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2026年广东茂名市高州市四校创优中考模拟考试一模数学试题
1．的相反数等于（　　）
A． B．2025 C． D．
【答案】D
【知识点】负整数指数幂；相反数的意义与性质
【解析】【解答】解：∵，
∴的相反数为．
故选：D．
【分析】本题考查负整数指数幂运算与相反数的定义，需分两步推导结果。首先根据负整数指数幂的运算法则（，为正整数），计算得到；再依据相反数的概念，即只有符号不同的两个数互为相反数，对上述结果改变符号，即可得到最终答案。
2．《哪吒之魔童闹海》作为中国首部破百亿电影，登顶全球影史票房榜第五名，截至2026年4月17日，总票房大约为亿元，数据亿用科学记数法表示为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：亿
故答案为：C
【分析】本题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的标准形式为，其中，为整数。解题时先将“亿”换算为对应数量级，把156.98亿转化为不带单位的整数，再将小数点向左移动至第一个非零数字后方，小数点移动的位数即为的数值，据此确定与的值后即可匹配正确选项。
3．窗花是中国古老的汉族传统民间艺术之一，深受国内外人士所喜爱．下列窗花剪纸中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项不符合题意；
C、是中心对称图形，不是轴对称图形，故选项不符合题意；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故选项符合题意．
故答案为：D
【分析】本题考查轴对称图形与中心对称图形的概念辨识，需分别依据两类图形的定义逐一验证选项。轴对称图形的判定标准为：沿某条直线折叠后，直线两侧的部分能够完全重合；中心对称图形的判定标准为：绕某一点旋转后，图形能够与自身完全重合。依次对四个选项验证两个判定条件，同时满足两类图形特征的即为正确答案。
4．如下是今年高州市“五一小长假”的几个热门旅游景区的票价一览表，下列说法中不正确的是（ ）
景区名称 玉湖风景区 仙人洞风景区 粤龙山风景区 古郡越野 古郡水上乐园
票价（元） 28 184 28 100 80
A．平均数是84 B．中位数是100 C．众数是28 D．极差是156
【答案】B
【知识点】平均数及其计算；中位数；众数；极差
【解析】【解答】解：将5个票价数据从小到大排序，得：
计算平均数：选项A正确；
计算中位数：5个数据的中位数是排序后第3个数据，即中位数为，选项B错误；
计算众数：数据中出现次数最多众数为，选项C正确；
计算极差：极差最大值最小值选项D正确．
故答案为：B
【分析】本题考查平均数、中位数、众数、极差四个统计量的计算，需先将票价数据按从小到大排序，再分别根据各统计量的定义计算验证。平均数为所有数据之和除以数据总个数；5个数据的中位数为排序后第3个数据；众数是一组数据中出现次数最多的数值；极差是数据中最大值与最小值的差。分别计算四个统计量的结果，与选项逐一比对即可找出错误表述。
5．如图为一个乐高积木示意图，这个几何体的俯视图为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：从上面看这个几何体，看到的图形为：．
故答案为：C
【分析】本题考查几何体的三视图判断，俯视图是从物体正上方向下观察得到的平面图形。解题时需明确组合几何体的上下层结构，从上方观察时，可见的轮廓线用实线表示，被遮挡的部分无需呈现，据此匹配对应的平面图形即可。
6．在一个不透明的口袋中，装有若干个红球，3个蓝球，5个黄球，除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球实验发现，摸到红球的频率是0.2，则估计盒子中大约有红球（ ）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【知识点】利用频率估计概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：设盒子中红球有个
∵ 口袋中总球数为，大量试验后摸到红球的频率稳定为，即摸到红球的概率为
∴ 列方程得
得，
解得：
经检验，是原方程的解，符合题意，
因此估计盒子中大约有红球2个．
故答案为：A
【分析】本题考查用频率估计概率的实际应用，大量重复试验下，事件发生的频率会稳定在对应概率附近，因此可认为摸到红球的概率为0.2。设红球数量为未知数，根据“红球个数÷球的总个数=摸到红球的概率”列出分式方程，求解方程并检验后，即可得到红球的估计数量。
7．函数中自变量的取值范围是（ ）
A． B．
C．且 D．且
【答案】C
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件；函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：∵函数包含二次根式和分式，
∴需满足两个条件：
1 .二次根式的被开方数非负，即，
2 .分式的分母不为0，即.
解不等式得，
由得.
因此自变量的取值范围是且．
故答案为：C
【分析】本题考查函数自变量取值范围的求解，需同时满足二次根式与分式有意义的条件。二次根式有意义要求被开方数为非负数，据此列出关于的不等式；分式有意义要求分母不为0，据此列出第二个限制条件。联立两个条件求解不等式，取公共部分即可得到自变量的取值范围。
8．如图，点是平分线上的一点，交于，于点，若，，则的长为（ ）
A． B．2 C．1 D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：过点作，
∵D是平分线上的一点，，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：B
【分析】本题综合考查角平分线的性质、平行线的性质与直角三角形的性质。先过点作的垂线段，利用角平分线上的点到角两边的距离相等，可得该垂线段与长度相等；再结合角平分线定义求出的度数，由平行线的同位角相等得到的度数，同时通过内错角相等推导出为等腰三角形，得到的长度；最后在含角的直角三角形中，利用30°角所对直角边等于斜边一半的性质求出垂线段长度，即可得到的值。
9．高州市开展双创工作，城建局计划对市中心一块正方形的空地美化，设计如图所示，空地正中间修建一个圆形喷泉，在四个角修建四个四分之一圆形花圃，其余部分铺上鹅卵石．喷泉和花圃的半径都相同，喷泉边缘到空地边界的距离为4m，铺上鹅卵石区域的面积为，设水池半径为，可列出方程（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设水池半径为，
则正方形的面积为：，
喷泉和花圃的面积为：，
则．
故答案为：D
【分析】本题考查一元二次方程的几何面积类实际应用，核心等量关系为“正方形空地面积 - 喷泉与花圃的总面积 = 鹅卵石区域面积”。先根据水池半径和喷泉到边界的距离表示正方形边长：左右两侧各有4m距离，加上圆的直径，因此正方形边长为；再计算圆形区域总面积：中间1个整圆加四个四分之一圆，合计相当于2个半径为的圆，面积为。将两部分面积代入等量关系即可列出方程。
10．如下图是茂名市滨海新区规划建设的“智慧农业示范园”，其中一块菱形试验田边长为2米，设计角．如图2，为适应季节性作物轮作，需折叠田埂和，使两角顶点重合于田地对角线上的调节点，、为折叠后新田埂，设米．下列判断正确的是（ ）
①当时，米；
②田埂总长度随变化而改变；
③折叠后六边形种植区的最大面积为平方米；
④六边形种植区的周长保持不变．
A．①②③ B．①④ C．②③④ D．①②③④
【答案】B
【知识点】菱形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：如图，
在菱形中，、为折叠后新田埂
∴与相互垂直平分，
∴是菱形，
同理是菱形，
是平行四边形，是平行四边形，
∵．
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故①正确，
∵，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故②错误；
∵，
则，
∵，
则，
∵，
∴菱形的面积为：，
则折叠后六边形种植区的面积为：，
当时，面积取得最大为：；
故③错误；
∵，
∴，，
六边形种植区的周长为：，
∴周长保持不变，
故④正确．
故答案为：B
【分析】本题综合考查菱形的性质、折叠的性质与二次函数的最值，需对四个结论逐一推导验证。首先根据折叠性质可推导出四边形、均为菱形，结合菱形内角与对角线的性质可求出的总长度；当时，先计算的长度，用减去即可得到，验证结论①。分别用含的式子表示和的长度，求和后判断结果是否为定值，以此验证结论②。六边形面积可通过菱形总面积减去两个小三角形的面积得到，整理为关于的二次函数解析式，结合二次函数性质求出最大值，验证结论③。分别用表示出六边形的六条边长，求和后判断周长是否为定值，验证结论④，最终综合四个结论的正误选出正确选项。
11．若实数、满足，则　 　．
【答案】
【知识点】有理数的乘方法则；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：任意实数的绝对值为非负数，任意非负数的算术平方根为非负数，若两个非负数的和为，则每个非负数都为，
，，
解得，，
将，代入得：．
故答案为：-8
【分析】本题考查绝对值与算术平方根的非负性，以及有理数乘方运算。任意实数的绝对值均为非负数，非负数的算术平方根也为非负数，若两个非负数的和为0，则每个非负数都必须等于0。据此分别列方程求出、的值，再代入中进行乘方计算即可得到结果。
12．分解因式：x4-1=　 　
【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：x4-1=（x2+1）（x2-1）=（x2+1）（x+1）（x-1）；
故答案为（x2+1）（x+1）（x-1）.
【分析】连续两次利用平方差公式分解即可.
13．某中学举行的五四青年节文艺比赛中，5名参赛选手的成绩分别是：8，7，8，7，10，这5名选手的方差是　 　．
【答案】
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵，
∴．
故答案为：
【分析】本题考查方差的计算，方差是反映一组数据波动大小的统计量。计算时先求出这组数据的平均数，再根据方差公式，依次计算每个数据与平均数的差的平方，求和后除以数据总个数即可得到方差。
14．已知，则代数式的值是　 　．
【答案】5
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：
∴
．
故答案为：5
【分析】本题考查代数式的整体代入求值，无需单独求出和的具体数值。先对已知等式移项变形，得到的数值；再将待求代数式提取公因式，整理为含有的形式，最后将的值整体代入计算即可得到结果。
15．如图，将一个矩形纸片三次折叠：第一次沿折线折叠，使角落在边的点；第二次展开后沿折线折叠，使角落在折痕的点；第三次沿折线折叠，使角恰好落在折痕的点．已知折叠后，纸片无拉伸，则　 　．
【答案】
【知识点】矩形的判定与性质；正方形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵矩形纸片，
∴，
∵折叠，
∴，，，，
∴，四边形为正方形，，
∴，，，，
∴，为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：
【分析】本题综合考查矩形的性质与折叠的性质，需结合全等三角形、等腰直角三角形的性质求解。由第一次折叠可推出四边形为正方形，得到；由第二次折叠可知与长度相等，且垂直于，因此为等腰直角三角形，据此可求出的长度，进而得到的长度，也就是的长度。再根据三次折叠的角度关系，可推导出，结合等角的余角相等得到一组相等的角，配合、直角相等的条件，证明与全等，得到与长度相等。最后将与相加即可得到的长度。
16．先化简，再从不等式的正整数解中，选一个使原式有意义的数代入求值．
【答案】解：
，
∵，
∴，
∴其正整数解为，，，，
∵且，
∴当时，原式，
或当时，原式．
【知识点】分式有无意义的条件；一元一次不等式的特殊解；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】本题考查分式的混合运算化简，先对分子分母分别因式分解，分子用完全平方公式，分母用平方差公式；再计算括号内的分式减法，通分后合并；最后将除法转化为乘法，约去公因式即可得到最简结果；解一元一次不等式得到解集，找出其中的正整数解，再根据分式有意义的条件，即分母不为0、除式不为0，排除使原式无意义的数值，选取剩余的正整数代入最简分式计算即可。
17．在高州市曹江镇新开发了一个旅游景点“高州第一滩”，今年的“五一劳动节”假期吸引了大量的游客前往游玩，但是也留下了很多废弃的垃圾，由此党委镇政府也成立了“河滩清洁行动”小组．现有甲、乙两支志愿者队伍同时从河滩入口出发前往不同区域清理垃圾．甲队出发1分钟后乙队才出发，（米）表示两队离河滩入口的距离，（分钟）表示甲队行走的时间．图中两条直线分别表示甲、乙两队离河滩入口的距离与甲队行走时间的函数关系．
（1）求甲队离河滩入口的距离与行走时间的函数关系式．
（2）若河滩上有一处距离入口800米的区域垃圾较多，问哪支队伍先到达该区域？早到几分钟？
【答案】（1）解：由图可设甲与行走时间的函数关系式：
已知当时，，
代入可得，
解得，
甲队行走的距离与时间的函数关系式为：
（2）解：设乙队行走的距离与甲队行走时间的函数关系式为∵乙队时出发，当时，，
此时甲队，
即；
当时，
把和代入
得：
解得，
所以乙队离河滩入口的距离与行走时间的函数关系式为
对于甲队，当时，，
解得
对于乙队，当时，，
解得
所以乙队先到达该区域，早到分钟．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）甲队从起点出发，距离与时间成正比例函数关系，设解析式为，将图像上、的已知点代入解析式，求解得到的值，即可确定甲队的函数关系式；
（2）先确定乙队函数图象上的两个点坐标：乙队时出发，对应；时两队相遇，利用甲的函数式求出此时的距离，得到第二个点的坐标。用待定系数法求出乙队的函数解析式后，分别将代入两个函数式，求出两队到达800米处对应的值，比较两个时间的大小并计算差值，即可判断哪支队伍先到达以及早到的时长。
（1）解：由图可设甲与行走时间的函数关系式：
已知当时，，
代入可得，
解得，
甲队行走的距离与时间的函数关系式为：
（2）解：设乙队行走的距离与甲队行走时间的函数关系式为
∵乙队时出发，当时，，
此时甲队，
即；
当时，
把和代入
得：
解得，
所以乙队离河滩入口的距离与行走时间的函数关系式为
对于甲队，当时，，
解得
对于乙队，当时，，
解得
所以乙队先到达该区域，早到分钟．
18．为助力茂名市创建“全国文明城市”，某中学积极响应全民健身号召，在“五四青年节”期间组织全校学生参与体能达标测试，随机抽取部分学生成绩进行统计，将结果分为A，B，C，D四个等级，绘制如下图表．请结合图表信息解答问题：成绩等级频数分布表
成绩等级频数分布表 成绩等级频数A24B10CD2合计
（1）根据创文工作要求，达标率需高于．请补全表格______，______，并计算扇形图中表示C等级的圆心角度数为______度；
（2）为选拔学生代表参加“茂名市青少年体育竞赛”，学校需从A等级的甲、乙、丙三名学生中随机抽取两人组队．请用列表法或树状图法，求恰好抽到甲和乙的概率．
【答案】（1）4，40，36
（2）解：画树状图如下：
共有6种等可能的情况，其中恰好抽到甲和乙的情况有2种，
∴恰好抽到甲和乙的概率为．
【知识点】频数（率）分布表；扇形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】（1）解：根据题意得，，
，
∴扇形图中表示C等级的圆心角度数为；
【分析】（1）先根据B等级的频数和对应的扇形占比，用“频数÷对应占比”求出抽取的学生总人数；再用总人数减去A、B、D三个等级的频数，得到C等级的频数；最后用乘以C等级人数占总人数的比例，即可得到C等级对应的扇形圆心角度数；
（2）通过画树状图或列表的方式，列举出从三名学生中抽取两人的所有等可能结果，再统计出恰好抽到甲和乙的结果数，根据“概率=符合条件的结果数÷总结果数”的公式计算，即可得到对应概率。
（1）解：根据题意得，，
，
∴扇形图中表示C等级的圆心角度数为；
（2）解：画树状图如下：
共有6种等可能的情况，其中恰好抽到甲和乙的情况有2种，
∴恰好抽到甲和乙的概率为．
19．如图1，位于茂名市滨海新区的“小东江观景台”呈圆形，其直径为江面主景观轴，是连接观景台入口的弧形步道．点为江畔的“灯塔广场”，经测量发现（视角与观景台结构角相等）．
（1）请证明：与相切．
（2）如图2，为优化景区路线，规划部门将灯塔广场与步道端点及观景台中心连接，新增道路、，并测得主景观轴长度．证明：；
【答案】（1）证明：是直径，
，
，
，
，
，
为半径，
是的切线；
（2）解：如图所示，连接
在和中，
，
，
又，
，
为的直径，
，
，
．
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；切线的判定；三角形全等的判定-SSS；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）根据直径所对的圆周角为直角，可得，因此与互余；结合已知的，通过等量代换可推出，即垂直于半径，再依据切线的判定定理即可证明是圆的切线；
（2）连接，先利用SSS判定定理证明与全等，得到对应角相等，即平分；再结合的条件，根据等腰三角形三线合一的性质，可得垂直于；最后由直径所对圆周角为直角可知也垂直于，根据“垂直于同一直线的两条直线互相平行”即可证得与平行。
（1）证明：是直径，
，
，
，
，
，
为半径，
是的切线；
（2）解：如图所示，连接
在和中，
，
，
又，
，
为的直径，
，
，
．
20．三八妇女节（国际劳动妇女节）是为庆祝妇女在经济、政治和社会等领域作出的重要贡献和取得的巨大成就而设立的节日，体现对女性权益的重视，倡导尊重女性、关爱女性的社会风尚．某单位准备购买护肤套装和生活用品套装共套分发给员工过节．其中护肤套装比生活用品套装每套贵元．
（1）若用元购买护肤套装与用元购买生活用品套装的数量相同，求护肤套装和生活用品套装每套的价格；
（2）在（1）的条件下，若购买生活用品套装数量不超过护肤套装数量的倍，如何购买才能使总费用最少？
【答案】（1）解：设生活用品套装每套的价格为元，则护肤套装每套的价格为元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
答：生活用品套装每套的价格为元，护肤套装每套的价格元；
（2）解：设购买护肤套装为套，则购买生活用品套装为套，
由题意得：，
解得：，
设总费用为元，
则 ，
，
随的增大而增大，
当时，最小，
此时，，
答：购买护肤套装为套，购买生活用品套装为套时，总费用最少．
【知识点】一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用-方案问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设生活用品套装的单价为未知数，可表示出护肤套装的单价；根据“总价÷单价=数量”，分别表示出两种套装的购买数量，再利用“购买数量相同”这一等量关系列出分式方程，求解并检验后即可得到两种套装的单价；
（2）设购买护肤套装的数量为未知数，可表示出生活用品套装的数量；根据“生活用品套装数量不超过护肤套装数量的2倍”列出不等式，求解得到护肤套装数量的取值范围。再根据“总费用=护肤套装费用+生活用品套装费用”列出总费用关于数量的一次函数解析式，结合一次函数的增减性，在取值范围内找到使总费用最小的方案即可。
（1）解：设生活用品套装每套的价格为元，则护肤套装每套的价格为元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
答：生活用品套装每套的价格为元，护肤套装每套的价格元；
（2）解：设购买护肤套装为套，则购买生活用品套装为套，
由题意得：，
解得：，
设总费用为元，
则 ，
，
随的增大而增大，
当时，最小，
此时，，
答：购买护肤套装为套，购买生活用品套装为套时，总费用最少．
21．综合与实践∶
【问题背景】鲜艳的中华人民共和国国旗始终是当代中华儿女永不褪色的信仰，国旗上的每颗星都是标准五角星，为了增强学生的国家荣誉感、民族自豪感等，数学老师组织学生对五角星进行了较深入的研究，其中智慧数学小组发现国旗上五角星的五个角都是顶角为 的等腰三角形，对此三角形产生了极大的兴趣并展开探究．
【探究发现】如图 1，在 中，
（1）操作发现：将 折叠，使边落在边上，点C的对应点是点E，折痕交于点 D，连接，则 °，设， 那么 （用含x的式子表示）；
（2）进一步探究发现：顶角为的等腰三角形的底与腰的比值为 这个比值被称为黄金比．请在 （1）的条件下证明： ．
【拓展应用】当等腰三角形的底与腰的比等于黄金比时，这个三角形叫做黄金三角形．例如，图 1 中的 是黄金三角形．
（3）如图2， 在菱形中，．求这个菱形较长对角线的长．
【答案】（1）72，；
（2）证明：，，
．
由折叠知，
，
又，
，
，
即，
整理得：，
解得：（舍去），
；
（3）解：菱形较长对角线．
如图3，在上截取，连接，
得是顶角为的等腰三角形，即黄金三角形，
根据黄金三角形的底与腰的比值为，由，
可得，
．
，，
，
．
，
，
，
，
．
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；黄金分割；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】（1）解：根据折叠可知．
，
；
根据折叠可知，，，
，
，
，
．
故答案为：72，；
【分析】（1）根据折叠可知，根据三角形内角和定理可得∠BDC，再根据折叠性质可得，，，根据三角形内角和定理可得∠ADE，根据等角对等边可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
（2）根据等边对等角可得，由折叠知，根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得x值，再根据边之间的关系即可求出答案.（3）在上截取，连接，得是顶角为的等腰三角形，即黄金三角形，根据黄金三角形的底与腰的比值为，由，则，根据等边对等角及三角形内角和定理可得∠AED，根据补角可得∠CED，根据等边对等角可得，再根据等角对等边可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
22．【生活情境】
为提升城市防洪排涝能力，某市对矩形雨水调蓄池进行扩建，原池长，宽（如图①）．改造后形成调蓄池（简称调蓄池1），用于雨季蓄水减灾：同时新建周长为的防洪滞洪池（如图②），通过弹性扩容缓解内涝压力．
【建立模型】
设调蓄池1的边扩建长度为，扩建后蓄水面积为，则；设滞洪池的边长为，滞洪面积为，则．两函数图象如图③．
【问题解决】
（1）若滞洪池的滞洪面积随长度增加而减小，则的取值范围是______，滞洪池的最大调洪容量为______；
（2）当调蓄池1的蓄水面积大于滞洪池的滞洪面积时，求的取值范围；
（3）在范围内，求两池协同治水时面积差的最大值及对应的值．
【答案】（1）；9
（2）解：由图像得，两函数交于点，，
所以，表示两个水池面积相等的点是，，
联立方程组
解得：，，
，，
由图像知：图像中点C的左侧部分和点E的右侧部分，一次函数的函数值大于二次函数的函数值，
当或时调蓄池1的蓄水面积大于滞洪池的滞洪面积；
（3）解：在范围内，由图像知滞洪池的滞洪面积大于调蓄池1的蓄水面积，
两个水池面积差
，
，
函数有最大值，
当时，函数有最大值，为，
当时，面积差的最大值为．
【知识点】二次函数的最值；二次函数的实际应用-几何问题；二次函数-面积问题
【解析】【解答】（1）解：，
，
抛物线的开口方向向下，当时，滞洪池的滞洪面积随长度增加而减小，
，
当时，滞洪池的滞洪面积随长度增加而减小，滞洪池的最大调洪容量为；
【分析】（1）先将滞洪池面积的二次函数解析式配方为顶点式，根据二次项系数小于0可知抛物线开口向下，对称轴右侧函数值随自变量增大而减小，结合的取值范围即可得到面积递减时的取值范围；抛物线顶点对应的函数值即为滞洪面积的最大值；
（2）调蓄池面积大于滞洪池面积，对应一次函数图象在二次函数图象上方的部分。联立两个函数的解析式组成方程组，求解得到两个交点的横坐标；结合函数图象的上下位置关系，即可写出对应的取值范围；
（3）在范围内，滞洪池面积大于调蓄池面积，因此面积差为，代入解析式整理得到关于的二次函数，配方为顶点式后，结合自变量的取值范围，即可求出面积差的最大值以及对应的值。
（1）解：，
，
抛物线的开口方向向下，当时，滞洪池的滞洪面积随长度增加而减小，
，
当时，滞洪池的滞洪面积随长度增加而减小，滞洪池的最大调洪容量为；
（2）解：由图像得，两函数交于点，，
所以，表示两个水池面积相等的点是，，
联立方程组
解得：，，
，，
由图像知：图像中点C的左侧部分和点E的右侧部分，一次函数的函数值大于二次函数的函数值，
当或时调蓄池1的蓄水面积大于滞洪池的滞洪面积；
（3）解：在范围内，由图像知滞洪池的滞洪面积大于调蓄池1的蓄水面积，
两个水池面积差，
，
函数有最大值，
当时，函数有最大值，为，
当时，面积差的最大值为．
23．【问题提出】
（1）如图1，高州根子镇荔枝产业园规划矩形示范区，点、为无人采摘车导航基站．连接运输路径与交于点，因古荔枝树保护要求，试证明：古树保护区运输效率比：
【迁移应用】
（2）如图2，冼太文化广场采用平行四边形光伏地砖米，米．点、为智慧照明节点，连接电路与交于点．若（象征文化传承与科技融合），求电路优化比的值；
【拓展提高】
（3）如图3，高州龙眼电商物流网络中，四边形为乡镇集散中心．点为冷链中转站，连接主干道与．已知（对应冷链时效黄金三角），且仓库容量比中根子镇与分界镇配比为，曹江镇与泗水镇配比为．请直接写出物流最优比的值．
【答案】(1) 证明：四边形是矩形，
，
，
，
，
，
(2)解：，
，
，，
四边形是平行四边形
，，
，
，
，
，
，
即
，
(3)
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；矩形的性质；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】（3）解：如图所示，过点作，交延长线于，过点作，交延长线于，则四边形是平行四边形，
，
同（2）可得
，设，
在上取一点使得，连接，
，
，
是等边三角形
，
，
，
设，则，
解得：
．
【分析】（1）根据矩形的性质可得，结合，通过同角的余角相等推导出一组对应角相等，进而证明与相似，由相似三角形对应边成比例得到比例式，再结合矩形对边相等，等量代换即可证得结论；
（2）先利用补角的性质推导出，结合公共角证明与相似，得到一组边的比例关系；再结合平行四边形的性质，通过角度推导证明与相似，得到另一组边的比例关系；联立两组比例式进行等量代换，最终推导出，代入边长数值即可求出比值；
（3）通过作平行线构造平行四边形与等边三角形，结合已知的角推导角的等量关系，证明三角形相似，利用相似比结合已知的线段比例，逐步推导计算即可得到的比值。
1 / 12026年广东茂名市高州市四校创优中考模拟考试一模数学试题
1．的相反数等于（　　）
A． B．2025 C． D．
2．《哪吒之魔童闹海》作为中国首部破百亿电影，登顶全球影史票房榜第五名，截至2026年4月17日，总票房大约为亿元，数据亿用科学记数法表示为（　　）
A． B．
C． D．
3．窗花是中国古老的汉族传统民间艺术之一，深受国内外人士所喜爱．下列窗花剪纸中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
4．如下是今年高州市“五一小长假”的几个热门旅游景区的票价一览表，下列说法中不正确的是（ ）
景区名称 玉湖风景区 仙人洞风景区 粤龙山风景区 古郡越野 古郡水上乐园
票价（元） 28 184 28 100 80
A．平均数是84 B．中位数是100 C．众数是28 D．极差是156
5．如图为一个乐高积木示意图，这个几何体的俯视图为（ ）
A． B． C． D．
6．在一个不透明的口袋中，装有若干个红球，3个蓝球，5个黄球，除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球实验发现，摸到红球的频率是0.2，则估计盒子中大约有红球（ ）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
7．函数中自变量的取值范围是（ ）
A． B．
C．且 D．且
8．如图，点是平分线上的一点，交于，于点，若，，则的长为（ ）
A． B．2 C．1 D．
9．高州市开展双创工作，城建局计划对市中心一块正方形的空地美化，设计如图所示，空地正中间修建一个圆形喷泉，在四个角修建四个四分之一圆形花圃，其余部分铺上鹅卵石．喷泉和花圃的半径都相同，喷泉边缘到空地边界的距离为4m，铺上鹅卵石区域的面积为，设水池半径为，可列出方程（ ）
A． B．
C． D．
10．如下图是茂名市滨海新区规划建设的“智慧农业示范园”，其中一块菱形试验田边长为2米，设计角．如图2，为适应季节性作物轮作，需折叠田埂和，使两角顶点重合于田地对角线上的调节点，、为折叠后新田埂，设米．下列判断正确的是（ ）
①当时，米；
②田埂总长度随变化而改变；
③折叠后六边形种植区的最大面积为平方米；
④六边形种植区的周长保持不变．
A．①②③ B．①④ C．②③④ D．①②③④
11．若实数、满足，则　 　．
12．分解因式：x4-1=　 　
13．某中学举行的五四青年节文艺比赛中，5名参赛选手的成绩分别是：8，7，8，7，10，这5名选手的方差是　 　．
14．已知，则代数式的值是　 　．
15．如图，将一个矩形纸片三次折叠：第一次沿折线折叠，使角落在边的点；第二次展开后沿折线折叠，使角落在折痕的点；第三次沿折线折叠，使角恰好落在折痕的点．已知折叠后，纸片无拉伸，则　 　．
16．先化简，再从不等式的正整数解中，选一个使原式有意义的数代入求值．
17．在高州市曹江镇新开发了一个旅游景点“高州第一滩”，今年的“五一劳动节”假期吸引了大量的游客前往游玩，但是也留下了很多废弃的垃圾，由此党委镇政府也成立了“河滩清洁行动”小组．现有甲、乙两支志愿者队伍同时从河滩入口出发前往不同区域清理垃圾．甲队出发1分钟后乙队才出发，（米）表示两队离河滩入口的距离，（分钟）表示甲队行走的时间．图中两条直线分别表示甲、乙两队离河滩入口的距离与甲队行走时间的函数关系．
（1）求甲队离河滩入口的距离与行走时间的函数关系式．
（2）若河滩上有一处距离入口800米的区域垃圾较多，问哪支队伍先到达该区域？早到几分钟？
18．为助力茂名市创建“全国文明城市”，某中学积极响应全民健身号召，在“五四青年节”期间组织全校学生参与体能达标测试，随机抽取部分学生成绩进行统计，将结果分为A，B，C，D四个等级，绘制如下图表．请结合图表信息解答问题：成绩等级频数分布表
成绩等级频数分布表 成绩等级频数A24B10CD2合计
（1）根据创文工作要求，达标率需高于．请补全表格______，______，并计算扇形图中表示C等级的圆心角度数为______度；
（2）为选拔学生代表参加“茂名市青少年体育竞赛”，学校需从A等级的甲、乙、丙三名学生中随机抽取两人组队．请用列表法或树状图法，求恰好抽到甲和乙的概率．
19．如图1，位于茂名市滨海新区的“小东江观景台”呈圆形，其直径为江面主景观轴，是连接观景台入口的弧形步道．点为江畔的“灯塔广场”，经测量发现（视角与观景台结构角相等）．
（1）请证明：与相切．
（2）如图2，为优化景区路线，规划部门将灯塔广场与步道端点及观景台中心连接，新增道路、，并测得主景观轴长度．证明：；
20．三八妇女节（国际劳动妇女节）是为庆祝妇女在经济、政治和社会等领域作出的重要贡献和取得的巨大成就而设立的节日，体现对女性权益的重视，倡导尊重女性、关爱女性的社会风尚．某单位准备购买护肤套装和生活用品套装共套分发给员工过节．其中护肤套装比生活用品套装每套贵元．
（1）若用元购买护肤套装与用元购买生活用品套装的数量相同，求护肤套装和生活用品套装每套的价格；
（2）在（1）的条件下，若购买生活用品套装数量不超过护肤套装数量的倍，如何购买才能使总费用最少？
21．综合与实践∶
【问题背景】鲜艳的中华人民共和国国旗始终是当代中华儿女永不褪色的信仰，国旗上的每颗星都是标准五角星，为了增强学生的国家荣誉感、民族自豪感等，数学老师组织学生对五角星进行了较深入的研究，其中智慧数学小组发现国旗上五角星的五个角都是顶角为 的等腰三角形，对此三角形产生了极大的兴趣并展开探究．
【探究发现】如图 1，在 中，
（1）操作发现：将 折叠，使边落在边上，点C的对应点是点E，折痕交于点 D，连接，则 °，设， 那么 （用含x的式子表示）；
（2）进一步探究发现：顶角为的等腰三角形的底与腰的比值为 这个比值被称为黄金比．请在 （1）的条件下证明： ．
【拓展应用】当等腰三角形的底与腰的比等于黄金比时，这个三角形叫做黄金三角形．例如，图 1 中的 是黄金三角形．
（3）如图2， 在菱形中，．求这个菱形较长对角线的长．
22．【生活情境】
为提升城市防洪排涝能力，某市对矩形雨水调蓄池进行扩建，原池长，宽（如图①）．改造后形成调蓄池（简称调蓄池1），用于雨季蓄水减灾：同时新建周长为的防洪滞洪池（如图②），通过弹性扩容缓解内涝压力．
【建立模型】
设调蓄池1的边扩建长度为，扩建后蓄水面积为，则；设滞洪池的边长为，滞洪面积为，则．两函数图象如图③．
【问题解决】
（1）若滞洪池的滞洪面积随长度增加而减小，则的取值范围是______，滞洪池的最大调洪容量为______；
（2）当调蓄池1的蓄水面积大于滞洪池的滞洪面积时，求的取值范围；
（3）在范围内，求两池协同治水时面积差的最大值及对应的值．
23．【问题提出】
（1）如图1，高州根子镇荔枝产业园规划矩形示范区，点、为无人采摘车导航基站．连接运输路径与交于点，因古荔枝树保护要求，试证明：古树保护区运输效率比：
【迁移应用】
（2）如图2，冼太文化广场采用平行四边形光伏地砖米，米．点、为智慧照明节点，连接电路与交于点．若（象征文化传承与科技融合），求电路优化比的值；
【拓展提高】
（3）如图3，高州龙眼电商物流网络中，四边形为乡镇集散中心．点为冷链中转站，连接主干道与．已知（对应冷链时效黄金三角），且仓库容量比中根子镇与分界镇配比为，曹江镇与泗水镇配比为．请直接写出物流最优比的值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】负整数指数幂；相反数的意义与性质
【解析】【解答】解：∵，
∴的相反数为．
故选：D．
【分析】本题考查负整数指数幂运算与相反数的定义，需分两步推导结果。首先根据负整数指数幂的运算法则（，为正整数），计算得到；再依据相反数的概念，即只有符号不同的两个数互为相反数，对上述结果改变符号，即可得到最终答案。
2．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：亿
故答案为：C
【分析】本题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的标准形式为，其中，为整数。解题时先将“亿”换算为对应数量级，把156.98亿转化为不带单位的整数，再将小数点向左移动至第一个非零数字后方，小数点移动的位数即为的数值，据此确定与的值后即可匹配正确选项。
3．【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项不符合题意；
C、是中心对称图形，不是轴对称图形，故选项不符合题意；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故选项符合题意．
故答案为：D
【分析】本题考查轴对称图形与中心对称图形的概念辨识，需分别依据两类图形的定义逐一验证选项。轴对称图形的判定标准为：沿某条直线折叠后，直线两侧的部分能够完全重合；中心对称图形的判定标准为：绕某一点旋转后，图形能够与自身完全重合。依次对四个选项验证两个判定条件，同时满足两类图形特征的即为正确答案。
4．【答案】B
【知识点】平均数及其计算；中位数；众数；极差
【解析】【解答】解：将5个票价数据从小到大排序，得：
计算平均数：选项A正确；
计算中位数：5个数据的中位数是排序后第3个数据，即中位数为，选项B错误；
计算众数：数据中出现次数最多众数为，选项C正确；
计算极差：极差最大值最小值选项D正确．
故答案为：B
【分析】本题考查平均数、中位数、众数、极差四个统计量的计算，需先将票价数据按从小到大排序，再分别根据各统计量的定义计算验证。平均数为所有数据之和除以数据总个数；5个数据的中位数为排序后第3个数据；众数是一组数据中出现次数最多的数值；极差是数据中最大值与最小值的差。分别计算四个统计量的结果，与选项逐一比对即可找出错误表述。
5．【答案】C
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：从上面看这个几何体，看到的图形为：．
故答案为：C
【分析】本题考查几何体的三视图判断，俯视图是从物体正上方向下观察得到的平面图形。解题时需明确组合几何体的上下层结构，从上方观察时，可见的轮廓线用实线表示，被遮挡的部分无需呈现，据此匹配对应的平面图形即可。
6．【答案】A
【知识点】利用频率估计概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：设盒子中红球有个
∵ 口袋中总球数为，大量试验后摸到红球的频率稳定为，即摸到红球的概率为
∴ 列方程得
得，
解得：
经检验，是原方程的解，符合题意，
因此估计盒子中大约有红球2个．
故答案为：A
【分析】本题考查用频率估计概率的实际应用，大量重复试验下，事件发生的频率会稳定在对应概率附近，因此可认为摸到红球的概率为0.2。设红球数量为未知数，根据“红球个数÷球的总个数=摸到红球的概率”列出分式方程，求解方程并检验后，即可得到红球的估计数量。
7．【答案】C
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件；函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：∵函数包含二次根式和分式，
∴需满足两个条件：
1 .二次根式的被开方数非负，即，
2 .分式的分母不为0，即.
解不等式得，
由得.
因此自变量的取值范围是且．
故答案为：C
【分析】本题考查函数自变量取值范围的求解，需同时满足二次根式与分式有意义的条件。二次根式有意义要求被开方数为非负数，据此列出关于的不等式；分式有意义要求分母不为0，据此列出第二个限制条件。联立两个条件求解不等式，取公共部分即可得到自变量的取值范围。
8．【答案】B
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：过点作，
∵D是平分线上的一点，，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：B
【分析】本题综合考查角平分线的性质、平行线的性质与直角三角形的性质。先过点作的垂线段，利用角平分线上的点到角两边的距离相等，可得该垂线段与长度相等；再结合角平分线定义求出的度数，由平行线的同位角相等得到的度数，同时通过内错角相等推导出为等腰三角形，得到的长度；最后在含角的直角三角形中，利用30°角所对直角边等于斜边一半的性质求出垂线段长度，即可得到的值。
9．【答案】D
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设水池半径为，
则正方形的面积为：，
喷泉和花圃的面积为：，
则．
故答案为：D
【分析】本题考查一元二次方程的几何面积类实际应用，核心等量关系为“正方形空地面积 - 喷泉与花圃的总面积 = 鹅卵石区域面积”。先根据水池半径和喷泉到边界的距离表示正方形边长：左右两侧各有4m距离，加上圆的直径，因此正方形边长为；再计算圆形区域总面积：中间1个整圆加四个四分之一圆，合计相当于2个半径为的圆，面积为。将两部分面积代入等量关系即可列出方程。
10．【答案】B
【知识点】菱形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：如图，
在菱形中，、为折叠后新田埂
∴与相互垂直平分，
∴是菱形，
同理是菱形，
是平行四边形，是平行四边形，
∵．
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故①正确，
∵，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故②错误；
∵，
则，
∵，
则，
∵，
∴菱形的面积为：，
则折叠后六边形种植区的面积为：，
当时，面积取得最大为：；
故③错误；
∵，
∴，，
六边形种植区的周长为：，
∴周长保持不变，
故④正确．
故答案为：B
【分析】本题综合考查菱形的性质、折叠的性质与二次函数的最值，需对四个结论逐一推导验证。首先根据折叠性质可推导出四边形、均为菱形，结合菱形内角与对角线的性质可求出的总长度；当时，先计算的长度，用减去即可得到，验证结论①。分别用含的式子表示和的长度，求和后判断结果是否为定值，以此验证结论②。六边形面积可通过菱形总面积减去两个小三角形的面积得到，整理为关于的二次函数解析式，结合二次函数性质求出最大值，验证结论③。分别用表示出六边形的六条边长，求和后判断周长是否为定值，验证结论④，最终综合四个结论的正误选出正确选项。
11．【答案】
【知识点】有理数的乘方法则；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：任意实数的绝对值为非负数，任意非负数的算术平方根为非负数，若两个非负数的和为，则每个非负数都为，
，，
解得，，
将，代入得：．
故答案为：-8
【分析】本题考查绝对值与算术平方根的非负性，以及有理数乘方运算。任意实数的绝对值均为非负数，非负数的算术平方根也为非负数，若两个非负数的和为0，则每个非负数都必须等于0。据此分别列方程求出、的值，再代入中进行乘方计算即可得到结果。
12．【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：x4-1=（x2+1）（x2-1）=（x2+1）（x+1）（x-1）；
故答案为（x2+1）（x+1）（x-1）.
【分析】连续两次利用平方差公式分解即可.
13．【答案】
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵，
∴．
故答案为：
【分析】本题考查方差的计算，方差是反映一组数据波动大小的统计量。计算时先求出这组数据的平均数，再根据方差公式，依次计算每个数据与平均数的差的平方，求和后除以数据总个数即可得到方差。
14．【答案】5
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：
∴
．
故答案为：5
【分析】本题考查代数式的整体代入求值，无需单独求出和的具体数值。先对已知等式移项变形，得到的数值；再将待求代数式提取公因式，整理为含有的形式，最后将的值整体代入计算即可得到结果。
15．【答案】
【知识点】矩形的判定与性质；正方形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵矩形纸片，
∴，
∵折叠，
∴，，，，
∴，四边形为正方形，，
∴，，，，
∴，为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：
【分析】本题综合考查矩形的性质与折叠的性质，需结合全等三角形、等腰直角三角形的性质求解。由第一次折叠可推出四边形为正方形，得到；由第二次折叠可知与长度相等，且垂直于，因此为等腰直角三角形，据此可求出的长度，进而得到的长度，也就是的长度。再根据三次折叠的角度关系，可推导出，结合等角的余角相等得到一组相等的角，配合、直角相等的条件，证明与全等，得到与长度相等。最后将与相加即可得到的长度。
16．【答案】解：
，
∵，
∴，
∴其正整数解为，，，，
∵且，
∴当时，原式，
或当时，原式．
【知识点】分式有无意义的条件；一元一次不等式的特殊解；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】本题考查分式的混合运算化简，先对分子分母分别因式分解，分子用完全平方公式，分母用平方差公式；再计算括号内的分式减法，通分后合并；最后将除法转化为乘法，约去公因式即可得到最简结果；解一元一次不等式得到解集，找出其中的正整数解，再根据分式有意义的条件，即分母不为0、除式不为0，排除使原式无意义的数值，选取剩余的正整数代入最简分式计算即可。
17．【答案】（1）解：由图可设甲与行走时间的函数关系式：
已知当时，，
代入可得，
解得，
甲队行走的距离与时间的函数关系式为：
（2）解：设乙队行走的距离与甲队行走时间的函数关系式为∵乙队时出发，当时，，
此时甲队，
即；
当时，
把和代入
得：
解得，
所以乙队离河滩入口的距离与行走时间的函数关系式为
对于甲队，当时，，
解得
对于乙队，当时，，
解得
所以乙队先到达该区域，早到分钟．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）甲队从起点出发，距离与时间成正比例函数关系，设解析式为，将图像上、的已知点代入解析式，求解得到的值，即可确定甲队的函数关系式；
（2）先确定乙队函数图象上的两个点坐标：乙队时出发，对应；时两队相遇，利用甲的函数式求出此时的距离，得到第二个点的坐标。用待定系数法求出乙队的函数解析式后，分别将代入两个函数式，求出两队到达800米处对应的值，比较两个时间的大小并计算差值，即可判断哪支队伍先到达以及早到的时长。
（1）解：由图可设甲与行走时间的函数关系式：
已知当时，，
代入可得，
解得，
甲队行走的距离与时间的函数关系式为：
（2）解：设乙队行走的距离与甲队行走时间的函数关系式为
∵乙队时出发，当时，，
此时甲队，
即；
当时，
把和代入
得：
解得，
所以乙队离河滩入口的距离与行走时间的函数关系式为
对于甲队，当时，，
解得
对于乙队，当时，，
解得
所以乙队先到达该区域，早到分钟．
18．【答案】（1）4，40，36
（2）解：画树状图如下：
共有6种等可能的情况，其中恰好抽到甲和乙的情况有2种，
∴恰好抽到甲和乙的概率为．
【知识点】频数（率）分布表；扇形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】（1）解：根据题意得，，
，
∴扇形图中表示C等级的圆心角度数为；
【分析】（1）先根据B等级的频数和对应的扇形占比，用“频数÷对应占比”求出抽取的学生总人数；再用总人数减去A、B、D三个等级的频数，得到C等级的频数；最后用乘以C等级人数占总人数的比例，即可得到C等级对应的扇形圆心角度数；
（2）通过画树状图或列表的方式，列举出从三名学生中抽取两人的所有等可能结果，再统计出恰好抽到甲和乙的结果数，根据“概率=符合条件的结果数÷总结果数”的公式计算，即可得到对应概率。
（1）解：根据题意得，，
，
∴扇形图中表示C等级的圆心角度数为；
（2）解：画树状图如下：
共有6种等可能的情况，其中恰好抽到甲和乙的情况有2种，
∴恰好抽到甲和乙的概率为．
19．【答案】（1）证明：是直径，
，
，
，
，
，
为半径，
是的切线；
（2）解：如图所示，连接
在和中，
，
，
又，
，
为的直径，
，
，
．
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；切线的判定；三角形全等的判定-SSS；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）根据直径所对的圆周角为直角，可得，因此与互余；结合已知的，通过等量代换可推出，即垂直于半径，再依据切线的判定定理即可证明是圆的切线；
（2）连接，先利用SSS判定定理证明与全等，得到对应角相等，即平分；再结合的条件，根据等腰三角形三线合一的性质，可得垂直于；最后由直径所对圆周角为直角可知也垂直于，根据“垂直于同一直线的两条直线互相平行”即可证得与平行。
（1）证明：是直径，
，
，
，
，
，
为半径，
是的切线；
（2）解：如图所示，连接
在和中，
，
，
又，
，
为的直径，
，
，
．
20．【答案】（1）解：设生活用品套装每套的价格为元，则护肤套装每套的价格为元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
答：生活用品套装每套的价格为元，护肤套装每套的价格元；
（2）解：设购买护肤套装为套，则购买生活用品套装为套，
由题意得：，
解得：，
设总费用为元，
则 ，
，
随的增大而增大，
当时，最小，
此时，，
答：购买护肤套装为套，购买生活用品套装为套时，总费用最少．
【知识点】一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用-方案问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设生活用品套装的单价为未知数，可表示出护肤套装的单价；根据“总价÷单价=数量”，分别表示出两种套装的购买数量，再利用“购买数量相同”这一等量关系列出分式方程，求解并检验后即可得到两种套装的单价；
（2）设购买护肤套装的数量为未知数，可表示出生活用品套装的数量；根据“生活用品套装数量不超过护肤套装数量的2倍”列出不等式，求解得到护肤套装数量的取值范围。再根据“总费用=护肤套装费用+生活用品套装费用”列出总费用关于数量的一次函数解析式，结合一次函数的增减性，在取值范围内找到使总费用最小的方案即可。
（1）解：设生活用品套装每套的价格为元，则护肤套装每套的价格为元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
答：生活用品套装每套的价格为元，护肤套装每套的价格元；
（2）解：设购买护肤套装为套，则购买生活用品套装为套，
由题意得：，
解得：，
设总费用为元，
则 ，
，
随的增大而增大，
当时，最小，
此时，，
答：购买护肤套装为套，购买生活用品套装为套时，总费用最少．
21．【答案】（1）72，；
（2）证明：，，
．
由折叠知，
，
又，
，
，
即，
整理得：，
解得：（舍去），
；
（3）解：菱形较长对角线．
如图3，在上截取，连接，
得是顶角为的等腰三角形，即黄金三角形，
根据黄金三角形的底与腰的比值为，由，
可得，
．
，，
，
．
，
，
，
，
．
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；黄金分割；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】（1）解：根据折叠可知．
，
；
根据折叠可知，，，
，
，
，
．
故答案为：72，；
【分析】（1）根据折叠可知，根据三角形内角和定理可得∠BDC，再根据折叠性质可得，，，根据三角形内角和定理可得∠ADE，根据等角对等边可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
（2）根据等边对等角可得，由折叠知，根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得x值，再根据边之间的关系即可求出答案.（3）在上截取，连接，得是顶角为的等腰三角形，即黄金三角形，根据黄金三角形的底与腰的比值为，由，则，根据等边对等角及三角形内角和定理可得∠AED，根据补角可得∠CED，根据等边对等角可得，再根据等角对等边可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
22．【答案】（1）；9
（2）解：由图像得，两函数交于点，，
所以，表示两个水池面积相等的点是，，
联立方程组
解得：，，
，，
由图像知：图像中点C的左侧部分和点E的右侧部分，一次函数的函数值大于二次函数的函数值，
当或时调蓄池1的蓄水面积大于滞洪池的滞洪面积；
（3）解：在范围内，由图像知滞洪池的滞洪面积大于调蓄池1的蓄水面积，
两个水池面积差
，
，
函数有最大值，
当时，函数有最大值，为，
当时，面积差的最大值为．
【知识点】二次函数的最值；二次函数的实际应用-几何问题；二次函数-面积问题
【解析】【解答】（1）解：，
，
抛物线的开口方向向下，当时，滞洪池的滞洪面积随长度增加而减小，
，
当时，滞洪池的滞洪面积随长度增加而减小，滞洪池的最大调洪容量为；
【分析】（1）先将滞洪池面积的二次函数解析式配方为顶点式，根据二次项系数小于0可知抛物线开口向下，对称轴右侧函数值随自变量增大而减小，结合的取值范围即可得到面积递减时的取值范围；抛物线顶点对应的函数值即为滞洪面积的最大值；
（2）调蓄池面积大于滞洪池面积，对应一次函数图象在二次函数图象上方的部分。联立两个函数的解析式组成方程组，求解得到两个交点的横坐标；结合函数图象的上下位置关系，即可写出对应的取值范围；
（3）在范围内，滞洪池面积大于调蓄池面积，因此面积差为，代入解析式整理得到关于的二次函数，配方为顶点式后，结合自变量的取值范围，即可求出面积差的最大值以及对应的值。
（1）解：，
，
抛物线的开口方向向下，当时，滞洪池的滞洪面积随长度增加而减小，
，
当时，滞洪池的滞洪面积随长度增加而减小，滞洪池的最大调洪容量为；
（2）解：由图像得，两函数交于点，，
所以，表示两个水池面积相等的点是，，
联立方程组
解得：，，
，，
由图像知：图像中点C的左侧部分和点E的右侧部分，一次函数的函数值大于二次函数的函数值，
当或时调蓄池1的蓄水面积大于滞洪池的滞洪面积；
（3）解：在范围内，由图像知滞洪池的滞洪面积大于调蓄池1的蓄水面积，
两个水池面积差，
，
函数有最大值，
当时，函数有最大值，为，
当时，面积差的最大值为．
23．【答案】(1) 证明：四边形是矩形，
，
，
，
，
，
(2)解：，
，
，，
四边形是平行四边形
，，
，
，
，
，
，
即
，
(3)
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；矩形的性质；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】（3）解：如图所示，过点作，交延长线于，过点作，交延长线于，则四边形是平行四边形，
，
同（2）可得
，设，
在上取一点使得，连接，
，
，
是等边三角形
，
，
，
设，则，
解得：
．
【分析】（1）根据矩形的性质可得，结合，通过同角的余角相等推导出一组对应角相等，进而证明与相似，由相似三角形对应边成比例得到比例式，再结合矩形对边相等，等量代换即可证得结论；
（2）先利用补角的性质推导出，结合公共角证明与相似，得到一组边的比例关系；再结合平行四边形的性质，通过角度推导证明与相似，得到另一组边的比例关系；联立两组比例式进行等量代换，最终推导出，代入边长数值即可求出比值；
（3）通过作平行线构造平行四边形与等边三角形，结合已知的角推导角的等量关系，证明三角形相似，利用相似比结合已知的线段比例，逐步推导计算即可得到的比值。
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