类丝绸少36文，即可列出对应方程组．
13．单项式的系数为　 　．
【答案】3
【知识点】单项式的次数与系数
【解析】【解答】解：单项式的系数为，
故答案为：．
【分析】由单项式系数概念：只看字母前面的数字部分；提取3a2b的数字因数3，即为系数.
14．如图，在月历表中任取天，恰好这一天是星期二的概率是　 　．
【答案】
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：由图可知，该月历表中显示的日期从1号到30号，共有30天，
观察月历表可知，星期二的日期分别为2号，9号，16号，23号，30号，共有5天，
则恰好这一天是星期二的概率为．
故答案为：.
【分析】由月历表格，确定总天数 30；逐行找出所有星期二日期，计数得 5 天；由古典概型概率公式：P=，约分得到.
15．用若干张图中的直角三角形和四边形纸片密铺（不重叠、无空隙）成图，则　 　°．
【答案】180
【知识点】平面镶嵌（密铺）
【解析】【解答】解：由图像可知，中间是由2个角，1个角和两个直角组成，
∴，
解得．
故答案为：180.
【分析】平面密铺核心性质：拼接在同一个顶点的所有角相加等于360 ；找出该顶点全部内角：两个x、一个y、两个直角，列出等式；移项化简，直接求出2x+y的值.
16．汽车在转弯时会产生内轮差盲区，内轮差指车辆在转弯时前内轮与后内轮转弯半径之差．如图所示，为了安全，许多路口都设置如图的“右转危险区”（阴影部分）示意图．，与扇形分别相切于点，点，与扇形分别相切于点，点，后内轮转弯半径，前内轮转弯半径，．则“右转危险区”（阴影部分）的面积是　 　．
【答案】
【知识点】正方形的判定与性质；切线的性质；扇形面积的计算；多边形的面积
【解析】【解答】解：延长和相交于点，
∵，与扇形分别相切于点，点，
∴，，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形，
同理，四边形是正方形，
“右转危险区”的面积
．
故答案为：.
【分析】由切线 + 直角条件，判定内外两块区域分别为边长 12、6 的正方形；阴影面积等价转化：大正方形减去小正方形，再减去大扇形、补上小扇形；分别算出正方形、扇形面积，合并同类项得到最终表达式.
17．按要求完成下列计算：
（1）计算：；
（2）化简：．
【答案】（1）解：
.
（2）解：
．
【知识点】平方差公式及应用；分式的乘除法；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【分析】（1）先算乘方( 2)2=4，再算乘法，最后算减法，遵循 “先乘方，再乘除，后加减” 的有理数运算顺序。
（2）分子用平方差公式因式分解；分式除法法则：除以一个分式等于乘它的倒数；约分消去(a+1)、(a 1)，得到最简结果a.
（1）解：
；
（2）解：
．
18．如图，在扇形中，．
（1）尺规作图：作的中点（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，连接，，并且，交于点，若．
①求的长；
②如图，将如图中的扇形围成圆锥，，恰好重合，求圆锥的底面半径．
【答案】（1）解：如下图，
分别以A、B为圆心，以大于的长度为半径画弧，两弧交于点E，连接，射线与交于点C，点C即为所求.
（2）①设扇形的半径为R，则，
，
，
是的中点，
，
，
，
在中，
，即，
解得：，
；
②设圆锥底面半径为r ，
，
，
圆锥的底面半径是2．
【知识点】弧长的计算；圆锥的计算；尺规作图-作角的平分线；已知余弦值求边长
【解析】【分析】(1) 由弧中点的性质（圆心与弧中点的连线垂直平分弧所对弦AB），转化为作线段AB的垂直平分线，垂直平分线与弧AB的交点即为所求中点C，由此确定尺规作图操作。
(2)①由C是弧中点，推出OC⊥AB、OC平分∠AOB，得到Rt△AOD与∠AOD=60 ；设扇形半径为R，由CD=3得到直角三角形邻边OD=R 3； 在Rt△AOD中，由锐角三角函数cos60 =列出关于R的方程，解方程求出扇形半径；再由弧长计算公式，代入圆心角、扇形半径，算出弧AB的长度.
②由扇形围成圆锥的模型关系：扇形弧长 = 圆锥底面圆的周长；设底面半径为r，结合圆周长公式C=2πr建立等式；将上一问求出的弧长代入方程，解方程得到圆锥底面半径.
（1）解：如下图，
分别以A、B为圆心，以大于的长度为半径画弧，两弧交于点E，连接，射线与交于点C，点C即为所求；
（2）①设扇形的半径为R，则，
，
，
是的中点，
，
，
，
在中，
，即，
解得：，
；
②设圆锥底面半径为r ，
，
，
圆锥的底面半径是2．
19．某校开展牛顿杯物理竞赛，并对竞赛成绩开展抽样调查（成绩为百分制，为卓越奖，为优秀奖；为鼓励奖）．
【数据的收集】随机抽取名学生成绩如下：
93.5 75.5 89.5 81 46.5 95.5 82 77.5 81.5 55.5
99 70.5 86 92 95.5 52 57 65.5 68 85.5
【数据的整理】成绩频数分布表如下：
分组 组中值 划记 频数
一
正
【数据的描述】成绩频数分布直方图如下：
【数据的分析与应用】根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空： ； ；并补全成绩的频数分布直方图；
（2）求本次抽样的平均数（计算平均数时，用这组数据的组中值代表该组的实际数据）；
（3）若该校参加竞赛的学生共有人，估算该校获得卓越奖的人数．
【答案】（1）2；6；
频数分布直方图如下，
（2）解：本次抽样的平均数：，
答：本次抽样的平均数为77.5.
（3）解：（人），
答：该校获得卓越奖的人数为165人．
【知识点】频数（率）分布直方图；加权平均数及其计算；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：根据名学生成绩得，；
故答案为：2；6.
【分析】(1)由抽样总人数固定为 20 人，已知其余 5 组频数，用总频数依次减去已知各组频数，先算出60≤x<70组的频数a；再用总人数减去全部已知 5 组频数，算出80≤x<90组的频数b；得到a、b后，依据频数补全直方图对应长方形高度.
(2) 由题目规定 “用组中值代表每组全部数据”，先找到每一组对应的组中值与对应频数；再由加权平均数公式：加权平均数 =，代入所有组数据求和后除以20，算出本次抽样平均分.
(3)由题干定义卓越奖标准x≥80，对应表格里80≤x<90、90≤x≤100两组；先由样本算出这两组频数之和，得到样本中卓越奖占比；再由用样本估计总体思想，用全校总人数 300 乘该占比，估算出全校获得卓越奖的总人数.
（1）解：根据名学生成绩得，；
频数分布直方图如下，
（2）解：本次抽样的平均数：，
答：本次抽样的平均数为77.5；
（3）解：（人），
答：该校获得卓越奖的人数为165人．
20．如图，的对角线，为的中点，连接，并延长，交的延长线于点，连接．
（1）求证：；
（2）求证：四边形是矩形．
【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，
，，
E为的中点，
，
在和中，
，
.
（2）证明：由（1）得，，
又，
四边形是平行四边形，
，点F在的延长线上，
，
四边形是矩形．
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的判定；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】(1) 由已知ABCD是平行四边形，推出对边AD∥BC（即AD∥BF）；再由两直线平行，得到内错角∠DAE=∠CFE、∠ADE=∠FCE；结合E是CD中点，得到一组边DE=CE；最后根据AAS 全等判定定理，两组角 + 一组对边对应相等，证明两个三角形全等.
(2)由 (1) 的全等结论，先得到对应边AD=CF；再结合平行四边形性质AD∥CF，一组对边平行且相等，先证出四边形ACFD是平行四边形；再由题干条件AC⊥BC，F在BC延长线上，推出∠ACF=90 ；最后根据矩形判定定理：有一个内角是直角的平行四边形是矩形，完成证明.
（1）证明：四边形是平行四边形，
，
，，
E为的中点，
，
在和中，
，
；
（2）证明：由（1）得，，
又，
四边形是平行四边形，
，点F在的延长线上，
，
四边形是矩形．
21．已知三个正整数，，满足，且，求，，．
解：，；
由，，可得，
，解得，
又，解得，
综上，的取值范围是① ，
为正整数，② ．
（1）直接填空：① ；② ．
（2）类比上述探究方法，求出的取值范围；
（3）直接写出方程的正整数解．
【答案】（1），2
（2）解：已知，则，∵，
∴，
∴，即，
解得，
又∵，
解得，
结合，
∴的取值范围是.
（3），，．
【知识点】分式的化简求值；解分式方程；解一元一次不等式组
【解析】【解答】（1）解：，
；
由，，
可得，
，解得，
又，
解得，
综上，的取值范围是，
为正整数，
；
故答案为：，2.
（3）解：由是正整数且，得，代入，即，
解得，
∴方程的正整数解为，，．
【分析】（1）由0>；把原式中、全部放大为，得到>1，解出x<3；再将、缩小为 0，得<1，解出x>1；结合x是正整数，确定x=2.
（2）将x=2代入原式，算出+=；同理由y，把放大为，得到>，解出y<4；再将缩小为 0，得<，解出y>2；结合x=2（3）由y是正整数且2（1）解：，
；
由，，
可得，
，解得，
又，
解得，
综上，的取值范围是，
为正整数，
；
（2）解：已知，则，
∵，
∴，
∴，即，
解得，
又∵，
解得，
结合，
∴的取值范围是；
（3）解：由是正整数且，得，
代入，即，
解得，
∴方程的正整数解为，，．
22．【研究背景】某实验室研发了一款面向复杂地形场景的巡检机器人．为避免其与障碍物发生碰撞，优化起跳性能，研究团队将机器人近似看作一点，以起跳点为坐标原点，水平向右为轴正方向，在固定起跳仰角下，机器人的跳跃高度与跳跃水平距离的关系，可用函数描述，式中为起跳速度（单位：），，是常数，轨迹系数由起跳速度的大小与仰角共同决定．
例如：以起跳时，则满足；以起跳时，则满足．
【模型研究】如图，将机器人跳跃轨迹抽象成形如的二次函数图象（，均为常数，，），该函数图象与轴交于点，取抛物线顶点，过作轴于点．机器人单次跳跃的水平距离为线段的长，跳跃最大高度为线段的长，经研究发现与存在一定的比例关系．
（1）当，时，则，；
（2）用含，的式子来表示，的长度，并求出的值；
【模型应用】图是研究团队利用高速摄像机记录的某次机器人连续两次跳跃的轨迹，两次跳跃均以某相同的起跳仰角起跳，每段跳跃轨迹均可用描述，两次共跳了远．在起跳点正上方处，设置有一条平行于地面的观测线．若两次跳跃过程中，均未触碰到，设两次跳跃的最大高度分别为，．
（3）①求的值；
②设其第一次起跳的速度为（单位：），求的取值范围．
【答案】（1）解：当，时，跳跃轨迹为抛物线，令，则，解得，，
∴，
∴，
∵抛物线，
∴顶点B的坐标为，
∴．
（2）解：对于抛物线， 令，则，解得，，
∴，
∴，
∵抛物线，
∴顶点B的坐标为，
∴．
∴．
（3）解：①∵每段跳跃轨迹均可用，∴，
∵第一次跳跃距离为，最大高度为，第二次跳跃距离为，最大高度为，
由（2）可知，，，
∴，，
∵两次共跳了远，即，
∴．
②由①有，
∴，
∵两次跳跃的高度和均小于，
∴，
∴，
∵跳跃轨迹均可用，
∴由（2）可得，
∴，
解得．
【知识点】解一元一次不等式组；二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】(1)已知a=1，b=6得到具体抛物线解析式，由抛物线与 x 轴交点求水平距离OA：令y=0解方程，零点差值即为OA长度；再通过配方法把抛物线化为顶点式，顶点纵坐标就是最大跳跃高度BC.
(2)对通用形式y= ax2+bx，先令y=0求与 x 轴交点，推导出OA的代数式；再配方求出顶点纵坐标，得到BC代数式；最后作分式除法，约去参数得到固定比值.
（3）①由题干轨迹式y=，对应通用式得a=，b=2；结合 (2) 问结论水平距离最大高度=2，推出单段最大高度=单段水平距离；已知两段水平距离之和OH+HK=3，整体代换求出两段最大高度之和.
②由①得到FG= DE，结合“两次跳跃均不触碰MN（高度均小于 1m）”列出不等式组，解出DE的取值区间；再用 (2) 问顶点高度公式把DE表示为含v12的代数式，代入DE范围解分式不等式，最终得到v12范围.
23．四边形的形状特征与几何性质，和它的对角线有着密不可分的关系．在凸四边形中，若它的两条对角线互相垂直，且其中一条对角线与四边形的一边相等，则称该凸四边形为“垂等四边形”．如图，在四边形中，，，此时，四边形是“垂等四边形”．
【探究性质】
（1）如图，在垂等四边形中，，与相交于点．
①判断与的数量关系是______；
②若，，求垂等四边形的面积；
【判定推理】
（2）如图，在中，，将绕点顺时针旋转，得到，若点恰好落在的垂直平分线上，连接，，求证：四边形是垂等四边形；
【综合运用】
（3）如图，在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别为，，，点为平面内一个动点，若以，，，为顶点的四边形是垂等四边形，且，直接写出点的坐标．
【答案】(1) ①；
②，
，
，，
．
（2）
证明：连接、，交于点F，
是旋转得到的，
，
，
，
，
，
，
，
，
即，
点在的垂直平分线上，
，
四边形是垂等四边形．
（3），，．
【知识点】三角形的面积；旋转的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；多边形的面积
【解析】【解答】（1）解：①四边形是“垂等四边形”，
，，
，
，
，
，
化简得．
故答案为：.
（3）解：，，，，，
设P点坐标为，分三种情况讨论：
①，
是对角线，且，
四边形是“垂等四边形”，
连接，、交于点，过点P分别作轴，轴，垂足分别为点E，点F，如下图
，
又
得，
得，则，
，
中，，
，，
，
将代入，得，
点P的坐标为．
②，
是对角线，，
四边形是“垂等四边形”，
过点作轴，垂足为点，如下图
，
，
，
，则，
在中，，
，
即，
，
在中，，
，
点P的坐标为．
③，
点P必然在的延长线上，即在y轴上，
过B点作线段，交y轴于点P，
如下图；
是对角线，，
四边形是“垂等四边形”，
，，
，
点P的坐标为．
综上所述，满足条件的点P有三个，坐标分别是，，．
【分析】（1）由AC⊥BD得直角三角形，结合AB=AC等腰三角形底角相等，用三角形内角和、外角性质，把∠BAC拆分为两个∠DBC，推出∠BAC=2∠DBC；对角线垂直四边形面积 =×对角线乘积；把四边形拆分为△ABC、△ACD，分别表示面积后合并，提取公因式得到面积公式，代入AC=6、BD=8直接计算.
（2）由旋转性质得AB=AD、AC=AE、旋转角相等，证△BAD∽△CAE，得到对应角相等；结合D在BC垂直平分线上得BD=CD；通过角度代换推导对角线BD⊥CE；最后对照垂等四边形定义：对角线互相垂直，一组对角线BD与边CD相等，完成证明.
（3）先算出定点坐标线段长度：BC=6，由BP=BC得BP=6；根据谁是对角线、哪条对角线垂直、哪条对角线等于边分三类分类讨论： ① 对角线AC⊥BP，BP=BC，满足垂等定义；用面积法列方程、勾股定理求横纵坐标； ② 对角线AB⊥PC，AB=AC，满足垂等定义；利用三角形等面积、勾股分步求线段长，转化为坐标； ③对角线AP⊥BC，BC为对角线，BP=BC，满足垂等定义；由BC在 x 轴，垂线平行 y 轴，直接在 y 轴上用勾股求P坐标； 最后汇总三类情况的全部点坐标.
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