资源简介

广东省深圳市深圳技术大学附属学校（光明）2025-2026学年八年级下学期期中考试数学试题
1． 观察下列图形，其中既是轴对称又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、图形绕中心旋转180°后可与自身重合，属于中心对称图形，但不存在直线使图形沿直线折叠后两侧完全重合，不是轴对称图形，不符合题意；
B、图形既无法找到对称轴实现折叠重合，也无法找到对称中心实现180°旋转重合，两类图形均不属于，不符合题意；
C、图形既能找到至少一条对称轴，沿对称轴折叠后两侧部分完全重合，同时绕对称中心旋转180°后也能与自身重合，同时满足两个定义，符合题意；
D、图形存在对称轴，沿对称轴折叠后两侧重合，属于轴对称图形，但旋转180°后无法与原图形重合，不是中心对称图形，不符合题意。
故答案为：C
【分析】本题主要考查轴对称图形与中心对称图形的概念辨析。解题时需要分别依据两个图形的定义对每个选项进行验证，轴对称图形的核心是沿某条直线折叠后直线两旁的部分能够完全重合，中心对称图形的核心是绕某一点旋转180°后能够与原图形完全重合，通过双重筛选排除不符合要求的选项，最终确定同时满足两个条件的图形。
2． 已知，则下列不等式一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵，
选项A，取 ，，则 ，，此时 ，不等式不成立，不符合题意；
选项B，不等式两边同时乘负数，不等号方向必须改变，因此，该选项错误，不符合题意；
选项C，若，则，此时，不等式不成立，不符合题意；
选项D，不等式两边同时除以正数3，不等号方向不变，因此，该不等式恒成立，符合题意。
故答案为：D
【分析】本题考查不等式的基本性质的应用。解题时需要结合不等式的三条核心性质对每个选项进行推导，同时注意特殊值的验证，比如乘数含参数时要考虑参数为0的情况，加减不同数时可通过举反例判断是否恒成立，最终筛选出无论变量取何值都一定成立的不等式。
3． 下列因式分解正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】因式分解的正确性判断
【解析】【解答】解：A、符合平方差公式形式，应分解为，选项中常数项匹配错误，分解不正确；
B、符合完全平方和公式的结构，分解为，分解正确；
C、提取公因式后得到，但仍可继续用平方差公式分解为，分解不彻底，不正确；
D、展开后为，与原式的符号均不匹配，分解错误。
故答案为：B
【分析】本题考查因式分解的正误判断，涉及平方差公式与完全平方公式的应用。解题时需要从公式匹配度、分解彻底性两个维度逐一验证选项，既要确认公式应用时的系数、符号是否正确，也要检查分解后的式子是否还能继续分解，因式分解要求分解到不能再分解为止。
4．若某不等式组的解集为，则其解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集
【解析】【解答】解：不等式组的解集在数轴上表示为
故答案为：B ．
【分析】根据不等式组的解集在数轴上表示的规则：大（小）于向右（左），包括界点用实心点，不包括界点用空心圈，逐项进行识别，即可得出答案。
5． 如图，一次函数与的图象交于点，则关于的不等式的解集是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：不等式的几何意义是：直线的图象位于直线图象上方时，对应的自变量的取值范围。
由图象可知两直线交点的横坐标为3，在交点左侧，直线在直线的上方，因此对应的的取值范围是。
故答案为：D
【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式的结合应用。解题的核心是理解不等式对应的函数图象意义：函数值大的一方，其图象在坐标系中位于上方，因此只需找到两条直线的交点横坐标，再根据图象的上下位置关系确定对应的自变量取值范围即可。
6． 图1是某学校人行入口的智能闸机及其示意图，如图2，当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度是，当它关闭时，双侧挡板边缘的端点A与B之间的距离为，且与闸机侧立面夹角，则双翼的边缘（）的长度为（　　）
A． B．70 C． D．80
【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：过点A作于点E，过点B作于点F
由题意可知，闸机最大通行宽度减去AB的长度，即为两侧挡板垂直于侧立面的长度之和，
∵，
∴。
在中，，
∵ 直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，
∴。
故答案为：B
【分析】本题考查含30°角的直角三角形的性质在实际问题中的应用。解题时首先需要通过作辅助线构造直角三角形，结合闸机的宽度条件求出直角三角形中30°角对应的直角边长度，再利用“直角三角形中30°角所对的直角边是斜边的一半”这一性质，即可求出挡板边缘的总长度。
7． 如图，在中，为直角，用无刻度的直尺和圆规在边上确定一点P，使点P到，的距离相等．下列符合要求的作图痕迹是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：要使点P到AB、BC的距离相等，则点P必须在的角平分线上，同时点P在AC边上，因此只需作出的角平分线，与AC的交点即为所求的点P。
对照各选项的作图痕迹，只有B选项是作的角平分线，符合要求。
故答案为：B
【分析】本题考查角平分线的尺规作图与角平分线的性质。解题时首先根据“点到角两边距离相等”的条件，推导出该点位于这个角的平分线上，因此问题转化为作的角平分线，再结合角平分线与AC边的交点确定点P的位置，据此判断各选项的作图痕迹是否符合要求。
8． 如图，在和中，，，于点，的反向延长线与交于点，连接，则线段，，三者之间的关系为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；等腰直角三角形；线段垂直平分线的判定；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：连接CF、CD，
∵，，
∴是等腰直角三角形，。
∵，
∴，。
在四边形ACBD中，由内角和关系可得：
，
代入化简得，即。
∵，，
∴ AE垂直平分BC（等腰三角形三线合一），
∴，
∴，
∴，即是直角三角形。
在中，由勾股定理得，
又∵，
∴。
故答案为：C
【分析】本题综合考查等腰三角形的性质、线段垂直平分线的判定与性质以及勾股定理的应用。解题时首先根据已知的边相等与垂直关系推导相关角度，得出的度数；再利用等腰三角形“三线合一”的性质得到AE是BC的垂直平分线，进而推出BF与CF相等；最后证明为直角三角形，结合勾股定理即可得到三条线段的数量关系。
9．因式分解： 　 　.
【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：x 2 4 =( x + 2 ) ( x 2 )，
故答案为：( x + 2 ) ( x 2 ).
【分析】利用平方差公式分解因式即可. 注意分解到不能再分解为止.
10．在平面直角坐标系中，将点向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到点，则点的坐标为　 　．
【答案】（4，3）
【知识点】点的坐标；用坐标表示平移
【解析】【解答】
解：点A(1，1)向右平移3个单位长度为（4，1）；再向上平移2个单位长度为（4，3）
∴点B的坐标为（4，3）
故答案为：（4，3）.
【分析】
本题考查平面直角坐标系中点的平移规律，熟知平面直角坐标系中点的平移规律是解题关键.
平面直角坐标系中点的平移规律是：左右平移时，纵坐标不变，向右平移几个单位横坐标加上几个单位，向左平移几个单位横坐标减去几个单位；上下平移时，横坐标不变，向上平移几个单位纵坐标加上几个单位，向下平移几个单位纵坐标减去几个单位；根据点的平移规律，代入数据即可得出答案.
11． 某服装店以20元的进价购进一批儿童T恤衫，销售时标价为30元，为了减少商品库存，让利于顾客，准备打折销售，但要保证利润率不低于，则至多可打　 　折．
【答案】八
【知识点】一元一次不等式组的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设打折，根据“利润率不低于20%”列不等式：
实际售价为元，利润需大于等于元，
因此有，
化简得，
解得，
即至多可打八折。
故答案为：八
【分析】本题考查一元一次不等式在销售利润问题中的应用。解题时首先设出折扣数，表示出打折后的实际售价，再根据“利润率不低于20%”的不等关系列出不等式，解不等式得到折扣的最小值，即为至多可打的折扣数。
12． 座椅是我们日常生活中不可或缺的物品．如图，在调节椅背的过程中，椅面始终保持水平状态，支撑架与水平地面的夹角也始终保持不变．已知椅背的长度为，当椅背与椅面的夹角从调整到时，椅背上人的头部支撑点E向上抬高了约　 　．（结果精确至．参考数据：）
【答案】18.3
【知识点】勾股定理；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：分别过调整前后的点E、作AB所在直线的垂线，垂足分别为N、M，
当夹角为120°时，，
在中，，
∴，
由勾股定理得。
当夹角为150°时，，
在中，，
∴。
则点E向上抬高的高度为。
故答案为：18.3
【分析】本题考查直角三角形的性质与勾股定理在实际几何问题中的应用。解题时通过作垂线构造两个直角三角形，分别计算出椅背在两个不同角度下支撑点的竖直高度，再计算两个高度的差值，即为支撑点向上抬高的距离，计算过程中用到了30°角直角三角形的性质与勾股定理。
13． 如图，是等边内一点，，，，则的边长为　 　．
（提示：将绕点顺时针旋转得到，连接）
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；勾股定理的逆定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：将绕点A顺时针旋转60°得到，连接。
由旋转的性质得：，，，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，。
在中，，，，
∵，
∴是直角三角形，且，
∴，
∴，即。
∴，
在中，由勾股定理得：
。
故答案为：
【分析】本题考查旋转的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理的逆定理的综合应用。解题时通过旋转将分散的三条线段集中到同一个三角形中，先证明旋转后得到的是等边三角形，再利用勾股定理的逆定理判断为直角三角形，进而推导的度数，最后在直角三角形中用勾股定理求出等边三角形的边长。
14． 分解因式：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】本题考查提公因式法与公式法结合的因式分解。
（1）先观察多项式找到公因式，提取公因式后得到，该式符合平方差公式的形式，继续用平方差公式分解至不能再分解即可；
（2）先提取首项的负号和公因式，将括号内的式子整理为标准的二次三项式形式，再识别其符合完全平方公式的结构，套用完全平方公式完成分解。
15． 解不等式、不等式组
（1）解不等式：，并将解集表示在下列数轴上．
（2）解不等式组：
【答案】（1）解：
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：，
数轴表示如下所示：
（2）
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为
【知识点】解一元一次不等式；解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【分析】本题考查一元一次不等式及一元一次不等式组的求解，以及解集的数轴表示。
（1）按照移项、合并同类项、系数化为1的步骤逐步求解，注意移项要变号，系数化为1时若系数为负需改变不等号方向，本题系数化为1时除数为负，不等号方向要翻转，最后按照数轴表示规则画出解集即可；
（2）分别求解两个不等式的解集，第一个不等式先去括号再移项合并求解，第二个不等式先去分母消去分数再依次化简求解，最后根据“同小取小”的口诀确定不等式组的公共解集。
16． 如图，在中，，平分交于点，过点作交于点，，垂足为点．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵平分，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴．
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质；等腰三角形的判定；勾股定理
【解析】【分析】本题综合考查角平分线的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与勾股定理的应用。
（1）先根据角平分线的定义得到一组相等的角，再由平行线的内错角相等进行角的等量代换，推出，最后根据等角对等边即可证明线段相等；
（2）先利用角平分线上的点到角两边距离相等，得到DC与DF长度相等，再在直角三角形CDE中用勾股定理求出CE的长度，结合第一问的结论得到BE的长度，进而求出BC的总长度，最后在直角三角形BCD中用勾股定理计算出BD的长度。
17． 如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为，，．
（1）若点的坐标为（4，0），画出△ABC经过平移后得到的，并写出点的坐标；
（2）若△ABC和关于原点O成中心对称，画出，并写出点的坐标．
【答案】（1）解：如图所示，即为所求；
∵△ABC经过平移后得到的，点C的坐标为（-1，3），点的坐标为（4，0），
∴△ABC向右平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度得到，
∵点B的坐标为（-2，1），点A的坐标为（-3，5），
∴点的坐标为（2，2），点的坐标为（3，-2）；
（2）解：如图所示，即为所求；
∵△ABC和关于原点O成中心对称，点B的坐标为（-2，1），
∴点；
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移；坐标与图形变化﹣中心对称；作图﹣中心对称
【解析】【分析】本题考查平移作图、中心对称作图以及坐标变化规律。
（1）先对比点C和平移后点的横、纵坐标变化，确定整体的平移方向与距离，再按照相同的平移规则计算出点的坐标，依次描出三个顶点并连线即可得到平移后的三角形；
（2）根据关于原点中心对称的点的坐标特征：横、纵坐标均互为相反数，分别计算出三个顶点对称后的坐标，描点后顺次连接即可得到中心对称后的三角形，同时写出点的坐标。
18．为表彰先进，某校初二年级计划购买《哪吒之魔童闹海》系列的熊猫哪吒和白龙敖丙毛绒公仔．已知购买3个熊猫哪吒和4个白龙敖丙共需170元，购买2个熊猫哪吒和1个白龙敖丙共需80元．
（1）求1个熊猫哪吒和1个白龙敖丙的售价各是多少元？
（2）初二年级计划购买这两种公仔共个，要求熊猫哪吒的数量不少于白龙敖丙数量的3倍．请设计最省钱的购买方案，并说明理由．
【答案】（1）解：设1个熊猫哪吒的售价为元，1个白龙敖丙的售价为元，根据题意得，
解得：
答：1个熊猫哪吒的售价为元，1个白龙敖丙的售价为元
（2）解：设购买熊猫哪吒公仔个，则白龙敖丙公仔个，根据题意得
解得：
设总费用为，则
∵，
∴当时，取得最小值，
最省钱的购买方案为：购买熊猫哪吒公仔个，白龙敖丙公仔个，费用最少．
【知识点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的其他应用
【解析】【分析】本题考查二元一次方程组的应用及一次函数的最值问题，解题需先通过方程组求出单价，再结合不等式和函数性质设计方案。
(1)设1个熊猫哪吒售价为元，1个白龙敖丙售价为元，根据“3个熊猫哪吒+4个白龙敖丙=170元”和“2个熊猫哪吒+1个白龙敖丙=80元”，列出方程组，解方程组可得，；
(2)设购买熊猫哪吒个，则白龙敖丙为个，根据“熊猫哪吒数量≥3×白龙敖丙数量”，列出不等式，解得。设总费用为元，可得，因，随的增大而增大，故当取最小值75时，最小，此时，即最省钱的方案为购买熊猫哪吒75个，白龙敖丙25个。
（1）解：设1个熊猫哪吒的售价为元，1个白龙敖丙的售价为元，根据题意得，
解得：
答：1个熊猫哪吒的售价为元，1个白龙敖丙的售价为元
（2）解：设购买熊猫哪吒公仔个，则白龙敖丙公仔个，根据题意得
解得：
设总费用为，则
∵，
∴当时，取得最小值，
最省钱的购买方案为：购买熊猫哪吒公仔个，白龙敖丙公仔个，费用最少．
19． 探究函数的性质可以扩展我们的数学思维、某班数学兴趣小组同学探究函数（，为常数，且）的性质，探究过程如下，请解决下列问题：
（1）绘制函数图象：
①列表：
… -3 -2 -1 0 1 2 3 4 …
… 9 7 5 3 1 3 5 …
分析数据，完成填空：. ▲ ，. ▲ ，. ▲ ；
②描点：在平面直角坐标系中，根据表中的数值描点，现已描出部分点，请补充表中未描出的各点；
③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请画出函数图象．
（2）探索函数性质：
当时，随的增大而减小，当时，随的增大而　 　；
（3）运用函数性质：
①不等式的解集是　 　；
②当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值且小于7，则的值为　 　．
【答案】（1）解：①2；1；7；
③画出函数图象，如图所示：
（2）增大
（3）或；
【知识点】一次函数的图象；一次函数图象与几何变换；两一次函数图象相交或平行问题；一次函数的性质；描点法画函数图象
【解析】【解答】解：（1）①当时，；当时，，
，
解得，
函数的解析式为，
把代入得，
；
（2）根据函数图象可知：当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大；
（3）①根据函数图象可知，当或时，的函数值大于等于5，
∴不等式的解集为：或；
②把代入得：，
把代入得：，
解得：，
如图，当时，对于x的每一个值，函数的值小于函数的值且小于7，的值应该满足当．
【分析】本题考查含绝对值的一次函数的图象与性质探究，结合了函数与不等式的综合应用。
（1）①选取表格中两组已知的x、y值代入函数解析式，得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组求出a和b的值，确定函数解析式后，将代入解析式即可计算出m的值；②③根据表格中的坐标完成描点，再用平滑线条连接即可得到V型的函数图象；
（2）结合函数图象的走势，观察对称轴右侧的函数变化趋势，直接得出函数的增减性；
（3）①观察函数图象中函数值大于等于5时对应的x的取值范围，即可得到不等式的解集；②先求出时绝对值函数的函数值，将该点坐标代入一次函数求出对应的t值，再结合图象分析时的函数大小关系，确定t的取值。
20． 请依次完成以下三个问题：
（1）如图1，在正方形中，若，分别是线段，上的点，，把绕点顺时针旋转得到，易证和　 　全等，线段，和之间的数量关系为　 　．
（2）如图2，在等腰直角中，，，为线段上的点，，，，求线段的长；
（3）如图3，在直角中，，，，为线段上的点，，，，直接写出线段和的长．提示：取中点，连接
【答案】（1）；
（2）解：如图，将绕点顺时针旋转得到，连接，
由旋转的性质可得：，，，
又∵在等腰直角中，，
∴
∴
，
，
在和中，
，
，
，
∵，
∴
在中，
∴
（3）解：，
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：（1）由旋转的性质可得：，，，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
故答案为：，；
（3）直角中，，，
∴，
取中点，连接
∴，
∴是等边三角形，
∵，
∴，
如图，将绕点顺时针旋转得到，连接，
是等边三角形，
，
由旋转的性质可得：，，，，
，
，
，，
，
，
作交的延长线于点，
，
，
，
，
，
，
∵，，
∴
设，则，，
∴，
，，
在中，
∴
解得：，
．
【分析】本题属于几何变换综合题，考查旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理以及特殊直角三角形的性质，核心是利用旋转构造全等三角形转化线段。
（1）根据旋转的性质得到对应边相等、对应角相等，结合已知的45°角推导出一组相等的夹角，利用SAS证明两个三角形全等，再根据全等三角形对应边相等，结合线段的和差关系即可得到三条线段的数量关系；
（2）沿用第一问的旋转思路，将绕点A顺时针旋转90°得到，连接MD，先通过SAS证明与全等，将DE转化为MD，再证明是直角三角形，利用勾股定理求出MD的长度，即为DE的长度；
（3）先根据含30°角的直角三角形的性质直接求出BC的长度；取BC中点F并连接AF，构造等边三角形，再将绕点A顺时针旋转60°得到，连接DG，通过SAS证明与全等，将DE转化为DG；过G作BC延长线的垂线构造直角三角形，设DE为未知数，用含未知数的式子表示出直角三角形的各边，最后根据勾股定理列方程求解，即可得到DE的长度。
1 / 1广东省深圳市深圳技术大学附属学校（光明）2025-2026学年八年级下学期期中考试数学试题
1． 观察下列图形，其中既是轴对称又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2． 已知，则下列不等式一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
3． 下列因式分解正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．若某不等式组的解集为，则其解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5． 如图，一次函数与的图象交于点，则关于的不等式的解集是（　　）
A． B． C． D．
6． 图1是某学校人行入口的智能闸机及其示意图，如图2，当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度是，当它关闭时，双侧挡板边缘的端点A与B之间的距离为，且与闸机侧立面夹角，则双翼的边缘（）的长度为（　　）
A． B．70 C． D．80
7． 如图，在中，为直角，用无刻度的直尺和圆规在边上确定一点P，使点P到，的距离相等．下列符合要求的作图痕迹是（　　）
A． B．
C． D．
8． 如图，在和中，，，于点，的反向延长线与交于点，连接，则线段，，三者之间的关系为（　　）
A． B． C． D．
9．因式分解： 　 　.
10．在平面直角坐标系中，将点向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到点，则点的坐标为　 　．
11． 某服装店以20元的进价购进一批儿童T恤衫，销售时标价为30元，为了减少商品库存，让利于顾客，准备打折销售，但要保证利润率不低于，则至多可打　 　折．
12． 座椅是我们日常生活中不可或缺的物品．如图，在调节椅背的过程中，椅面始终保持水平状态，支撑架与水平地面的夹角也始终保持不变．已知椅背的长度为，当椅背与椅面的夹角从调整到时，椅背上人的头部支撑点E向上抬高了约　 　．（结果精确至．参考数据：）
13． 如图，是等边内一点，，，，则的边长为　 　．
（提示：将绕点顺时针旋转得到，连接）
14． 分解因式：
（1）；
（2）．
15． 解不等式、不等式组
（1）解不等式：，并将解集表示在下列数轴上．
（2）解不等式组：
16． 如图，在中，，平分交于点，过点作交于点，，垂足为点．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
17． 如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为，，．
（1）若点的坐标为（4，0），画出△ABC经过平移后得到的，并写出点的坐标；
（2）若△ABC和关于原点O成中心对称，画出，并写出点的坐标．
18．为表彰先进，某校初二年级计划购买《哪吒之魔童闹海》系列的熊猫哪吒和白龙敖丙毛绒公仔．已知购买3个熊猫哪吒和4个白龙敖丙共需170元，购买2个熊猫哪吒和1个白龙敖丙共需80元．
（1）求1个熊猫哪吒和1个白龙敖丙的售价各是多少元？
（2）初二年级计划购买这两种公仔共个，要求熊猫哪吒的数量不少于白龙敖丙数量的3倍．请设计最省钱的购买方案，并说明理由．
19． 探究函数的性质可以扩展我们的数学思维、某班数学兴趣小组同学探究函数（，为常数，且）的性质，探究过程如下，请解决下列问题：
（1）绘制函数图象：
①列表：
… -3 -2 -1 0 1 2 3 4 …
… 9 7 5 3 1 3 5 …
分析数据，完成填空：. ▲ ，. ▲ ，. ▲ ；
②描点：在平面直角坐标系中，根据表中的数值描点，现已描出部分点，请补充表中未描出的各点；
③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请画出函数图象．
（2）探索函数性质：
当时，随的增大而减小，当时，随的增大而　 　；
（3）运用函数性质：
①不等式的解集是　 　；
②当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值且小于7，则的值为　 　．
20． 请依次完成以下三个问题：
（1）如图1，在正方形中，若，分别是线段，上的点，，把绕点顺时针旋转得到，易证和　 　全等，线段，和之间的数量关系为　 　．
（2）如图2，在等腰直角中，，，为线段上的点，，，，求线段的长；
（3）如图3，在直角中，，，，为线段上的点，，，，直接写出线段和的长．提示：取中点，连接
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、图形绕中心旋转180°后可与自身重合，属于中心对称图形，但不存在直线使图形沿直线折叠后两侧完全重合，不是轴对称图形，不符合题意；
B、图形既无法找到对称轴实现折叠重合，也无法找到对称中心实现180°旋转重合，两类图形均不属于，不符合题意；
C、图形既能找到至少一条对称轴，沿对称轴折叠后两侧部分完全重合，同时绕对称中心旋转180°后也能与自身重合，同时满足两个定义，符合题意；
D、图形存在对称轴，沿对称轴折叠后两侧重合，属于轴对称图形，但旋转180°后无法与原图形重合，不是中心对称图形，不符合题意。
故答案为：C
【分析】本题主要考查轴对称图形与中心对称图形的概念辨析。解题时需要分别依据两个图形的定义对每个选项进行验证，轴对称图形的核心是沿某条直线折叠后直线两旁的部分能够完全重合，中心对称图形的核心是绕某一点旋转180°后能够与原图形完全重合，通过双重筛选排除不符合要求的选项，最终确定同时满足两个条件的图形。
2．【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵，
选项A，取 ，，则 ，，此时 ，不等式不成立，不符合题意；
选项B，不等式两边同时乘负数，不等号方向必须改变，因此，该选项错误，不符合题意；
选项C，若，则，此时，不等式不成立，不符合题意；
选项D，不等式两边同时除以正数3，不等号方向不变，因此，该不等式恒成立，符合题意。
故答案为：D
【分析】本题考查不等式的基本性质的应用。解题时需要结合不等式的三条核心性质对每个选项进行推导，同时注意特殊值的验证，比如乘数含参数时要考虑参数为0的情况，加减不同数时可通过举反例判断是否恒成立，最终筛选出无论变量取何值都一定成立的不等式。
3．【答案】B
【知识点】因式分解的正确性判断
【解析】【解答】解：A、符合平方差公式形式，应分解为，选项中常数项匹配错误，分解不正确；
B、符合完全平方和公式的结构，分解为，分解正确；
C、提取公因式后得到，但仍可继续用平方差公式分解为，分解不彻底，不正确；
D、展开后为，与原式的符号均不匹配，分解错误。
故答案为：B
【分析】本题考查因式分解的正误判断，涉及平方差公式与完全平方公式的应用。解题时需要从公式匹配度、分解彻底性两个维度逐一验证选项，既要确认公式应用时的系数、符号是否正确，也要检查分解后的式子是否还能继续分解，因式分解要求分解到不能再分解为止。
4．【答案】B
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集
【解析】【解答】解：不等式组的解集在数轴上表示为
故答案为：B ．
【分析】根据不等式组的解集在数轴上表示的规则：大（小）于向右（左），包括界点用实心点，不包括界点用空心圈，逐项进行识别，即可得出答案。
5．【答案】D
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：不等式的几何意义是：直线的图象位于直线图象上方时，对应的自变量的取值范围。
由图象可知两直线交点的横坐标为3，在交点左侧，直线在直线的上方，因此对应的的取值范围是。
故答案为：D
【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式的结合应用。解题的核心是理解不等式对应的函数图象意义：函数值大的一方，其图象在坐标系中位于上方，因此只需找到两条直线的交点横坐标，再根据图象的上下位置关系确定对应的自变量取值范围即可。
6．【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：过点A作于点E，过点B作于点F
由题意可知，闸机最大通行宽度减去AB的长度，即为两侧挡板垂直于侧立面的长度之和，
∵，
∴。
在中，，
∵ 直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，
∴。
故答案为：B
【分析】本题考查含30°角的直角三角形的性质在实际问题中的应用。解题时首先需要通过作辅助线构造直角三角形，结合闸机的宽度条件求出直角三角形中30°角对应的直角边长度，再利用“直角三角形中30°角所对的直角边是斜边的一半”这一性质，即可求出挡板边缘的总长度。
7．【答案】B
【知识点】尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：要使点P到AB、BC的距离相等，则点P必须在的角平分线上，同时点P在AC边上，因此只需作出的角平分线，与AC的交点即为所求的点P。
对照各选项的作图痕迹，只有B选项是作的角平分线，符合要求。
故答案为：B
【分析】本题考查角平分线的尺规作图与角平分线的性质。解题时首先根据“点到角两边距离相等”的条件，推导出该点位于这个角的平分线上，因此问题转化为作的角平分线，再结合角平分线与AC边的交点确定点P的位置，据此判断各选项的作图痕迹是否符合要求。
8．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；等腰直角三角形；线段垂直平分线的判定；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：连接CF、CD，
∵，，
∴是等腰直角三角形，。
∵，
∴，。
在四边形ACBD中，由内角和关系可得：
，
代入化简得，即。
∵，，
∴ AE垂直平分BC（等腰三角形三线合一），
∴，
∴，
∴，即是直角三角形。
在中，由勾股定理得，
又∵，
∴。
故答案为：C
【分析】本题综合考查等腰三角形的性质、线段垂直平分线的判定与性质以及勾股定理的应用。解题时首先根据已知的边相等与垂直关系推导相关角度，得出的度数；再利用等腰三角形“三线合一”的性质得到AE是BC的垂直平分线，进而推出BF与CF相等；最后证明为直角三角形，结合勾股定理即可得到三条线段的数量关系。
9．【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：x 2 4 =( x + 2 ) ( x 2 )，
故答案为：( x + 2 ) ( x 2 ).
【分析】利用平方差公式分解因式即可. 注意分解到不能再分解为止.
10．【答案】（4，3）
【知识点】点的坐标；用坐标表示平移
【解析】【解答】
解：点A(1，1)向右平移3个单位长度为（4，1）；再向上平移2个单位长度为（4，3）
∴点B的坐标为（4，3）
故答案为：（4，3）.
【分析】
本题考查平面直角坐标系中点的平移规律，熟知平面直角坐标系中点的平移规律是解题关键.
平面直角坐标系中点的平移规律是：左右平移时，纵坐标不变，向右平移几个单位横坐标加上几个单位，向左平移几个单位横坐标减去几个单位；上下平移时，横坐标不变，向上平移几个单位纵坐标加上几个单位，向下平移几个单位纵坐标减去几个单位；根据点的平移规律，代入数据即可得出答案.
11．【答案】八
【知识点】一元一次不等式组的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设打折，根据“利润率不低于20%”列不等式：
实际售价为元，利润需大于等于元，
因此有，
化简得，
解得，
即至多可打八折。
故答案为：八
【分析】本题考查一元一次不等式在销售利润问题中的应用。解题时首先设出折扣数，表示出打折后的实际售价，再根据“利润率不低于20%”的不等关系列出不等式，解不等式得到折扣的最小值，即为至多可打的折扣数。
12．【答案】18.3
【知识点】勾股定理；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：分别过调整前后的点E、作AB所在直线的垂线，垂足分别为N、M，
当夹角为120°时，，
在中，，
∴，
由勾股定理得。
当夹角为150°时，，
在中，，
∴。
则点E向上抬高的高度为。
故答案为：18.3
【分析】本题考查直角三角形的性质与勾股定理在实际几何问题中的应用。解题时通过作垂线构造两个直角三角形，分别计算出椅背在两个不同角度下支撑点的竖直高度，再计算两个高度的差值，即为支撑点向上抬高的距离，计算过程中用到了30°角直角三角形的性质与勾股定理。
13．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；勾股定理的逆定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：将绕点A顺时针旋转60°得到，连接。
由旋转的性质得：，，，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，。
在中，，，，
∵，
∴是直角三角形，且，
∴，
∴，即。
∴，
在中，由勾股定理得：
。
故答案为：
【分析】本题考查旋转的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理的逆定理的综合应用。解题时通过旋转将分散的三条线段集中到同一个三角形中，先证明旋转后得到的是等边三角形，再利用勾股定理的逆定理判断为直角三角形，进而推导的度数，最后在直角三角形中用勾股定理求出等边三角形的边长。
14．【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】本题考查提公因式法与公式法结合的因式分解。
（1）先观察多项式找到公因式，提取公因式后得到，该式符合平方差公式的形式，继续用平方差公式分解至不能再分解即可；
（2）先提取首项的负号和公因式，将括号内的式子整理为标准的二次三项式形式，再识别其符合完全平方公式的结构，套用完全平方公式完成分解。
15．【答案】（1）解：
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：，
数轴表示如下所示：
（2）
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为
【知识点】解一元一次不等式；解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【分析】本题考查一元一次不等式及一元一次不等式组的求解，以及解集的数轴表示。
（1）按照移项、合并同类项、系数化为1的步骤逐步求解，注意移项要变号，系数化为1时若系数为负需改变不等号方向，本题系数化为1时除数为负，不等号方向要翻转，最后按照数轴表示规则画出解集即可；
（2）分别求解两个不等式的解集，第一个不等式先去括号再移项合并求解，第二个不等式先去分母消去分数再依次化简求解，最后根据“同小取小”的口诀确定不等式组的公共解集。
16．【答案】（1）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵平分，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴．
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质；等腰三角形的判定；勾股定理
【解析】【分析】本题综合考查角平分线的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与勾股定理的应用。
（1）先根据角平分线的定义得到一组相等的角，再由平行线的内错角相等进行角的等量代换，推出，最后根据等角对等边即可证明线段相等；
（2）先利用角平分线上的点到角两边距离相等，得到DC与DF长度相等，再在直角三角形CDE中用勾股定理求出CE的长度，结合第一问的结论得到BE的长度，进而求出BC的总长度，最后在直角三角形BCD中用勾股定理计算出BD的长度。
17．【答案】（1）解：如图所示，即为所求；
∵△ABC经过平移后得到的，点C的坐标为（-1，3），点的坐标为（4，0），
∴△ABC向右平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度得到，
∵点B的坐标为（-2，1），点A的坐标为（-3，5），
∴点的坐标为（2，2），点的坐标为（3，-2）；
（2）解：如图所示，即为所求；
∵△ABC和关于原点O成中心对称，点B的坐标为（-2，1），
∴点；
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移；坐标与图形变化﹣中心对称；作图﹣中心对称
【解析】【分析】本题考查平移作图、中心对称作图以及坐标变化规律。
（1）先对比点C和平移后点的横、纵坐标变化，确定整体的平移方向与距离，再按照相同的平移规则计算出点的坐标，依次描出三个顶点并连线即可得到平移后的三角形；
（2）根据关于原点中心对称的点的坐标特征：横、纵坐标均互为相反数，分别计算出三个顶点对称后的坐标，描点后顺次连接即可得到中心对称后的三角形，同时写出点的坐标。
18．【答案】（1）解：设1个熊猫哪吒的售价为元，1个白龙敖丙的售价为元，根据题意得，
解得：
答：1个熊猫哪吒的售价为元，1个白龙敖丙的售价为元
（2）解：设购买熊猫哪吒公仔个，则白龙敖丙公仔个，根据题意得
解得：
设总费用为，则
∵，
∴当时，取得最小值，
最省钱的购买方案为：购买熊猫哪吒公仔个，白龙敖丙公仔个，费用最少．
【知识点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的其他应用
【解析】【分析】本题考查二元一次方程组的应用及一次函数的最值问题，解题需先通过方程组求出单价，再结合不等式和函数性质设计方案。
(1)设1个熊猫哪吒售价为元，1个白龙敖丙售价为元，根据“3个熊猫哪吒+4个白龙敖丙=170元”和“2个熊猫哪吒+1个白龙敖丙=80元”，列出方程组，解方程组可得，；
(2)设购买熊猫哪吒个，则白龙敖丙为个，根据“熊猫哪吒数量≥3×白龙敖丙数量”，列出不等式，解得。设总费用为元，可得，因，随的增大而增大，故当取最小值75时，最小，此时，即最省钱的方案为购买熊猫哪吒75个，白龙敖丙25个。
（1）解：设1个熊猫哪吒的售价为元，1个白龙敖丙的售价为元，根据题意得，
解得：
答：1个熊猫哪吒的售价为元，1个白龙敖丙的售价为元
（2）解：设购买熊猫哪吒公仔个，则白龙敖丙公仔个，根据题意得
解得：
设总费用为，则
∵，
∴当时，取得最小值，
最省钱的购买方案为：购买熊猫哪吒公仔个，白龙敖丙公仔个，费用最少．
19．【答案】（1）解：①2；1；7；
③画出函数图象，如图所示：
（2）增大
（3）或；
【知识点】一次函数的图象；一次函数图象与几何变换；两一次函数图象相交或平行问题；一次函数的性质；描点法画函数图象
【解析】【解答】解：（1）①当时，；当时，，
，
解得，
函数的解析式为，
把代入得，
；
（2）根据函数图象可知：当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大；
（3）①根据函数图象可知，当或时，的函数值大于等于5，
∴不等式的解集为：或；
②把代入得：，
把代入得：，
解得：，
如图，当时，对于x的每一个值，函数的值小于函数的值且小于7，的值应该满足当．
【分析】本题考查含绝对值的一次函数的图象与性质探究，结合了函数与不等式的综合应用。
（1）①选取表格中两组已知的x、y值代入函数解析式，得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组求出a和b的值，确定函数解析式后，将代入解析式即可计算出m的值；②③根据表格中的坐标完成描点，再用平滑线条连接即可得到V型的函数图象；
（2）结合函数图象的走势，观察对称轴右侧的函数变化趋势，直接得出函数的增减性；
（3）①观察函数图象中函数值大于等于5时对应的x的取值范围，即可得到不等式的解集；②先求出时绝对值函数的函数值，将该点坐标代入一次函数求出对应的t值，再结合图象分析时的函数大小关系，确定t的取值。
20．【答案】（1）；
（2）解：如图，将绕点顺时针旋转得到，连接，
由旋转的性质可得：，，，
又∵在等腰直角中，，
∴
∴
，
，
在和中，
，
，
，
∵，
∴
在中，
∴
（3）解：，
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：（1）由旋转的性质可得：，，，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
故答案为：，；
（3）直角中，，，
∴，
取中点，连接
∴，
∴是等边三角形，
∵，
∴，
如图，将绕点顺时针旋转得到，连接，
是等边三角形，
，
由旋转的性质可得：，，，，
，
，
，，
，
，
作交的延长线于点，
，
，
，
，
，
，
∵，，
∴
设，则，，
∴，
，，
在中，
∴
解得：，
．
【分析】本题属于几何变换综合题，考查旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理以及特殊直角三角形的性质，核心是利用旋转构造全等三角形转化线段。
（1）根据旋转的性质得到对应边相等、对应角相等，结合已知的45°角推导出一组相等的夹角，利用SAS证明两个三角形全等，再根据全等三角形对应边相等，结合线段的和差关系即可得到三条线段的数量关系；
（2）沿用第一问的旋转思路，将绕点A顺时针旋转90°得到，连接MD，先通过SAS证明与全等，将DE转化为MD，再证明是直角三角形，利用勾股定理求出MD的长度，即为DE的长度；
（3）先根据含30°角的直角三角形的性质直接求出BC的长度；取BC中点F并连接AF，构造等边三角形，再将绕点A顺时针旋转60°得到，连接DG，通过SAS证明与全等，将DE转化为DG；过G作BC延长线的垂线构造直角三角形，设DE为未知数，用含未知数的式子表示出直角三角形的各边，最后根据勾股定理列方程求解，即可得到DE的长度。
1 / 1

展开更多......

收起↑