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广东珠海市紫荆中学桃园中学2025-2026学年度第二学期八年级期中质量监测数学试卷
1．要使式子有意义，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
2．下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
3．下列各组线段中，能组成直角三角形的是（　　）
A．2，3，4 B．5，12，13 C．6，7，8 D．2，，
4．下列运算中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．一个多边形的每个外角都等于，则这个多边形的边数为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
6．一个菱形的两条对角线长分别是，则这个菱形的面积S等于（　　）．
A．48 B．24 C．12 D．18
7．如图，在矩形中，对角线相交于点O，若，，则矩形的面积为（　　）
A． B．9 C． D．18
8．如图，在中，点，分别是和的中点，点是线段上的一点，连接，，且．若，，则的长为（　　）
A．3 B．2.5 C．1.5 D．2
9．如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，四边形是正方形，其中点A的坐标为，则点B的坐标为（　　）
A． B． C． D．
10．如图，直角三角形中，，，，点D是上的一个动点，过点D作于E点，于F点，连接，则线段的最小值为（　　）
A．2.4 B．5 C．4.8 D．2.5
11．计算：　 　．
12．如图，在中，对角线，相交于点，要使得成为矩形，应添加的一个条件是　 　．（只需写一个条件）
13．如图，的对角线与相交于点，，，，则的长为　 　．
14．如图，在中，，为上一点，连接，过点作于点．若为的中点，，的周长为14，则的长为　 　．
15．如图，菱形的面积为12，点E是的中点，点F是BC上一点．若的面积为2，则图中阴影部分的面积为　 　．
16．计算：．
17．如图，在平行四边形中，点、分别在对角线上，且．求证：四边形是平行四边形．
18．如图，四边形的四个顶点都在网格上，且网格中每个小正方形的边长都为1．
（1）请直接写出以下线段的长度：______，______，______，______；
（2）连接，求的度数．
19．如图，已知，延长到，使，连接，，，若．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）连接，若，，求的长．
20．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AB∥DC，AB＝BC，BD平分∠ABC，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AB＝，OE＝2，求四边形ABCD的面积．
21．正方形中，点是边上的任意一点，连接，作，连接，．
（1）当时，求的度数；
（2）当时，，请直接写出正方形的边长为______．
22．阅读观察：二次根式的除法，要化去分母中的根号，需将分子、分母同乘以一个恰当的二次根式．例如，化简．
解：将分子、分母同乘以得，．
（1）类比应用：
①化简：______；
②请化简：；
（2）拓展延伸：宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．如图①，已知黄金矩形的宽，则黄金矩形的长______．
（3）在（2）的条件下，如图②，将图①中的黄金矩形截剪掉一个以AB为边的正方形ABEF，得到新的矩形DCEF，猜想矩形DCEF是否为黄金矩形，并证明你的结论．
23．如图，将矩形放在直角坐标系中，为原点，点在轴上，点在轴上，、的长，满足，把矩形沿对角线所在直线翻折，点落到点处，交于点．
（1）______，______；
（2）请求出点的坐标（写过程），并直接写出点的坐标（不写过程）；
（3）在（2）的条件下，点为平面内任意一点，轴上是否存在一点，使得以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二次根式有无意义的条件；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：∵式子有意义，
∴，解得：，
∴的取值范围是．
故答案为：B.
【分析】根据二次根式有意义的条件为即可列不等式组，解出即可得的取值范围是．
2．【答案】D
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、，故A错误.
B、，故B错误.
C、，故C错误.
D、，被开方数23是质数，无平方因子，且不含分母，是最简二次根式，故D正确.
故答案为：D．
【分析】根据，，，、，被开方数23是质数，无平方因子，且不含分母，结合最简二次根式的定义即可得答案.
3．【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、，，，
，不能构成直角三角形，故A错误.
B、，，
，能构成直角三角形，故B正确.
C、，，，
不能构成直角三角形，故C错误.
D、，，，
不能构成直角三角形，故D错误.
故答案为：B.
【分析】根据各选项数据计算得，，，结合勾股定理的逆定理即可判断能不能组成直角三角形得答案.
4．【答案】A
【知识点】二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法；求算术平方根
【解析】【解答】解：A、，故A正确.
B、，故B错误.
C、，故C错误.
D、与不是同类二次根式，不能直接合并，故D错误.
故答案为：A.
【分析】根据，，，与不是同类二次根式，不能直接合并，即可得答案.
5．【答案】A
【知识点】正多边形的性质；多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：多边形的边数．
故答案为：A
【分析】多边形的外角和等于，而正多边形的每个外角都相等，因此本题可以计算求出该正多边形的外角个数，即为多边形的边数。
6．【答案】B
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵一个菱形的两条对角线长分别是，
∴这个菱形的面积S等于，
故选：B．
【分析】根据菱形面积即可求出答案.
7．【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；矩形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，
∵四边形是矩形，，
∴，，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴矩形的面积为．
故答案为：C.
【分析】根据矩形的性质，结合条件得等于3，等于90度，进一步计算得等于60度，即可证明是等边三角形，根据等边三角形性质得等于3，再由勾股定理可得，即可得答案.
8．【答案】C
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图，
延长交于点G，
∵点，分别是和的中点，
∴，
∴，即点是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴.
故答案为：C．
【分析】延长交于点G，根据点，分别是和的中点，得，根据平行线分线段成比例定理得等于1，即点是的中点，进一步得相等，根据等于90度，即可得，进一步得，进一步得.
9．【答案】D
【知识点】点的坐标；坐标与图形性质；三角形全等的判定；正方形的性质；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】解：如图，
过点作轴于点，过点作交的延长线于点，
，
，
，
， ，
四边形是正方形，
，，
，
，
在和中，
，
，
， ，
点的横坐标为，纵坐标为，
．
故答案为：D.
【分析】过点作轴于点，过点作交的延长线于点， 即可得等于90度，即可得和为90度，根据，得 ， ，根据四边形是正方形， 即可得，，即可得相等，进一步得全等，根据全等性质得等于4， 等于3，进而得出点坐标．
10．【答案】A
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理；矩形的判定与性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；等积变换
【解析】【解答】解：如图，
连接，
∵，，，
∴，
∵，，，
∴四边形是矩形，
∴，
根据垂线段最短，可得当时，最短，即线段的值最小，此时，，即，解得：，
∴线段的最小值为．
故答案为：A.
【分析】连接，根据勾股定理求出为5，再根据垂直，垂直，等于90度，判断出四边形是矩形，根据矩形性质得相等，根据垂线段最短得，垂直时，线段的值最小，再根据等面积法列方程，解出即可得线段的最小值为．
11．【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】先化简二次跟上，再合并同类二次根式即可．
12．【答案】
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴只需要添加，即可判断成为矩形.
故答案为：.
【分析】根据四边形ABCD是平行四边形，结合矩形的判定定理得只需要添加，即可判断成为矩形.
13．【答案】4
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，
四边形是平行四边形，
，，
，，
，，
，
．
故答案为：4.
【分析】根据四边形是平行四边形，已知条件，，结合平行四边形的性质得等于5，等于3，再根据勾股定理求出的长度为4.
14．【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，
∵于点E，E为的中点，
∴为线段的垂直平分线，
∴，
∵的周长为，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∵，
∴在中，，即，解得，
∴．
故答案为：.
【分析】根据于点E，E为的中点，得为线段的垂直平分线，即可得，根据的周长为，得，再根据，即可得，设，则，根据勾股定理列式计算即可求解得的长.
15．【答案】5
【知识点】三角形的面积；菱形的性质；几何图形的面积计算-割补法；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：连接，
是的中点，
，
连接，
同理可得，
，
，
，
，
．
故答案为：5．
【分析】连接，根据三角形中线性质可得，连接，同理可得，再根据割补法，结合菱形，三角形面积即可求出答案.
16．【答案】解：原式
．
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的混合运算
【解析】【分析】根据二次根式的乘除运算法则、结合二次根式性质化简得，再进一步合并得即可得答案.
17．【答案】证明：∵四边形是平行四边形
又
即
四边形为平行四边形．
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定
【解析】【分析】由平行四边形ABCD的性质，得到对角线互相平分的结论；结合已知的BE=DF，通过线段的和差运算推导出OE=OF；最终利用 “对角线互相平分的四边形是平行四边形” 的判定定理，完成证明.
18．【答案】（1）；；；.
（2）解：如图，
，，
，
为直角三角形，
．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】（1）解：如图，
，
，
，
．
故答案为：；；；.
【分析】（1）在方格纸中，小正方形边长为1，根据勾股定理即可求出线段，，，即可得答案.
（2）根据（1）得，，，分别计算三条边的长度的平方，再根据勾股定理的逆定理判断为直角三角形，即可得出的度数．
（1）解：，
，
，
．
（2），，
，
为直角三角形，
．
19．【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形；
（2）解：如图，连接，
由（）得，，，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴．
【知识点】二次根式的性质与化简；平行四边形的性质；矩形的判定与性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）根据平行四边形判定定理及性质，结合矩形判定定理即可求出答案.
（2）连接，由（）得，，，根据边之间的关系可得AE，再根据矩形性质可得，，再根据勾股定理即可求出答案.
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形；
（2）解：如图，连接，
由（）得，，，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴．
20．【答案】解：（1）证明：∵AB∥DC，
∴∠ABD＝∠CDB，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴∠CDB＝∠CBD，
∴BC＝CD，且AB＝BC，
∴CD＝AB，且AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB＝BC，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）解：由（1）得：四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，BD⊥AC，BO＝DO，
∵CE⊥AB，
∴AC＝2OE＝4，
∴OA＝2，
∴
∴BD＝2OB＝2，
∴菱形ABCD的面积＝AC×BD＝×4×2＝4．
【知识点】菱形的判定与性质；角平分线的概念；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；平行线的应用-求角度
【解析】【分析】（1）根据直线平行性质可得∠ABD＝∠CDB，根据角平分线定义可得∠ABD＝∠CBD，则∠CDB＝∠CBD，根据等角对等边可得BC＝CD，再根据菱形判定定理即可求出答案.
（2）根据菱形性质可得OA＝OC，BD⊥AC，BO＝DO，根据勾股定理可得OB，再根据菱形面积即可求出答案.
21．【答案】（1）解：如图，
四边形是正方形，
，，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
.
（2）
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等腰三角形的判定与性质；正方形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】（2）解：如图，
四边形是正方形，
，，，
，
，，
，
，为等腰直角三角形，
，
在中，，即，
，
在中，，
，，
，
在中，，即，
，
∴正方形的边长为．
故答案为：.
【分析】（1）根据正方形的性质得等于45度，相等，等于90度，根据的度数，结合直角三角形的两锐角互余和三角形内角和定理依次求出等于65度，的度数为70度，根据全等三角形判定定理可证明全等，根据全等性质相等，再根据，计算即可得答案.
（2）根据四边形是正方形，得，，，再根据得，，再根据得，为等腰直角三角形，即可得根据勾股定理得，含角直角三角形的性质结合勾股定理可求得的长，勾股定理即可求得的长．
（1）解：四边形是正方形，
，，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
；
（2）解：四边形是正方形，
，，，
，
，，
，
，为等腰直角三角形，
，
在中，，即，
，
在中，，
，，
，
在中，，即，
，
即正方形的边长为．
22．【答案】（1）解：①.
.
（2）
（3）解：矩形是黄金矩形，证明如下：
在正方形中，，
根据（2）得：，
，
，符合黄金矩形的定义 ，
矩形是黄金矩形．
【知识点】分母有理化；二次根式的混合运算；二次根式的实际应用；正方形的性质；黄金分割
【解析】【解答】（1）解：
.
故答案为：.
（2）解：黄金矩形的宽，宽与长的比是，
，
.
故答案为：.
【分析】（1）根据分母有理化方法，把的分子分母同乘化简即可得答案.
先对每个项分别分母有理化，再提取公因式化简计算即可得答案.
（2）根据黄金矩形宽与长的比为，即可得等于，代入的长度即可计算.
（3）在正方形中，，根据（2）得：，即可得
，进一步计算等于，根据黄金矩形的定义即可判断矩形是黄金矩形．
（1）解：
；
；
（2）解：黄金矩形的宽，宽与长的比是，
，
；
（3）解：矩形是黄金矩形；
证明： 在正方形中，，
由（2）得，
，
，符合黄金矩形的定义 ，
矩形是黄金矩形．
23．【答案】（1），
（2）解：如图，
由（1）知：，，
在矩形中，，，，
，
由折叠可知：，
，
，
设，则，
在中，，即：，解得，
，，
点的坐标.
根据条件得出：点的坐标.
（3）解：存在点，使得以、、、为顶点的四边形是菱形，
当为菱形的边，是菱形的边时，，
，.
当为菱形的边，是菱形的对角线时，，
.
当为菱形的对角线时，则，，延长交轴于点，
，
设，
，，
在中，，
即，解得，
，
.
综上，存在点，满足条件的点的坐标为，，，.
【知识点】二次根式的性质与化简；坐标与图形性质；菱形的性质；矩形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】（1）解：如图，
、的长，满足，，，
，，
，.
故答案为 ：；.
（2）如图，过点作，并延长交于点，则四边形是矩形，
，
在矩形中，，
由折叠可知，，，
，
设，则，
在中，，
在中，，
，即，解得，即，
，，
，
点的坐标.
【分析】（1）根据，结合非负数的性质列方程解出即可得a、c的值.
（2）由（1）知：等于5，等于10，根据矩形的性质得等于10，等于90，平行，即可得相等，根据折叠可知相等，即可得
相等，推出，设，则，根据勾股定理列方程求解即可得到点的坐标，点作，并延长交于点，由矩形和折叠的性质可得的长，在和中，利用勾股定理分别表示出，列方程即可求得的长，进而可得点的坐标.
（3）当为菱形的边，是菱形的边时，等于10，即可得，，当为菱形的边，是菱形的对角线时，，当为菱形的对角线时，则，，延长交轴于点，设，根据勾股定理列方程解得，即可得，综上，存在点，满足条件的点的坐标为，，，.
（1）解：、的长，满足，，，
，，
，；
（2）解：由（1）知，，，
在矩形中，，，，
，
由折叠可知，，
，
，
设，则，
在中，，
即，解得，
，，
点的坐标；
如图，过点作，并延长交于点，则四边形是矩形，
，
在矩形中，，
由折叠可知，，，
，
设，则，
在中，，
在中，，
，即，
解得，即，
，，
，
点的坐标；
（3）解：存在点，使得以、、、为顶点的四边形是菱形，
当为菱形的边，是菱形的边时，，
，；
当为菱形的边，是菱形的对角线时，，
；
当为菱形的对角线时，则，，延长交轴于点，
，
设，
，，
在中，，
即，解得，
，
；
综上，存在点，满足条件的点的坐标为，，，．
1 / 1广东珠海市紫荆中学桃园中学2025-2026学年度第二学期八年级期中质量监测数学试卷
1．要使式子有意义，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式有无意义的条件；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：∵式子有意义，
∴，解得：，
∴的取值范围是．
故答案为：B.
【分析】根据二次根式有意义的条件为即可列不等式组，解出即可得的取值范围是．
2．下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、，故A错误.
B、，故B错误.
C、，故C错误.
D、，被开方数23是质数，无平方因子，且不含分母，是最简二次根式，故D正确.
故答案为：D．
【分析】根据，，，、，被开方数23是质数，无平方因子，且不含分母，结合最简二次根式的定义即可得答案.
3．下列各组线段中，能组成直角三角形的是（　　）
A．2，3，4 B．5，12，13 C．6，7，8 D．2，，
【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、，，，
，不能构成直角三角形，故A错误.
B、，，
，能构成直角三角形，故B正确.
C、，，，
不能构成直角三角形，故C错误.
D、，，，
不能构成直角三角形，故D错误.
故答案为：B.
【分析】根据各选项数据计算得，，，结合勾股定理的逆定理即可判断能不能组成直角三角形得答案.
4．下列运算中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法；求算术平方根
【解析】【解答】解：A、，故A正确.
B、，故B错误.
C、，故C错误.
D、与不是同类二次根式，不能直接合并，故D错误.
故答案为：A.
【分析】根据，，，与不是同类二次根式，不能直接合并，即可得答案.
5．一个多边形的每个外角都等于，则这个多边形的边数为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】A
【知识点】正多边形的性质；多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：多边形的边数．
故答案为：A
【分析】多边形的外角和等于，而正多边形的每个外角都相等，因此本题可以计算求出该正多边形的外角个数，即为多边形的边数。
6．一个菱形的两条对角线长分别是，则这个菱形的面积S等于（　　）．
A．48 B．24 C．12 D．18
【答案】B
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵一个菱形的两条对角线长分别是，
∴这个菱形的面积S等于，
故选：B．
【分析】根据菱形面积即可求出答案.
7．如图，在矩形中，对角线相交于点O，若，，则矩形的面积为（　　）
A． B．9 C． D．18
【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；矩形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，
∵四边形是矩形，，
∴，，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴矩形的面积为．
故答案为：C.
【分析】根据矩形的性质，结合条件得等于3，等于90度，进一步计算得等于60度，即可证明是等边三角形，根据等边三角形性质得等于3，再由勾股定理可得，即可得答案.
8．如图，在中，点，分别是和的中点，点是线段上的一点，连接，，且．若，，则的长为（　　）
A．3 B．2.5 C．1.5 D．2
【答案】C
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图，
延长交于点G，
∵点，分别是和的中点，
∴，
∴，即点是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴.
故答案为：C．
【分析】延长交于点G，根据点，分别是和的中点，得，根据平行线分线段成比例定理得等于1，即点是的中点，进一步得相等，根据等于90度，即可得，进一步得，进一步得.
9．如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，四边形是正方形，其中点A的坐标为，则点B的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】点的坐标；坐标与图形性质；三角形全等的判定；正方形的性质；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】解：如图，
过点作轴于点，过点作交的延长线于点，
，
，
，
， ，
四边形是正方形，
，，
，
，
在和中，
，
，
， ，
点的横坐标为，纵坐标为，
．
故答案为：D.
【分析】过点作轴于点，过点作交的延长线于点， 即可得等于90度，即可得和为90度，根据，得 ， ，根据四边形是正方形， 即可得，，即可得相等，进一步得全等，根据全等性质得等于4， 等于3，进而得出点坐标．
10．如图，直角三角形中，，，，点D是上的一个动点，过点D作于E点，于F点，连接，则线段的最小值为（　　）
A．2.4 B．5 C．4.8 D．2.5
【答案】A
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理；矩形的判定与性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；等积变换
【解析】【解答】解：如图，
连接，
∵，，，
∴，
∵，，，
∴四边形是矩形，
∴，
根据垂线段最短，可得当时，最短，即线段的值最小，此时，，即，解得：，
∴线段的最小值为．
故答案为：A.
【分析】连接，根据勾股定理求出为5，再根据垂直，垂直，等于90度，判断出四边形是矩形，根据矩形性质得相等，根据垂线段最短得，垂直时，线段的值最小，再根据等面积法列方程，解出即可得线段的最小值为．
11．计算：　 　．
【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】先化简二次跟上，再合并同类二次根式即可．
12．如图，在中，对角线，相交于点，要使得成为矩形，应添加的一个条件是　 　．（只需写一个条件）
【答案】
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴只需要添加，即可判断成为矩形.
故答案为：.
【分析】根据四边形ABCD是平行四边形，结合矩形的判定定理得只需要添加，即可判断成为矩形.
13．如图，的对角线与相交于点，，，，则的长为　 　．
【答案】4
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，
四边形是平行四边形，
，，
，，
，，
，
．
故答案为：4.
【分析】根据四边形是平行四边形，已知条件，，结合平行四边形的性质得等于5，等于3，再根据勾股定理求出的长度为4.
14．如图，在中，，为上一点，连接，过点作于点．若为的中点，，的周长为14，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，
∵于点E，E为的中点，
∴为线段的垂直平分线，
∴，
∵的周长为，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∵，
∴在中，，即，解得，
∴．
故答案为：.
【分析】根据于点E，E为的中点，得为线段的垂直平分线，即可得，根据的周长为，得，再根据，即可得，设，则，根据勾股定理列式计算即可求解得的长.
15．如图，菱形的面积为12，点E是的中点，点F是BC上一点．若的面积为2，则图中阴影部分的面积为　 　．
【答案】5
【知识点】三角形的面积；菱形的性质；几何图形的面积计算-割补法；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：连接，
是的中点，
，
连接，
同理可得，
，
，
，
，
．
故答案为：5．
【分析】连接，根据三角形中线性质可得，连接，同理可得，再根据割补法，结合菱形，三角形面积即可求出答案.
16．计算：．
【答案】解：原式
．
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的混合运算
【解析】【分析】根据二次根式的乘除运算法则、结合二次根式性质化简得，再进一步合并得即可得答案.
17．如图，在平行四边形中，点、分别在对角线上，且．求证：四边形是平行四边形．
【答案】证明：∵四边形是平行四边形
又
即
四边形为平行四边形．
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定
【解析】【分析】由平行四边形ABCD的性质，得到对角线互相平分的结论；结合已知的BE=DF，通过线段的和差运算推导出OE=OF；最终利用 “对角线互相平分的四边形是平行四边形” 的判定定理，完成证明.
18．如图，四边形的四个顶点都在网格上，且网格中每个小正方形的边长都为1．
（1）请直接写出以下线段的长度：______，______，______，______；
（2）连接，求的度数．
【答案】（1）；；；.
（2）解：如图，
，，
，
为直角三角形，
．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】（1）解：如图，
，
，
，
．
故答案为：；；；.
【分析】（1）在方格纸中，小正方形边长为1，根据勾股定理即可求出线段，，，即可得答案.
（2）根据（1）得，，，分别计算三条边的长度的平方，再根据勾股定理的逆定理判断为直角三角形，即可得出的度数．
（1）解：，
，
，
．
（2），，
，
为直角三角形，
．
19．如图，已知，延长到，使，连接，，，若．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）连接，若，，求的长．
【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形；
（2）解：如图，连接，
由（）得，，，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴．
【知识点】二次根式的性质与化简；平行四边形的性质；矩形的判定与性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）根据平行四边形判定定理及性质，结合矩形判定定理即可求出答案.
（2）连接，由（）得，，，根据边之间的关系可得AE，再根据矩形性质可得，，再根据勾股定理即可求出答案.
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形；
（2）解：如图，连接，
由（）得，，，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴．
20．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AB∥DC，AB＝BC，BD平分∠ABC，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AB＝，OE＝2，求四边形ABCD的面积．
【答案】解：（1）证明：∵AB∥DC，
∴∠ABD＝∠CDB，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴∠CDB＝∠CBD，
∴BC＝CD，且AB＝BC，
∴CD＝AB，且AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB＝BC，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）解：由（1）得：四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，BD⊥AC，BO＝DO，
∵CE⊥AB，
∴AC＝2OE＝4，
∴OA＝2，
∴
∴BD＝2OB＝2，
∴菱形ABCD的面积＝AC×BD＝×4×2＝4．
【知识点】菱形的判定与性质；角平分线的概念；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；平行线的应用-求角度
【解析】【分析】（1）根据直线平行性质可得∠ABD＝∠CDB，根据角平分线定义可得∠ABD＝∠CBD，则∠CDB＝∠CBD，根据等角对等边可得BC＝CD，再根据菱形判定定理即可求出答案.
（2）根据菱形性质可得OA＝OC，BD⊥AC，BO＝DO，根据勾股定理可得OB，再根据菱形面积即可求出答案.
21．正方形中，点是边上的任意一点，连接，作，连接，．
（1）当时，求的度数；
（2）当时，，请直接写出正方形的边长为______．
【答案】（1）解：如图，
四边形是正方形，
，，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
.
（2）
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等腰三角形的判定与性质；正方形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】（2）解：如图，
四边形是正方形，
，，，
，
，，
，
，为等腰直角三角形，
，
在中，，即，
，
在中，，
，，
，
在中，，即，
，
∴正方形的边长为．
故答案为：.
【分析】（1）根据正方形的性质得等于45度，相等，等于90度，根据的度数，结合直角三角形的两锐角互余和三角形内角和定理依次求出等于65度，的度数为70度，根据全等三角形判定定理可证明全等，根据全等性质相等，再根据，计算即可得答案.
（2）根据四边形是正方形，得，，，再根据得，，再根据得，为等腰直角三角形，即可得根据勾股定理得，含角直角三角形的性质结合勾股定理可求得的长，勾股定理即可求得的长．
（1）解：四边形是正方形，
，，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
；
（2）解：四边形是正方形，
，，，
，
，，
，
，为等腰直角三角形，
，
在中，，即，
，
在中，，
，，
，
在中，，即，
，
即正方形的边长为．
22．阅读观察：二次根式的除法，要化去分母中的根号，需将分子、分母同乘以一个恰当的二次根式．例如，化简．
解：将分子、分母同乘以得，．
（1）类比应用：
①化简：______；
②请化简：；
（2）拓展延伸：宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．如图①，已知黄金矩形的宽，则黄金矩形的长______．
（3）在（2）的条件下，如图②，将图①中的黄金矩形截剪掉一个以AB为边的正方形ABEF，得到新的矩形DCEF，猜想矩形DCEF是否为黄金矩形，并证明你的结论．
【答案】（1）解：①.
.
（2）
（3）解：矩形是黄金矩形，证明如下：
在正方形中，，
根据（2）得：，
，
，符合黄金矩形的定义 ，
矩形是黄金矩形．
【知识点】分母有理化；二次根式的混合运算；二次根式的实际应用；正方形的性质；黄金分割
【解析】【解答】（1）解：
.
故答案为：.
（2）解：黄金矩形的宽，宽与长的比是，
，
.
故答案为：.
【分析】（1）根据分母有理化方法，把的分子分母同乘化简即可得答案.
先对每个项分别分母有理化，再提取公因式化简计算即可得答案.
（2）根据黄金矩形宽与长的比为，即可得等于，代入的长度即可计算.
（3）在正方形中，，根据（2）得：，即可得
，进一步计算等于，根据黄金矩形的定义即可判断矩形是黄金矩形．
（1）解：
；
；
（2）解：黄金矩形的宽，宽与长的比是，
，
；
（3）解：矩形是黄金矩形；
证明： 在正方形中，，
由（2）得，
，
，符合黄金矩形的定义 ，
矩形是黄金矩形．
23．如图，将矩形放在直角坐标系中，为原点，点在轴上，点在轴上，、的长，满足，把矩形沿对角线所在直线翻折，点落到点处，交于点．
（1）______，______；
（2）请求出点的坐标（写过程），并直接写出点的坐标（不写过程）；
（3）在（2）的条件下，点为平面内任意一点，轴上是否存在一点，使得以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），
（2）解：如图，
由（1）知：，，
在矩形中，，，，
，
由折叠可知：，
，
，
设，则，
在中，，即：，解得，
，，
点的坐标.
根据条件得出：点的坐标.
（3）解：存在点，使得以、、、为顶点的四边形是菱形，
当为菱形的边，是菱形的边时，，
，.
当为菱形的边，是菱形的对角线时，，
.
当为菱形的对角线时，则，，延长交轴于点，
，
设，
，，
在中，，
即，解得，
，
.
综上，存在点，满足条件的点的坐标为，，，.
【知识点】二次根式的性质与化简；坐标与图形性质；菱形的性质；矩形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】（1）解：如图，
、的长，满足，，，
，，
，.
故答案为 ：；.
（2）如图，过点作，并延长交于点，则四边形是矩形，
，
在矩形中，，
由折叠可知，，，
，
设，则，
在中，，
在中，，
，即，解得，即，
，，
，
点的坐标.
【分析】（1）根据，结合非负数的性质列方程解出即可得a、c的值.
（2）由（1）知：等于5，等于10，根据矩形的性质得等于10，等于90，平行，即可得相等，根据折叠可知相等，即可得
相等，推出，设，则，根据勾股定理列方程求解即可得到点的坐标，点作，并延长交于点，由矩形和折叠的性质可得的长，在和中，利用勾股定理分别表示出，列方程即可求得的长，进而可得点的坐标.
（3）当为菱形的边，是菱形的边时，等于10，即可得，，当为菱形的边，是菱形的对角线时，，当为菱形的对角线时，则，，延长交轴于点，设，根据勾股定理列方程解得，即可得，综上，存在点，满足条件的点的坐标为，，，.
（1）解：、的长，满足，，，
，，
，；
（2）解：由（1）知，，，
在矩形中，，，，
，
由折叠可知，，
，
，
设，则，
在中，，
即，解得，
，，
点的坐标；
如图，过点作，并延长交于点，则四边形是矩形，
，
在矩形中，，
由折叠可知，，，
，
设，则，
在中，，
在中，，
，即，
解得，即，
，，
，
点的坐标；
（3）解：存在点，使得以、、、为顶点的四边形是菱形，
当为菱形的边，是菱形的边时，，
，；
当为菱形的边，是菱形的对角线时，，
；
当为菱形的对角线时，则，，延长交轴于点，
，
设，
，，
在中，，
即，解得，
，
；
综上，存在点，满足条件的点的坐标为，，，．
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