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广东省深圳市北京师范大学南山附属学校2024-2025学年八年级下学期数学期中试卷
一、选择题（共8小题）
1．志愿服务传递爱心，传播文明．下面的图形是部分志愿者标志图案，其中既是中心对称图形，也是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．已知，则下列不等式一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
3．把分式中的x，y的值都扩大为原来的4倍，则分式的值（　　）
A．扩大为原来的4倍 B．扩大为原来的8倍
C．缩小为原来的 D．不变
4．如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M、N．作直线MN，交AC于点，交AB于点，连接BD．若，则的周长为（　　）
A．18 B．19 C．22 D．25
5．如果关于的方程有增根，则的值为（　　）
A．-10 B．-8 C．-6 D．-4
6．下列命题是真命题的是（　　）
A．有一个角是60°的三角形是等边三角形
B．若，则
C．用反证法证明：“已知，求证：．”第一步应先假设
D．在角的内部，到角的两边距离相等的点一定在这个角的平分线上
7．如图，在等边三角形ABC中，，点是AB的中点，过点作于点，过点作于点，则BE的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．如图，Rt△ABC中，为BC边上两点，，过点作，且，连接DF、BF．下列结论：①，②AD平分；③若，则；④若，其中正确的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（共5小题）
9．若分式的值为0，则x的值为　 　.
10．如图，和的图象交于点P，P的横坐标为1，则关于x的不等式的解集是　 　．
11．如果一元一次不等式组的解集为，那么a的取值范围是　 　．
12．如图， 已知点A， B的坐标分别为， ，将沿x轴向右平移，使点B平移到点E，得到，若，则点C的坐标为　 　．
13．如图，中，，点是内一点，，则的最小值是　 　．
三、解答题（共10小题）
14．
（1）分解因式：①；②．
（2）解分式方程：①；②．
15．
（1）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来：
（2）先化简，再从中选取一个适合的数代入求值．
16．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上．
（1）将向右平移4个单位长度得到，请画出；
（2）画出关于点的中心对称图形；
（3）若将绕某一点旋转可得到，旋转中心的坐标为 ▲ ．
17．如图，在四边形ABCD中，BD平分交BA的延长线于点于点．
（1）求证：Rt；
（2）若，求四边形ABCD的面积．
18．根据以下素材，探索完成任务
为了抓住文化艺术节的商机，某商店决定购进A、B两种艺术节纪念品
素材1 若购进种纪念品8件，种纪念品3件，需要950元；若购进种纪念品5件，种纪念品6件，需要800元．
素材2 若该商店决定购进这两种纪念品100件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100件纪念品的资金不少于7000元，但不超过7500元
素材3 若销售每件种纪念品可获利润20元，每件种纪念品可获利润30元
问题解决
任务1 探索商品单价 求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？
任务2 探究购买方案 求出该商店共有几种进货方案？
任务3 确定最优方案 在所有进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？
19．教科书中这样写道：“形如的式子称为完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等问题．
例如：分解因式：．
解：原式
再如：求代数式的最小值．
解：，可知当时，有最小值，最小值是-8．
根据阅读材料，用配方法解决下列问题：
（1）分解因式： ▲ ．（直接写出结果）
（2）当为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值．
（3）利用配方法，尝试求出等式中a，b的值．
20．几何探究题
（1）发现：在平面内，若，其中．
当点在线段BC上时（如图1），线段AB的长取得最小值，最小值为 ▲ ；
当点在线段BC延长线上时（如图2），线段AB的长取得最大值，最大值为 ▲ .
（2）应用：点为线段BC外一动点，如图3，分别以AB、AC为边，作等边和等边，连接CD、BE.
①证明：；
②若，则线段CD长度的最大值为 ▲ ．
（3）拓展：如图4，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点为线AB外一动点，且．请直接写出线段AM长的最大值及此时点的坐标．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】
解： A：是轴对称图形，但不是中心对称图形，故A不符合题意；
B：是轴对称图形，但不是中心对称图形，故B不符合题意
C：既是轴对称图形，又是中心对称图形，故C符合题意；
D：是中心对称图形，但不是轴对称图形，故D不符合题意。
故答案为：C.
【分析】轴对称图形指沿某直线折叠后两部分完全重合；中心对称图形指绕某点旋转180°后与原图重合，根据概念即可解答。
2．【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】
解： A：x + 5 < y 5可变形为x - y < -10，由于已知x < y，即x - y < 0，但无法确定x - y是否小于-10；如，当x=1，y=2时，x - y = -1，不满足-1 < -10，故A不符合题意；
B：-2x < -2y两边同时乘以-2（需变号），得到x > y；但原条件为x < y，故B不符合题意；
C：a2x2 < a2y2若a = 0，则左右两边均为0；若a ≠ 0，当x = -3，y = 2时，x < y但x2 = 9 > y2 = 4，此时a2x2 > a2y2，故C不符合题意；
D： 两边同时除以正数3，不等式方向不变，故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据不等式的性质：不等式的两边同时加减同一个数，不等号的方向不改变；不等式的两边同时乘除同一个正数，不等号的方向不改变；不等式的两边乘除同一个负数，不等号的方向改变；根据性质逐一判断即可.
3．【答案】D
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】
解： 将x和y都扩大4倍后，代入分式得到：
，
可以得出：扩大x和y的值后，分式的值没有发生变化；
故答案为：D.
【分析】根据分式的基本性质：分式的分子和分母同乘以或同除以一个不等于0的数，分式的值不变； 即可把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论.
4．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】
解： 由题可知：AB的垂直平分线为MN；
∴AD=BD；
∵AC=12；
∴BD+DC=AD+DC=12；
∵的周长 =BD+BC+BC，BC=10；
∴的周长=12+10=22；
故答案为：C.
【分析】 由题可知DE（即MN）垂直平分AB，连接BD后，利用垂直平分线的性质可得AD=BD；即可得到BD+DC=AD+DC=12；接着计算△BCD的周长，即可解答.
5．【答案】B
【知识点】解分式方程；分式方程的增根
【解析】【解答】
解： 方程两边同乘(x 2)，得：4x (x 2)= -k，
化简：4x-x+2=-k，
解得：x=，
∵方程有增根，
∴x=2，
∴=2，
解得：k=-8，
故答案为：B.
【分析】 增根的产生是由于分式方程化为整式方程后，解使得原分母为零 ；因此先去分母解分式方程得x=，再把增根x=-2代入即可求得k的值；解答即可.
6．【答案】D
【知识点】等边三角形的判定；反证法；角平分线的判定；真命题与假命题；举反例判断命题真假
【解析】【解答】
解：
A、根据等边三角形的判定定理，有一个角为60°的等腰三角形才是等边三角形，而题目中仅说明有一个角是60°的普通三角形，不一定是等边三角形，故A不符合题意；
B 、若 a > b ，则 a2> b2不一定成立；例如，当 a = 1 ， b = 2 时，满足 a > b ，但 12 = 1 小于 ( 2 )2 = 4；故B不符合题意；
C、 题目要求证明“∠B < 90°”，其反面应为“∠B ≥ 90°”，而选项C中假设的是“∠B > 90°”，忽略了等于的情况，故C不符合题意；
D、 根据角平分线的判定定理，在角的内部到角两边距离相等的点确实在这个角的平分线上， 故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据命题的分类：分为真命题和假命题；假命题只需举反例说明结论不成立即可； 逐一分析各选项命题的条件与结论，结合几何定理与反例验证，最终确定选项D是唯一正确的真命题.
7．【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；线段的中点；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】
解：∵ABC为等边三角形
∴AB=BC=AC=8，=60°，
∵点是AB的中点，
∴AD=DB=4，
∵，60°，
∴30°，
∴AF=2，
∵AC=8，
∴CF=6，
∵，60°，
∴30°，
∴CE=3，
∵BC=8，
∴BE=5，
故答案为：C.
【分析】 根据等边三角形的基本性质得到边长AB=BC=AC=8，每个内角为60°； 由点D是AB的中点，故AD=DB=4；结合DF⊥AC ，∠A=60°，则∠ADF=30° ，即可算出AF=2；在直角三角形EFC中同样利用30的角的性质可以计算出CE的长度，利用BE=BC-CE即可解答.
8．【答案】C
【知识点】三角形的面积；勾股定理；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；半角模型
【解析】【解答】
解： ①：由于AF⊥AE，且∠DAE=45°，
∴FAB+BAD=BAD+CAE=45°，
∴∠BAF=∠CAE，
∵AB=AC，AE=AF，
∴△ABF△ACE(SAS)，故结论①正确；
②：∵AF⊥AE，∠DAE=45°，
∴∠FAD=∠DAE=45°，
∵AD=AD，AE=AF，
∴△ADF△ADE(SAS)，
∴∠FDA=∠ADE，
∴AD平分∠EDF，故结论②成立；
③：由①知：△ABF△ACE(SAS)，得BF=EC=3，∠C=∠ABF=45°，
由②知：△ADF△ADE(SAS)，得DE=DF，
设DE=x，则DF=x，
∵∠C=∠ABC=45°，
∴∠FBD=90°，
∴DF2=BD2+BF2，
∴x2=42+32，解得x=5；即DE=5，
∴BC=BD+DE+EC=12，
∵
∴AB==6，故结论③正确；
④：设AB=x，则BE=x，BC=，
∴EC=BF=，
在直角三角形BDF中：DF2=BD2+BF2，
∴BF2=DF2-BD2=DE2-BD2=(DE+BD)(DE-BD)=()2x2，
∵DE+BD=BE=x，
∴DE-BD=()2x=(3-2)x，
∴DE=(2-)x；BD=(-1)x，
∵
∴△ABC的高为，
∴S△ABD=；S△ADE=，
∴=，故结论④不正确，
综上所述：结论①②③正确；
故答案为：C.
【分析】由AF⊥AE，且∠DAE=45°可得∠BAF=∠CAE；即可利用SAS判定△ABF△ACE；可判断①正确；由AF⊥AE，∠DAE=45°可得，∠FAD=∠DAE=45°即可利用SAS判定△ADF△ADE，再利用全等三角形的性质可得AD平分∠EDF，可判断②成立；由①②的三角形全等的性质可得DE=DF，三角形BDF是直角三角形，即可利用勾股定理求得DF=DE=5，进而求出BC=12，再利用等腰直角三角形的性质可得AB==6，可判断③成立；设AB=x，则BE=x，BC=可表示出EC=BF=，再结合勾股定理得(DE+BD)(DE-BD)=()2x2，即可算出DE=(2-)x；BD=(-1)x；再利用三角形得面积公式即可判断④不正确，最后可选出答案.
9．【答案】2
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：∵分式的值为0，
∴x2 4＝0且x＋2≠0，
解得：x＝2．
故答案为：2．
【分析】利用分式的值为0的条件：①分子为0，②分母不为0，列出方程和不等式求解即可.
10．【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；数形结合
【解析】【解答】解：由图知：当直线的图象在直线的下方时，不等式成立；
由于两直线的交点横坐标为：，
观察图象可知，当时，，即不等式的解集为．
故答案为：．
【分析】从函数图象的角度看，求关于x的不等式x+1＜ax+3的解集，就是确定直线y=x+1在直线y=ax+3的下方部分所有的点的横坐标所构成的集合，结合点P的横坐标即可得出答案.
11．【答案】
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：∵一元一次不等式组的解集为x＞2，
∴a≤2；
故答案为：a≤2.
【分析】根据已知解集，由“同大取大”法则判断即可确定出a的范围.
12．【答案】
【知识点】坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：，
，
，
，
即沿轴正方向平移2个单位长度得到，
，
点的坐标为．
故答案为：．
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化平移，解题关键是掌握点的坐标的变化规律：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．根据得出，求出，则沿轴正方向平移2个单位长度得到，即可求解．
13．【答案】
【知识点】两点之间线段最短；等边三角形的判定；含30°角的直角三角形；勾股定理；费马点模型
【解析】【解答】
解：如图，将△BPA 绕点B逆时针旋转60°得到△BFE， 作EH⊥CB交CB的延长线于H.
∵△BPA 绕点B逆时针旋转60°得到△BFE，
∴BP=BF，∠PBF=60°，PA=FE，
∴△BFP是等边三角形，
∴PB=PF，
∴由两点之间线段最短可知，当E，F， P， C共线时，PA+PB+PC=EF+PF+PC的值最小，最小值为EC的长，
由旋转的性质可知：∠ABP=∠EBF，
∵∠PBF=60°，
∴∠ABE=60°，
∵∠ABC=60°，
∴∠EBC=120°，
RtEBH中，∠EBH= 180-∠EBC=60，EB=AB=4，
∴∠BEH =90-60=30，
∴BH=2， EH=2，
∴CH=BH+CB=2+6=8，
∴EC==2，
故答案为： 2.
【分析】 将△BPA绕点B逆时针旋转60°得到△BFE，使得点P的对应点为F，点A的对应点为E；即可根据旋转的性质得到PB=PF，PA=FE，再由两点之间线段最短可知，当E，F， P， C共线时，PA+PB+PC=EF+PF+PC的值最小，最小值为EC的长，通过旋转的性质得出∠EBC=120°，利用补角计算出∠EBH=60，即可利用30角的性质计算出BH，EH；再利用勾股定理即可计算EC，解答即可.
14．【答案】（1）解：①原式=x(x2-9)=；
②设A = x y，原式= 9 A2 12 A + 4=（3A-2）2
将 A = x y 代回，最终 =
（2）解：①方程两边都乘以得：，
解得：
检验：把代入，
是原方程的解．
②方程两边都乘以得：
解这个方程得：，
，
，
检验：把代入，
是原方程的增根，
即原方程无解．
【知识点】因式分解﹣提公因式法；分式方程的解及检验；解分式方程；因式分解-平方差公式；因式分解-完全平方公式
【解析】【分析】
（1） ① 首先提取公因式 x ，得到：x ( x2 9 )；再利用平方差公式因式分解即可； ② 设 A = x y ，原式变为 9 A2 12 A + 4；发现符合完全平方公式，因此直接利用完全平方公式即可解答；
（2）去分母，方程两边都乘以得，计算并检验即可解答；去分母，方程两边都乘以得：，计算并检验即可解答.
15．【答案】（1）解：解不等式得，
解不等式得，
不等式组的解集为．
其解集在数轴上表示为：如图所示．
（2）解：原式
，
由题意得：且，
当时，原式，
当时，原式．
【知识点】分式的化简求值；在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】（1）解第1个不等式得；解第2个不等式得；再取解集的公共部分，在数轴上表示即可； （2）先通分得；然后计算即可化简得， 选值时分母不为零，因而且，代值计算即可解答.
16．【答案】（1）解：如图1，即为所求；
（2）如图2，即为所求；
（3），
【知识点】作图﹣平移；旋转的性质；作图﹣旋转；作图﹣中心对称
【解析】【解答】
解：如图3，
根据图形可知：旋转中心的坐标为：；
故答案为：.
【分析】
(1) 观察图形找到原图中A、B、C坐标分别为A(1，3)、B(-1，1)、C(2，0)）向右平移4个单位平移后坐标：A1(1+4，3)=(5，3)，B1(-1+4，1)=(3，1)，C1(2+4，0)=(6，0)，连线即可画出图形；
（2）关于原点O的中心对称对称点坐标公式：(x，y)→(-x，-y)找到对称后得坐标分别为：A2(-5，-3)，B2(-3，-1)，C2(-6，0)，连线即可画出图形；
（3）△ABC到△A2B2C2的旋转中心需满足：旋转前后对应点连线的中垂线交点即为旋转中心，观察图形即可解答.
17．【答案】（1）证明：平分，
，
在Rt和Rt中，
，
Rt；
（2）解：平分，
，
在Rt中，，
，
，
在Rt和Rt中，
，
，
，
由（1）知：Rt，
，
，
四边形ABCD的面积为．
【知识点】三角形的面积；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；含30°角的直角三角形；角平分线构造全等模型
【解析】【分析】(1) 由于BD平分∠ABC，且DM⊥BA，DN⊥BC，根据角平分线上的点到角两边距离相等的性质，可得DM=DN，即可利用HL证明全等；
(2)由∠ABC=60°，BD平分∠ABC，故∠DBC=30°；在Rt△BDN中，BD=8，∠DBC=30°，则可计算DN的长度，再利用勾股定理即可计算BN长度；利用三角形得面积公式即可计算△BDN面积，从而可利用全等关系求总面积，即可解答.
18．【答案】任务1：设购进每件种纪念品需要元，每件种纪念品需要元，
依题意得：，
解得：．
答：购进每件种纪念品需要100元，每件种纪念品需要50元．
任务2：设购进种纪念品件，则购进种纪念品件，
依题意得：，
解得：，
又为整数，且，
该商店共有11种进货方案．
任务3：设销售完这100件纪念品获得的总利润为元，则．
，
随的增大而减小，
当时，取得最大值，最大值．
答：当购进40件种纪念品，60件种纪念品时，获得的利润最大，最大利润为2600元．
【知识点】解二元一次方程；解一元一次不等式组；二元一次方程组的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】(1)设购进每件种纪念品需要元，每件种纪念品需要元，根据素材1的等量关系，列出方程计算即可解答；
（2）设购进种纪念品件，则购进种纪念品件， 根据素材2的不等关系，列出不等式组计算即可解答；
（3）设销售完这100件纪念品获得的总利润为元，根据素材3求出；再根据一次函数的性质可知当时，取得最大值，即可计算出最大值，解答即可.
19．【答案】（1）；
（2）解：，
当时，多项式有最大值，最大值是7；
（3）解：，
，
，
，
，
解得．
【知识点】偶次方的非负性；因式分解-分组分解法；因式分解﹣添（拆）项法
【解析】【解答】
解：（1） (x2-6x+9)-16=(x-3)2-42=(x-3+4)(x-3-4)=；
故答案为：；
【分析】（1） 原式x2 6x 7可变形为x2 6x+9 16，其中x2 6x+9=(x 3)2为完全平方式，再减去42利用平方差公式可以再次分解，解答即可.
(2)提取系数并配方原式 2x2 4x+5 = 2(x2+2x) +5，将括号内配方：x2+2x = (x+1)2 1，可得 2(x+1)2+7 ；即可确定当 x= 1时，最大值为7 ；
（3）分组构造完全平方，原式a2+5b2 4ab 2b+1 = (a2 4ab+4b2)+(b2 2b+1)，再利用非负性求解即两完全平方和为0，故各自为0，即可解答.
20．【答案】（1）；
（2）①证明：和是等边三角形，
，
，
在和中，
，
；
② 4，
（3）或 ．
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；手拉手全等模型
【解析】【解答】
解：（1）当点在线段BC上时，线段AB的长取得最小值，最小值为
，
当点在线段BC延长线上时，线段AB的长取得最大值，最大值为，
，
故答案为：；
（2）②线段CD的最大值=线段BE长的最大值，
由（1）知，当线段BE的长取得最大值时，点在BC的延长线上，
最大值为；
故答案为：4；
（3）将绕着点顺时针旋转得到，连接AN，
则是等腰直角三角形，
，
的坐标为，点的坐标为，
，
，
线段AM长的最大值=线段BN长的最大值，
当在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值，
最大值，
，
最大值为；
如图2，过作轴于，连接BE，
是等腰直角三角形，
，
，
．
如图3中，根据对称性可知，当点在第四象限时，时，也满足条件．
综上述，满足条件的点坐标或的最大值为．
故答案为：或 ．
【分析】
（1）分析图形可知： 当点A在线段BC上时，AB的长度为BC - AC = a - b，此时取得最小值； 当点A在BC延长线上时，AB的长度为BC + AC = a + b，此时取得最大值 ，即可解答；
(2)由 △ABD和△ACE为等边三角形的性质可知： AD=AB，AC=AE，且∠BAD=∠CAE=60°，即可得 ∠CAD=∠BAE ；再利用SAS证明 △CAD≌△EAB ，即可解答； 由CD=BE，BE的最大值即为CD的最大值 计算即可解答；
（3） 将△APM绕P顺时针旋转90°得△PBN， 利用旋转的性质即可求出AM的最大值；利用等腰三角形的性质，可求得．再结合对称性，可求出另一个点P的坐标，解答即可.
1 / 1广东省深圳市北京师范大学南山附属学校2024-2025学年八年级下学期数学期中试卷
一、选择题（共8小题）
1．志愿服务传递爱心，传播文明．下面的图形是部分志愿者标志图案，其中既是中心对称图形，也是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】
解： A：是轴对称图形，但不是中心对称图形，故A不符合题意；
B：是轴对称图形，但不是中心对称图形，故B不符合题意
C：既是轴对称图形，又是中心对称图形，故C符合题意；
D：是中心对称图形，但不是轴对称图形，故D不符合题意。
故答案为：C.
【分析】轴对称图形指沿某直线折叠后两部分完全重合；中心对称图形指绕某点旋转180°后与原图重合，根据概念即可解答。
2．已知，则下列不等式一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】
解： A：x + 5 < y 5可变形为x - y < -10，由于已知x < y，即x - y < 0，但无法确定x - y是否小于-10；如，当x=1，y=2时，x - y = -1，不满足-1 < -10，故A不符合题意；
B：-2x < -2y两边同时乘以-2（需变号），得到x > y；但原条件为x < y，故B不符合题意；
C：a2x2 < a2y2若a = 0，则左右两边均为0；若a ≠ 0，当x = -3，y = 2时，x < y但x2 = 9 > y2 = 4，此时a2x2 > a2y2，故C不符合题意；
D： 两边同时除以正数3，不等式方向不变，故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据不等式的性质：不等式的两边同时加减同一个数，不等号的方向不改变；不等式的两边同时乘除同一个正数，不等号的方向不改变；不等式的两边乘除同一个负数，不等号的方向改变；根据性质逐一判断即可.
3．把分式中的x，y的值都扩大为原来的4倍，则分式的值（　　）
A．扩大为原来的4倍 B．扩大为原来的8倍
C．缩小为原来的 D．不变
【答案】D
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】
解： 将x和y都扩大4倍后，代入分式得到：
，
可以得出：扩大x和y的值后，分式的值没有发生变化；
故答案为：D.
【分析】根据分式的基本性质：分式的分子和分母同乘以或同除以一个不等于0的数，分式的值不变； 即可把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论.
4．如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M、N．作直线MN，交AC于点，交AB于点，连接BD．若，则的周长为（　　）
A．18 B．19 C．22 D．25
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】
解： 由题可知：AB的垂直平分线为MN；
∴AD=BD；
∵AC=12；
∴BD+DC=AD+DC=12；
∵的周长 =BD+BC+BC，BC=10；
∴的周长=12+10=22；
故答案为：C.
【分析】 由题可知DE（即MN）垂直平分AB，连接BD后，利用垂直平分线的性质可得AD=BD；即可得到BD+DC=AD+DC=12；接着计算△BCD的周长，即可解答.
5．如果关于的方程有增根，则的值为（　　）
A．-10 B．-8 C．-6 D．-4
【答案】B
【知识点】解分式方程；分式方程的增根
【解析】【解答】
解： 方程两边同乘(x 2)，得：4x (x 2)= -k，
化简：4x-x+2=-k，
解得：x=，
∵方程有增根，
∴x=2，
∴=2，
解得：k=-8，
故答案为：B.
【分析】 增根的产生是由于分式方程化为整式方程后，解使得原分母为零 ；因此先去分母解分式方程得x=，再把增根x=-2代入即可求得k的值；解答即可.
6．下列命题是真命题的是（　　）
A．有一个角是60°的三角形是等边三角形
B．若，则
C．用反证法证明：“已知，求证：．”第一步应先假设
D．在角的内部，到角的两边距离相等的点一定在这个角的平分线上
【答案】D
【知识点】等边三角形的判定；反证法；角平分线的判定；真命题与假命题；举反例判断命题真假
【解析】【解答】
解：
A、根据等边三角形的判定定理，有一个角为60°的等腰三角形才是等边三角形，而题目中仅说明有一个角是60°的普通三角形，不一定是等边三角形，故A不符合题意；
B 、若 a > b ，则 a2> b2不一定成立；例如，当 a = 1 ， b = 2 时，满足 a > b ，但 12 = 1 小于 ( 2 )2 = 4；故B不符合题意；
C、 题目要求证明“∠B < 90°”，其反面应为“∠B ≥ 90°”，而选项C中假设的是“∠B > 90°”，忽略了等于的情况，故C不符合题意；
D、 根据角平分线的判定定理，在角的内部到角两边距离相等的点确实在这个角的平分线上， 故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据命题的分类：分为真命题和假命题；假命题只需举反例说明结论不成立即可； 逐一分析各选项命题的条件与结论，结合几何定理与反例验证，最终确定选项D是唯一正确的真命题.
7．如图，在等边三角形ABC中，，点是AB的中点，过点作于点，过点作于点，则BE的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；线段的中点；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】
解：∵ABC为等边三角形
∴AB=BC=AC=8，=60°，
∵点是AB的中点，
∴AD=DB=4，
∵，60°，
∴30°，
∴AF=2，
∵AC=8，
∴CF=6，
∵，60°，
∴30°，
∴CE=3，
∵BC=8，
∴BE=5，
故答案为：C.
【分析】 根据等边三角形的基本性质得到边长AB=BC=AC=8，每个内角为60°； 由点D是AB的中点，故AD=DB=4；结合DF⊥AC ，∠A=60°，则∠ADF=30° ，即可算出AF=2；在直角三角形EFC中同样利用30的角的性质可以计算出CE的长度，利用BE=BC-CE即可解答.
8．如图，Rt△ABC中，为BC边上两点，，过点作，且，连接DF、BF．下列结论：①，②AD平分；③若，则；④若，其中正确的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】三角形的面积；勾股定理；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；半角模型
【解析】【解答】
解： ①：由于AF⊥AE，且∠DAE=45°，
∴FAB+BAD=BAD+CAE=45°，
∴∠BAF=∠CAE，
∵AB=AC，AE=AF，
∴△ABF△ACE(SAS)，故结论①正确；
②：∵AF⊥AE，∠DAE=45°，
∴∠FAD=∠DAE=45°，
∵AD=AD，AE=AF，
∴△ADF△ADE(SAS)，
∴∠FDA=∠ADE，
∴AD平分∠EDF，故结论②成立；
③：由①知：△ABF△ACE(SAS)，得BF=EC=3，∠C=∠ABF=45°，
由②知：△ADF△ADE(SAS)，得DE=DF，
设DE=x，则DF=x，
∵∠C=∠ABC=45°，
∴∠FBD=90°，
∴DF2=BD2+BF2，
∴x2=42+32，解得x=5；即DE=5，
∴BC=BD+DE+EC=12，
∵
∴AB==6，故结论③正确；
④：设AB=x，则BE=x，BC=，
∴EC=BF=，
在直角三角形BDF中：DF2=BD2+BF2，
∴BF2=DF2-BD2=DE2-BD2=(DE+BD)(DE-BD)=()2x2，
∵DE+BD=BE=x，
∴DE-BD=()2x=(3-2)x，
∴DE=(2-)x；BD=(-1)x，
∵
∴△ABC的高为，
∴S△ABD=；S△ADE=，
∴=，故结论④不正确，
综上所述：结论①②③正确；
故答案为：C.
【分析】由AF⊥AE，且∠DAE=45°可得∠BAF=∠CAE；即可利用SAS判定△ABF△ACE；可判断①正确；由AF⊥AE，∠DAE=45°可得，∠FAD=∠DAE=45°即可利用SAS判定△ADF△ADE，再利用全等三角形的性质可得AD平分∠EDF，可判断②成立；由①②的三角形全等的性质可得DE=DF，三角形BDF是直角三角形，即可利用勾股定理求得DF=DE=5，进而求出BC=12，再利用等腰直角三角形的性质可得AB==6，可判断③成立；设AB=x，则BE=x，BC=可表示出EC=BF=，再结合勾股定理得(DE+BD)(DE-BD)=()2x2，即可算出DE=(2-)x；BD=(-1)x；再利用三角形得面积公式即可判断④不正确，最后可选出答案.
二、填空题（共5小题）
9．若分式的值为0，则x的值为　 　.
【答案】2
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：∵分式的值为0，
∴x2 4＝0且x＋2≠0，
解得：x＝2．
故答案为：2．
【分析】利用分式的值为0的条件：①分子为0，②分母不为0，列出方程和不等式求解即可.
10．如图，和的图象交于点P，P的横坐标为1，则关于x的不等式的解集是　 　．
【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；数形结合
【解析】【解答】解：由图知：当直线的图象在直线的下方时，不等式成立；
由于两直线的交点横坐标为：，
观察图象可知，当时，，即不等式的解集为．
故答案为：．
【分析】从函数图象的角度看，求关于x的不等式x+1＜ax+3的解集，就是确定直线y=x+1在直线y=ax+3的下方部分所有的点的横坐标所构成的集合，结合点P的横坐标即可得出答案.
11．如果一元一次不等式组的解集为，那么a的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：∵一元一次不等式组的解集为x＞2，
∴a≤2；
故答案为：a≤2.
【分析】根据已知解集，由“同大取大”法则判断即可确定出a的范围.
12．如图， 已知点A， B的坐标分别为， ，将沿x轴向右平移，使点B平移到点E，得到，若，则点C的坐标为　 　．
【答案】
【知识点】坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：，
，
，
，
即沿轴正方向平移2个单位长度得到，
，
点的坐标为．
故答案为：．
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化平移，解题关键是掌握点的坐标的变化规律：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．根据得出，求出，则沿轴正方向平移2个单位长度得到，即可求解．
13．如图，中，，点是内一点，，则的最小值是　 　．
【答案】
【知识点】两点之间线段最短；等边三角形的判定；含30°角的直角三角形；勾股定理；费马点模型
【解析】【解答】
解：如图，将△BPA 绕点B逆时针旋转60°得到△BFE， 作EH⊥CB交CB的延长线于H.
∵△BPA 绕点B逆时针旋转60°得到△BFE，
∴BP=BF，∠PBF=60°，PA=FE，
∴△BFP是等边三角形，
∴PB=PF，
∴由两点之间线段最短可知，当E，F， P， C共线时，PA+PB+PC=EF+PF+PC的值最小，最小值为EC的长，
由旋转的性质可知：∠ABP=∠EBF，
∵∠PBF=60°，
∴∠ABE=60°，
∵∠ABC=60°，
∴∠EBC=120°，
RtEBH中，∠EBH= 180-∠EBC=60，EB=AB=4，
∴∠BEH =90-60=30，
∴BH=2， EH=2，
∴CH=BH+CB=2+6=8，
∴EC==2，
故答案为： 2.
【分析】 将△BPA绕点B逆时针旋转60°得到△BFE，使得点P的对应点为F，点A的对应点为E；即可根据旋转的性质得到PB=PF，PA=FE，再由两点之间线段最短可知，当E，F， P， C共线时，PA+PB+PC=EF+PF+PC的值最小，最小值为EC的长，通过旋转的性质得出∠EBC=120°，利用补角计算出∠EBH=60，即可利用30角的性质计算出BH，EH；再利用勾股定理即可计算EC，解答即可.
三、解答题（共10小题）
14．
（1）分解因式：①；②．
（2）解分式方程：①；②．
【答案】（1）解：①原式=x(x2-9)=；
②设A = x y，原式= 9 A2 12 A + 4=（3A-2）2
将 A = x y 代回，最终 =
（2）解：①方程两边都乘以得：，
解得：
检验：把代入，
是原方程的解．
②方程两边都乘以得：
解这个方程得：，
，
，
检验：把代入，
是原方程的增根，
即原方程无解．
【知识点】因式分解﹣提公因式法；分式方程的解及检验；解分式方程；因式分解-平方差公式；因式分解-完全平方公式
【解析】【分析】
（1） ① 首先提取公因式 x ，得到：x ( x2 9 )；再利用平方差公式因式分解即可； ② 设 A = x y ，原式变为 9 A2 12 A + 4；发现符合完全平方公式，因此直接利用完全平方公式即可解答；
（2）去分母，方程两边都乘以得，计算并检验即可解答；去分母，方程两边都乘以得：，计算并检验即可解答.
15．
（1）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来：
（2）先化简，再从中选取一个适合的数代入求值．
【答案】（1）解：解不等式得，
解不等式得，
不等式组的解集为．
其解集在数轴上表示为：如图所示．
（2）解：原式
，
由题意得：且，
当时，原式，
当时，原式．
【知识点】分式的化简求值；在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】（1）解第1个不等式得；解第2个不等式得；再取解集的公共部分，在数轴上表示即可； （2）先通分得；然后计算即可化简得， 选值时分母不为零，因而且，代值计算即可解答.
16．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上．
（1）将向右平移4个单位长度得到，请画出；
（2）画出关于点的中心对称图形；
（3）若将绕某一点旋转可得到，旋转中心的坐标为 ▲ ．
【答案】（1）解：如图1，即为所求；
（2）如图2，即为所求；
（3），
【知识点】作图﹣平移；旋转的性质；作图﹣旋转；作图﹣中心对称
【解析】【解答】
解：如图3，
根据图形可知：旋转中心的坐标为：；
故答案为：.
【分析】
(1) 观察图形找到原图中A、B、C坐标分别为A(1，3)、B(-1，1)、C(2，0)）向右平移4个单位平移后坐标：A1(1+4，3)=(5，3)，B1(-1+4，1)=(3，1)，C1(2+4，0)=(6，0)，连线即可画出图形；
（2）关于原点O的中心对称对称点坐标公式：(x，y)→(-x，-y)找到对称后得坐标分别为：A2(-5，-3)，B2(-3，-1)，C2(-6，0)，连线即可画出图形；
（3）△ABC到△A2B2C2的旋转中心需满足：旋转前后对应点连线的中垂线交点即为旋转中心，观察图形即可解答.
17．如图，在四边形ABCD中，BD平分交BA的延长线于点于点．
（1）求证：Rt；
（2）若，求四边形ABCD的面积．
【答案】（1）证明：平分，
，
在Rt和Rt中，
，
Rt；
（2）解：平分，
，
在Rt中，，
，
，
在Rt和Rt中，
，
，
，
由（1）知：Rt，
，
，
四边形ABCD的面积为．
【知识点】三角形的面积；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；含30°角的直角三角形；角平分线构造全等模型
【解析】【分析】(1) 由于BD平分∠ABC，且DM⊥BA，DN⊥BC，根据角平分线上的点到角两边距离相等的性质，可得DM=DN，即可利用HL证明全等；
(2)由∠ABC=60°，BD平分∠ABC，故∠DBC=30°；在Rt△BDN中，BD=8，∠DBC=30°，则可计算DN的长度，再利用勾股定理即可计算BN长度；利用三角形得面积公式即可计算△BDN面积，从而可利用全等关系求总面积，即可解答.
18．根据以下素材，探索完成任务
为了抓住文化艺术节的商机，某商店决定购进A、B两种艺术节纪念品
素材1 若购进种纪念品8件，种纪念品3件，需要950元；若购进种纪念品5件，种纪念品6件，需要800元．
素材2 若该商店决定购进这两种纪念品100件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100件纪念品的资金不少于7000元，但不超过7500元
素材3 若销售每件种纪念品可获利润20元，每件种纪念品可获利润30元
问题解决
任务1 探索商品单价 求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？
任务2 探究购买方案 求出该商店共有几种进货方案？
任务3 确定最优方案 在所有进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？
【答案】任务1：设购进每件种纪念品需要元，每件种纪念品需要元，
依题意得：，
解得：．
答：购进每件种纪念品需要100元，每件种纪念品需要50元．
任务2：设购进种纪念品件，则购进种纪念品件，
依题意得：，
解得：，
又为整数，且，
该商店共有11种进货方案．
任务3：设销售完这100件纪念品获得的总利润为元，则．
，
随的增大而减小，
当时，取得最大值，最大值．
答：当购进40件种纪念品，60件种纪念品时，获得的利润最大，最大利润为2600元．
【知识点】解二元一次方程；解一元一次不等式组；二元一次方程组的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】(1)设购进每件种纪念品需要元，每件种纪念品需要元，根据素材1的等量关系，列出方程计算即可解答；
（2）设购进种纪念品件，则购进种纪念品件， 根据素材2的不等关系，列出不等式组计算即可解答；
（3）设销售完这100件纪念品获得的总利润为元，根据素材3求出；再根据一次函数的性质可知当时，取得最大值，即可计算出最大值，解答即可.
19．教科书中这样写道：“形如的式子称为完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等问题．
例如：分解因式：．
解：原式
再如：求代数式的最小值．
解：，可知当时，有最小值，最小值是-8．
根据阅读材料，用配方法解决下列问题：
（1）分解因式： ▲ ．（直接写出结果）
（2）当为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值．
（3）利用配方法，尝试求出等式中a，b的值．
【答案】（1）；
（2）解：，
当时，多项式有最大值，最大值是7；
（3）解：，
，
，
，
，
解得．
【知识点】偶次方的非负性；因式分解-分组分解法；因式分解﹣添（拆）项法
【解析】【解答】
解：（1） (x2-6x+9)-16=(x-3)2-42=(x-3+4)(x-3-4)=；
故答案为：；
【分析】（1） 原式x2 6x 7可变形为x2 6x+9 16，其中x2 6x+9=(x 3)2为完全平方式，再减去42利用平方差公式可以再次分解，解答即可.
(2)提取系数并配方原式 2x2 4x+5 = 2(x2+2x) +5，将括号内配方：x2+2x = (x+1)2 1，可得 2(x+1)2+7 ；即可确定当 x= 1时，最大值为7 ；
（3）分组构造完全平方，原式a2+5b2 4ab 2b+1 = (a2 4ab+4b2)+(b2 2b+1)，再利用非负性求解即两完全平方和为0，故各自为0，即可解答.
20．几何探究题
（1）发现：在平面内，若，其中．
当点在线段BC上时（如图1），线段AB的长取得最小值，最小值为 ▲ ；
当点在线段BC延长线上时（如图2），线段AB的长取得最大值，最大值为 ▲ .
（2）应用：点为线段BC外一动点，如图3，分别以AB、AC为边，作等边和等边，连接CD、BE.
①证明：；
②若，则线段CD长度的最大值为 ▲ ．
（3）拓展：如图4，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点为线AB外一动点，且．请直接写出线段AM长的最大值及此时点的坐标．
【答案】（1）；
（2）①证明：和是等边三角形，
，
，
在和中，
，
；
② 4，
（3）或 ．
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；手拉手全等模型
【解析】【解答】
解：（1）当点在线段BC上时，线段AB的长取得最小值，最小值为
，
当点在线段BC延长线上时，线段AB的长取得最大值，最大值为，
，
故答案为：；
（2）②线段CD的最大值=线段BE长的最大值，
由（1）知，当线段BE的长取得最大值时，点在BC的延长线上，
最大值为；
故答案为：4；
（3）将绕着点顺时针旋转得到，连接AN，
则是等腰直角三角形，
，
的坐标为，点的坐标为，
，
，
线段AM长的最大值=线段BN长的最大值，
当在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值，
最大值，
，
最大值为；
如图2，过作轴于，连接BE，
是等腰直角三角形，
，
，
．
如图3中，根据对称性可知，当点在第四象限时，时，也满足条件．
综上述，满足条件的点坐标或的最大值为．
故答案为：或 ．
【分析】
（1）分析图形可知： 当点A在线段BC上时，AB的长度为BC - AC = a - b，此时取得最小值； 当点A在BC延长线上时，AB的长度为BC + AC = a + b，此时取得最大值 ，即可解答；
(2)由 △ABD和△ACE为等边三角形的性质可知： AD=AB，AC=AE，且∠BAD=∠CAE=60°，即可得 ∠CAD=∠BAE ；再利用SAS证明 △CAD≌△EAB ，即可解答； 由CD=BE，BE的最大值即为CD的最大值 计算即可解答；
（3） 将△APM绕P顺时针旋转90°得△PBN， 利用旋转的性质即可求出AM的最大值；利用等腰三角形的性质，可求得．再结合对称性，可求出另一个点P的坐标，解答即可.
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