资源简介

河北省2026年数学中考试卷
1．计算：a+a+b+b=（　　）
A．2ab B．2a+2b C．a2b2 D．
2．如图，点P在直线AB外，点C是直线AB上的动点，则∠1与∠2的关系一定成立的是（　　）
A．∠1>∠2 B．∠1=3∠2
C．∠1-∠2=90° D．∠1+∠2=180°
3．计算：（　　）
A． B．5 C． D．
4．河北博物院收藏的错金铜博山炉（如图2-1所示）是汉代颇具代表性的香薰器物.将它近似地看成由圆锥、半球和圆柱组成的几何体（如图2-2所示），则这个几何体的主视图中没有出现的图形是（　　）
A．三角形 B．矩形 C．半圆 D．菱形
5．嘉嘉在美术课上了解到，用不同比例的红、黄两种颜料能调配出多种暖色调颜色.如图，根据红色颜料的占比，可以将调配出的颜色分为①、②、③、④等四类.用6g红色颜料和4g黄色颜料调配出的颜色属于（　　）
A．①类 B．②类 C．③类 D．④类
6．计算：（　　）
A． B． C． D．
7．如图，将一个边长为a的正方形分成6个全等的矩形，若这6个矩形周长之和比原正方形的周长多48，则a的值为（　　）
A．6 B．8 C．12 D．16
8．掷两枚质地均匀的骰子（六个面上分别刻有1到6的点数），若向上一面的点数之和为2的概率与点数之和为n的概率相等，则n=（　　）
A．3 B．4 C．11 D．12
9．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC=3AD，过点A作AE∥DC交BC于点E，将△ABE沿AE翻折，得到△AB'E.B'A，B'E分别与直线DC交于M，N两点，则△MB'N与△ABE的面积之比为（　　）
A． B． C． D．
10．如图，在⊙O中，ACB所对的圆心角为150°，点D在上.若∠CBO=n°，则∠ADC=（　　）
A． B． C． D．2n°
11．平面直角坐标系中有A（1，n），B（m，6），C（m，n）三点.若直线AB经过原点，则点C一定在（　　）
A．函数的图象上 B．函数的图象上
C．函数y=-x+5的图象上 D．函数y=6x的图象上
12．如图，在平面直角坐标系中，若两阴影部分的面积分别为m，n，则m-n=（　　）
A． B． C． D．0
13．计算：4-（-6）=　 　.
14．某楼梯装有护栏，其侧面如图所示.其中AB∥CD，BD⊥DE于点D，AC⊥DE于点E，若∠BAC=60°，AB=4m，则CE=　 　m.
15．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，其中一个根是另一个根的平方，则m=　 　.
16．一游客计划从A地出发到B，C，D三地旅游，然后回到A地.该游客到三地的先后顺序不确定，且每个地方只到1次，如A→D→B→C→A.若图中两地间连线上的数字表示两地之间单次通行的交通费用（单位：百元），则此次旅游的交通费用最少为　 　百元.
17．
（1）解方程：3x=12+x；
（2）解不等式：
18．用运算律或乘法公式可以简化运算，例如：
=（98+2）×（98-2）+22
=100×96+4
=9604.
（1）证明并用以上方法计算992；
（2）计算：
19．
（1）尺规作图：如图10-1，在△ABC中，作出AB边的垂直平分线l；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）如图10-2，在△ABC中，∠BAC=2∠B，点D在BC边上，且DA=DB.若AC=6，BC=9，求线段CD的长.
20．为培养学生的劳动观念和家庭责任意识，某中学开展了“家长家务劳动时长”调查活动.在某一周，每名学生统计自己家长每天整理收纳、烧菜做饭、洗衣清扫等家务劳动时间，计算出家长日均家务劳动时长t（单位：h）并提交.
（计算方法：）
收集数据
淇淇随机抽取了40名同学提交的数据，如下：
3.6 2.1 1.9 3.2 2.4 3.1 2.0 2.6 1.9 3.2
1.3 2.8 2.9 1.4 2.1 2.5 1.7 3.5 2.6 2.6
2.3 3.7 2.7 1.9 3.3 2.0 2.6 2.0 1.6 2.8
3.4 2.5 2.1 2.2 1.8 2.4 3.0 2.5 3.5 2.3
整理数据
淇淇将数据适当分组后，绘制了如图所示的不完整的频数直方图.
分析数据
（1）①补全上面的频数直方图；估计全校学生提交的数据中，t>2.25的占比为 ▲ %.
②把频数直方图中各组数据用该组的中间值来代替（如1.25~1.75的中间值为1.5），并利用图中信息，计算这40名学生提交的家长日均家务劳动时长的平均数.
（2）资料显示，我国6周岁以上居民的日均家务劳动时长约为1.28h，淇淇发现与之相比有明显差异，请结合统计知识分析原因.（写出一条即可）
21．在学习了圆的相关知识后，同学们设计并开展了一项综合实践活动，下面是一个小组尚未完成的活动报告.
主题 求生活中的圆弧长
研究内容 本次活动选取学校的铅球场地，将场地的一部分抽象为扇形OPQ（如图1所示），已知扇形OPQ所在圆的半径OM⊥PQ于点N，OP≈10.00m，用不同的方案分别求的长l.
工具 软尺（长度足够）、测角仪（可测量角度的大小）等
研究方案与实践成果 方案一 方案二 方案三
用软尺直接测量的长. 测量数据： 第一次6.36m 第二次6.32m 用测角仪测角，利用弧长公式计算的长. 测量数据： ∠POQ≈36° 查阅文献，发现北宋沈括的《梦溪笔谈》中收录了近似计算圆弧长度的“会圆术”.图1中，弧长 测量数据： PQ≈6.20m MN≈0.50m
取两次测量结果的平均数，则l=6.34m. 利用弧长公式，…… 根据“会圆术”，……
反思应用 ①方案一可通过 ▲ 的方法减少误差； ②我们可以利用上面的活动经验解决一些生活中的问题.如图2所示，公园里一座桥的主桥拱是圆弧形，已知其跨度AB为6m，拱高CD为1m，虽然弧长和圆心角∠AEB不方便测量，但可以通过计算近似得出. 计算过程如下：……
请你帮助该小组完成活动报告，具体如下：
（1）写出“反思应用”①中减少误差的方法；（写出一种方法即可）
（2）分别利用方案二（结果保留π）和方案三计算的长l；
（3）求图2中弧长和圆心角∠AEB.（π取3.1）
22．某登山爱好者根据经验，总结出一个预估自己登山用时t（分钟）的模型：其中，（k为常数），x（千米）表示登山路线的长度：h（千米）表示山顶与起点的海拔高度差.从A出发到山顶M的路线及相关数据如图所示.
（说明：本题中模型已简化，且不计登山过程中休息和必要的预留时间）
（1）①求k，h的值；
②计算路线3的长度.
（2）已知山顶M的海拔高度为1000米，B在如图所示的一条等高线上，等高线上标注的数字表示其海拔高度（单位：米）.若该登山爱好者从B出发到山顶M的路线长度为3千米，根据本题模型，求该登山爱好者登到山顶M的预估用时.
23．如图，二次函数y=（x-t）（x-3t）（其中t>0）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，顶点为P.将点B绕点A顺时针旋转90°得到点D.
（1）若t=1，求直线PD的函数表达式，并判断点C关于二次函数图象对称轴的对称点C'是否在直线PD上；
（2）当3≤x≤6时，二次函数的最大值为9，求t的值；
（3）连接OP，当点D不在直线OP上时，过点D作直线DE∥OP交y轴于点E（0，m），请直接写出m的最小值.
24．如图1和图2，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，正方形DEFG的顶点D，E，F分别在△ABC的三边AB，BC，CA上.当点D从点B出发沿BA向点A移动时，点E，F随之分别在BC，CA上移动（正方形DEFG的大小发生变化），当点F与点C重合时，移动停止.
（1） tan∠ABC=　 　.
（2）如图1，当∠BED=45°时，求证：BE=CE.
（3）①如图2，当时，求BE的长；
②当时，直接写出正方形DEFG的边长.
（4）在移动过程中，每当点G移动1个单位长度时，点E均移动d个单位长度，直接写出d的值.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：a+a+b+b= 2a+2b
故答案为：B
【分析】合并同类项即可求出答案.
2．【答案】D
【知识点】邻补角
【解析】【解答】解：由图象可得：
∠1+∠2=180°
故答案为：D
【分析】根据补角定义即可求出答案.
3．【答案】A
【知识点】二次根式的乘除混合运算
【解析】【解答】解：
故答案为：A
【分析】根据二次根式的乘法即可求出答案.
4．【答案】D
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：由图象可得：
这个几何体的主视图中没有出现的图形是菱形
故答案为：D
【分析】根据几何体的三视图即可求出答案.
5．【答案】C
【知识点】百分数的实际应用
【解析】【解答】解：，属于第③类
故答案为：C
【分析】根据题意求出红色原料的占比百分比，再根据类别所占百分比进行判断即可求出答案.
6．【答案】A
【知识点】异分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：
=
=
=
故答案为：A
【分析】根据分式的减法，结合完全平方公式化简计算即可求出答案.
7．【答案】B
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：∵一个边长为a的正方形分成6个全等的矩形
∴每个矩形的长为，宽为
由题意可得：
解得：a=8
故答案为：B
【分析】由题意可得每个矩形的长为，宽为，建立方程，解方程即可求出答案.
8．【答案】D
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：列表如下：
和 1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12
∴共有36种等可能的结果，点数之和为2的结果有1种
∴点数之和为2的概率
A：点数之和为3的有2种，概率为，不符合题意；
B：点数之和为4的有3种，概率为，不符合题意；
C：点数之和为11的有2种，概率为，不符合题意；
D：点数之和为12的有1种，概率为，不符合题意；
故答案为：D
【分析】列出表格，求出所有等可能的结果，再分别求出点数之和为2的结果，及各选项的结果，再求出概率，再进行比较即可求出答案.
9．【答案】C
【知识点】平行线的性质；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵AD∥BC，AE∥DC
∴四边形AECD是平行四边形
∴AD=EC
∴BC=3AD=3EC=BE+EC
∴BE=2EC
由折叠可得，BE=B'E，S△ABE=S△AB'E，∠BEA=∠B'EA
∵AE∥DC
∴∠ENC=∠B'EA，∠BEA=∠C
∴∠ENC=∠C
∴EN=EC
∴B'E=BE=2EN
∴
∵AE∥DC
∴∠B'MN=∠B'AE，∠B'NM=∠B'EA
∴△B'MN∽△B'AE
∴
∴
故答案为：C
【分析】根据平行四边形判定定理可得四边形AECD是平行四边形，则AD=EC，再根据边之间的关系可得BE=2EC，由折叠可得，BE=B'E，S△ABE=S△AB'E，∠BEA=∠B'EA，根据直线平行性质可得∠ENC=∠B'EA，∠BEA=∠C，则∠ENC=∠C，根据等角对等边可得EN=EC，根据边之间的关系可得，再根据直线平行性质可得∠B'MN=∠B'AE，∠B'NM=∠B'EA，再根据相似三角形判定定理及性质即可求出答案.
10．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：如图，连接CO并延长交⊙O于点E，连接AE
∵OB=OC
∴∠OCB=∠CBO=n°
∴∠BOC=180°-∠B-∠OCB=180°-2n°
∴∠AOC=∠AOB-∠BOC=150°-(180°-2n°)=2n°-30°
∴
∴∠ADC=180°-∠E=180°-(n°-15°)=195°-n°
故答案为：C
【分析】连接CO并延长交⊙O于点E，连接AE，根据等边对等角可得∠OCB=∠CBO=n°，根据三角形内角和定理可得∠BOC，再根据角之间的关系可得∠AOC，再根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得∠E，再根据圆内接四边形性质即可求出答案.
11．【答案】B
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵直线AB经过原点
∴设直线AB的解析式为y=kx
将点A（1，n）代入解析式可得，k=n
∴直线AB的解析式为y=nx
将点B代入解析式可得，mn=6
∵点C（m，n）
∴点C的横纵坐标的乘积为mn=6
对函数变形可得xy=6，满足点C的坐标特征
∴点C在函数的图象上
故答案为：B
【分析】设直线AB的解析式为y=kx，将点A，B坐标代入可得mn=6，再根据点C的坐标特征进行判断即可求出答案.
12．【答案】B
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；平行线的性质；一次函数图象与坐标轴交点问题；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：如图，过点B作BJ∥x轴交直线l1于点J，过点F作EF∥x轴交直线l1于点E
∵CD∥x轴，GH∥x轴
∴CD∥BJ，GH∥EF
由图可得，l1过(0，0)，l2过(1，0)，(2，3)，l3过(0，3)，(3，2)，l4过(0，2)，(3，1)
设直线l1的解析式为y=ax
将点(1，3)代入可得，a=3
∴直线l1的解析式为y=3x
同理可得，l2：y=3x-3，l3：，l4：
∴l1∥l2
∴四边形JBDC，EFHG为平行四边形
当y=1时，1=3x，解得：x=，即G(，1)
当y=1时，1=3x-3，解得：x=，即H(，1)
当y=2时，2=3x，解得：x=，即C(，2)
当y=2时，2=3x-3，解得：x=，即H(，2)
∴GH=BC=1
联立l2与l3得，，解得：x=1.8，则y=2.4，即B(1.8，2.4)
联立l1与l3得，，解得：x=0.9，则y=2.7，即A(0.9，2.7)
联立l2与l4得，，解得：x=1.5，则y=1.5，即F(1.8，2.4)
联立l1与l4得，，解得：x=0.6，则y=1.8，即I(0.6，1.8)
∴阴影部分n的面积为
阴影部分m的面积为
∴m-n=0.65-0.55=0.1=
故答案为：B
【分析】过点B作BJ∥x轴交直线l1于点J，过点F作EF∥x轴交直线l1于点E，由图可得，l1过(0，0)，l2过(1，0)，(2，3)，l3过(0，3)，(3，2)，l4过(0，2)，(3，1)，设直线l1的解析式为y=ax，根据待定系数法将点(1，3)代入可得直线l1的解析式为y=3x，同理可得，l2：y=3x-3，l3：，l4：，根据平行四边形判定定理可得四边形JBDC，EFHG为平行四边形，求出G(，1)，H(，1)，C(，2)，H(，2)，根据两点间距离可得GH=BC=1，两两联立直线解析式，求出交点坐标，再根据割补法，结合平行四边形，三角形面积可得m，n值，再代入代数式即可求出答案.
13．【答案】10
【知识点】有理数的减法法则
【解析】【解答】解：4-（-6）=10
故答案为：10
【分析】根据有理数的减法即可求出答案.
14．【答案】2
【知识点】含30°角的直角三角形；平行四边形的判定与性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，BD⊥DE于点D，AC⊥DE于点E
∴BD∥AE
∴四边形ABCD为平行四边形
∴DC=AB=4，∠DCE=∠A=60°
∴∠EDC=90°-∠DCE=30°
∴
故答案为：2
【分析】根据平行四边形判定定理可得四边形ABCD为平行四边形，则DC=AB=4，∠DCE=∠A=60°，根据直角三角形两锐角互余可得∠EDC，再根据含30°角的直角三角形性质即可求出答案.
15．【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根，其中一个根是另一个根的平方
∴设方程的两个根为t，t2
∴t+t2=，
解得：
∴
故答案为：
【分析】根据题意设方程的两个根为t，t2，根据根与系数的关系可得t+t2=，，解方程可得t值，再代入即可求出答案.
16．【答案】21
【知识点】有理数的加减混合运算的实际应用
【解析】【解答】解：根据题意，从A地出发到B，C，D三地旅游，然后回到A地，且每个地方只到1次，共有以下不同的路线方案：
方案一：路线为A→B→C→D→A，交通费用为：3+5+7+6=21（百元）
方案二：路线为A→B→D→C→A，交通费用为：3+8+7+4=22（百元）
方案三：路线为A→C→B→D→A，交通费用为：4+5+8+6=23（百元）
方案四：路线为A→C→D→B→A，交通费用为：4+7+8+3=22（百元）
方案五：路线为A→D→B→C→A，交通费用为：6+8+5+4=23（百元）
方案六：路线为A→D→C→B→A，交通费用为：6+7+5+3=21（百元）
∵21<22<73
所以此次旅游的交通费用最少为21百元.
故答案为：21
【分析】根据题意列举出所有方案，求出交通费用，再比较大小即可求出答案.
17．【答案】（1）解：移项，3x-x=12
合并同类项，2x=12
系数化为1，x=6
（2）解：去分母，2x-6>x-1
移项，2x-x>-1+6
合并同类项，x>5
【知识点】解一元一次不等式；利用合并同类项、移项解一元一次方程
【解析】【分析】（1）移项，合并同类项，系数化为1即可求出答案.
（2）去分母，移项，合并同类项即可求出答案.
18．【答案】（1）证明：
计算：
=100×98+1=9801
（2）解：
=100×110+25=11025
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【分析】（1）根据平方差公式去括号，再合并同类项化简即可求出答案.
（2）根据（1）中结论化简计算即可求出答案.
19．【答案】（1）解：尺规作图：分别以A，B为圆心，大于AB为半径画弧，两弧交点连线即为垂直平分线l
（2）解：∵DA=DB
∴∠B=∠BAD
∴∠CDA=∠B+∠BAD=2∠B
∵∠BAC=2∠B
∴∠BAC=∠CDA
∴△CDA∽△CAB
∴，即
解得：CD=4
【知识点】三角形外角的概念及性质；线段垂直平分线的性质；相似三角形的判定；尺规作图-垂直平分线；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据垂直平分线定义作图即可.
（2）根据等边对等角可得∠B=∠BAD，根据三角形外角性质可得∠CDA=∠B+∠BAD=2∠B，则∠BAC=∠CDA，根据相似三角形判定定理可得△CDA∽△CAB，则，再代值计算即可求出答案.
20．【答案】（1）①由题意可得，1.25补全频数分布直方图可得：
62.5
t>2.25的占比
②各组中间值：1.5，2.0，2.5，3.0
平均数：
（2）解：本次调查的样本为该校学生家长，群体以中青年为主，且普遍需要承担家庭育儿、日常家务等劳动，家务时长整体偏高；而全国6周岁以上居民涵盖了未成年人、老年人、单身群体等各类人群，整体平均家务时长更低。因此样本不具有全国范围的代表性，二者存在明显差异。
【知识点】频数（率）分布直方图；平均数及其计算
【解析】【解答】解：（1）①t>2.25的占比为
故答案为：62.5
【分析】（1）①根据数据求出1.252.25的占比即可求出答案.
②取中间值即可，再根据平均数的定义即可求出答案.
（2）根据各统计量的意义即可求出答案.
21．【答案】（1）多次测量取平均值
（2）方案二：弧长公式米
方案三：会圆术米
（3）解：∵CD⊥AB，AB=6
∴
在Rt△ADE中，由勾股定理：
即
解得：AE=5
由会圆术可得，
设∠AEB的度数为n，则
解得：
【知识点】勾股定理；垂径定理；弧长的计算
【解析】【分析】（1）可通过多次测量取平均值的方法减少误差.
（2）根据弧长公式及会圆术公式公式代值计算即可求出答案.
（3）根据垂径定理可得AD，根据勾股定理建立方程，解方程可得AE，再根据会圆术及弧长公式建立方程，解方程即可求出答案.
22．【答案】（1）①将代入得t=kx+150h
由题得：(6，210)，(4，180)代入
，解得：
②由①得：t=15x+120
将t=195代入t=15x+120，195=15x+120
解得：x=5
∴路程为5km。
（2）解：
（分钟）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）①代入得t=kx+150h，再根据待定系数法将点(6，210)，(4，180)代入即可求出答案.
②将t=195代入解析式即可求出答案.
（2）根据题意求出h值，再代入代数式即可求出答案.
23．【答案】（1）解：当t=1时，二次函数解析式为y=(x-1)(x-3)=x2-4x+3
∴A(1，0)，B(3，0)，C(0，3)
∵y=(x-2)2-1
∴顶点P(2，-1)
∵点B绕点A顺时针旋转90°得到点D，且AB=2
∴D(1，-2)
设直线PD的解析式为y=kx+b
将P(2，-1)，D(1，-2)代入可得：
，解得：
∴直线PD的解析式为y=x-3
∵抛物线的对称轴为直线x=2，点C(0，3)关于对称轴的对称点为C'(4，3)
当x=4时，y=4-3=1≠3
∴点C'不在直线PD上
（2）解： y=(x-t)(x-3t)=(x-2t)2-t2，对称轴为直线x=2t
①当，即时，在3≤x≤6上，y随x的增大而减小
∴当x=3时，y取最大值为9
(3-t)(3-3t)=9，解得：（舍），
②当，即时，在3≤x≤6上，y随x的增大而增大
∴x=6时，y取最大值9
(6-t)(6-3t)=9，
解得：（舍），
当3 ≤2t≤6时，即，最大值在端点取得，经检验无解
∴综上，t的值为4或
（3）-2
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：（3）由题意可得，A(t，0)，B(3t，0)，P(2t，-t2)
∵点B绕点A顺时针旋转90°得到点D
∴D(t，-2t)
设直线OP的解析式为y=k1x
将P(2t，-t2)代入可得，-t2=2tk1，解得：
∵DE∥OP
∴直线DE的解析式为
将D(t，-2t)代入可得，
∴
∴当t=2时，m取最小值为-2
【分析】（1）根据坐标轴上点的坐标特征可得A(1，0)，B(3，0)，C(0，3)，将解析式转换为顶点式可得顶点P(2，-1)，根据旋转性质可得D(1，-2)，设直线PD的解析式为y=kx+b，根据待定系数法将点P(2，-1)，D(1，-2)代入可得直线PD的解析式为y=x-3，根据对称性质可得C'(4，3)，再代入解析式进行判断即可求出答案.
（2）将解析式转换为顶点式可得对称轴为直线x=2t，分情况讨论：①当，即时，②当，即时，当3 ≤2t≤6时，即，根据二次函数性质建立方程，解方程即可求出答案.
（3）根据坐标轴上点的坐标特征可得A(t，0)，B(3t，0)，P(2t，-t2)，根据旋转性质可得D(t，-2t)，设直线OP的解析式为y=k1x，将点P(2t，-t2)代入可得，根据直线平行性质可得直线DE的解析式为，再将点D坐标代入，整理，变形，结合二次函数的性质即可求出答案.
24．【答案】（1）
（2）证明：∵四边形DEFG为正方形
∴∠DEF=90°，DE=EF
∵∠BED=45°
∴∠BED=∠CEF
∵AB=AC
∴∠B=∠C
在△BED和△CEF中
∴△BED≌△CEF（AAS）
∴BE=CE
（3）①作DMD'⊥BC于D'，FF'⊥BC于F'
∴∠DD'E=∠EF'F=90°
∵∠DEF=90°
∴∠DED'+∠FEF'=90°
∵∠D'DE+∠DED'=90°
∴∠D'DE=∠FEF'
∵∠DD'E=∠EF'F=90°，∠D'DE=∠F'EF，DE=EF
∴△DD'E≌△EF'F（AAS）
∴EF'=DD'，D'E=FF'
由（1）知
在Rt△BDM中，
，
即
设D'E=x=FF'，则BF'=BD'+D'E+EF'=4+x，CF'=12-BF'=8-x
∵
解得：
∴
②
（4）
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；解直角三角形；等腰直角三角形；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】解：（1）作AH⊥BC
∵AB=AC=10，BC=12，AH⊥BC
∴∠AHB=90°，BH=CH=6
∴
∴
（3）②设BD'=3y，则DD'=4y，
由①可得，EF'=DD'=4y，
∴
∵
解得：
∴
∴
∴正方形DEFG的边长为
（3）当B，D重合时，△BEF为等腰直角三角形
设BE=EF=m，则CE=12-m
∵
解得：m=
∴EF=BG=
当F，G重合时，△DEB为等腰直角三角形
设DE=EF=n，则BE=12-n
∵
解得：n=
∴DE=GF=
当BE=CE时，作DQ⊥BC
设GE=2t，则OD=OE=t
∵DQ⊥BC
∴DQ=OE=t，QE=DQ=t
∴BQ=6-t
∵
解得：
∴GE=
综上所述，点G的运动轨迹是平行于BC的直线，且BC的距离为，过点G作BC的平行线l
如图，GG'=1，过点D作DN⊥BC，延长ND交l于点M，则四边形BNMG'是矩形
∴BN=G'M，MN=BG'=
∵
∴设BN=3a，则DN=4a
∴DM=-4a，GM=1-3a
同理可得，△DMG≌△END
∴NE=DM=-4a，MG=DN=4a
过点E'作E'H⊥l，则E'H=G'B=
∴
∴BE'=BC-CE'=
∴EE'=-3a-(-4a)=a
∵GG'=G'M+MG=7a=1
∴
∴EE'=
∴d=
【分析】（1）作AH⊥BC，根据等腰三角形三线合一性质可得∠AHB=90°，BH=CH=6，根据勾股定理可得AH，再根据正切定义即可求出答案.
（2）根据正方形性质可得∠DEF=90°，DE=EF，根据三角形内角和定理可得∠CEF，再根据等边对等角可得∠B=∠C，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
（3）①作DMD'⊥BC于D'，FF'⊥BC于F'，根据角之间的关系可得∠D'DE=∠FEF'，根据全等三角形判定定理可得△DD'E≌△EF'F（AAS），则EF'=DD'，D'E=FF'，解直角三角形可得EF'，设D'E=x=FF'，则BF'=BD'+D'E+EF'=4+x，CF'=12-BF'=8-x，再根据正切定义建立方程，解方程可得x值，再根据边之间的的关系即可求出答案.
②设BD'=3y，则DD'=4y，，由①可得，EF'=DD'=4y，，根据正切定义建立方程，解方程可得y值，再根据勾股定理即可求出答案.
（4）当B，D重合时，△BEF为等腰直角三角形，设BE=EF=m，则CE=12-m，根据正切定义建立方程，解方程可得EF=BG=；当F，G重合时，△DEB为等腰直角三角形，设DE=EF=n，则BE=12-n
，根据正切定义建立方程，解方程可得DE=GF=，当BE=CE时，作DQ⊥BC，设GE=2t，则OD=OE=t，据正切定义建立方程，解方程可得GE=，综上所述，点G的运动轨迹是平行于BC的直线，且BC的距离为，过点G作BC的平行线l，GG'=1，过点D作DN⊥BC，延长ND交l于点M，则四边形BNMG'是矩形，则BN=G'M，MN=BG'=，设BN=3a，则DN=4a，根据全等三角形判定定理可得△DMG≌△END，则NE=DM=-4a，MG=DN=4a，过点E'作E'H⊥l，则E'H=G'B=，解直角三角形可得CE'，再根据边之间的关系即可求出答案.
1 / 1河北省2026年数学中考试卷
1．计算：a+a+b+b=（　　）
A．2ab B．2a+2b C．a2b2 D．
【答案】B
【知识点】合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：a+a+b+b= 2a+2b
故答案为：B
【分析】合并同类项即可求出答案.
2．如图，点P在直线AB外，点C是直线AB上的动点，则∠1与∠2的关系一定成立的是（　　）
A．∠1>∠2 B．∠1=3∠2
C．∠1-∠2=90° D．∠1+∠2=180°
【答案】D
【知识点】邻补角
【解析】【解答】解：由图象可得：
∠1+∠2=180°
故答案为：D
【分析】根据补角定义即可求出答案.
3．计算：（　　）
A． B．5 C． D．
【答案】A
【知识点】二次根式的乘除混合运算
【解析】【解答】解：
故答案为：A
【分析】根据二次根式的乘法即可求出答案.
4．河北博物院收藏的错金铜博山炉（如图2-1所示）是汉代颇具代表性的香薰器物.将它近似地看成由圆锥、半球和圆柱组成的几何体（如图2-2所示），则这个几何体的主视图中没有出现的图形是（　　）
A．三角形 B．矩形 C．半圆 D．菱形
【答案】D
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：由图象可得：
这个几何体的主视图中没有出现的图形是菱形
故答案为：D
【分析】根据几何体的三视图即可求出答案.
5．嘉嘉在美术课上了解到，用不同比例的红、黄两种颜料能调配出多种暖色调颜色.如图，根据红色颜料的占比，可以将调配出的颜色分为①、②、③、④等四类.用6g红色颜料和4g黄色颜料调配出的颜色属于（　　）
A．①类 B．②类 C．③类 D．④类
【答案】C
【知识点】百分数的实际应用
【解析】【解答】解：，属于第③类
故答案为：C
【分析】根据题意求出红色原料的占比百分比，再根据类别所占百分比进行判断即可求出答案.
6．计算：（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】异分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：
=
=
=
故答案为：A
【分析】根据分式的减法，结合完全平方公式化简计算即可求出答案.
7．如图，将一个边长为a的正方形分成6个全等的矩形，若这6个矩形周长之和比原正方形的周长多48，则a的值为（　　）
A．6 B．8 C．12 D．16
【答案】B
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：∵一个边长为a的正方形分成6个全等的矩形
∴每个矩形的长为，宽为
由题意可得：
解得：a=8
故答案为：B
【分析】由题意可得每个矩形的长为，宽为，建立方程，解方程即可求出答案.
8．掷两枚质地均匀的骰子（六个面上分别刻有1到6的点数），若向上一面的点数之和为2的概率与点数之和为n的概率相等，则n=（　　）
A．3 B．4 C．11 D．12
【答案】D
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：列表如下：
和 1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12
∴共有36种等可能的结果，点数之和为2的结果有1种
∴点数之和为2的概率
A：点数之和为3的有2种，概率为，不符合题意；
B：点数之和为4的有3种，概率为，不符合题意；
C：点数之和为11的有2种，概率为，不符合题意；
D：点数之和为12的有1种，概率为，不符合题意；
故答案为：D
【分析】列出表格，求出所有等可能的结果，再分别求出点数之和为2的结果，及各选项的结果，再求出概率，再进行比较即可求出答案.
9．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC=3AD，过点A作AE∥DC交BC于点E，将△ABE沿AE翻折，得到△AB'E.B'A，B'E分别与直线DC交于M，N两点，则△MB'N与△ABE的面积之比为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的性质；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵AD∥BC，AE∥DC
∴四边形AECD是平行四边形
∴AD=EC
∴BC=3AD=3EC=BE+EC
∴BE=2EC
由折叠可得，BE=B'E，S△ABE=S△AB'E，∠BEA=∠B'EA
∵AE∥DC
∴∠ENC=∠B'EA，∠BEA=∠C
∴∠ENC=∠C
∴EN=EC
∴B'E=BE=2EN
∴
∵AE∥DC
∴∠B'MN=∠B'AE，∠B'NM=∠B'EA
∴△B'MN∽△B'AE
∴
∴
故答案为：C
【分析】根据平行四边形判定定理可得四边形AECD是平行四边形，则AD=EC，再根据边之间的关系可得BE=2EC，由折叠可得，BE=B'E，S△ABE=S△AB'E，∠BEA=∠B'EA，根据直线平行性质可得∠ENC=∠B'EA，∠BEA=∠C，则∠ENC=∠C，根据等角对等边可得EN=EC，根据边之间的关系可得，再根据直线平行性质可得∠B'MN=∠B'AE，∠B'NM=∠B'EA，再根据相似三角形判定定理及性质即可求出答案.
10．如图，在⊙O中，ACB所对的圆心角为150°，点D在上.若∠CBO=n°，则∠ADC=（　　）
A． B． C． D．2n°
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：如图，连接CO并延长交⊙O于点E，连接AE
∵OB=OC
∴∠OCB=∠CBO=n°
∴∠BOC=180°-∠B-∠OCB=180°-2n°
∴∠AOC=∠AOB-∠BOC=150°-(180°-2n°)=2n°-30°
∴
∴∠ADC=180°-∠E=180°-(n°-15°)=195°-n°
故答案为：C
【分析】连接CO并延长交⊙O于点E，连接AE，根据等边对等角可得∠OCB=∠CBO=n°，根据三角形内角和定理可得∠BOC，再根据角之间的关系可得∠AOC，再根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得∠E，再根据圆内接四边形性质即可求出答案.
11．平面直角坐标系中有A（1，n），B（m，6），C（m，n）三点.若直线AB经过原点，则点C一定在（　　）
A．函数的图象上 B．函数的图象上
C．函数y=-x+5的图象上 D．函数y=6x的图象上
【答案】B
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵直线AB经过原点
∴设直线AB的解析式为y=kx
将点A（1，n）代入解析式可得，k=n
∴直线AB的解析式为y=nx
将点B代入解析式可得，mn=6
∵点C（m，n）
∴点C的横纵坐标的乘积为mn=6
对函数变形可得xy=6，满足点C的坐标特征
∴点C在函数的图象上
故答案为：B
【分析】设直线AB的解析式为y=kx，将点A，B坐标代入可得mn=6，再根据点C的坐标特征进行判断即可求出答案.
12．如图，在平面直角坐标系中，若两阴影部分的面积分别为m，n，则m-n=（　　）
A． B． C． D．0
【答案】B
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；平行线的性质；一次函数图象与坐标轴交点问题；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：如图，过点B作BJ∥x轴交直线l1于点J，过点F作EF∥x轴交直线l1于点E
∵CD∥x轴，GH∥x轴
∴CD∥BJ，GH∥EF
由图可得，l1过(0，0)，l2过(1，0)，(2，3)，l3过(0，3)，(3，2)，l4过(0，2)，(3，1)
设直线l1的解析式为y=ax
将点(1，3)代入可得，a=3
∴直线l1的解析式为y=3x
同理可得，l2：y=3x-3，l3：，l4：
∴l1∥l2
∴四边形JBDC，EFHG为平行四边形
当y=1时，1=3x，解得：x=，即G(，1)
当y=1时，1=3x-3，解得：x=，即H(，1)
当y=2时，2=3x，解得：x=，即C(，2)
当y=2时，2=3x-3，解得：x=，即H(，2)
∴GH=BC=1
联立l2与l3得，，解得：x=1.8，则y=2.4，即B(1.8，2.4)
联立l1与l3得，，解得：x=0.9，则y=2.7，即A(0.9，2.7)
联立l2与l4得，，解得：x=1.5，则y=1.5，即F(1.8，2.4)
联立l1与l4得，，解得：x=0.6，则y=1.8，即I(0.6，1.8)
∴阴影部分n的面积为
阴影部分m的面积为
∴m-n=0.65-0.55=0.1=
故答案为：B
【分析】过点B作BJ∥x轴交直线l1于点J，过点F作EF∥x轴交直线l1于点E，由图可得，l1过(0，0)，l2过(1，0)，(2，3)，l3过(0，3)，(3，2)，l4过(0，2)，(3，1)，设直线l1的解析式为y=ax，根据待定系数法将点(1，3)代入可得直线l1的解析式为y=3x，同理可得，l2：y=3x-3，l3：，l4：，根据平行四边形判定定理可得四边形JBDC，EFHG为平行四边形，求出G(，1)，H(，1)，C(，2)，H(，2)，根据两点间距离可得GH=BC=1，两两联立直线解析式，求出交点坐标，再根据割补法，结合平行四边形，三角形面积可得m，n值，再代入代数式即可求出答案.
13．计算：4-（-6）=　 　.
【答案】10
【知识点】有理数的减法法则
【解析】【解答】解：4-（-6）=10
故答案为：10
【分析】根据有理数的减法即可求出答案.
14．某楼梯装有护栏，其侧面如图所示.其中AB∥CD，BD⊥DE于点D，AC⊥DE于点E，若∠BAC=60°，AB=4m，则CE=　 　m.
【答案】2
【知识点】含30°角的直角三角形；平行四边形的判定与性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，BD⊥DE于点D，AC⊥DE于点E
∴BD∥AE
∴四边形ABCD为平行四边形
∴DC=AB=4，∠DCE=∠A=60°
∴∠EDC=90°-∠DCE=30°
∴
故答案为：2
【分析】根据平行四边形判定定理可得四边形ABCD为平行四边形，则DC=AB=4，∠DCE=∠A=60°，根据直角三角形两锐角互余可得∠EDC，再根据含30°角的直角三角形性质即可求出答案.
15．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，其中一个根是另一个根的平方，则m=　 　.
【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根，其中一个根是另一个根的平方
∴设方程的两个根为t，t2
∴t+t2=，
解得：
∴
故答案为：
【分析】根据题意设方程的两个根为t，t2，根据根与系数的关系可得t+t2=，，解方程可得t值，再代入即可求出答案.
16．一游客计划从A地出发到B，C，D三地旅游，然后回到A地.该游客到三地的先后顺序不确定，且每个地方只到1次，如A→D→B→C→A.若图中两地间连线上的数字表示两地之间单次通行的交通费用（单位：百元），则此次旅游的交通费用最少为　 　百元.
【答案】21
【知识点】有理数的加减混合运算的实际应用
【解析】【解答】解：根据题意，从A地出发到B，C，D三地旅游，然后回到A地，且每个地方只到1次，共有以下不同的路线方案：
方案一：路线为A→B→C→D→A，交通费用为：3+5+7+6=21（百元）
方案二：路线为A→B→D→C→A，交通费用为：3+8+7+4=22（百元）
方案三：路线为A→C→B→D→A，交通费用为：4+5+8+6=23（百元）
方案四：路线为A→C→D→B→A，交通费用为：4+7+8+3=22（百元）
方案五：路线为A→D→B→C→A，交通费用为：6+8+5+4=23（百元）
方案六：路线为A→D→C→B→A，交通费用为：6+7+5+3=21（百元）
∵21<22<73
所以此次旅游的交通费用最少为21百元.
故答案为：21
【分析】根据题意列举出所有方案，求出交通费用，再比较大小即可求出答案.
17．
（1）解方程：3x=12+x；
（2）解不等式：
【答案】（1）解：移项，3x-x=12
合并同类项，2x=12
系数化为1，x=6
（2）解：去分母，2x-6>x-1
移项，2x-x>-1+6
合并同类项，x>5
【知识点】解一元一次不等式；利用合并同类项、移项解一元一次方程
【解析】【分析】（1）移项，合并同类项，系数化为1即可求出答案.
（2）去分母，移项，合并同类项即可求出答案.
18．用运算律或乘法公式可以简化运算，例如：
=（98+2）×（98-2）+22
=100×96+4
=9604.
（1）证明并用以上方法计算992；
（2）计算：
【答案】（1）证明：
计算：
=100×98+1=9801
（2）解：
=100×110+25=11025
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【分析】（1）根据平方差公式去括号，再合并同类项化简即可求出答案.
（2）根据（1）中结论化简计算即可求出答案.
19．
（1）尺规作图：如图10-1，在△ABC中，作出AB边的垂直平分线l；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）如图10-2，在△ABC中，∠BAC=2∠B，点D在BC边上，且DA=DB.若AC=6，BC=9，求线段CD的长.
【答案】（1）解：尺规作图：分别以A，B为圆心，大于AB为半径画弧，两弧交点连线即为垂直平分线l
（2）解：∵DA=DB
∴∠B=∠BAD
∴∠CDA=∠B+∠BAD=2∠B
∵∠BAC=2∠B
∴∠BAC=∠CDA
∴△CDA∽△CAB
∴，即
解得：CD=4
【知识点】三角形外角的概念及性质；线段垂直平分线的性质；相似三角形的判定；尺规作图-垂直平分线；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据垂直平分线定义作图即可.
（2）根据等边对等角可得∠B=∠BAD，根据三角形外角性质可得∠CDA=∠B+∠BAD=2∠B，则∠BAC=∠CDA，根据相似三角形判定定理可得△CDA∽△CAB，则，再代值计算即可求出答案.
20．为培养学生的劳动观念和家庭责任意识，某中学开展了“家长家务劳动时长”调查活动.在某一周，每名学生统计自己家长每天整理收纳、烧菜做饭、洗衣清扫等家务劳动时间，计算出家长日均家务劳动时长t（单位：h）并提交.
（计算方法：）
收集数据
淇淇随机抽取了40名同学提交的数据，如下：
3.6 2.1 1.9 3.2 2.4 3.1 2.0 2.6 1.9 3.2
1.3 2.8 2.9 1.4 2.1 2.5 1.7 3.5 2.6 2.6
2.3 3.7 2.7 1.9 3.3 2.0 2.6 2.0 1.6 2.8
3.4 2.5 2.1 2.2 1.8 2.4 3.0 2.5 3.5 2.3
整理数据
淇淇将数据适当分组后，绘制了如图所示的不完整的频数直方图.
分析数据
（1）①补全上面的频数直方图；估计全校学生提交的数据中，t>2.25的占比为 ▲ %.
②把频数直方图中各组数据用该组的中间值来代替（如1.25~1.75的中间值为1.5），并利用图中信息，计算这40名学生提交的家长日均家务劳动时长的平均数.
（2）资料显示，我国6周岁以上居民的日均家务劳动时长约为1.28h，淇淇发现与之相比有明显差异，请结合统计知识分析原因.（写出一条即可）
【答案】（1）①由题意可得，1.25补全频数分布直方图可得：
62.5
t>2.25的占比
②各组中间值：1.5，2.0，2.5，3.0
平均数：
（2）解：本次调查的样本为该校学生家长，群体以中青年为主，且普遍需要承担家庭育儿、日常家务等劳动，家务时长整体偏高；而全国6周岁以上居民涵盖了未成年人、老年人、单身群体等各类人群，整体平均家务时长更低。因此样本不具有全国范围的代表性，二者存在明显差异。
【知识点】频数（率）分布直方图；平均数及其计算
【解析】【解答】解：（1）①t>2.25的占比为
故答案为：62.5
【分析】（1）①根据数据求出1.252.25的占比即可求出答案.
②取中间值即可，再根据平均数的定义即可求出答案.
（2）根据各统计量的意义即可求出答案.
21．在学习了圆的相关知识后，同学们设计并开展了一项综合实践活动，下面是一个小组尚未完成的活动报告.
主题 求生活中的圆弧长
研究内容 本次活动选取学校的铅球场地，将场地的一部分抽象为扇形OPQ（如图1所示），已知扇形OPQ所在圆的半径OM⊥PQ于点N，OP≈10.00m，用不同的方案分别求的长l.
工具 软尺（长度足够）、测角仪（可测量角度的大小）等
研究方案与实践成果 方案一 方案二 方案三
用软尺直接测量的长. 测量数据： 第一次6.36m 第二次6.32m 用测角仪测角，利用弧长公式计算的长. 测量数据： ∠POQ≈36° 查阅文献，发现北宋沈括的《梦溪笔谈》中收录了近似计算圆弧长度的“会圆术”.图1中，弧长 测量数据： PQ≈6.20m MN≈0.50m
取两次测量结果的平均数，则l=6.34m. 利用弧长公式，…… 根据“会圆术”，……
反思应用 ①方案一可通过 ▲ 的方法减少误差； ②我们可以利用上面的活动经验解决一些生活中的问题.如图2所示，公园里一座桥的主桥拱是圆弧形，已知其跨度AB为6m，拱高CD为1m，虽然弧长和圆心角∠AEB不方便测量，但可以通过计算近似得出. 计算过程如下：……
请你帮助该小组完成活动报告，具体如下：
（1）写出“反思应用”①中减少误差的方法；（写出一种方法即可）
（2）分别利用方案二（结果保留π）和方案三计算的长l；
（3）求图2中弧长和圆心角∠AEB.（π取3.1）
【答案】（1）多次测量取平均值
（2）方案二：弧长公式米
方案三：会圆术米
（3）解：∵CD⊥AB，AB=6
∴
在Rt△ADE中，由勾股定理：
即
解得：AE=5
由会圆术可得，
设∠AEB的度数为n，则
解得：
【知识点】勾股定理；垂径定理；弧长的计算
【解析】【分析】（1）可通过多次测量取平均值的方法减少误差.
（2）根据弧长公式及会圆术公式公式代值计算即可求出答案.
（3）根据垂径定理可得AD，根据勾股定理建立方程，解方程可得AE，再根据会圆术及弧长公式建立方程，解方程即可求出答案.
22．某登山爱好者根据经验，总结出一个预估自己登山用时t（分钟）的模型：其中，（k为常数），x（千米）表示登山路线的长度：h（千米）表示山顶与起点的海拔高度差.从A出发到山顶M的路线及相关数据如图所示.
（说明：本题中模型已简化，且不计登山过程中休息和必要的预留时间）
（1）①求k，h的值；
②计算路线3的长度.
（2）已知山顶M的海拔高度为1000米，B在如图所示的一条等高线上，等高线上标注的数字表示其海拔高度（单位：米）.若该登山爱好者从B出发到山顶M的路线长度为3千米，根据本题模型，求该登山爱好者登到山顶M的预估用时.
【答案】（1）①将代入得t=kx+150h
由题得：(6，210)，(4，180)代入
，解得：
②由①得：t=15x+120
将t=195代入t=15x+120，195=15x+120
解得：x=5
∴路程为5km。
（2）解：
（分钟）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）①代入得t=kx+150h，再根据待定系数法将点(6，210)，(4，180)代入即可求出答案.
②将t=195代入解析式即可求出答案.
（2）根据题意求出h值，再代入代数式即可求出答案.
23．如图，二次函数y=（x-t）（x-3t）（其中t>0）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，顶点为P.将点B绕点A顺时针旋转90°得到点D.
（1）若t=1，求直线PD的函数表达式，并判断点C关于二次函数图象对称轴的对称点C'是否在直线PD上；
（2）当3≤x≤6时，二次函数的最大值为9，求t的值；
（3）连接OP，当点D不在直线OP上时，过点D作直线DE∥OP交y轴于点E（0，m），请直接写出m的最小值.
【答案】（1）解：当t=1时，二次函数解析式为y=(x-1)(x-3)=x2-4x+3
∴A(1，0)，B(3，0)，C(0，3)
∵y=(x-2)2-1
∴顶点P(2，-1)
∵点B绕点A顺时针旋转90°得到点D，且AB=2
∴D(1，-2)
设直线PD的解析式为y=kx+b
将P(2，-1)，D(1，-2)代入可得：
，解得：
∴直线PD的解析式为y=x-3
∵抛物线的对称轴为直线x=2，点C(0，3)关于对称轴的对称点为C'(4，3)
当x=4时，y=4-3=1≠3
∴点C'不在直线PD上
（2）解： y=(x-t)(x-3t)=(x-2t)2-t2，对称轴为直线x=2t
①当，即时，在3≤x≤6上，y随x的增大而减小
∴当x=3时，y取最大值为9
(3-t)(3-3t)=9，解得：（舍），
②当，即时，在3≤x≤6上，y随x的增大而增大
∴x=6时，y取最大值9
(6-t)(6-3t)=9，
解得：（舍），
当3 ≤2t≤6时，即，最大值在端点取得，经检验无解
∴综上，t的值为4或
（3）-2
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：（3）由题意可得，A(t，0)，B(3t，0)，P(2t，-t2)
∵点B绕点A顺时针旋转90°得到点D
∴D(t，-2t)
设直线OP的解析式为y=k1x
将P(2t，-t2)代入可得，-t2=2tk1，解得：
∵DE∥OP
∴直线DE的解析式为
将D(t，-2t)代入可得，
∴
∴当t=2时，m取最小值为-2
【分析】（1）根据坐标轴上点的坐标特征可得A(1，0)，B(3，0)，C(0，3)，将解析式转换为顶点式可得顶点P(2，-1)，根据旋转性质可得D(1，-2)，设直线PD的解析式为y=kx+b，根据待定系数法将点P(2，-1)，D(1，-2)代入可得直线PD的解析式为y=x-3，根据对称性质可得C'(4，3)，再代入解析式进行判断即可求出答案.
（2）将解析式转换为顶点式可得对称轴为直线x=2t，分情况讨论：①当，即时，②当，即时，当3 ≤2t≤6时，即，根据二次函数性质建立方程，解方程即可求出答案.
（3）根据坐标轴上点的坐标特征可得A(t，0)，B(3t，0)，P(2t，-t2)，根据旋转性质可得D(t，-2t)，设直线OP的解析式为y=k1x，将点P(2t，-t2)代入可得，根据直线平行性质可得直线DE的解析式为，再将点D坐标代入，整理，变形，结合二次函数的性质即可求出答案.
24．如图1和图2，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，正方形DEFG的顶点D，E，F分别在△ABC的三边AB，BC，CA上.当点D从点B出发沿BA向点A移动时，点E，F随之分别在BC，CA上移动（正方形DEFG的大小发生变化），当点F与点C重合时，移动停止.
（1） tan∠ABC=　 　.
（2）如图1，当∠BED=45°时，求证：BE=CE.
（3）①如图2，当时，求BE的长；
②当时，直接写出正方形DEFG的边长.
（4）在移动过程中，每当点G移动1个单位长度时，点E均移动d个单位长度，直接写出d的值.
【答案】（1）
（2）证明：∵四边形DEFG为正方形
∴∠DEF=90°，DE=EF
∵∠BED=45°
∴∠BED=∠CEF
∵AB=AC
∴∠B=∠C
在△BED和△CEF中
∴△BED≌△CEF（AAS）
∴BE=CE
（3）①作DMD'⊥BC于D'，FF'⊥BC于F'
∴∠DD'E=∠EF'F=90°
∵∠DEF=90°
∴∠DED'+∠FEF'=90°
∵∠D'DE+∠DED'=90°
∴∠D'DE=∠FEF'
∵∠DD'E=∠EF'F=90°，∠D'DE=∠F'EF，DE=EF
∴△DD'E≌△EF'F（AAS）
∴EF'=DD'，D'E=FF'
由（1）知
在Rt△BDM中，
，
即
设D'E=x=FF'，则BF'=BD'+D'E+EF'=4+x，CF'=12-BF'=8-x
∵
解得：
∴
②
（4）
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；解直角三角形；等腰直角三角形；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】解：（1）作AH⊥BC
∵AB=AC=10，BC=12，AH⊥BC
∴∠AHB=90°，BH=CH=6
∴
∴
（3）②设BD'=3y，则DD'=4y，
由①可得，EF'=DD'=4y，
∴
∵
解得：
∴
∴
∴正方形DEFG的边长为
（3）当B，D重合时，△BEF为等腰直角三角形
设BE=EF=m，则CE=12-m
∵
解得：m=
∴EF=BG=
当F，G重合时，△DEB为等腰直角三角形
设DE=EF=n，则BE=12-n
∵
解得：n=
∴DE=GF=
当BE=CE时，作DQ⊥BC
设GE=2t，则OD=OE=t
∵DQ⊥BC
∴DQ=OE=t，QE=DQ=t
∴BQ=6-t
∵
解得：
∴GE=
综上所述，点G的运动轨迹是平行于BC的直线，且BC的距离为，过点G作BC的平行线l
如图，GG'=1，过点D作DN⊥BC，延长ND交l于点M，则四边形BNMG'是矩形
∴BN=G'M，MN=BG'=
∵
∴设BN=3a，则DN=4a
∴DM=-4a，GM=1-3a
同理可得，△DMG≌△END
∴NE=DM=-4a，MG=DN=4a
过点E'作E'H⊥l，则E'H=G'B=
∴
∴BE'=BC-CE'=
∴EE'=-3a-(-4a)=a
∵GG'=G'M+MG=7a=1
∴
∴EE'=
∴d=
【分析】（1）作AH⊥BC，根据等腰三角形三线合一性质可得∠AHB=90°，BH=CH=6，根据勾股定理可得AH，再根据正切定义即可求出答案.
（2）根据正方形性质可得∠DEF=90°，DE=EF，根据三角形内角和定理可得∠CEF，再根据等边对等角可得∠B=∠C，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
（3）①作DMD'⊥BC于D'，FF'⊥BC于F'，根据角之间的关系可得∠D'DE=∠FEF'，根据全等三角形判定定理可得△DD'E≌△EF'F（AAS），则EF'=DD'，D'E=FF'，解直角三角形可得EF'，设D'E=x=FF'，则BF'=BD'+D'E+EF'=4+x，CF'=12-BF'=8-x，再根据正切定义建立方程，解方程可得x值，再根据边之间的的关系即可求出答案.
②设BD'=3y，则DD'=4y，，由①可得，EF'=DD'=4y，，根据正切定义建立方程，解方程可得y值，再根据勾股定理即可求出答案.
（4）当B，D重合时，△BEF为等腰直角三角形，设BE=EF=m，则CE=12-m，根据正切定义建立方程，解方程可得EF=BG=；当F，G重合时，△DEB为等腰直角三角形，设DE=EF=n，则BE=12-n
，根据正切定义建立方程，解方程可得DE=GF=，当BE=CE时，作DQ⊥BC，设GE=2t，则OD=OE=t，据正切定义建立方程，解方程可得GE=，综上所述，点G的运动轨迹是平行于BC的直线，且BC的距离为，过点G作BC的平行线l，GG'=1，过点D作DN⊥BC，延长ND交l于点M，则四边形BNMG'是矩形，则BN=G'M，MN=BG'=，设BN=3a，则DN=4a，根据全等三角形判定定理可得△DMG≌△END，则NE=DM=-4a，MG=DN=4a，过点E'作E'H⊥l，则E'H=G'B=，解直角三角形可得CE'，再根据边之间的关系即可求出答案.
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