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陕西省榆林市横山区2024-2025学年八年级下学期期末数学试题
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的）
1．下面的标识图案中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．在剪纸活动中，小华想用一张长方形纸片剪出一个正八边形，如图，正八边形的一边与长方形的一边重合，则的大小为（　　）
A． B． C． D．
3．如图，，若，则的长度为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．如图，在中摆放两个相同的直角三角板，两个三角板的一条直角边分别与边重合，两个三角板的长直角边交于点P，作射线，若，，则为（　　）
A．3 B．6 C．12 D．16
5．若非零实数满足，则（　　）
A．2 B． C．4 D．
6．如图所示，一次函数（k，b为常数，且）与正比例函数（a为常数，且）的图象相交于点，则下列结论错误的是（　　）
A．关于x的方程的解是
B．当时，函数的值比函数的值大
C．关于x的不等式的解集是
D．关于x的不等式的解集是
7．若 ，则代数式 的值为（　　）
A． B． C．2 D．-2
8．如图，在中，，分别是，的中点，，是对角线上的两点，且．对于结论：①；②；③四边形是平行四边形；④．正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①②③ D．②③④
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．多项式的公因式是　 　．
10．定理“等腰三角形底边上的高线与中线互相重合”的逆命题是　 　命题（填“真”或“假”）．
11．如图，在中，，，，将绕点C逆时针旋转得到，点A、B的对应点分别为点，，连接，若点，B，A在同一条直线上，则的长为　 　．
12．小明去文具店购买笔记本，每本笔记本的价格是5元．文具店推出促销活动，购买超过10本笔记本时，超出部分每本打6折，小明带了80元购买此款笔记本，则小明最多能买　 　本笔记本．
13．如图，在中，为对角线，E为边上一点，连接，且．若平分，，则　 　．
三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程）
14．因式分解：．
15．解分式方程：．
16．如图，，且，是的中点．求证：四边形是平行四边形．
17．如图，公园一角有一片三角形空地，公园负责人计划在边上找一点，使得点到点，的距离相等，请利用尺规作出点．（不写作法，保留作图痕迹）
18．解不等式组，并把解集表示在数轴上．
19．如图，在中，点D、E分别是边的中点，连接，点F是线段上的一点，连接，若，求的长度．
20．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为点、、．
（1）请画出将先向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度后得到的；（点A、B、C的对应点分别为点、、）
（2）请画出绕原点O逆时针旋转后得到的．（点A、B、C的对应点分别为点、、）
21．先化简，再求值：，其中．
22．在平行四边形中，E为上一点，点F为的中点，连接并延长，交的延长线于点G，求证：．
23．已知关于的分式方程：有增根，求的值．
24．如图，已知在中，E，F是对角线BD上的两点，，点G，H分别在BA和DC的延长线上，且，连接GE，EH，HF，FG．
求证：
（1）；
（2）．
25．随着新能源汽车使用的日益普及，各个小区都纷纷完善新能源汽车的配套设施，其中新能源充电桩的建设成为重点工作，某小区也不例外，计划购置单枪、双枪两款新能源充电桩，来满足小区内新能源汽车车主日益增长的充电需求，然而，在购置过程中，面临着不同的价格、数量以及预算限制等问题，就像下面所描述的情况一样．某小区计划购置如图所示的单枪、双枪两款新能源充电桩，购置充电桩的相关信息如表：
单枪充电桩 双枪充电桩
花费：元 花费：元
单价：元/个 单价：元/个
（1）若本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多个，求单枪、双枪两款新能源充电桩的单价；
（2）在（1）的条件下，根据居民需求，小区决定再次购进单枪、双枪两款新能源充电桩共个，已知单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了，双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了，如果此次加购小区预备支出不超过元，求小区最少需要购买单枪新能源充电桩的数量．
26．【问题处理】
（1）如图1，为等腰三角形，，为边上的一点，连接，以为边作，．过点作交于，若，求证：．
【拓展提升】
（2）如图2，某家具厂制作等边三角形木质装饰框架，边上有一个预先开槽的固定节点（用于拼接），工人在边安装滑动定位块，并以为边加工等边三角形木片，最后连接加固．为计算木料长度，现需探究（定位块到端点的距离）、（固定节点到端点的距离）、（加固边）的数量关系，请你帮助工匠找出，，之间的数量关系，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：观察图形，选项A、B、C中的图形，绕一点旋转180°后，不能与自身完全重合，不是中心对称图形，
选项D中的图形，绕一点旋转180°后，能与自身完全重合，是中心对称图形.
故答案为：D．
【分析】把一个平面图形，在平面内绕着某一点旋转180°后，能与自身重合的图形就是中心对称图形，根据定义即可逐一判断得出答案.
2．【答案】B
【知识点】多边形内角与外角；邻补角
【解析】【解答】解：．
故答案为：B．
【分析】先利用多边形的内角和公式和正多边形的性质，可求得正八边形 的内角，再由邻补角的性质即可得到正确答案．
3．【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定与性质；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：A．
【分析】先利用平行线的性质，由，可推出，再结合条件，由等量代换可推出，最后利用等腰三角形的判定，即可得到，即可选出正确答案．
4．【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴．
故答案为：C．
【分析】根据题意可知，∠OMP=∠ONP=90°，可得和都是直角三角形，再结合条件PM=PN和OP为公共边，根据全等三角形的判定定理，可判定，可得到，最后由，即可求出正确答案．
5．【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】先将方程右边的项移到左边，再利用完全平方公式，将原式转化为平方的形式，求出之间的关系式，即可求出答案．
6．【答案】C
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：A、∵两直线相交于点，
∴方程的解是，故A正确，不符合题意；
B、∵当时，直线在直线的上方，
∴当时，函数的值比函数的值大，故B正确，不符合题意；
C、∵当时，直线在直线的下方，
∴关于x的不等式的解集是，故C选项错误，符合题意；
D、∵当时，直线在直线的上方，
∴关于x的不等式的解集是，故D选项正确，不符合题意．
故答案为：C．
【分析】观察函数图象，可知选项A正确；根据函数图象在上方的函数值更大，可判断选项B，C，D．
7．【答案】D
【知识点】分式的化简求值-整体代入
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故答案为：D.
【分析】先利用分式的混合运算化简可得，再将代入计算即可.
8．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：四边形是平行四边形，
，，
，
又E、F分别是、的中点，
∴，
∴，
在和中，
，
，
，，，故②正确
，
，
四边形是平行四边形，故③正确
，
而不一定成立，故④不正确．
不一定等于，
不正确，故①不正确，
故选：B．
【分析】
由平行四边形的对边平行且相等可得，，再由平行线的性质结合中点的概念可证，再由全等的性质可得，，则，得，再证出四边形是平行四边形，得，故②③正确，不一定等于，故①不正确，不一定成立，故④不正确．
9．【答案】
【知识点】公因式的概念
【解析】【解答】解：多项式的公因式是．
故答案为： ．
【分析】根据公因式的定义，找出多项式每一项的相同部分即可．
10．【答案】真
【知识点】线段垂直平分线的性质；真命题与假命题；逆命题；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：原命题的逆命题为，一边上的高线和中线重合的三角形是等腰三角形，该命题是真命题，
故答案为：真．
【分析】将一个命题的题设与结论互换位置即可得到该命题的逆命题，据此先写出原命题的逆命题，进而根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等及两边相等的三角形是等边三角形即可作出判断.
11．【答案】3
【知识点】等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；旋转的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：绕点C逆时针旋转得到，
，
，
，
，，
，
，
，
．
故答案为：3．
【分析】根据图形旋转的性质，得到，由等角对等边可得，然后根据直角三角形的性质：30°所对直角边等于斜边的一半，可逐步求得，，再根据等角对等边求得，即可求得答案．
12．【答案】20
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：∵当购买10本笔记本时，需要（元）
∴小明带了80元，可以购买笔记本超过10本．
设小明能买x本笔记本，根据题意，得
，
解得，
∴小明最多能买20本笔记本．
故答案为：20．
【分析】分析题意，可知小明购买笔记本超过10本．设未知数，列出一元一次不等式，求出解集即可．
13．【答案】70
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，AB=CD，
∴∠DAE=∠AEB，
∵∠EAB=∠EAD，
∴∠EAB=∠AEB，
∴BA=BE，
∵AB=AE，
∴AB=BE=AE，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠B=∠BAE=∠AEB=60°，
∴∠EAD=∠CDA=60°，
∵EA=AB，CD=AB，
∴EA=CD，
∵AD=DA，
∴△AED≌△DCA，
∴∠AED=∠DCA，
∵，
∴∠ACD=∠BAC=60°+10°=70°，
∴∠AED=70°．
故答案为：70．
【分析】首先根据平行四边形的性质和平行线的性质，可证得AB=BE，再结合已知，证明△ABE是等边三角形，然后利用全等三角形的判定，证明△AED≌△DCA，就可得到∠AED=∠DCA，最后利用平行线的性质求出∠DCA的值即可，进而即可求解.
14．【答案】解：
．
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【分析】先根据平方差公式，对该式进行因式分解，再由完全平方公式因式分解，即可得解．
15．【答案】解：去分母得：，解得：，
检验：当时，，
∴是原分式方程的解．
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【分析】利用去分母法则，将原来的分式方程化为整式方程，再解一元一次方程，然后检验方程的解是否为增根即可．
16．【答案】证明：∵是的中点．
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【分析】根据中点定义及AC=2BD可推出CE=BD，从而根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出结论.
17．【答案】解：如图，作的垂直平分线交于点，
∴点在的垂直平分线，
∴点到点，的距离相等，
又∵点在上，
则点即为所作．
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】根据尺规作图和垂直平分线的性质，作的垂直平分线交于点即可．
18．【答案】解：，解不等式，得：，
解不等式，得：，
∴不等式组的解集为：，
将不等式解集表示在数轴上如图：
.
【知识点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【分析】先正确求出每一个不等式解集，再根据“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则确定不等式组的解集，最后将解集表示在数轴上即可．
19．【答案】解：∵点D、E分别是边的中点，∴是的中位线，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形的中位线定理；平行线的应用-求角度；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】先根据三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半，可得，，结合已知可求出，再证明，利用等腰三角形的判定得到，即可求出EF的值.
20．【答案】（1）解：如图所示，即为所求．
（2）解：如图所示，即为所求．
【知识点】作图﹣平移；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）根据平移的性质，作出点、、，依次连接即可得解；
（2）根据旋转的性质作出点、、，依次连接即可．
（1）解：如图所示，即为所求．
（2）解：如图所示，即为所求．
21．【答案】解：原式
，
当时，原式．
【知识点】分式的化简求值-直接代入；因式分解-平方差公式
【解析】【分析】利用分式的混合运算和因式分解，可将原式化简，再将代入即可．
22．【答案】证明：∵点F为的中点，
∴，
∵平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】由线段中点定义得AF=FE，由平行四边形的对边平行且相等得出AD∥BC，AD=BC，由二直线平行，内错角相等得∠ADF=∠EGF，结合对顶角相等，由“AAS”证△AFD≌△EFG，由全等三角形的对应边相等得出AD=GE，由等量代换得出GE=BC，最后根据线段和差及等式性质可推出BG=CE.
23．【答案】解：去分母，得，
去括号，得，
移项、合并同类项，得，
由题知，该分式方程有增根，则或，
当时，得，
解得，
当时，得，
解得，
综上所述，的值为6或．
【知识点】解一元一次方程；分式方程的增根；已知分式方程的解求参数
【解析】【分析】先利用去分母法则，把分式方程化为整式方程，即可求出方程的解，再根据分母为零判断分式方程是否为增根，即可求得m的值．
24．【答案】（1）证明：∵四边形为平行四边形，
，
∴，
∵，
∴，
即，
在与中，
，
∴，
（2）证明：∵
∴，
∴
∴
∴．
∴四边形是平行四边形．
∴
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）由平行四边形对边平行且相等得到，由二直线平行，内错角相等得到，由线段构成及等量加等量和相等推出，从而利用“SAS”即可证明；
（2）由全等的对应边相等，对应角相等可得到，由邻补角及等角的补角相等得出∠GEF=∠EFH，由内错角相等，两直线平行推出，从而由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可证四边形是平行四边形，由平行四边形对边相等即可得结论．
（1）证明：∵四边形为平行四边形，
，
∴，
∵，
∴，
即，
在与中，
，
∴，
（2）∵
∴，
∴
∴
∴．
∴四边形是平行四边形．
∴
25．【答案】（1）解：根据题意可得
解得：
经检验，是原方程的解，且符合题意，
（元/个）
答：单枪新能源充电桩的价格为1000元/个，双枪新能源充电桩的价格为1500元/个；
（2）解：单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了，则现在单枪新能源充电桩的单价为(元/个)，双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了，则现在双枪新能源充电桩的单价为(元/个)
设再次购进单枪新能源充电桩个，则购进双枪新能源充电桩个，总花费为元
∵此次加购小区预备支出不超过元
∴
解得
∴的最小值为
答：小区最少需要购买单枪新能源充电桩8个．
【知识点】一元一次不等式的应用；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据表格信息，由总价除以单价等于数量及本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多个列出分式方程，解方程，即可求解；
（2）先根据题干信息计算出单枪新能源充电桩及双枪新能源充电桩的单价，然后根据单价乘以数量等于总价及此次购买单枪新能源充电桩a个的费用+购进双枪新能源充电桩(20-a)个的费用不超过元，列出不等式，解不等式，求最小整数解即可．
（1）解：根据题意可得
解得：
经检验，是原方程的解，且符合题意，
（元/个）
答：单枪新能源充电桩的价格为1000元/个，双枪新能源充电桩的价格为1500元/个；
（2）解：单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了，则现在单枪新能源充电桩的单价为(元/个)
双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了，则现在双枪新能源充电桩的单价为(元/个)
设再次购进单枪新能源允电社个，则购进双枪新能源允电社个，总花费为元
∵此次加购小区预备支出不超过元
∴
解得
∴的最小值为
答：小区最少需要购买单枪新能源充电桩8个．
26．【答案】（1）证明：∵，∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
在与中，
∴．
（2）解：，理由如下：
如图，在上截取，连接，
∵是等边三角形，
∴，
又∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴．
在和中，
∴，
∴，
∴，
即．
【知识点】三角形外角的概念及性质；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】（1）利用平行线的性质：两直线平行，内错角相等，得到，结合得到，借助三角形外角和定理，得到，推出，可得，最后证明即可；
（2）在上截取，连接，先证明是等边三角形；再结合是等边三角形得到，证出，利用全等三角形的性质即可得出答案．
1 / 1陕西省榆林市横山区2024-2025学年八年级下学期期末数学试题
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的）
1．下面的标识图案中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：观察图形，选项A、B、C中的图形，绕一点旋转180°后，不能与自身完全重合，不是中心对称图形，
选项D中的图形，绕一点旋转180°后，能与自身完全重合，是中心对称图形.
故答案为：D．
【分析】把一个平面图形，在平面内绕着某一点旋转180°后，能与自身重合的图形就是中心对称图形，根据定义即可逐一判断得出答案.
2．在剪纸活动中，小华想用一张长方形纸片剪出一个正八边形，如图，正八边形的一边与长方形的一边重合，则的大小为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】多边形内角与外角；邻补角
【解析】【解答】解：．
故答案为：B．
【分析】先利用多边形的内角和公式和正多边形的性质，可求得正八边形 的内角，再由邻补角的性质即可得到正确答案．
3．如图，，若，则的长度为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定与性质；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：A．
【分析】先利用平行线的性质，由，可推出，再结合条件，由等量代换可推出，最后利用等腰三角形的判定，即可得到，即可选出正确答案．
4．如图，在中摆放两个相同的直角三角板，两个三角板的一条直角边分别与边重合，两个三角板的长直角边交于点P，作射线，若，，则为（　　）
A．3 B．6 C．12 D．16
【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴．
故答案为：C．
【分析】根据题意可知，∠OMP=∠ONP=90°，可得和都是直角三角形，再结合条件PM=PN和OP为公共边，根据全等三角形的判定定理，可判定，可得到，最后由，即可求出正确答案．
5．若非零实数满足，则（　　）
A．2 B． C．4 D．
【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】先将方程右边的项移到左边，再利用完全平方公式，将原式转化为平方的形式，求出之间的关系式，即可求出答案．
6．如图所示，一次函数（k，b为常数，且）与正比例函数（a为常数，且）的图象相交于点，则下列结论错误的是（　　）
A．关于x的方程的解是
B．当时，函数的值比函数的值大
C．关于x的不等式的解集是
D．关于x的不等式的解集是
【答案】C
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：A、∵两直线相交于点，
∴方程的解是，故A正确，不符合题意；
B、∵当时，直线在直线的上方，
∴当时，函数的值比函数的值大，故B正确，不符合题意；
C、∵当时，直线在直线的下方，
∴关于x的不等式的解集是，故C选项错误，符合题意；
D、∵当时，直线在直线的上方，
∴关于x的不等式的解集是，故D选项正确，不符合题意．
故答案为：C．
【分析】观察函数图象，可知选项A正确；根据函数图象在上方的函数值更大，可判断选项B，C，D．
7．若 ，则代数式 的值为（　　）
A． B． C．2 D．-2
【答案】D
【知识点】分式的化简求值-整体代入
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故答案为：D.
【分析】先利用分式的混合运算化简可得，再将代入计算即可.
8．如图，在中，，分别是，的中点，，是对角线上的两点，且．对于结论：①；②；③四边形是平行四边形；④．正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①②③ D．②③④
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：四边形是平行四边形，
，，
，
又E、F分别是、的中点，
∴，
∴，
在和中，
，
，
，，，故②正确
，
，
四边形是平行四边形，故③正确
，
而不一定成立，故④不正确．
不一定等于，
不正确，故①不正确，
故选：B．
【分析】
由平行四边形的对边平行且相等可得，，再由平行线的性质结合中点的概念可证，再由全等的性质可得，，则，得，再证出四边形是平行四边形，得，故②③正确，不一定等于，故①不正确，不一定成立，故④不正确．
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．多项式的公因式是　 　．
【答案】
【知识点】公因式的概念
【解析】【解答】解：多项式的公因式是．
故答案为： ．
【分析】根据公因式的定义，找出多项式每一项的相同部分即可．
10．定理“等腰三角形底边上的高线与中线互相重合”的逆命题是　 　命题（填“真”或“假”）．
【答案】真
【知识点】线段垂直平分线的性质；真命题与假命题；逆命题；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：原命题的逆命题为，一边上的高线和中线重合的三角形是等腰三角形，该命题是真命题，
故答案为：真．
【分析】将一个命题的题设与结论互换位置即可得到该命题的逆命题，据此先写出原命题的逆命题，进而根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等及两边相等的三角形是等边三角形即可作出判断.
11．如图，在中，，，，将绕点C逆时针旋转得到，点A、B的对应点分别为点，，连接，若点，B，A在同一条直线上，则的长为　 　．
【答案】3
【知识点】等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；旋转的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：绕点C逆时针旋转得到，
，
，
，
，，
，
，
，
．
故答案为：3．
【分析】根据图形旋转的性质，得到，由等角对等边可得，然后根据直角三角形的性质：30°所对直角边等于斜边的一半，可逐步求得，，再根据等角对等边求得，即可求得答案．
12．小明去文具店购买笔记本，每本笔记本的价格是5元．文具店推出促销活动，购买超过10本笔记本时，超出部分每本打6折，小明带了80元购买此款笔记本，则小明最多能买　 　本笔记本．
【答案】20
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：∵当购买10本笔记本时，需要（元）
∴小明带了80元，可以购买笔记本超过10本．
设小明能买x本笔记本，根据题意，得
，
解得，
∴小明最多能买20本笔记本．
故答案为：20．
【分析】分析题意，可知小明购买笔记本超过10本．设未知数，列出一元一次不等式，求出解集即可．
13．如图，在中，为对角线，E为边上一点，连接，且．若平分，，则　 　．
【答案】70
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，AB=CD，
∴∠DAE=∠AEB，
∵∠EAB=∠EAD，
∴∠EAB=∠AEB，
∴BA=BE，
∵AB=AE，
∴AB=BE=AE，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠B=∠BAE=∠AEB=60°，
∴∠EAD=∠CDA=60°，
∵EA=AB，CD=AB，
∴EA=CD，
∵AD=DA，
∴△AED≌△DCA，
∴∠AED=∠DCA，
∵，
∴∠ACD=∠BAC=60°+10°=70°，
∴∠AED=70°．
故答案为：70．
【分析】首先根据平行四边形的性质和平行线的性质，可证得AB=BE，再结合已知，证明△ABE是等边三角形，然后利用全等三角形的判定，证明△AED≌△DCA，就可得到∠AED=∠DCA，最后利用平行线的性质求出∠DCA的值即可，进而即可求解.
三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程）
14．因式分解：．
【答案】解：
．
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【分析】先根据平方差公式，对该式进行因式分解，再由完全平方公式因式分解，即可得解．
15．解分式方程：．
【答案】解：去分母得：，解得：，
检验：当时，，
∴是原分式方程的解．
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【分析】利用去分母法则，将原来的分式方程化为整式方程，再解一元一次方程，然后检验方程的解是否为增根即可．
16．如图，，且，是的中点．求证：四边形是平行四边形．
【答案】证明：∵是的中点．
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【分析】根据中点定义及AC=2BD可推出CE=BD，从而根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出结论.
17．如图，公园一角有一片三角形空地，公园负责人计划在边上找一点，使得点到点，的距离相等，请利用尺规作出点．（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】解：如图，作的垂直平分线交于点，
∴点在的垂直平分线，
∴点到点，的距离相等，
又∵点在上，
则点即为所作．
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】根据尺规作图和垂直平分线的性质，作的垂直平分线交于点即可．
18．解不等式组，并把解集表示在数轴上．
【答案】解：，解不等式，得：，
解不等式，得：，
∴不等式组的解集为：，
将不等式解集表示在数轴上如图：
.
【知识点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【分析】先正确求出每一个不等式解集，再根据“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则确定不等式组的解集，最后将解集表示在数轴上即可．
19．如图，在中，点D、E分别是边的中点，连接，点F是线段上的一点，连接，若，求的长度．
【答案】解：∵点D、E分别是边的中点，∴是的中位线，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形的中位线定理；平行线的应用-求角度；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】先根据三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半，可得，，结合已知可求出，再证明，利用等腰三角形的判定得到，即可求出EF的值.
20．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为点、、．
（1）请画出将先向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度后得到的；（点A、B、C的对应点分别为点、、）
（2）请画出绕原点O逆时针旋转后得到的．（点A、B、C的对应点分别为点、、）
【答案】（1）解：如图所示，即为所求．
（2）解：如图所示，即为所求．
【知识点】作图﹣平移；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）根据平移的性质，作出点、、，依次连接即可得解；
（2）根据旋转的性质作出点、、，依次连接即可．
（1）解：如图所示，即为所求．
（2）解：如图所示，即为所求．
21．先化简，再求值：，其中．
【答案】解：原式
，
当时，原式．
【知识点】分式的化简求值-直接代入；因式分解-平方差公式
【解析】【分析】利用分式的混合运算和因式分解，可将原式化简，再将代入即可．
22．在平行四边形中，E为上一点，点F为的中点，连接并延长，交的延长线于点G，求证：．
【答案】证明：∵点F为的中点，
∴，
∵平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】由线段中点定义得AF=FE，由平行四边形的对边平行且相等得出AD∥BC，AD=BC，由二直线平行，内错角相等得∠ADF=∠EGF，结合对顶角相等，由“AAS”证△AFD≌△EFG，由全等三角形的对应边相等得出AD=GE，由等量代换得出GE=BC，最后根据线段和差及等式性质可推出BG=CE.
23．已知关于的分式方程：有增根，求的值．
【答案】解：去分母，得，
去括号，得，
移项、合并同类项，得，
由题知，该分式方程有增根，则或，
当时，得，
解得，
当时，得，
解得，
综上所述，的值为6或．
【知识点】解一元一次方程；分式方程的增根；已知分式方程的解求参数
【解析】【分析】先利用去分母法则，把分式方程化为整式方程，即可求出方程的解，再根据分母为零判断分式方程是否为增根，即可求得m的值．
24．如图，已知在中，E，F是对角线BD上的两点，，点G，H分别在BA和DC的延长线上，且，连接GE，EH，HF，FG．
求证：
（1）；
（2）．
【答案】（1）证明：∵四边形为平行四边形，
，
∴，
∵，
∴，
即，
在与中，
，
∴，
（2）证明：∵
∴，
∴
∴
∴．
∴四边形是平行四边形．
∴
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）由平行四边形对边平行且相等得到，由二直线平行，内错角相等得到，由线段构成及等量加等量和相等推出，从而利用“SAS”即可证明；
（2）由全等的对应边相等，对应角相等可得到，由邻补角及等角的补角相等得出∠GEF=∠EFH，由内错角相等，两直线平行推出，从而由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可证四边形是平行四边形，由平行四边形对边相等即可得结论．
（1）证明：∵四边形为平行四边形，
，
∴，
∵，
∴，
即，
在与中，
，
∴，
（2）∵
∴，
∴
∴
∴．
∴四边形是平行四边形．
∴
25．随着新能源汽车使用的日益普及，各个小区都纷纷完善新能源汽车的配套设施，其中新能源充电桩的建设成为重点工作，某小区也不例外，计划购置单枪、双枪两款新能源充电桩，来满足小区内新能源汽车车主日益增长的充电需求，然而，在购置过程中，面临着不同的价格、数量以及预算限制等问题，就像下面所描述的情况一样．某小区计划购置如图所示的单枪、双枪两款新能源充电桩，购置充电桩的相关信息如表：
单枪充电桩 双枪充电桩
花费：元 花费：元
单价：元/个 单价：元/个
（1）若本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多个，求单枪、双枪两款新能源充电桩的单价；
（2）在（1）的条件下，根据居民需求，小区决定再次购进单枪、双枪两款新能源充电桩共个，已知单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了，双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了，如果此次加购小区预备支出不超过元，求小区最少需要购买单枪新能源充电桩的数量．
【答案】（1）解：根据题意可得
解得：
经检验，是原方程的解，且符合题意，
（元/个）
答：单枪新能源充电桩的价格为1000元/个，双枪新能源充电桩的价格为1500元/个；
（2）解：单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了，则现在单枪新能源充电桩的单价为(元/个)，双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了，则现在双枪新能源充电桩的单价为(元/个)
设再次购进单枪新能源充电桩个，则购进双枪新能源充电桩个，总花费为元
∵此次加购小区预备支出不超过元
∴
解得
∴的最小值为
答：小区最少需要购买单枪新能源充电桩8个．
【知识点】一元一次不等式的应用；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据表格信息，由总价除以单价等于数量及本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多个列出分式方程，解方程，即可求解；
（2）先根据题干信息计算出单枪新能源充电桩及双枪新能源充电桩的单价，然后根据单价乘以数量等于总价及此次购买单枪新能源充电桩a个的费用+购进双枪新能源充电桩(20-a)个的费用不超过元，列出不等式，解不等式，求最小整数解即可．
（1）解：根据题意可得
解得：
经检验，是原方程的解，且符合题意，
（元/个）
答：单枪新能源充电桩的价格为1000元/个，双枪新能源充电桩的价格为1500元/个；
（2）解：单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了，则现在单枪新能源充电桩的单价为(元/个)
双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了，则现在双枪新能源充电桩的单价为(元/个)
设再次购进单枪新能源允电社个，则购进双枪新能源允电社个，总花费为元
∵此次加购小区预备支出不超过元
∴
解得
∴的最小值为
答：小区最少需要购买单枪新能源充电桩8个．
26．【问题处理】
（1）如图1，为等腰三角形，，为边上的一点，连接，以为边作，．过点作交于，若，求证：．
【拓展提升】
（2）如图2，某家具厂制作等边三角形木质装饰框架，边上有一个预先开槽的固定节点（用于拼接），工人在边安装滑动定位块，并以为边加工等边三角形木片，最后连接加固．为计算木料长度，现需探究（定位块到端点的距离）、（固定节点到端点的距离）、（加固边）的数量关系，请你帮助工匠找出，，之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）证明：∵，∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
在与中，
∴．
（2）解：，理由如下：
如图，在上截取，连接，
∵是等边三角形，
∴，
又∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴．
在和中，
∴，
∴，
∴，
即．
【知识点】三角形外角的概念及性质；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】（1）利用平行线的性质：两直线平行，内错角相等，得到，结合得到，借助三角形外角和定理，得到，推出，可得，最后证明即可；
（2）在上截取，连接，先证明是等边三角形；再结合是等边三角形得到，证出，利用全等三角形的性质即可得出答案．
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