资源简介

湖南省永州市2024-2025学年七年级下学期7月期末数学试题
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项，请将正确选项填涂到答题卡的空格上）
1．国产人工智能大模型横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，故不符合题意；
B、不是轴对称图形，故不符合题意；
C、是轴对称图形，故符合题意；
D、不是轴对称图形，故不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据轴对称图形的定义逐项判断即可得．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形．
2．下列各数中，是无理数的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】无理数的概念；求算术平方根
【解析】【解答】解：A、是整数，属于有理数，选项错误；
B、是无理数，选项正确；
C、是分数，属于有理数，选项错误；
D、，是整数，属于有理数，选项错误；
故选：B．
【分析】根据无理数的概念逐一判断，即可得到答案．
3．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A．，故Ａ错误.
B．，故Ｂ错误.
C．，故Ｃ错误.
D．，故Ｄ正确.
故答案为：D．
【分析】根据合并同类项，幂的乘方，同底数幂的乘法，积的乘方运算，分别对Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ各选项计算得、、、即可得答案.
4．若，则在下列式子中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：、∵，∴，A错误；
、∵，∴，B错误；
、∵，∴，C错误；
、∵，∴，
∴，D正确；
故答案为：．
【分析】根据不等式的性质：不等式两边同乘以或除以正数，不等号方向不变可判断A；根据不等式两边同乘以或除以负数，方向改变可判断B；根据不等式两边同加减相同数，不等号方向不变可判断C；根据不等式两边同乘以或除以负数，方向改变和不等式两边同加减相同数，不等号方向不变可判断D..
5．如图，下列条件中，能判断的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行
【解析】【解答】解：A、∵，∴，故此选项符合题意；B、∵，∴，故此选项不符合题意；
C、∵，∴，故此选项不符合题意；
D、∵∠B与∠D不是两条直线被第三条直线所截形成的一对角，即使相等也证不出AB与CD平行，故此选项不符合题意.
故答案为：A．
【分析】由内错角相等，两直线平行可判断A、B选项，由同旁内角互补，两直线平行可判断C选项，∠B与∠D不是两条直线被第三条直线所截形成的一对角，即使相等也证不出AB与CD平行，据此可判断D选项.
6．下列有关统计知识表述恰当的是（　　）
A．有工厂质检人员检测灯泡的使用寿命，采用全面调查；
B．为了解巢湖水质情况，采用抽样调查；
C．某实践调查小组用扇形统计图描述一周的温度变化趋势；
D．抽样调查中，样本选择可以根据个人喜好自由确定；
【答案】B
【知识点】全面调查与抽样调查；总体、个体、样本、样本容量；扇形统计图；折线统计图
【解析】【解答】解：、有工厂质检人员检测灯泡的使用寿命，采用全面调查方式错误，应采取抽样调查；
、为了解巢湖水质情况，采用抽样调查方式正确；
、某实践调查小组用扇形统计图描述一周的温度变化趋势方式错误，应该用折线统计图描述一周的温度变化趋势 ；
、抽样调查中，样本选择应该遵循随机性和代表性，故不可以根据个人喜好自由确定错.
故答案为：B．
【分析】全面调查数据准确，但耗时费力；抽样调查省时省力，但数据不够准确；一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查；对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查，据此即可判断A、B选项；扇形统计图能直观反应每组数据的比例，折线统计图能直观反应数据的变化趋势，据此可判断C选项；根据抽样调查样本选择应该遵循随机性和代表性可判断D选项.
7．下列选项中正确的是(　　)
A．8的立方根是 B．的平方根是
C．4的算术平方根是2 D．立方根等于平方根的数是1
【答案】C
【知识点】开平方（求平方根）；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：A.8的立方根是2，A错误；
B．的平方根是，B错误；
C.4的算术平方根是2，C正确；
D．立方根等于平方根的数是0，D错误；
故选：C．
【分析】本题考查立方根、平方根、算术平方根的定义，解题思路是根据相关定义逐一分析选项：A选项中8的立方根是2（立方根只有一个），B选项中=4，4的平方根是2，C选项中4的算术平方根是2（算术平方根为非负数），D选项中立方根等于平方根的数是0和1，结合选项判断只有C正确。
8．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
则解集在数轴上表示为，
故选：A．
【分析】先解不等式组，再根据大于或大于等于向右边，小于或小于等于向左边，有等号的用实心点表示，不含等号的用空心点表示，公共部分为解集，无公共部分表示无解，结合数轴可得出答案．
9．如图，直线，直角三角板的直角顶点在直线上，直线经过顶点，且与边交于点．若，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，
∵直角三角板的直角顶点C在直线m上，，
∴，
∵直线，
∴，
∵，
∴，
故答案为：C．
【分析】根据平行线的判定与性质．可先求得的度数，然后再根据平行线的性质即可求得答案的度数，最后再用减去，即可求出的度数．
10．若关于的不等式组的解集只有个整数解，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解；已知不等式的解（集）求参数
【解析】【解答】解：∵，
解得，，
∴关于的不等式组的整数解为：3，4，5，
∴，
解得，，
故答案为：A．
【分析】解不等式组解集为，根据不等式组有3个整数解得到a的取值范围 ，解得．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分24分）
11．“的倍与的和是非负数”用不等式表示为　 　．
【答案】2x+3≥0
【知识点】列一元一次不等式
【解析】【解答】解：由题意可得：2x+3≥0．
故答案为：2x+3≥0．
【分析】
直接利用x的2倍为：2x，非负数即大于等于0，进而得出不等式．
12．已知，则　 　．
【答案】8
【知识点】同底数幂乘法的逆用
【解析】【解答】解：
故答案为： 8.
【分析】根据同底数幂的乘法底数不变指数相加，可得答案.
13．如图，直线与相交于点，则的度数为　 　．
【答案】
【知识点】垂线的概念；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵
∴
∵
∴，
故答案为：．
【分析】先根据垂直的定义求出的度数，进而根据对顶角相等得出，再根据角的和差得．
14．若的乘积展开式中不含项，则的值为　 　．
【答案】4
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：
，
，
，
∵乘积展开式中不含项，
∴，解得：，
故答案为：4．
【分析】将a作为常数，利用多项式乘多项式的法则展开括号，再合并同类项化简，进而结合结果不含x2项，则其相应的系数为0，从而列出关于字母a的方程，求解即可得出a的值.
15．如图，将面积为5的正方形放在数轴上，以表示-1的点为圆心，以正方形的边长为半径作圆，交数轴于点，两点，则点，表示的数分别为　 　．
【答案】，
【知识点】实数在数轴上的表示；算术平方根的实际应用
【解析】【解答】解：∵正方形的面积为5，∴圆的半径为，
∴点A表示的数为，点B表示的数为．
故答案为：，．
【分析】利用正方形的面积公式求出边长可得圆的半径为，再结合数轴求出点A、B表示的数即可.
16．如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点到点的方向平移到的位置，，，，平移距离为，求阴影部分的面积为　 　．
【答案】
【知识点】平移的性质；等积变换
【解析】【解答】解：由题意可知，，，，
，
，
，即，
，
故答案为：．
【分析】由平移 的性质， 可得：，，，推出， 根据等级变换得， 进而可得，即可求解．
17．已知的平方根是，的立方根是，是的整数部分，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】无理数的估值；平方根的概念与表示；立方根的概念与表示；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵的平方根是，的立方根是，
∴，，
∴，，
∵，是的整数部分，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】先利用平方根、立方根的定义、夹逼法求出，，，再把它们的值代入代数式计算即可求解．
18．如图，将一副三角板按如图所示放置，，，，且，则下列结论中：①；②若平分，则有；③将三角形绕点旋转，使得点落在线段上，则此时；④若，则．其中结论正确的选项有　 　．（写出所有正确结论的序号）
【答案】②③④
【知识点】三角形外角的概念及性质；旋转的性质；对顶角及其性质；角平分线的概念；内错角相等，两直线平行
【解析】【解答】解：①如图，
∵∠CAB=∠DAE=90°，
即∠1+∠2=∠3+∠2+90°，
∴∠1=∠3≠45°，故①不正确；
②∵AD平分∠CAB，
∴∠1=∠2=45°，
∵∠1=∠3，
∴∠3=45°，
又∵∠C=∠B=45°，
∴∠3=∠B，
∴BC∥AE，故②正确；
③将三角形ADE绕点A旋转，使得点D落在线段AC上，
则∠4=∠ADE-∠ACB=60°-45°=15°，故③正确；
④∵∠3=2∠2，∠1=∠3，
∴∠1=2∠2，∠1+∠2=90°，
∴3∠2=90°，
∴∠2=30°，
∴∠3=60°，
又∠E=30°，
设DE与AB交于点F，则∠AFE=90°，
∵∠B=45°，
∴∠4=45°，
∴∠C=∠4，故④正确.
故答案为：②③④．
【分析】①根据同角的余角相等得∠1=∠3，但不一定得45°，据此可判断①；②都是根据角平分线的定义及①的结论得出3=45°，由等腰直角三角形性质得∠B=45°，从而由内错角相等两条直线平行得出BC∥AE，据此可判断②；③由三角形内角和定理得出 ∠ ADE=60°，然后根据三角形的外角等于不相邻的两个内角得和及对顶角相等得出∠4=15°，据此可判断③；④根据①的结论及角的构成可求出 ∠2=30°，则求出∠3=60°，由三角形内角和定理得出∠AFE=90°，再根据三角形内角和定理即可求出∠4=45°= ∠B，从而可判断④.
三、解答题（本大题共8小题，满分66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．计算：．
【答案】解：原式．
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先根据开方法则：，去绝对值运算法则：，开立方运算法则运算，再进行加减运算即可．
20．如图在边长为1的小正方形组成的网格中，△OAB的顶点都在格点上．
（1）请作出△OAB关于直线CD对称的△O1A1B1；
（2）请将△OAB绕点B顺时针旋转90°，画出旋转后的△BO2A2．
【答案】解：（1）如图所示，△O1A1B1即为所求；
（2）如图所示，△BO2A2即为所求．
【知识点】作图﹣轴对称；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）利用轴对称性质，作出点 A 的对称点，作出点 B 的对称点，作出点 O 的对称点，依次连接，即可得到所求图形；
（2）将△OAB的三个顶点分别绕点B顺时针旋转90°，得到对应点，再顺次连接所得的三个顶点，可得旋转后的△BO2A2．
21．先化简，再求值：，其中．
【答案】解：原式
当时，
原式．
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】先根据乘法公式、单项式与单项式的乘法法则，并去括号合并同类项得原式，将代入计算即可．
22．如图所示，直线，相交于点C，过点C作射线，使得平分，若，试说明．
【答案】解：因为平分，
所以．
因为，，
所以，
所以．
【知识点】对顶角及其性质；角平分线的概念；同位角相等，两直线平行
【解析】【分析】根据角平分线的定义可得，根据已知条件和对顶角相等可得，进而根据同位角相等，两直线平行可得结论．
23．重庆市2023年体育中考已经结束，现从某校初三年级随机抽取部分学生的成绩进行统计分析（成绩得分用表示，共分成4个等级，A：，B：，C：，D：），绘制了如下的统计图，请根据统计图信息解答下列问题：
（1）本次共调查了________名学生；
（2）请补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，m的值是________；B对应的扇形圆心角的度数是________；
（4）若该校初三年级共有2000名学生，估计此次测试成绩优秀的学生共有多少人？
【答案】（1）50
（2）解：C等级的人数为：（人），
补全条形统计图如图：
（3），
（4）解：（人），
答：估计此次测试成绩优秀的学生共有800人．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）（人），
即本次共调查了50名学生，
故答案为：50；
（3）C等级的人数所占的百分比为：，
∴，
B对应的扇形圆心角的度数为：，
故答案为：，；
【分析】（1）根据统计图表提供的信息，用D等级的人数除以所占百分比可得本次调查总人数；
（2）用总人数减去其余等级的人数得到C等级的人数，即可补全条形统计图；
（3）用C等级的人数除以总人数，求出C等级的人数所占的百分比即可得到m的值；用B等级的人数所占百分比乘以360°即可得到B对应的扇形圆心角的度数；
（4）用该学校初三年级学生的总人数乘以样本中D等级人数所占的百分比即可估计此次测试成绩优秀学生人数．
24．祁阳市“爱·悦·读”二十四节气读书活动自2023年启动以来，累计举办主题读书活动72场次，云上读书会吸引全国800万余人次在线互动，好读书，读好书，让人终身受益．为满足同学们的读书需求，学校图书馆准备到新华书店采购文学名著和动漫书两类图书．经了解，2本文学名著和4本动漫书共需156元，文学名著的单价比动漫书的单价多18元（注：所采购的文学名著价格都一样，所采购的动漫书价格都一样）．
（1）求文学名著和动漫书单价各多少元？
（2）若学校要求购买动漫书比文学名著多20本，总费用不超过2100元，请问最多可以购买文学名著多少本？
【答案】（1）解：设文学名著和动漫书单价分别为元和元，由题意，得：
，解得：；
答：文学名著和动漫书单价分别为元和元
（2）解：设购买文学名著本，则购买动漫书本，由题意，得：，
解得：，
∵为整数，
∴最多可以购买文学名著29本．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设文学名著和动漫书单价分别为元和元，根据2本文学名著和4本动漫书共需156元，文学名著的单价比动漫书的单价多18元，列出方程组，进行求解；
（2）设购买文学名著本，根据总费用不超过2100元，列出不等式，进行求解，根据为整数，即可求解．
（1）解：设文学名著和动漫书单价分别为元和元，由题意，得：
，解得：；
答：文学名著和动漫书单价分别为元和元；
（2）解：设购买文学名著本，则购买动漫书本，
由题意，得：，
解得：，
∵为整数，
∴最多可以购买文学名著29本．
25．把几个图形拼成一个新的图形，通过图形面积的计算，常常可以得到一些等式，这是研究数学问题的一种常用方法．我们在学习“从面积到乘法公式”时，曾用两种不同的方法计算同一个图形的面积，探索了完全平方公式：（如图1）．
（1）观察图2，请你写出、、之间的等量关系是　 　；
（2）拓展应用：根据（1）中的等量关系及课本所学的完全平方公式知识，解决如下问题：
若，且，求的值；
（3）若，求的值；
（4）如图3，在中，，点在边上，，在边上取一点，使，分别以为边在外部作正方形和正方形，连接，若的面积等于，设，求正方形和正方形的面积和．
【答案】（1）
（2）解：由（1）可得，
，
，
，
；
（3）解：
，
，
，
；
（4）解：设，则，
，
，
，
，
令，
，
正方形和正方形的面积和：
．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景；完全平方式；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】（1）解：由图可知：大正方形的面积等于4个长方形的面积加上阴影正方形的面积
∴；
故答案为：．
【分析】（1）有图形可得，大的正方形的面积等于四个长方形的面积加小正方形的面积，求解即可；
（2）由（1）中的结论，可得，求得，再开方根据 求解即可；
（3）由题意可得，根据可得，整体代入求解即可；
（4）设，则，根据线段的和差关系可得，，，根据的面积得到，再根据，结合（1）的结论，求解即可．
（1）解：由图可知：大正方形的面积等于4个长方形的面积加上阴影正方形的面积
∴；
（2）由（1）可得，
，
，
，
；
（3），
，
，
；
（4）设，则，
，
，
，
，
令，
，
正方形和正方形的面积和：
．
26．【感知】（1）如图，，求的度数．
小乐想到了以下方法，请帮忙完成推理过程．
解：如图①所示，过点P作，
，
________（平行于同一直线的两条直线平行），
________（两直线平行，同旁内角互补），
，
，
，
（________），
，即．
【探究】（2）如图②所示，的平分线和的平分线交于点G，求的度数．
【应用】（3）如图③所示，已知直线，点在直线a上，点在直线b上（点C在点D的左侧），连接，作直线平分，直线平分，且直线交于点E，设，请画出图形并求出的度数（用含的式子表示）．
【答案】解：（1）；；两直线平行，内错角相等
（2）如图②所示，
是的平分线，是的平分线，
，，
过点G作
（两直线平行，内错角相等）．
（已知），
（平行于同一条直线的两直线平行），
（两直线平行，内错角相等），
∴．
（3）当点A在B左侧时，
如图，过点E作，则，
，
平分平分，
，，
．
当点A在B右侧时，点E在和外时，点E在上方时，
如图，过点E作，则，
，
平分平分，
，，
．
当点A在B右侧时，点E在和外时，点E在下方时，
同理可求．
当点A在B右侧时，点E在和内时，
过点E作，则，
，
平分平分，
，，
，
，或，
综上，的度数为或或或或．
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理；角平分线的概念；平行公理的推论
【解析】【解答】解：（1）如图①所示，过点P作，
，
（平行于同一直线的两条直线平行），
（两直线平行，同旁内角互补），
，
，
，
（两直线平行，内错角相等），
，即．
故答案为：；；两直线平行，内错角相等
【分析】本题以平行线中的拐点问题为背景，综合考查平行公理及推论、平行线的性质（内错角相等、同旁内角互补）、角平分线的定义以及分类讨论思想。
（1）过点 P 作，由 得，利用两直线平行同旁内角互补求出，再根据两直线平行内错角相等得，相加得；
（2）过点 G 作，由角平分线得，，利用平行线性质得MGE = 25， MGF = 60，则 EGF = 60 - 25 = 35；
（3）需分点 A 在 B 左侧、点 A 在 B 右侧且 E 在不同位置等多种情况，过点 E 作 EF AB，利用平行线性质及角平分线定义，通过角的和差关系分别求出 BED 的表达式，注意图形变化时内错角、同旁内角的转换以及补角关系的应用。
1 / 1湖南省永州市2024-2025学年七年级下学期7月期末数学试题
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项，请将正确选项填涂到答题卡的空格上）
1．国产人工智能大模型横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．下列各数中，是无理数的是（　　）
A． B． C． D．
3．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．若，则在下列式子中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．如图，下列条件中，能判断的是（　　）
A． B．
C． D．
6．下列有关统计知识表述恰当的是（　　）
A．有工厂质检人员检测灯泡的使用寿命，采用全面调查；
B．为了解巢湖水质情况，采用抽样调查；
C．某实践调查小组用扇形统计图描述一周的温度变化趋势；
D．抽样调查中，样本选择可以根据个人喜好自由确定；
7．下列选项中正确的是(　　)
A．8的立方根是 B．的平方根是
C．4的算术平方根是2 D．立方根等于平方根的数是1
8．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
9．如图，直线，直角三角板的直角顶点在直线上，直线经过顶点，且与边交于点．若，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
10．若关于的不等式组的解集只有个整数解，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分24分）
11．“的倍与的和是非负数”用不等式表示为　 　．
12．已知，则　 　．
13．如图，直线与相交于点，则的度数为　 　．
14．若的乘积展开式中不含项，则的值为　 　．
15．如图，将面积为5的正方形放在数轴上，以表示-1的点为圆心，以正方形的边长为半径作圆，交数轴于点，两点，则点，表示的数分别为　 　．
16．如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点到点的方向平移到的位置，，，，平移距离为，求阴影部分的面积为　 　．
17．已知的平方根是，的立方根是，是的整数部分，则的值为　 　．
18．如图，将一副三角板按如图所示放置，，，，且，则下列结论中：①；②若平分，则有；③将三角形绕点旋转，使得点落在线段上，则此时；④若，则．其中结论正确的选项有　 　．（写出所有正确结论的序号）
三、解答题（本大题共8小题，满分66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．计算：．
20．如图在边长为1的小正方形组成的网格中，△OAB的顶点都在格点上．
（1）请作出△OAB关于直线CD对称的△O1A1B1；
（2）请将△OAB绕点B顺时针旋转90°，画出旋转后的△BO2A2．
21．先化简，再求值：，其中．
22．如图所示，直线，相交于点C，过点C作射线，使得平分，若，试说明．
23．重庆市2023年体育中考已经结束，现从某校初三年级随机抽取部分学生的成绩进行统计分析（成绩得分用表示，共分成4个等级，A：，B：，C：，D：），绘制了如下的统计图，请根据统计图信息解答下列问题：
（1）本次共调查了________名学生；
（2）请补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，m的值是________；B对应的扇形圆心角的度数是________；
（4）若该校初三年级共有2000名学生，估计此次测试成绩优秀的学生共有多少人？
24．祁阳市“爱·悦·读”二十四节气读书活动自2023年启动以来，累计举办主题读书活动72场次，云上读书会吸引全国800万余人次在线互动，好读书，读好书，让人终身受益．为满足同学们的读书需求，学校图书馆准备到新华书店采购文学名著和动漫书两类图书．经了解，2本文学名著和4本动漫书共需156元，文学名著的单价比动漫书的单价多18元（注：所采购的文学名著价格都一样，所采购的动漫书价格都一样）．
（1）求文学名著和动漫书单价各多少元？
（2）若学校要求购买动漫书比文学名著多20本，总费用不超过2100元，请问最多可以购买文学名著多少本？
25．把几个图形拼成一个新的图形，通过图形面积的计算，常常可以得到一些等式，这是研究数学问题的一种常用方法．我们在学习“从面积到乘法公式”时，曾用两种不同的方法计算同一个图形的面积，探索了完全平方公式：（如图1）．
（1）观察图2，请你写出、、之间的等量关系是　 　；
（2）拓展应用：根据（1）中的等量关系及课本所学的完全平方公式知识，解决如下问题：
若，且，求的值；
（3）若，求的值；
（4）如图3，在中，，点在边上，，在边上取一点，使，分别以为边在外部作正方形和正方形，连接，若的面积等于，设，求正方形和正方形的面积和．
26．【感知】（1）如图，，求的度数．
小乐想到了以下方法，请帮忙完成推理过程．
解：如图①所示，过点P作，
，
________（平行于同一直线的两条直线平行），
________（两直线平行，同旁内角互补），
，
，
，
（________），
，即．
【探究】（2）如图②所示，的平分线和的平分线交于点G，求的度数．
【应用】（3）如图③所示，已知直线，点在直线a上，点在直线b上（点C在点D的左侧），连接，作直线平分，直线平分，且直线交于点E，设，请画出图形并求出的度数（用含的式子表示）．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，故不符合题意；
B、不是轴对称图形，故不符合题意；
C、是轴对称图形，故符合题意；
D、不是轴对称图形，故不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据轴对称图形的定义逐项判断即可得．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形．
2．【答案】B
【知识点】无理数的概念；求算术平方根
【解析】【解答】解：A、是整数，属于有理数，选项错误；
B、是无理数，选项正确；
C、是分数，属于有理数，选项错误；
D、，是整数，属于有理数，选项错误；
故选：B．
【分析】根据无理数的概念逐一判断，即可得到答案．
3．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A．，故Ａ错误.
B．，故Ｂ错误.
C．，故Ｃ错误.
D．，故Ｄ正确.
故答案为：D．
【分析】根据合并同类项，幂的乘方，同底数幂的乘法，积的乘方运算，分别对Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ各选项计算得、、、即可得答案.
4．【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：、∵，∴，A错误；
、∵，∴，B错误；
、∵，∴，C错误；
、∵，∴，
∴，D正确；
故答案为：．
【分析】根据不等式的性质：不等式两边同乘以或除以正数，不等号方向不变可判断A；根据不等式两边同乘以或除以负数，方向改变可判断B；根据不等式两边同加减相同数，不等号方向不变可判断C；根据不等式两边同乘以或除以负数，方向改变和不等式两边同加减相同数，不等号方向不变可判断D..
5．【答案】A
【知识点】内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行
【解析】【解答】解：A、∵，∴，故此选项符合题意；B、∵，∴，故此选项不符合题意；
C、∵，∴，故此选项不符合题意；
D、∵∠B与∠D不是两条直线被第三条直线所截形成的一对角，即使相等也证不出AB与CD平行，故此选项不符合题意.
故答案为：A．
【分析】由内错角相等，两直线平行可判断A、B选项，由同旁内角互补，两直线平行可判断C选项，∠B与∠D不是两条直线被第三条直线所截形成的一对角，即使相等也证不出AB与CD平行，据此可判断D选项.
6．【答案】B
【知识点】全面调查与抽样调查；总体、个体、样本、样本容量；扇形统计图；折线统计图
【解析】【解答】解：、有工厂质检人员检测灯泡的使用寿命，采用全面调查方式错误，应采取抽样调查；
、为了解巢湖水质情况，采用抽样调查方式正确；
、某实践调查小组用扇形统计图描述一周的温度变化趋势方式错误，应该用折线统计图描述一周的温度变化趋势 ；
、抽样调查中，样本选择应该遵循随机性和代表性，故不可以根据个人喜好自由确定错.
故答案为：B．
【分析】全面调查数据准确，但耗时费力；抽样调查省时省力，但数据不够准确；一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查；对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查，据此即可判断A、B选项；扇形统计图能直观反应每组数据的比例，折线统计图能直观反应数据的变化趋势，据此可判断C选项；根据抽样调查样本选择应该遵循随机性和代表性可判断D选项.
7．【答案】C
【知识点】开平方（求平方根）；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：A.8的立方根是2，A错误；
B．的平方根是，B错误；
C.4的算术平方根是2，C正确；
D．立方根等于平方根的数是0，D错误；
故选：C．
【分析】本题考查立方根、平方根、算术平方根的定义，解题思路是根据相关定义逐一分析选项：A选项中8的立方根是2（立方根只有一个），B选项中=4，4的平方根是2，C选项中4的算术平方根是2（算术平方根为非负数），D选项中立方根等于平方根的数是0和1，结合选项判断只有C正确。
8．【答案】A
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
则解集在数轴上表示为，
故选：A．
【分析】先解不等式组，再根据大于或大于等于向右边，小于或小于等于向左边，有等号的用实心点表示，不含等号的用空心点表示，公共部分为解集，无公共部分表示无解，结合数轴可得出答案．
9．【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，
∵直角三角板的直角顶点C在直线m上，，
∴，
∵直线，
∴，
∵，
∴，
故答案为：C．
【分析】根据平行线的判定与性质．可先求得的度数，然后再根据平行线的性质即可求得答案的度数，最后再用减去，即可求出的度数．
10．【答案】A
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解；已知不等式的解（集）求参数
【解析】【解答】解：∵，
解得，，
∴关于的不等式组的整数解为：3，4，5，
∴，
解得，，
故答案为：A．
【分析】解不等式组解集为，根据不等式组有3个整数解得到a的取值范围 ，解得．
11．【答案】2x+3≥0
【知识点】列一元一次不等式
【解析】【解答】解：由题意可得：2x+3≥0．
故答案为：2x+3≥0．
【分析】
直接利用x的2倍为：2x，非负数即大于等于0，进而得出不等式．
12．【答案】8
【知识点】同底数幂乘法的逆用
【解析】【解答】解：
故答案为： 8.
【分析】根据同底数幂的乘法底数不变指数相加，可得答案.
13．【答案】
【知识点】垂线的概念；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵
∴
∵
∴，
故答案为：．
【分析】先根据垂直的定义求出的度数，进而根据对顶角相等得出，再根据角的和差得．
14．【答案】4
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：
，
，
，
∵乘积展开式中不含项，
∴，解得：，
故答案为：4．
【分析】将a作为常数，利用多项式乘多项式的法则展开括号，再合并同类项化简，进而结合结果不含x2项，则其相应的系数为0，从而列出关于字母a的方程，求解即可得出a的值.
15．【答案】，
【知识点】实数在数轴上的表示；算术平方根的实际应用
【解析】【解答】解：∵正方形的面积为5，∴圆的半径为，
∴点A表示的数为，点B表示的数为．
故答案为：，．
【分析】利用正方形的面积公式求出边长可得圆的半径为，再结合数轴求出点A、B表示的数即可.
16．【答案】
【知识点】平移的性质；等积变换
【解析】【解答】解：由题意可知，，，，
，
，
，即，
，
故答案为：．
【分析】由平移 的性质， 可得：，，，推出， 根据等级变换得， 进而可得，即可求解．
17．【答案】
【知识点】无理数的估值；平方根的概念与表示；立方根的概念与表示；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵的平方根是，的立方根是，
∴，，
∴，，
∵，是的整数部分，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】先利用平方根、立方根的定义、夹逼法求出，，，再把它们的值代入代数式计算即可求解．
18．【答案】②③④
【知识点】三角形外角的概念及性质；旋转的性质；对顶角及其性质；角平分线的概念；内错角相等，两直线平行
【解析】【解答】解：①如图，
∵∠CAB=∠DAE=90°，
即∠1+∠2=∠3+∠2+90°，
∴∠1=∠3≠45°，故①不正确；
②∵AD平分∠CAB，
∴∠1=∠2=45°，
∵∠1=∠3，
∴∠3=45°，
又∵∠C=∠B=45°，
∴∠3=∠B，
∴BC∥AE，故②正确；
③将三角形ADE绕点A旋转，使得点D落在线段AC上，
则∠4=∠ADE-∠ACB=60°-45°=15°，故③正确；
④∵∠3=2∠2，∠1=∠3，
∴∠1=2∠2，∠1+∠2=90°，
∴3∠2=90°，
∴∠2=30°，
∴∠3=60°，
又∠E=30°，
设DE与AB交于点F，则∠AFE=90°，
∵∠B=45°，
∴∠4=45°，
∴∠C=∠4，故④正确.
故答案为：②③④．
【分析】①根据同角的余角相等得∠1=∠3，但不一定得45°，据此可判断①；②都是根据角平分线的定义及①的结论得出3=45°，由等腰直角三角形性质得∠B=45°，从而由内错角相等两条直线平行得出BC∥AE，据此可判断②；③由三角形内角和定理得出 ∠ ADE=60°，然后根据三角形的外角等于不相邻的两个内角得和及对顶角相等得出∠4=15°，据此可判断③；④根据①的结论及角的构成可求出 ∠2=30°，则求出∠3=60°，由三角形内角和定理得出∠AFE=90°，再根据三角形内角和定理即可求出∠4=45°= ∠B，从而可判断④.
19．【答案】解：原式．
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先根据开方法则：，去绝对值运算法则：，开立方运算法则运算，再进行加减运算即可．
20．【答案】解：（1）如图所示，△O1A1B1即为所求；
（2）如图所示，△BO2A2即为所求．
【知识点】作图﹣轴对称；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）利用轴对称性质，作出点 A 的对称点，作出点 B 的对称点，作出点 O 的对称点，依次连接，即可得到所求图形；
（2）将△OAB的三个顶点分别绕点B顺时针旋转90°，得到对应点，再顺次连接所得的三个顶点，可得旋转后的△BO2A2．
21．【答案】解：原式
当时，
原式．
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】先根据乘法公式、单项式与单项式的乘法法则，并去括号合并同类项得原式，将代入计算即可．
22．【答案】解：因为平分，
所以．
因为，，
所以，
所以．
【知识点】对顶角及其性质；角平分线的概念；同位角相等，两直线平行
【解析】【分析】根据角平分线的定义可得，根据已知条件和对顶角相等可得，进而根据同位角相等，两直线平行可得结论．
23．【答案】（1）50
（2）解：C等级的人数为：（人），
补全条形统计图如图：
（3），
（4）解：（人），
答：估计此次测试成绩优秀的学生共有800人．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）（人），
即本次共调查了50名学生，
故答案为：50；
（3）C等级的人数所占的百分比为：，
∴，
B对应的扇形圆心角的度数为：，
故答案为：，；
【分析】（1）根据统计图表提供的信息，用D等级的人数除以所占百分比可得本次调查总人数；
（2）用总人数减去其余等级的人数得到C等级的人数，即可补全条形统计图；
（3）用C等级的人数除以总人数，求出C等级的人数所占的百分比即可得到m的值；用B等级的人数所占百分比乘以360°即可得到B对应的扇形圆心角的度数；
（4）用该学校初三年级学生的总人数乘以样本中D等级人数所占的百分比即可估计此次测试成绩优秀学生人数．
24．【答案】（1）解：设文学名著和动漫书单价分别为元和元，由题意，得：
，解得：；
答：文学名著和动漫书单价分别为元和元
（2）解：设购买文学名著本，则购买动漫书本，由题意，得：，
解得：，
∵为整数，
∴最多可以购买文学名著29本．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设文学名著和动漫书单价分别为元和元，根据2本文学名著和4本动漫书共需156元，文学名著的单价比动漫书的单价多18元，列出方程组，进行求解；
（2）设购买文学名著本，根据总费用不超过2100元，列出不等式，进行求解，根据为整数，即可求解．
（1）解：设文学名著和动漫书单价分别为元和元，由题意，得：
，解得：；
答：文学名著和动漫书单价分别为元和元；
（2）解：设购买文学名著本，则购买动漫书本，
由题意，得：，
解得：，
∵为整数，
∴最多可以购买文学名著29本．
25．【答案】（1）
（2）解：由（1）可得，
，
，
，
；
（3）解：
，
，
，
；
（4）解：设，则，
，
，
，
，
令，
，
正方形和正方形的面积和：
．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景；完全平方式；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】（1）解：由图可知：大正方形的面积等于4个长方形的面积加上阴影正方形的面积
∴；
故答案为：．
【分析】（1）有图形可得，大的正方形的面积等于四个长方形的面积加小正方形的面积，求解即可；
（2）由（1）中的结论，可得，求得，再开方根据 求解即可；
（3）由题意可得，根据可得，整体代入求解即可；
（4）设，则，根据线段的和差关系可得，，，根据的面积得到，再根据，结合（1）的结论，求解即可．
（1）解：由图可知：大正方形的面积等于4个长方形的面积加上阴影正方形的面积
∴；
（2）由（1）可得，
，
，
，
；
（3），
，
，
；
（4）设，则，
，
，
，
，
令，
，
正方形和正方形的面积和：
．
26．【答案】解：（1）；；两直线平行，内错角相等
（2）如图②所示，
是的平分线，是的平分线，
，，
过点G作
（两直线平行，内错角相等）．
（已知），
（平行于同一条直线的两直线平行），
（两直线平行，内错角相等），
∴．
（3）当点A在B左侧时，
如图，过点E作，则，
，
平分平分，
，，
．
当点A在B右侧时，点E在和外时，点E在上方时，
如图，过点E作，则，
，
平分平分，
，，
．
当点A在B右侧时，点E在和外时，点E在下方时，
同理可求．
当点A在B右侧时，点E在和内时，
过点E作，则，
，
平分平分，
，，
，
，或，
综上，的度数为或或或或．
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理；角平分线的概念；平行公理的推论
【解析】【解答】解：（1）如图①所示，过点P作，
，
（平行于同一直线的两条直线平行），
（两直线平行，同旁内角互补），
，
，
，
（两直线平行，内错角相等），
，即．
故答案为：；；两直线平行，内错角相等
【分析】本题以平行线中的拐点问题为背景，综合考查平行公理及推论、平行线的性质（内错角相等、同旁内角互补）、角平分线的定义以及分类讨论思想。
（1）过点 P 作，由 得，利用两直线平行同旁内角互补求出，再根据两直线平行内错角相等得，相加得；
（2）过点 G 作，由角平分线得，，利用平行线性质得MGE = 25， MGF = 60，则 EGF = 60 - 25 = 35；
（3）需分点 A 在 B 左侧、点 A 在 B 右侧且 E 在不同位置等多种情况，过点 E 作 EF AB，利用平行线性质及角平分线定义，通过角的和差关系分别求出 BED 的表达式，注意图形变化时内错角、同旁内角的转换以及补角关系的应用。
1 / 1

展开更多......

收起↑