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四川省成都市成华区2024-2025学年八年级下学期期末考试数学模拟题
1．2025年蛇年春晚以“巳巳如意，生生不息”为主题，设计了“巳巳如意纹样”，象征着美好的愿望和幸福．以下四个如意纹样中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
3．若，则下列不等式变形正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．若分式的值等于0，则的值为（　　）
A．0 B． C．3 D．
5．年月日是我国第个全国防灾减灾日，某学校组织全体部分同学进行了两次地震应急演练，在优化撤离方案后，第二次平均每秒撤离的人数比第一次的多人，结果名同学全部撤离的时间比第一次节省了秒，若设第一次平均每秒撤离人，则满足的方程为（　　）
A． B．
C． D．
6．我们知道：用形状，大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此间不留空隙，不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌．那么从若干正三角形，正四边形，正五边形，正六边形，正八边形中，只选择一种正多边形进行拼接，能够镶嵌的概率是（　　）
A． B． C． D．
7．如图，平行四边形的对角线交点在原点．若，则点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
8．如图，在 ABCD中，以点B为圆心，适当长度为半径作弧，分别交AB，BC于点F，G，再分别以点F，G为圆心，大于FG长为半径作弧，两弧交于点H，作射线BH交AD于点E，连接CE．若CE⊥AD，AE＝3，DE＝2，则 ABCD的面积为（　　）
A． B． C． D．20
9．分解因式： 　 　．
10．若，则分式的值为　 　．
11．若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是　 　．
12．如图，已知中，，．绕点顺时针旋转，使点落在边上，点的对应点记为点，点的对应点记为点，连接，那么的度数是　 　．
13．如图，直线经过点，点，直线过点，则不等式的解集为　 　．
14．（1）解不等式；
（2）解不等式组，并把它的解集表示在数轴上；
15．（1）解分式方程：；
（2）先化简，再求值：，其中满足．
16．如图，在中，E，F分别是，边上的点，且．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）连接，若平分，，，求的周长．
17．《哪吒之魔童降世》票房大卖，周边玩偶热销．某经销店购进A款哪吒玩偶的金额是2400元，购进B款哪吒玩偶的金额是1600元，购进A款哪吒玩偶的数量比B款哪吒玩偶少50个，A款哪吒玩偶单价是B款哪吒玩偶的2倍．
（1）A、B两款玩偶的单价分别是多少元？
（2）为满足消费者需求，在A、B两款玩偶单价不变的条件下，该超市准备再次购进A、B两款玩偶共100个，B款哪吒玩偶的数量不多于A款哪吒玩偶数量的2倍，且总金额不超过1100元，问有多少种进货方案？哪种进货总费用最低？
18．已知，在等边中，点为射线上一点（点与点不重合），连接，以为边在上方作等边，连接．
（1）如图，当点是边中点时，求的度数；
（2）求证：；
（3）如图，当动点在的延长线上时，以为边在其下方作等边，连接，求线段，，之间的等量关系式．
19．已知，求代数式的值是　 　．
20．已知x+ =5，那么x2+ =　 　．
21．若关于的方程的解为非负整数，关于的不等式组的解集为，则符合条件的所有整数的和为　 　．
22．如图，在中，，平分，交于点D，E为的中点，连接，若，，则的长为　 　 ．
23．如图，在中，，，．将绕点C按顺时针方向旋转后得，直线、相交于点F．取的中点G，连接，则长的最大值为　 　 cm．
24．某学校为顺利开展九年级物理、化学实验操作考试，培养学生的动手操作能力，计划采购一批物理和化学实验器材，购买物理实验器材用了2430元，购买化学实验器材用了1440元，购买的物理实验器材的数量是化学实验器材的1.5倍，物理实验器材单价比化学实验器材单价贵6元．
（1）求物理、化学实验器材的单价分别为多少元？
（2）该学校计划再购买物理、化学实验器材共100套，再购买总费用不超过5000元，那么该校此次计划最多能购买多少套物理实验器材？
25．【问题背景】（1）如图（1），在和中，，求证：．
【问题探究】（2）如图（2），，将绕点逆时针旋转到，连，过点作交于点，求证：．
【拓展运用】（3）如图（3），等边中，是边上的中线，点是上一动点，连接，将绕点逆时针旋转到，连接，当的周长最小时，直接写出此时的度数．
26．在数学探究性学习中经常会用到从特殊到一般、类比化归等数学思想和方法，如下是一个具体的探究性学习案例，请完善整个探究过程．
问题呈现过点的直线为常数且分别交轴的正半轴和轴的正半轴于点和，探究并说明是定值．
（1）特例探究如图1，过点的直线分别交轴和轴于点和，求的值；
（2）一般证明
①时，直接写出_____；
②求出的值；
（3）类比推广如图2，已知，点在轴的正半轴上，过且不与轴平行的直线交直线于第一象限点，若总有，请探究：直线是否过定点，如果是，请求出定点坐标；如果否，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、图案是中心对称图形，
∴此选项符合题意；
B、图案不是中心对称图形，
∴此选项不符合题意；
C、图案是轴对称图形，不是中心对称图形，
∴此选项不符合题意；
D、图案是轴对称图形，不是中心对称图形，
∴此选项不符合题意.
故答案为：A．
【分析】中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．根据定义并结合各选项即可判断求解．
2．【答案】D
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A、是整式的乘法，不是因式分解，不符合题意；
B、，因式分解错误，不符合题意；
C、等式右边不是整式的积的形式，不是因式分解，不符合题意；
D、是因式分解，符合题意；
故答案为：D．
【分析】把一个多项式分解成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式进行因式分解。根据因式分解的概念对每个选项逐一判断求解即可.
3．【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、∵，
∴，故A错误，不符合题意；
B、∵，
∴，故B错误，不符合题意；
C、∵，
∴，故C正确，符合题意；
D、∵，
∴，故D错误，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据不等式的性质，对每个选项逐一判断求解即可.
4．【答案】B
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：由题意知：，
解得：．
故答案为：B．
【分析】由分式值为零的条件“分子等于零，且分母不等于零”列出关于字母x的混合组，求解即可得出x的值.
5．【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设第一次平均每秒撤离人，
由题意得，，
故答案为：．
【分析】先设第一次平均每秒撤离人，再找出等量关系式列方程求解即可.
6．【答案】C
【知识点】平面镶嵌（密铺）；概率公式；正多边形的性质
【解析】【解答】解：正三角形的每个内角为，是整数，可以进行拼接；
正四边形的每个内角为，是整数，可以进行拼接；
正五边形的每个内角为，不是整数，所以不能进行拼接；
正六边形中的每个内角为，是整数，可以进行拼接；
正八边形中的每个内角为，不是整数，不能进行拼接；
则只选择一种正多边形进行拼接，能够镶嵌的概率是．
故答案为：C．
【分析】若公共顶点上几个角的度数和正好等于，则已知图形可以密铺平面；否则不能密铺．再求镶嵌的概率即可.
7．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵平行四边形的对角线交点在原点，
∴，即点与点关于坐标原点中心对称，
点的坐标为，
点的坐标是，
故答案为：C．
【分析】本题先结合平行四边形的对称性得出，点与点关于坐标原点中心对称，然后依据“关于原点中心对称的点的坐标特征”，即横纵坐标互为相反数，即可得出答案。
8．【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质；平行四边形的判定与性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：通过尺规作图得：BE为∠ABC的平分线，
∴∠ABE=∠CBE，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴ADBC，AB=CD
∴∠AEB=∠CBE，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE
∵AE＝3
∴AB=CD=3，
∵CE⊥AD，DE=2，
∴CE=，
∵AD=AE+DE=5，
∴ ABCD的面积为AD CE=5．
故答案为：A．
【分析】
由尺规作图得BE为∠ABC的平分线，则∠ABE=∠CBE，根据平行四边形的性质可得ADBC，利用平行线的性质得∠AEB=∠CBE，则AB=AE=3，由勾股定理得CE的长，利用平行四边形的面积公式可求得 ABCD的面积．
9．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】原式=a（ －9）=a（a+3）（a－3）．
【分析】先利用提公因式法分解，再利用平方差公式法分解到每一个因式都不能再分解为止。
10．【答案】
【知识点】分式的值
【解析】【解答】解：由得，
故．
故答案为：．
【分析】根据题意先求出，再代入分式计算求解即可.
11．【答案】8
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】设多边形的边数为N，根据题意，得
（N－2） 180＝3×360，
解得N＝8．
则这个多边形的边数是8．
【分析】任何多边形的外角和是360°，即这个多边形的内角和是3×360°．N边形的内角和是（N－2） 180°，如果已知多边形的边数，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．
12．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；旋转的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
由旋转性质可知，，，，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】通过等边对等角及三角形的内角和定理可得，由旋转性质可知，，，再由等边对等角及三角形的内角和定理可得，最后由角度和差即可求解.
13．【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：∵，
∴直线在直线的下方，
即在点的左边的图象符合要求，
∴，
故答案为：．
【分析】根据函数图象先求出直线在直线的下方，再求解即可.
14．【答案】解：（）
；
（），
解不等式得，；
解不等式得，；
∴不等式组的解集为，
在数轴上表示如下：
．
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（） 依次通过去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1 逐步计算，解得结果 ；
（） 分别解出两个不等式，再取解集的公共部分，最后在数轴上表示出来 ．
15．【答案】解：（）
，
检验：当时，，
∴原分式方程无解；
（）
，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴原式
．
【知识点】去分母法解分式方程；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】（）先把分式方程转化为一元一次方程进行求解，求出解后再代入检验，完成作答；
（）先对括号内的异分母分式通分并计算加法，再执行分式除法完成化简；结合已知条件确定字母取值，选得，代入即可求解．
16．【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴．
∴，
∴，
∴．
∴，
∴平行四边形的周长是16．
【知识点】平行四边形的判定与性质；角平分线的概念；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质得，，进而通过证明“，”根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可证得四边形是平行四边形；
（2）通过平行线的性质和角平分线的定义，证明，得出，从而得出，再求出，最后结合平行四边形的性质即可得出答案．
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴．
∴，
∴，
∴．
∴，
∴平行四边形的周长是16．
17．【答案】（1）解：设B款哪吒玩偶的单价是x元，则A款哪吒玩偶的单价是元，根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
∴（元）．
答：A款哪吒玩偶的单价是16元，B款哪吒玩偶的单价是8元；
（2）设再次购进m个A款哪吒玩偶，则再次购进个B款哪吒玩偶，根据题意得：，
解得：m，
又∵m为正整数，
∴m可以为34，35，36，37，
∴共有4种进货方案．
设进货总费用为，则，
∵，
∴随m的增大而增大，
∴当时，最小，
答：共有4种进货方案，该超市进A款34个，B款66个，进货总费用最低．
【知识点】一次函数的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】（1）设B款哪吒玩偶的单价是x元，则A款哪吒玩偶的单价是元，根据购进A款哪吒玩偶的数量比B款哪吒玩偶少50个，列出分式方程，进行求解即可；
（2）设再次购进m个A款哪吒玩偶，则再次购进个B款哪吒玩偶，根据B款哪吒玩偶的数量不多于A款哪吒玩偶数量的2倍，且总金额不超过1100元，列出不等式组，求出不等式组的解集m，设进货总费用为，列出一次函数的解析式，根据随m的增大而增大，进行求解即可．
（1）解：设B款哪吒玩偶的单价是x元，则A款哪吒玩偶的单价是元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
∴（元）．
答：A款哪吒玩偶的单价是16元，B款哪吒玩偶的单价是8元；
（2）设再次购进m个A款哪吒玩偶，则再次购进个B款哪吒玩偶，
根据题意得：，
解得：m，
又∵m为正整数，
∴m可以为34，35，36，37，
∴共有4种进货方案．
设进货总费用为，则，
∵，
∴随m的增大而增大，
∴当时，最小，
答：共有4种进货方案，该超市进A款34个，B款66个，进货总费用最低．
18．【答案】（1）解：∵是等边三角形，点是边中点，
∴，
∴，
又∵是等边三角形，
∴，
∴；
（2）证明：当点在上时（点与点不重合），
∵是等边三角形，
∴，，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，即，
在和，
，
∴，
∴；
当点在的延长线上时，如图，
同理可证，
∴，
综上，；
（3）解：∵是等边三角形，是等边三角形，
∴，，，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
由（）知，，
∴，
∴．
【知识点】等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；手拉手全等模型
【解析】【分析】（1）由等边三角形的三线合一求得，通过等边三角形每一个内角都是60°可得，最后利用角度和差即可求解；
（2）分类讨论：①当点D在AB上时（点D与点B不重合），由等边三角形的性质得BC=AC，EC=DC，∠ACB=∠DCE=60°，由角的构成及等式性质推出∠ACE=∠BCD，从而由“SAS”证△ACE≌△BCD，由全等三角形的对应边相等得AE=BD；②当点D在BA的延长线上时，同理可得△ACE≌△BCD，由全等三角形的对应边相等得AE=BD；
（3）由等边三角形性质得AC=BC，DC=FC，∠ACB=∠DCF=60°， 由角的构成及等式性质推出∠ACD=∠BCF，从而由“SAS”证△ACD≌△BCF，由全等三角形的对应边相等得AD=BF；由（2）知AE=BD，从而根据线段构成及等量代换可得结论.
（1）解：∵是等边三角形，
∴，
∵点是边中点，
∴，
∴，
又∵是等边三角形，
∴，
∴；
（2）证明：当点在上时（点与点不重合），
∵是等边三角形，
∴，，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，即，
在和，
，
∴，
∴；
当点在的延长线上时，如图，
同理可证，
∴，
综上，；
（3）解：∵是等边三角形，是等边三角形，
∴，，，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
由（）知，，
∴，
∴．
19．【答案】14
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；二次根式的混合运算；二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：14．
【分析】利用提公因式法和平方差公式计算求解即可.
20．【答案】23
【知识点】代数式求值
【解析】【解答】解：∵x+ =5，
∴x2+ =（x+ ）2﹣2=25﹣2=23．
故答案为：23．
【分析】根据互为倒数的两数的乘积为1，利用乘方的意义： =5可以变形为，利用完全平方公式展开再移项合并同类项即可得出答案。
21．【答案】5
【知识点】分式方程的解及检验；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：解方程得
依题得且为整数，，
且为3的倍数，，
解不等式得，
解不等式得，
不等式组的解集为，
，
解得，
，且，
为3的倍数，
∴当时，，
当时，，
当时，（舍去），
当时，（舍去），
的值为1或4，
符合条件的所有整数的和为．
故答案为：5．
【分析】根据题意先求出且为3的倍数，，再求出，且，最后计算求解即可.
22．【答案】
【知识点】角平分线的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；等积变换
【解析】【解答】解：过点作于，如图所示：
∵平分，，
∴.
∵点E是的中点，且，
∴.
设，，
∵，
∴，
即，
∴.
根据勾股定理，得，且，
∴，
解得，
∴.
根据勾股定理，得，
解得，
则，.
根据勾股定理，得，
∴.
根据勾股定理，．
故答案为：．
【分析】过点作于，根据角平分线的性质得到，再根据 点E是的中点， 得，然后设，，接下来根据等积法可得，进而可得 ，可表示，再根据勾股定理， 求出y，可得，，然后根据勾股定理求出，进而得出，最后根据勾股定理求出．
23．【答案】9
【知识点】旋转的性质；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：取的中点H，连接、，如图：
∵△ABC绕点C按顺时针方向旋转后得到△DEC，
∴，，，
设，则
∴∠DCB=∠ACB-∠ACD=90°-α；
∵在四边形中，∠FDC+∠DCB+∠CBF+∠BFD=360°
∴
∵点H是AB的中点，AB=13cm
∴
∵点H是AB的中点，点G是BC的中点
∴在△FHG中，，
∴当F、H、G在一条直线上时，最大，最大值为，
故答案为：9．
【分析】
本题考查了旋转的性质、四边形内角和、三角形中位线定理、三角形三边关系以及直角三角形的性质，结合题意添加合适的辅助线是解题的关键．
根据旋转的性质得：，，，设，根据三角形内角和定理和等腰三角形底角计算公式：，知：，根据四边形内角和为360°可知：，取的中点H，连接、，根据直角三角形的性质：直角三角形斜边的中线=斜边的一半可知：，再根据三角形中位线定理：三角形的中位线平行且等于底边的一半可知：根据三角形三边关系可知：，当F、H、G在一条直线上时，最大，即可得出答案．
24．【答案】（1）解：设化学实验器材单价为x元，则物理实验器材单价为（x+6）元，
根据题意：，
解得：，
经检验，是分式方程的解，
则化学实验器材单价为48元，则物理实验器材单价为元
（2）解：该校此次计划最多能购买m套物理实验器材，则化学实验器材能购买套，根据题意有：，
解得：，
∵m为整数，
∴m最大取33，
即该校此次计划最多能购买33套物理实验器材．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】本题主要对分式方程的实际应用，一元一次不等式的应用进行考查．
（1）设化学实验器材单价为x元，则物理实验器材单价为（x+6）元，根据题意列出方程，求解得，所以物理器材54元、化学器材48元．
（2）设该校此次计划最多能购买m套物理实验器材，则化学实验器材能购买套，根据题意列出一元一次不等式，解得，故最多购买33套物理实验器材．
（1）解：设化学实验器材单价为x元，则物理实验器材单价为（x+6）元，
根据题意：，
解得：，
经检验，是分式方程的解，
则化学实验器材单价为48元，则物理实验器材单价为元
（2）解：该校此次计划最多能购买m套物理实验器材，则化学实验器材能购买套，
根据题意有：，
解得：，
∵m为整数，
∴m最大取33，
即该校此次计划最多能购买33套物理实验器材．
25．【答案】（1）证明∶，
，
在和中，，
；
（2）证明：如图1，作于点，交于点，作，交延长线于点，
绕点逆时针旋转到，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，，
，
在中，
，
，
，
，
，
；
（3）解：如图2，作射线，
是等边三角形，
，
绕点逆时针旋转到，
，
，
，
，
，
，
是边上的中线，
，
，
点在与成角的直线上运动，
作点关于的对称点，交于点，连接交于点，连接
当点在点处时，最小，则的周长最小，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
的周长最小时，
【知识点】等边三角形的判定与性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【分析】（1）利用已知可证得，利用SAS可证得结论.
（2）作于点，交于点，作，交延长线于点，利用旋转的性质可证得，利用等边对等角及三角形的内角和定理可求出∠ADC的度数，同时可证得，即可求出∠DAG、∠BAD的度数；再利用等腰三角形的性质可证，同理可求出∠CBF、∠DCG，∠CFD、∠BFC的度数，再利用等边对等角可证∠BFC=∠ADW，利用三角形的内角和定理求出∠W的度数；利用AAS可证得△BCF≌△AWD，利用全等三角形的性质可证得BF=FD，由此可证得结论.
（3）作射线，利用等边三角形的性质和旋转的性质可推出AB=AC，AD=AE，∠BAD=∠CAE，利用SAS证明，利用全等三角形的性质可证得∠ABD=∠ACE，由此可证得，得到点在与成角的直线上运动；作点关于的对称点，交于点，连接交于点，连接，当点在点处时，最小，则的周长最小，易证△AA'C是等边三角形，利用等边三角形的性质可求出∠AA'E'的度数，即可求出∠A'AE'的度数，根据，可求出∠AEF的度数.
26．【答案】（1）解：当，则；
当，则，
解得，
∵直线分别交轴和轴于点和，
∴点、的坐标分别为：、，
∴，，
则；
（2）①1；
②由①知，，，，
则；
（3）解：设直线的表达式为：，
则，
解得
∴，
设直线的表达式为：，
联立上述两式得：，
解得：，
则点，
由点、的坐标得，，
则，
同（2）可求点，则，
，
即，
解得：，
则，
当时，，
即直线过定点．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】（2）解：①当，则；
当，则，
解得，
∵直线分别交轴和轴于点和，
∴点、的坐标分别为：、，
∴，，
将点的坐标代入一次函数表达式得：，
∴当，时，，
∴，
∴，
故答案为：1；
【分析】（1）根据题意先求出点、的坐标分别为：、，再求出，，最后代入计算求解即可；
（2）①根据题意先求出点、的坐标分别为：、，再求出，，最后计算求解即可；
②根据①可知，，，再计算求解即可；
（3）利用待定系数法求出，再求出，最后计算求解即可.
（1）解：当，则；当，则，解得，
∵直线分别交轴和轴于点和，
∴点、的坐标分别为：、，
∴，，
则；
（2）解：①当，则；当，则，解得，
∵直线分别交轴和轴于点和，
∴点、的坐标分别为：、，
∴，，
将点的坐标代入一次函数表达式得：，
∴当，时，，
∴，
∴，
故答案为：1；
②由①知，，，，
则；
（3）解：设直线的表达式为：，
则，
解得
∴，
设直线的表达式为：，
联立上述两式得：，
解得：，则点，
由点、的坐标得，，则，
同（2）可求点，则，
，即，
解得：，
则，
当时，，
即直线过定点．
1 / 1四川省成都市成华区2024-2025学年八年级下学期期末考试数学模拟题
1．2025年蛇年春晚以“巳巳如意，生生不息”为主题，设计了“巳巳如意纹样”，象征着美好的愿望和幸福．以下四个如意纹样中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、图案是中心对称图形，
∴此选项符合题意；
B、图案不是中心对称图形，
∴此选项不符合题意；
C、图案是轴对称图形，不是中心对称图形，
∴此选项不符合题意；
D、图案是轴对称图形，不是中心对称图形，
∴此选项不符合题意.
故答案为：A．
【分析】中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．根据定义并结合各选项即可判断求解．
2．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A、是整式的乘法，不是因式分解，不符合题意；
B、，因式分解错误，不符合题意；
C、等式右边不是整式的积的形式，不是因式分解，不符合题意；
D、是因式分解，符合题意；
故答案为：D．
【分析】把一个多项式分解成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式进行因式分解。根据因式分解的概念对每个选项逐一判断求解即可.
3．若，则下列不等式变形正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、∵，
∴，故A错误，不符合题意；
B、∵，
∴，故B错误，不符合题意；
C、∵，
∴，故C正确，符合题意；
D、∵，
∴，故D错误，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据不等式的性质，对每个选项逐一判断求解即可.
4．若分式的值等于0，则的值为（　　）
A．0 B． C．3 D．
【答案】B
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：由题意知：，
解得：．
故答案为：B．
【分析】由分式值为零的条件“分子等于零，且分母不等于零”列出关于字母x的混合组，求解即可得出x的值.
5．年月日是我国第个全国防灾减灾日，某学校组织全体部分同学进行了两次地震应急演练，在优化撤离方案后，第二次平均每秒撤离的人数比第一次的多人，结果名同学全部撤离的时间比第一次节省了秒，若设第一次平均每秒撤离人，则满足的方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设第一次平均每秒撤离人，
由题意得，，
故答案为：．
【分析】先设第一次平均每秒撤离人，再找出等量关系式列方程求解即可.
6．我们知道：用形状，大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此间不留空隙，不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌．那么从若干正三角形，正四边形，正五边形，正六边形，正八边形中，只选择一种正多边形进行拼接，能够镶嵌的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平面镶嵌（密铺）；概率公式；正多边形的性质
【解析】【解答】解：正三角形的每个内角为，是整数，可以进行拼接；
正四边形的每个内角为，是整数，可以进行拼接；
正五边形的每个内角为，不是整数，所以不能进行拼接；
正六边形中的每个内角为，是整数，可以进行拼接；
正八边形中的每个内角为，不是整数，不能进行拼接；
则只选择一种正多边形进行拼接，能够镶嵌的概率是．
故答案为：C．
【分析】若公共顶点上几个角的度数和正好等于，则已知图形可以密铺平面；否则不能密铺．再求镶嵌的概率即可.
7．如图，平行四边形的对角线交点在原点．若，则点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵平行四边形的对角线交点在原点，
∴，即点与点关于坐标原点中心对称，
点的坐标为，
点的坐标是，
故答案为：C．
【分析】本题先结合平行四边形的对称性得出，点与点关于坐标原点中心对称，然后依据“关于原点中心对称的点的坐标特征”，即横纵坐标互为相反数，即可得出答案。
8．如图，在 ABCD中，以点B为圆心，适当长度为半径作弧，分别交AB，BC于点F，G，再分别以点F，G为圆心，大于FG长为半径作弧，两弧交于点H，作射线BH交AD于点E，连接CE．若CE⊥AD，AE＝3，DE＝2，则 ABCD的面积为（　　）
A． B． C． D．20
【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质；平行四边形的判定与性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：通过尺规作图得：BE为∠ABC的平分线，
∴∠ABE=∠CBE，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴ADBC，AB=CD
∴∠AEB=∠CBE，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE
∵AE＝3
∴AB=CD=3，
∵CE⊥AD，DE=2，
∴CE=，
∵AD=AE+DE=5，
∴ ABCD的面积为AD CE=5．
故答案为：A．
【分析】
由尺规作图得BE为∠ABC的平分线，则∠ABE=∠CBE，根据平行四边形的性质可得ADBC，利用平行线的性质得∠AEB=∠CBE，则AB=AE=3，由勾股定理得CE的长，利用平行四边形的面积公式可求得 ABCD的面积．
9．分解因式： 　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】原式=a（ －9）=a（a+3）（a－3）．
【分析】先利用提公因式法分解，再利用平方差公式法分解到每一个因式都不能再分解为止。
10．若，则分式的值为　 　．
【答案】
【知识点】分式的值
【解析】【解答】解：由得，
故．
故答案为：．
【分析】根据题意先求出，再代入分式计算求解即可.
11．若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是　 　．
【答案】8
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】设多边形的边数为N，根据题意，得
（N－2） 180＝3×360，
解得N＝8．
则这个多边形的边数是8．
【分析】任何多边形的外角和是360°，即这个多边形的内角和是3×360°．N边形的内角和是（N－2） 180°，如果已知多边形的边数，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．
12．如图，已知中，，．绕点顺时针旋转，使点落在边上，点的对应点记为点，点的对应点记为点，连接，那么的度数是　 　．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；旋转的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
由旋转性质可知，，，，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】通过等边对等角及三角形的内角和定理可得，由旋转性质可知，，，再由等边对等角及三角形的内角和定理可得，最后由角度和差即可求解.
13．如图，直线经过点，点，直线过点，则不等式的解集为　 　．
【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：∵，
∴直线在直线的下方，
即在点的左边的图象符合要求，
∴，
故答案为：．
【分析】根据函数图象先求出直线在直线的下方，再求解即可.
14．（1）解不等式；
（2）解不等式组，并把它的解集表示在数轴上；
【答案】解：（）
；
（），
解不等式得，；
解不等式得，；
∴不等式组的解集为，
在数轴上表示如下：
．
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（） 依次通过去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1 逐步计算，解得结果 ；
（） 分别解出两个不等式，再取解集的公共部分，最后在数轴上表示出来 ．
15．（1）解分式方程：；
（2）先化简，再求值：，其中满足．
【答案】解：（）
，
检验：当时，，
∴原分式方程无解；
（）
，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴原式
．
【知识点】去分母法解分式方程；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】（）先把分式方程转化为一元一次方程进行求解，求出解后再代入检验，完成作答；
（）先对括号内的异分母分式通分并计算加法，再执行分式除法完成化简；结合已知条件确定字母取值，选得，代入即可求解．
16．如图，在中，E，F分别是，边上的点，且．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）连接，若平分，，，求的周长．
【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴．
∴，
∴，
∴．
∴，
∴平行四边形的周长是16．
【知识点】平行四边形的判定与性质；角平分线的概念；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质得，，进而通过证明“，”根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可证得四边形是平行四边形；
（2）通过平行线的性质和角平分线的定义，证明，得出，从而得出，再求出，最后结合平行四边形的性质即可得出答案．
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴．
∴，
∴，
∴．
∴，
∴平行四边形的周长是16．
17．《哪吒之魔童降世》票房大卖，周边玩偶热销．某经销店购进A款哪吒玩偶的金额是2400元，购进B款哪吒玩偶的金额是1600元，购进A款哪吒玩偶的数量比B款哪吒玩偶少50个，A款哪吒玩偶单价是B款哪吒玩偶的2倍．
（1）A、B两款玩偶的单价分别是多少元？
（2）为满足消费者需求，在A、B两款玩偶单价不变的条件下，该超市准备再次购进A、B两款玩偶共100个，B款哪吒玩偶的数量不多于A款哪吒玩偶数量的2倍，且总金额不超过1100元，问有多少种进货方案？哪种进货总费用最低？
【答案】（1）解：设B款哪吒玩偶的单价是x元，则A款哪吒玩偶的单价是元，根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
∴（元）．
答：A款哪吒玩偶的单价是16元，B款哪吒玩偶的单价是8元；
（2）设再次购进m个A款哪吒玩偶，则再次购进个B款哪吒玩偶，根据题意得：，
解得：m，
又∵m为正整数，
∴m可以为34，35，36，37，
∴共有4种进货方案．
设进货总费用为，则，
∵，
∴随m的增大而增大，
∴当时，最小，
答：共有4种进货方案，该超市进A款34个，B款66个，进货总费用最低．
【知识点】一次函数的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】（1）设B款哪吒玩偶的单价是x元，则A款哪吒玩偶的单价是元，根据购进A款哪吒玩偶的数量比B款哪吒玩偶少50个，列出分式方程，进行求解即可；
（2）设再次购进m个A款哪吒玩偶，则再次购进个B款哪吒玩偶，根据B款哪吒玩偶的数量不多于A款哪吒玩偶数量的2倍，且总金额不超过1100元，列出不等式组，求出不等式组的解集m，设进货总费用为，列出一次函数的解析式，根据随m的增大而增大，进行求解即可．
（1）解：设B款哪吒玩偶的单价是x元，则A款哪吒玩偶的单价是元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
∴（元）．
答：A款哪吒玩偶的单价是16元，B款哪吒玩偶的单价是8元；
（2）设再次购进m个A款哪吒玩偶，则再次购进个B款哪吒玩偶，
根据题意得：，
解得：m，
又∵m为正整数，
∴m可以为34，35，36，37，
∴共有4种进货方案．
设进货总费用为，则，
∵，
∴随m的增大而增大，
∴当时，最小，
答：共有4种进货方案，该超市进A款34个，B款66个，进货总费用最低．
18．已知，在等边中，点为射线上一点（点与点不重合），连接，以为边在上方作等边，连接．
（1）如图，当点是边中点时，求的度数；
（2）求证：；
（3）如图，当动点在的延长线上时，以为边在其下方作等边，连接，求线段，，之间的等量关系式．
【答案】（1）解：∵是等边三角形，点是边中点，
∴，
∴，
又∵是等边三角形，
∴，
∴；
（2）证明：当点在上时（点与点不重合），
∵是等边三角形，
∴，，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，即，
在和，
，
∴，
∴；
当点在的延长线上时，如图，
同理可证，
∴，
综上，；
（3）解：∵是等边三角形，是等边三角形，
∴，，，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
由（）知，，
∴，
∴．
【知识点】等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；手拉手全等模型
【解析】【分析】（1）由等边三角形的三线合一求得，通过等边三角形每一个内角都是60°可得，最后利用角度和差即可求解；
（2）分类讨论：①当点D在AB上时（点D与点B不重合），由等边三角形的性质得BC=AC，EC=DC，∠ACB=∠DCE=60°，由角的构成及等式性质推出∠ACE=∠BCD，从而由“SAS”证△ACE≌△BCD，由全等三角形的对应边相等得AE=BD；②当点D在BA的延长线上时，同理可得△ACE≌△BCD，由全等三角形的对应边相等得AE=BD；
（3）由等边三角形性质得AC=BC，DC=FC，∠ACB=∠DCF=60°， 由角的构成及等式性质推出∠ACD=∠BCF，从而由“SAS”证△ACD≌△BCF，由全等三角形的对应边相等得AD=BF；由（2）知AE=BD，从而根据线段构成及等量代换可得结论.
（1）解：∵是等边三角形，
∴，
∵点是边中点，
∴，
∴，
又∵是等边三角形，
∴，
∴；
（2）证明：当点在上时（点与点不重合），
∵是等边三角形，
∴，，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，即，
在和，
，
∴，
∴；
当点在的延长线上时，如图，
同理可证，
∴，
综上，；
（3）解：∵是等边三角形，是等边三角形，
∴，，，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
由（）知，，
∴，
∴．
19．已知，求代数式的值是　 　．
【答案】14
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；二次根式的混合运算；二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：14．
【分析】利用提公因式法和平方差公式计算求解即可.
20．已知x+ =5，那么x2+ =　 　．
【答案】23
【知识点】代数式求值
【解析】【解答】解：∵x+ =5，
∴x2+ =（x+ ）2﹣2=25﹣2=23．
故答案为：23．
【分析】根据互为倒数的两数的乘积为1，利用乘方的意义： =5可以变形为，利用完全平方公式展开再移项合并同类项即可得出答案。
21．若关于的方程的解为非负整数，关于的不等式组的解集为，则符合条件的所有整数的和为　 　．
【答案】5
【知识点】分式方程的解及检验；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：解方程得
依题得且为整数，，
且为3的倍数，，
解不等式得，
解不等式得，
不等式组的解集为，
，
解得，
，且，
为3的倍数，
∴当时，，
当时，，
当时，（舍去），
当时，（舍去），
的值为1或4，
符合条件的所有整数的和为．
故答案为：5．
【分析】根据题意先求出且为3的倍数，，再求出，且，最后计算求解即可.
22．如图，在中，，平分，交于点D，E为的中点，连接，若，，则的长为　 　 ．
【答案】
【知识点】角平分线的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；等积变换
【解析】【解答】解：过点作于，如图所示：
∵平分，，
∴.
∵点E是的中点，且，
∴.
设，，
∵，
∴，
即，
∴.
根据勾股定理，得，且，
∴，
解得，
∴.
根据勾股定理，得，
解得，
则，.
根据勾股定理，得，
∴.
根据勾股定理，．
故答案为：．
【分析】过点作于，根据角平分线的性质得到，再根据 点E是的中点， 得，然后设，，接下来根据等积法可得，进而可得 ，可表示，再根据勾股定理， 求出y，可得，，然后根据勾股定理求出，进而得出，最后根据勾股定理求出．
23．如图，在中，，，．将绕点C按顺时针方向旋转后得，直线、相交于点F．取的中点G，连接，则长的最大值为　 　 cm．
【答案】9
【知识点】旋转的性质；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：取的中点H，连接、，如图：
∵△ABC绕点C按顺时针方向旋转后得到△DEC，
∴，，，
设，则
∴∠DCB=∠ACB-∠ACD=90°-α；
∵在四边形中，∠FDC+∠DCB+∠CBF+∠BFD=360°
∴
∵点H是AB的中点，AB=13cm
∴
∵点H是AB的中点，点G是BC的中点
∴在△FHG中，，
∴当F、H、G在一条直线上时，最大，最大值为，
故答案为：9．
【分析】
本题考查了旋转的性质、四边形内角和、三角形中位线定理、三角形三边关系以及直角三角形的性质，结合题意添加合适的辅助线是解题的关键．
根据旋转的性质得：，，，设，根据三角形内角和定理和等腰三角形底角计算公式：，知：，根据四边形内角和为360°可知：，取的中点H，连接、，根据直角三角形的性质：直角三角形斜边的中线=斜边的一半可知：，再根据三角形中位线定理：三角形的中位线平行且等于底边的一半可知：根据三角形三边关系可知：，当F、H、G在一条直线上时，最大，即可得出答案．
24．某学校为顺利开展九年级物理、化学实验操作考试，培养学生的动手操作能力，计划采购一批物理和化学实验器材，购买物理实验器材用了2430元，购买化学实验器材用了1440元，购买的物理实验器材的数量是化学实验器材的1.5倍，物理实验器材单价比化学实验器材单价贵6元．
（1）求物理、化学实验器材的单价分别为多少元？
（2）该学校计划再购买物理、化学实验器材共100套，再购买总费用不超过5000元，那么该校此次计划最多能购买多少套物理实验器材？
【答案】（1）解：设化学实验器材单价为x元，则物理实验器材单价为（x+6）元，
根据题意：，
解得：，
经检验，是分式方程的解，
则化学实验器材单价为48元，则物理实验器材单价为元
（2）解：该校此次计划最多能购买m套物理实验器材，则化学实验器材能购买套，根据题意有：，
解得：，
∵m为整数，
∴m最大取33，
即该校此次计划最多能购买33套物理实验器材．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】本题主要对分式方程的实际应用，一元一次不等式的应用进行考查．
（1）设化学实验器材单价为x元，则物理实验器材单价为（x+6）元，根据题意列出方程，求解得，所以物理器材54元、化学器材48元．
（2）设该校此次计划最多能购买m套物理实验器材，则化学实验器材能购买套，根据题意列出一元一次不等式，解得，故最多购买33套物理实验器材．
（1）解：设化学实验器材单价为x元，则物理实验器材单价为（x+6）元，
根据题意：，
解得：，
经检验，是分式方程的解，
则化学实验器材单价为48元，则物理实验器材单价为元
（2）解：该校此次计划最多能购买m套物理实验器材，则化学实验器材能购买套，
根据题意有：，
解得：，
∵m为整数，
∴m最大取33，
即该校此次计划最多能购买33套物理实验器材．
25．【问题背景】（1）如图（1），在和中，，求证：．
【问题探究】（2）如图（2），，将绕点逆时针旋转到，连，过点作交于点，求证：．
【拓展运用】（3）如图（3），等边中，是边上的中线，点是上一动点，连接，将绕点逆时针旋转到，连接，当的周长最小时，直接写出此时的度数．
【答案】（1）证明∶，
，
在和中，，
；
（2）证明：如图1，作于点，交于点，作，交延长线于点，
绕点逆时针旋转到，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，，
，
在中，
，
，
，
，
，
；
（3）解：如图2，作射线，
是等边三角形，
，
绕点逆时针旋转到，
，
，
，
，
，
，
是边上的中线，
，
，
点在与成角的直线上运动，
作点关于的对称点，交于点，连接交于点，连接
当点在点处时，最小，则的周长最小，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
的周长最小时，
【知识点】等边三角形的判定与性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【分析】（1）利用已知可证得，利用SAS可证得结论.
（2）作于点，交于点，作，交延长线于点，利用旋转的性质可证得，利用等边对等角及三角形的内角和定理可求出∠ADC的度数，同时可证得，即可求出∠DAG、∠BAD的度数；再利用等腰三角形的性质可证，同理可求出∠CBF、∠DCG，∠CFD、∠BFC的度数，再利用等边对等角可证∠BFC=∠ADW，利用三角形的内角和定理求出∠W的度数；利用AAS可证得△BCF≌△AWD，利用全等三角形的性质可证得BF=FD，由此可证得结论.
（3）作射线，利用等边三角形的性质和旋转的性质可推出AB=AC，AD=AE，∠BAD=∠CAE，利用SAS证明，利用全等三角形的性质可证得∠ABD=∠ACE，由此可证得，得到点在与成角的直线上运动；作点关于的对称点，交于点，连接交于点，连接，当点在点处时，最小，则的周长最小，易证△AA'C是等边三角形，利用等边三角形的性质可求出∠AA'E'的度数，即可求出∠A'AE'的度数，根据，可求出∠AEF的度数.
26．在数学探究性学习中经常会用到从特殊到一般、类比化归等数学思想和方法，如下是一个具体的探究性学习案例，请完善整个探究过程．
问题呈现过点的直线为常数且分别交轴的正半轴和轴的正半轴于点和，探究并说明是定值．
（1）特例探究如图1，过点的直线分别交轴和轴于点和，求的值；
（2）一般证明
①时，直接写出_____；
②求出的值；
（3）类比推广如图2，已知，点在轴的正半轴上，过且不与轴平行的直线交直线于第一象限点，若总有，请探究：直线是否过定点，如果是，请求出定点坐标；如果否，请说明理由．
【答案】（1）解：当，则；
当，则，
解得，
∵直线分别交轴和轴于点和，
∴点、的坐标分别为：、，
∴，，
则；
（2）①1；
②由①知，，，，
则；
（3）解：设直线的表达式为：，
则，
解得
∴，
设直线的表达式为：，
联立上述两式得：，
解得：，
则点，
由点、的坐标得，，
则，
同（2）可求点，则，
，
即，
解得：，
则，
当时，，
即直线过定点．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】（2）解：①当，则；
当，则，
解得，
∵直线分别交轴和轴于点和，
∴点、的坐标分别为：、，
∴，，
将点的坐标代入一次函数表达式得：，
∴当，时，，
∴，
∴，
故答案为：1；
【分析】（1）根据题意先求出点、的坐标分别为：、，再求出，，最后代入计算求解即可；
（2）①根据题意先求出点、的坐标分别为：、，再求出，，最后计算求解即可；
②根据①可知，，，再计算求解即可；
（3）利用待定系数法求出，再求出，最后计算求解即可.
（1）解：当，则；当，则，解得，
∵直线分别交轴和轴于点和，
∴点、的坐标分别为：、，
∴，，
则；
（2）解：①当，则；当，则，解得，
∵直线分别交轴和轴于点和，
∴点、的坐标分别为：、，
∴，，
将点的坐标代入一次函数表达式得：，
∴当，时，，
∴，
∴，
故答案为：1；
②由①知，，，，
则；
（3）解：设直线的表达式为：，
则，
解得
∴，
设直线的表达式为：，
联立上述两式得：，
解得：，则点，
由点、的坐标得，，则，
同（2）可求点，则，
，即，
解得：，
则，
当时，，
即直线过定点．
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