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广东揭阳真理中学2025-2026学年七年级下学期下学期第二次综合训练数学试题
1．嫦娥五号返回器携带月球样品安全着陆，标志着中国航天业向前又迈出了一大步．嫦娥五号返回器在接近大气层时，飞行1m大约需要．数据用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
2．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．如图，用三角尺作的边上的高，下列三角尺的摆放位置正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．在与中，，添加下列条件后，仍不能得到的是（　　）
A． B． C． D．
5．近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分，如图为槐荫区勾股数学公众号二维码，小莲将二维码打印在面积为20的正方形纸片上，为了估计黑色阴影部分的面积，她在纸片内随机掷点，经过大量试验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在0.75左右，则据此估计此二维码白色部分的面积为（ ）
A．15 B．5 C．0.75 D．0.25
6．如图，用尺规作一个角等于已知角，其作图原理是：由△ODC≌△O'D'C'得∠AOB＝∠A'O'B'，其依据的定理是（　　）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
7．等腰三角形的周长是30，其中一条边长为6，则等腰三角形的腰长为（　　）
A．18 B．6或12 C．12 D．6
8．若，则 的值为（　　）
A． B．8 C．7 D．6
9．如图，都是的中线，连接，的面积足，则的面积是（　　）
A． B． C． D．
10．小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，，爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（ ）
A． B． C． D．
11．若代数式是完全平方式，则　 　．
12．如图，在中，分别是的高和角平分线，，，则　 　度．
13．如图，在网格中，　 　．
14．如图，将△ABC沿着平行于BC的直线折叠，点A落到点A'，若∠C＝135°，∠A＝15°，则∠A'DB的度数为　 　．
15．如图，在中，，，，为边上的高，点E从点B出发，在直线上以的速度移动，过点E作的垂线交直线于点F，当点E运动　 　 s时，．
16．先化简再求值：其中．
17．如图，现有一转盘被平均分成八等份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8这八个数字，转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字．
（1）转动转盘，转出的数字不大于4的概率是_______；
（2）小明和小强玩转盘游戏，转出的数字为2的倍数小明胜，为3的倍数小强胜，这个游戏公平吗？请说明理由；若不公平，请你设计出公平的游戏规则．
18．如图，点在同一直线上，点在的异侧，，，．
（1）求证：．
（2）若，，求的度数．
19．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为，点，，都是格点（小正方形的顶点），完成下列画图．
（1）画出的重心．
（2）在已知网格中找出所有格点，使点与的面积相等．
20．已知a，b，c是的三边长，且a，b，c都是整数．
（1）若，，且c是奇数，试判断的形状；
（2）化简：．
21．如图，，，．
（1）试说明：；
（2）若，，求的度数．
22．图形可以形象直观显示数量关系．例如，根据图1可以得到，请解答下列问题：
（1）根据图2，直接写出一个代数恒等式：____ ；
（2）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张宽、长分别为a、b的长方形，9张边长为b的正方形纸片，拼成一个面积最小的正方形，则的值为____；这个正方形的边长为____；(用含a，b的式子表示)
（3）如图4，是4个边长分别为a、b、c的直角三角形和1个边长为c的正方形拼成的大正方形．请根据图4中的图形关系可推导出a、b、c的数量关系式为____；
（4）如图5，直角中，，，，点D是边上的一动点．请利用（3）的结论，求线段的最小值．
23．综合题
（1）如图1，，，，．点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点以相同的速度在射线上由点向点运动．它们运动的时间为，当点到达点时，点也停止运动．当时，猜想：线段与之间的关系，并说明理由．
（2）【拓展】如图2，在中，，D，A，E三点都在直线m上，并且猜想：线段、、之间的关系，并说明理由．
（3）【应用】如图3，在中，是钝角，，，，直线m与的延长线交于点F，若，的面积是12，则与的面积之和为 ．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：，
故选：A．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．
2．【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：、，该选项正确，符合题意；
、，该选项错误，不合题意；
、，该选项错误，不合题意；
、，该选项错误，不合题意；
故选：．
【分析】利用合并同类项、积的乘方、幂的乘方、同底数幂的乘法以及同底数幂的除法的计算方法逐项分析判断即可.
3．【答案】B
【知识点】三角形的高
【解析】【解答】解：的边上的高是经过点C与垂直的线段，
A、是边上的高，故此选项不符合题意；
B、是边上的高，故此选项符合题意；
C、不是边上的高，故此选项不符合题意；
D、是边上的高，故此选项不符合题意；
故选：B．
【分析】根据三角形高的定义逐项进行判断即可求出答案.
4．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A．，，根据可判定；
B．已知，可证，再加上，根据可判定；
C．，，无法根据判定，；
D．，，根据可判定；
故答案为：C．
【分析】本题结合三角形全等的判定方法，即、、、、，然后逐项进行分析即可得出答案。
5．【答案】B
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.75左右，
据此可以估计黑色部分的面积为，
此二维码白色部分的面积为．
故答案为：B.
【分析】经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.75左右，再计算出黑色部分的面积为15，白色部分的面积为5，代入概率公式即可得答案.
6．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：在△OCD与△O'C'D'，
∵ ，
∴△OCD≌△O'C'D'（SSS），
∴∠A'O'B'=∠AOB，
显然运用的判定方法是SSS．
故选A.
【分析】：本题考点是全等三角形的判定和性质的应用，根据三边对应相等（SSS）两三角形全等，且全等三角形的对应角相等，即可所作的角等于已知角，得到答案.
7．【答案】C
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：当底边为时，可得出腰长为12，这时三边长为
∴能构成三角形，
当腰长为时，则底边长为，这时三边长为
∴不能构成三角形，
∴等腰三角形腰长为.
故答案为：．
【分析】当底边为时，可得出腰长为12，能构成三角形，当腰长为时，则底边长为，不能构成三角形，即可得等腰三角形腰长为.
8．【答案】B
【知识点】同底数幂的除法；有理数混合运算法则（含乘方）；幂的乘方运算；幂的乘方的逆运算
【解析】【解答】解：，
∵，
∴，
∴原式.
故答案为：B．
【分析】把变形得，根据，可得，再代入求值即可得答案.
9．【答案】B
【知识点】利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：∵是的中线，
∴，
∵是的中线，
∴为的中线，
即，
故选：B．
【分析】本题考查三角形中线的性质，三角形的中线能够将三角形分成面积相等的两部分。因为CE是△ABC的中线，所以△BCE的面积是△ABC面积的一半，已知△ABC的面积为20cm2，可算出△BCE的面积为10cm2；又因为AD是△ABC的中线，所以D是BC的中点，进而可知DE是△BCE的中线，因此△CDE的面积是△BCE面积的一半，即10cm2÷2=5cm2。
10．【答案】C
【知识点】垂线的概念；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；补角
【解析】【解答】解：如图，
根据题意：，
，与底面垂直，B处距地面高，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
∴爸爸在处接住小丽时，小丽距离地面的高度是．
故答案为：C.
【分析】根据题意相等，等于1.3m，等，根据垂直，垂直，与底面垂直，B处距地面高，进一步得相等，即可证明全等，根据全等三角形的性质可得等于1.3m，等，再求出的长，然后根据求解即可得答案.
11．【答案】
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：∵多项式是完全平方式，即：
∴
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据完全平方公式即可求出答案.
12．【答案】10
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵分别是的高和角平分线，
∴，，
∴，
故答案为：．
【分析】根据三角形内角和定理可得∠BAC，根据角平分线定义可得∠BAE，再根据直角三角形两锐角互余可得∠BAD，再根据角之间的关系即可求出答案.
13．【答案】
【知识点】三角形外角的概念及性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理
【解析】【解答】解：如图
解：由题意得，，，，
在和中，
∴（SSS），
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】根据勾股定理可得，，，根据全等三角形判定定理可得（SSS），则，再根据三角形外角性质即可求出答案
14．【答案】120°
【知识点】三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵∠C＝135°，∠A＝15°，
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣15°﹣135°＝30°，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B＝30°，
由折叠知：∠A'DE＝∠ADE＝30°，
∴∠A'DB＝180°﹣30°﹣30°＝120°．
故答案为：120°．
【分析】 本题考查平行线的性质，翻折变换的性质，三角形的内角和定理. 先利用三角形的内角和定理可求出∠B，再根据两直线平行，同位角相等可得：∠ADE=∠B，再根据翻折变换的性质可得∠A'DE=∠ADE，再根据平角的定义列进行计算可求出∠A'DB的度数．
15．【答案】6或2
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；三角形-动点问题；三角形的高
【解析】【解答】解：如图1，
设点运动的时间为，
点从点出发沿射线方向运动，
为边上的高，
，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
，且，
，解得.
如图2，
点从点出发沿射线方向运动，则，
，
在和中，
，
，
，
，且，
，解得，
综上所述，当点运动或时，．
故答案为：6或2.
【分析】设点运动的时间为，点从点出发沿射线方向运动，为边上的高，即可得垂直，根据，，得等于90度，即可得
，即可证明全等，根据全等性质得，结合
，且，可列方程，解出得，同理得点从点出发沿射线方向运动时，，综上所述，当点运动或时，即可.
16．【答案】解：
，
当时，原式．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；多项式除以单项式；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】根据完全平方公式，平方差公式去小括号，合并同类项化简，再根据多项式除以单项式化简，再将a，b值代入即可求出答案.
17．【答案】（1）
（2）解：不公平，理由如下：
由题意，若转出的数字为2的倍数的可能是2、4、6、8，
∴小明胜的概率为；
若转出的数字为3的倍数的可能是3、6、9，
∴小强胜的概率为；
而，
∴该游戏不公平；
设计的方案：转出数字是奇数，则小明胜，转出数字是偶数，则小强胜．
【知识点】几何概率；游戏公平性；概率的简单应用
【解析】【解答】
（1）
解：转出的数字不大于4的可能是1、2、3、4这4种结果，
∴转出的数字不大于4的概率为：．
故答案为：．
【分析】
（1）转出的数字不大于4的可能是1、2、3、4这4种结果，然后用概率公式计算即可求解；
（2）不公平，理由如下：由题意，先分别求出转出的数字为2的倍数、3的倍数的概率，然后比较大小即可判定游戏的公平性；然后设计出公平的游戏方案即可．
18．【答案】（1）证明：如图，
，
，
∴，
在和中，
，
，
，
．
（2）解：如图，
，
，，
，
，
．
【知识点】平行线的判定与性质；三角形外角的概念及性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】(1) 根据，结合截长补短法，等式的性质得，再根据已知和，结合判定定理可证明，根据全等三角形性质得，再根据内错角相等，两直线平行可证明．
(2)有（1）得，根据全等性质，，再根据即可得，再根据三角形外角定理得，计算即可得答案．
（1）略
（2）解：，
，，
，
，
．
19．【答案】（1）解：根据题意作图如下：
点即为所求.
（2）解：如图，
点，即为所求.
【知识点】三角形的面积；三角形的重心及应用
【解析】【分析】（1）根据重心定义，即可知道作的中线，交于点，即为的重心.
（2）根据等高模型作图即可得答案.
（1）解：如图，点即为所求，
（2）解：如图，点，即为所求，
20．【答案】（1）解：∵a，b，c是的三边长且，，
∴，即，
∵c是奇数，
∴，
∴
∴是等腰三角形.
（2）解：∵a，b，c是的三边长，
∴，，，
∴，
∴原式
．
【知识点】整式的加减运算；三角形三边关系；绝对值的非负性；化简含绝对值有理数
【解析】【分析】(1) 根据三角形三边关系，结合，得的取值范围为，根据为奇数得，从而，即可判断为等腰三角形．
(2) 根据三角形三边关系得，，，进而得，即可把去绝对值化简合并即可得答案.
（1）解：∵a，b，c是的三边长
且，，
∴，即，
∵c是奇数，
∴，
∴
∴是等腰三角形；
（2）解：∵a，b，c是的三边长
∴，，，
∴，
∴原式
．
21．【答案】（1）证明：如图，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴．
∴，
∴.
（2）解：如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理；平行线的应用-求角度；平行线的应用-证明问题
【解析】【分析】（1）根据平行线的判定，结合和为180度，即可得平行，根据平行线性质即可得相等，相等，再根据相等，相等得相等，即可得，进而得.
（2）根据平行线的性质得等于40度，再根据，即可得等于70度，再根据，得.
（1）∵，
∴（同旁内角互补，两直线平行）．
∴（两直线平行，同位角相等）．（两直线平行，内错角相等）．
∵，
∴．
∴（同位角相等，两直线平行）．
∴（两直线平行，内错角相等）．
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
22．【答案】（1）
（2）；
（3）
（4）解：如图5，
在中，，
，，
，
点是边上的一动点，
当时，最小，
，
又，
，
.
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；等积变换
【解析】【解答】（1）解：如图2，
由图得：大正方形的边长为，
大正方形的面积，
又大正方形的面积等于各小图形面积之和，
．
故答案为：.
（2）解：如图3，
设拼成的正方形边长为（，为正整数），
正方形的面积，
又正方形面积，
，解得，
，，
正方形面积最小，
，
，，
，正方形边长为．
故答案为：；.
（3）解：如图4
由图可知，大正方形的边长为，
大正方形的面积，
又大正方形的面积等于4个直角三角形与中间小正方形的面积之和，
面积，
，
．
故答案为：.
【分析】（1）根据图2，求出图2中大正方形边长，即可求出大正方形的面积为，再根据大正方形的面积等于各小图形面积之和，即可列等式，化简即可得答案.
（2）设拼成的正方形边长为，即可得正方形的面积，再根据正方形面积为，根据，解得，即可得，，根据正方形面积最小，得
，即可得，，进一步得，正方形边长为．
（3）根据图4可知，大正方形的边长为，即可求出大正方形的面积，再根据大正方形的面积等于4个直角三角形与中间小正方形的面积之和，即可列式，化简即可得.
（4）根据勾股定理求出斜边为10，根据垂线段最短知当时取最小值，再根据面积法列方程求解即可得的最小值.
（1）解：由图2可知，大正方形的边长为，
大正方形的面积，
又大正方形的面积等于各小图形面积之和，
．
（2）解：设拼成的正方形边长为（，为正整数），
正方形的面积，
又正方形面积，
，
解得，
，，
正方形面积最小，
，
，，
，正方形边长为．
（3）解：由图4可知，大正方形的边长为，
大正方形的面积，
又大正方形的面积等于4个直角三角形与中间小正方形的面积之和，
面积，
，
．
（4）解：在中，，
，，
，
点是边上的一动点，
当时，最小，
，
又，
，
．
23．【答案】（1）解：且 ，理由如下：
如图1，
当时，，，
，
，
又，
，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
又，
，
．
（2）解：，理由如下：
如图2，
，，
，
又，，三点在直线上，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
．
（3）6
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；三角形-动点问题；同侧一线三等角全等模型（锐角）
【解析】【解答】（3）解：如图3，
由(2)同理可证，
，
，
直线与的延长线交于点，且，
与有公共顶点，且底边与在同一直线上，
，
，
，
∴与的面积之和为．
故答案为：6.
【分析】
(1) 当时，求出等于2，根据求出等于5，根据，得相等，根据垂线定义得等于90度，结合SAS判定定理可证明全等，根据全等性质得相等，相等，再通过直角互余与平角关系证明.
(2) 利用三角形内角和与平角关系转化得到，结合已知角等和，利用AAS判定，从而得，，相加即得．
(3) 由(2)的模型可得全等，从而相等，即可的和等于，再根据及同高三角形面积比等于底边比，得等于6．
（1）略
（2）略
（3）解：由(2)同理可证，
，
，
直线与的延长线交于点，且，
与有公共顶点，且底边与在同一直线上，
，
，
，
即与的面积之和为．
1 / 1广东揭阳真理中学2025-2026学年七年级下学期下学期第二次综合训练数学试题
1．嫦娥五号返回器携带月球样品安全着陆，标志着中国航天业向前又迈出了一大步．嫦娥五号返回器在接近大气层时，飞行1m大约需要．数据用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：，
故选：A．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．
2．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：、，该选项正确，符合题意；
、，该选项错误，不合题意；
、，该选项错误，不合题意；
、，该选项错误，不合题意；
故选：．
【分析】利用合并同类项、积的乘方、幂的乘方、同底数幂的乘法以及同底数幂的除法的计算方法逐项分析判断即可.
3．如图，用三角尺作的边上的高，下列三角尺的摆放位置正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的高
【解析】【解答】解：的边上的高是经过点C与垂直的线段，
A、是边上的高，故此选项不符合题意；
B、是边上的高，故此选项符合题意；
C、不是边上的高，故此选项不符合题意；
D、是边上的高，故此选项不符合题意；
故选：B．
【分析】根据三角形高的定义逐项进行判断即可求出答案.
4．在与中，，添加下列条件后，仍不能得到的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A．，，根据可判定；
B．已知，可证，再加上，根据可判定；
C．，，无法根据判定，；
D．，，根据可判定；
故答案为：C．
【分析】本题结合三角形全等的判定方法，即、、、、，然后逐项进行分析即可得出答案。
5．近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分，如图为槐荫区勾股数学公众号二维码，小莲将二维码打印在面积为20的正方形纸片上，为了估计黑色阴影部分的面积，她在纸片内随机掷点，经过大量试验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在0.75左右，则据此估计此二维码白色部分的面积为（ ）
A．15 B．5 C．0.75 D．0.25
【答案】B
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.75左右，
据此可以估计黑色部分的面积为，
此二维码白色部分的面积为．
故答案为：B.
【分析】经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.75左右，再计算出黑色部分的面积为15，白色部分的面积为5，代入概率公式即可得答案.
6．如图，用尺规作一个角等于已知角，其作图原理是：由△ODC≌△O'D'C'得∠AOB＝∠A'O'B'，其依据的定理是（　　）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：在△OCD与△O'C'D'，
∵ ，
∴△OCD≌△O'C'D'（SSS），
∴∠A'O'B'=∠AOB，
显然运用的判定方法是SSS．
故选A.
【分析】：本题考点是全等三角形的判定和性质的应用，根据三边对应相等（SSS）两三角形全等，且全等三角形的对应角相等，即可所作的角等于已知角，得到答案.
7．等腰三角形的周长是30，其中一条边长为6，则等腰三角形的腰长为（　　）
A．18 B．6或12 C．12 D．6
【答案】C
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：当底边为时，可得出腰长为12，这时三边长为
∴能构成三角形，
当腰长为时，则底边长为，这时三边长为
∴不能构成三角形，
∴等腰三角形腰长为.
故答案为：．
【分析】当底边为时，可得出腰长为12，能构成三角形，当腰长为时，则底边长为，不能构成三角形，即可得等腰三角形腰长为.
8．若，则 的值为（　　）
A． B．8 C．7 D．6
【答案】B
【知识点】同底数幂的除法；有理数混合运算法则（含乘方）；幂的乘方运算；幂的乘方的逆运算
【解析】【解答】解：，
∵，
∴，
∴原式.
故答案为：B．
【分析】把变形得，根据，可得，再代入求值即可得答案.
9．如图，都是的中线，连接，的面积足，则的面积是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：∵是的中线，
∴，
∵是的中线，
∴为的中线，
即，
故选：B．
【分析】本题考查三角形中线的性质，三角形的中线能够将三角形分成面积相等的两部分。因为CE是△ABC的中线，所以△BCE的面积是△ABC面积的一半，已知△ABC的面积为20cm2，可算出△BCE的面积为10cm2；又因为AD是△ABC的中线，所以D是BC的中点，进而可知DE是△BCE的中线，因此△CDE的面积是△BCE面积的一半，即10cm2÷2=5cm2。
10．小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，，爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】垂线的概念；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；补角
【解析】【解答】解：如图，
根据题意：，
，与底面垂直，B处距地面高，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
∴爸爸在处接住小丽时，小丽距离地面的高度是．
故答案为：C.
【分析】根据题意相等，等于1.3m，等，根据垂直，垂直，与底面垂直，B处距地面高，进一步得相等，即可证明全等，根据全等三角形的性质可得等于1.3m，等，再求出的长，然后根据求解即可得答案.
11．若代数式是完全平方式，则　 　．
【答案】
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：∵多项式是完全平方式，即：
∴
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据完全平方公式即可求出答案.
12．如图，在中，分别是的高和角平分线，，，则　 　度．
【答案】10
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵分别是的高和角平分线，
∴，，
∴，
故答案为：．
【分析】根据三角形内角和定理可得∠BAC，根据角平分线定义可得∠BAE，再根据直角三角形两锐角互余可得∠BAD，再根据角之间的关系即可求出答案.
13．如图，在网格中，　 　．
【答案】
【知识点】三角形外角的概念及性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理
【解析】【解答】解：如图
解：由题意得，，，，
在和中，
∴（SSS），
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】根据勾股定理可得，，，根据全等三角形判定定理可得（SSS），则，再根据三角形外角性质即可求出答案
14．如图，将△ABC沿着平行于BC的直线折叠，点A落到点A'，若∠C＝135°，∠A＝15°，则∠A'DB的度数为　 　．
【答案】120°
【知识点】三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵∠C＝135°，∠A＝15°，
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣15°﹣135°＝30°，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B＝30°，
由折叠知：∠A'DE＝∠ADE＝30°，
∴∠A'DB＝180°﹣30°﹣30°＝120°．
故答案为：120°．
【分析】 本题考查平行线的性质，翻折变换的性质，三角形的内角和定理. 先利用三角形的内角和定理可求出∠B，再根据两直线平行，同位角相等可得：∠ADE=∠B，再根据翻折变换的性质可得∠A'DE=∠ADE，再根据平角的定义列进行计算可求出∠A'DB的度数．
15．如图，在中，，，，为边上的高，点E从点B出发，在直线上以的速度移动，过点E作的垂线交直线于点F，当点E运动　 　 s时，．
【答案】6或2
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；三角形-动点问题；三角形的高
【解析】【解答】解：如图1，
设点运动的时间为，
点从点出发沿射线方向运动，
为边上的高，
，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
，且，
，解得.
如图2，
点从点出发沿射线方向运动，则，
，
在和中，
，
，
，
，且，
，解得，
综上所述，当点运动或时，．
故答案为：6或2.
【分析】设点运动的时间为，点从点出发沿射线方向运动，为边上的高，即可得垂直，根据，，得等于90度，即可得
，即可证明全等，根据全等性质得，结合
，且，可列方程，解出得，同理得点从点出发沿射线方向运动时，，综上所述，当点运动或时，即可.
16．先化简再求值：其中．
【答案】解：
，
当时，原式．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；多项式除以单项式；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】根据完全平方公式，平方差公式去小括号，合并同类项化简，再根据多项式除以单项式化简，再将a，b值代入即可求出答案.
17．如图，现有一转盘被平均分成八等份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8这八个数字，转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字．
（1）转动转盘，转出的数字不大于4的概率是_______；
（2）小明和小强玩转盘游戏，转出的数字为2的倍数小明胜，为3的倍数小强胜，这个游戏公平吗？请说明理由；若不公平，请你设计出公平的游戏规则．
【答案】（1）
（2）解：不公平，理由如下：
由题意，若转出的数字为2的倍数的可能是2、4、6、8，
∴小明胜的概率为；
若转出的数字为3的倍数的可能是3、6、9，
∴小强胜的概率为；
而，
∴该游戏不公平；
设计的方案：转出数字是奇数，则小明胜，转出数字是偶数，则小强胜．
【知识点】几何概率；游戏公平性；概率的简单应用
【解析】【解答】
（1）
解：转出的数字不大于4的可能是1、2、3、4这4种结果，
∴转出的数字不大于4的概率为：．
故答案为：．
【分析】
（1）转出的数字不大于4的可能是1、2、3、4这4种结果，然后用概率公式计算即可求解；
（2）不公平，理由如下：由题意，先分别求出转出的数字为2的倍数、3的倍数的概率，然后比较大小即可判定游戏的公平性；然后设计出公平的游戏方案即可．
18．如图，点在同一直线上，点在的异侧，，，．
（1）求证：．
（2）若，，求的度数．
【答案】（1）证明：如图，
，
，
∴，
在和中，
，
，
，
．
（2）解：如图，
，
，，
，
，
．
【知识点】平行线的判定与性质；三角形外角的概念及性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】(1) 根据，结合截长补短法，等式的性质得，再根据已知和，结合判定定理可证明，根据全等三角形性质得，再根据内错角相等，两直线平行可证明．
(2)有（1）得，根据全等性质，，再根据即可得，再根据三角形外角定理得，计算即可得答案．
（1）略
（2）解：，
，，
，
，
．
19．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为，点，，都是格点（小正方形的顶点），完成下列画图．
（1）画出的重心．
（2）在已知网格中找出所有格点，使点与的面积相等．
【答案】（1）解：根据题意作图如下：
点即为所求.
（2）解：如图，
点，即为所求.
【知识点】三角形的面积；三角形的重心及应用
【解析】【分析】（1）根据重心定义，即可知道作的中线，交于点，即为的重心.
（2）根据等高模型作图即可得答案.
（1）解：如图，点即为所求，
（2）解：如图，点，即为所求，
20．已知a，b，c是的三边长，且a，b，c都是整数．
（1）若，，且c是奇数，试判断的形状；
（2）化简：．
【答案】（1）解：∵a，b，c是的三边长且，，
∴，即，
∵c是奇数，
∴，
∴
∴是等腰三角形.
（2）解：∵a，b，c是的三边长，
∴，，，
∴，
∴原式
．
【知识点】整式的加减运算；三角形三边关系；绝对值的非负性；化简含绝对值有理数
【解析】【分析】(1) 根据三角形三边关系，结合，得的取值范围为，根据为奇数得，从而，即可判断为等腰三角形．
(2) 根据三角形三边关系得，，，进而得，即可把去绝对值化简合并即可得答案.
（1）解：∵a，b，c是的三边长
且，，
∴，即，
∵c是奇数，
∴，
∴
∴是等腰三角形；
（2）解：∵a，b，c是的三边长
∴，，，
∴，
∴原式
．
21．如图，，，．
（1）试说明：；
（2）若，，求的度数．
【答案】（1）证明：如图，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴．
∴，
∴.
（2）解：如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理；平行线的应用-求角度；平行线的应用-证明问题
【解析】【分析】（1）根据平行线的判定，结合和为180度，即可得平行，根据平行线性质即可得相等，相等，再根据相等，相等得相等，即可得，进而得.
（2）根据平行线的性质得等于40度，再根据，即可得等于70度，再根据，得.
（1）∵，
∴（同旁内角互补，两直线平行）．
∴（两直线平行，同位角相等）．（两直线平行，内错角相等）．
∵，
∴．
∴（同位角相等，两直线平行）．
∴（两直线平行，内错角相等）．
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
22．图形可以形象直观显示数量关系．例如，根据图1可以得到，请解答下列问题：
（1）根据图2，直接写出一个代数恒等式：____ ；
（2）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张宽、长分别为a、b的长方形，9张边长为b的正方形纸片，拼成一个面积最小的正方形，则的值为____；这个正方形的边长为____；(用含a，b的式子表示)
（3）如图4，是4个边长分别为a、b、c的直角三角形和1个边长为c的正方形拼成的大正方形．请根据图4中的图形关系可推导出a、b、c的数量关系式为____；
（4）如图5，直角中，，，，点D是边上的一动点．请利用（3）的结论，求线段的最小值．
【答案】（1）
（2）；
（3）
（4）解：如图5，
在中，，
，，
，
点是边上的一动点，
当时，最小，
，
又，
，
.
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；等积变换
【解析】【解答】（1）解：如图2，
由图得：大正方形的边长为，
大正方形的面积，
又大正方形的面积等于各小图形面积之和，
．
故答案为：.
（2）解：如图3，
设拼成的正方形边长为（，为正整数），
正方形的面积，
又正方形面积，
，解得，
，，
正方形面积最小，
，
，，
，正方形边长为．
故答案为：；.
（3）解：如图4
由图可知，大正方形的边长为，
大正方形的面积，
又大正方形的面积等于4个直角三角形与中间小正方形的面积之和，
面积，
，
．
故答案为：.
【分析】（1）根据图2，求出图2中大正方形边长，即可求出大正方形的面积为，再根据大正方形的面积等于各小图形面积之和，即可列等式，化简即可得答案.
（2）设拼成的正方形边长为，即可得正方形的面积，再根据正方形面积为，根据，解得，即可得，，根据正方形面积最小，得
，即可得，，进一步得，正方形边长为．
（3）根据图4可知，大正方形的边长为，即可求出大正方形的面积，再根据大正方形的面积等于4个直角三角形与中间小正方形的面积之和，即可列式，化简即可得.
（4）根据勾股定理求出斜边为10，根据垂线段最短知当时取最小值，再根据面积法列方程求解即可得的最小值.
（1）解：由图2可知，大正方形的边长为，
大正方形的面积，
又大正方形的面积等于各小图形面积之和，
．
（2）解：设拼成的正方形边长为（，为正整数），
正方形的面积，
又正方形面积，
，
解得，
，，
正方形面积最小，
，
，，
，正方形边长为．
（3）解：由图4可知，大正方形的边长为，
大正方形的面积，
又大正方形的面积等于4个直角三角形与中间小正方形的面积之和，
面积，
，
．
（4）解：在中，，
，，
，
点是边上的一动点，
当时，最小，
，
又，
，
．
23．综合题
（1）如图1，，，，．点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点以相同的速度在射线上由点向点运动．它们运动的时间为，当点到达点时，点也停止运动．当时，猜想：线段与之间的关系，并说明理由．
（2）【拓展】如图2，在中，，D，A，E三点都在直线m上，并且猜想：线段、、之间的关系，并说明理由．
（3）【应用】如图3，在中，是钝角，，，，直线m与的延长线交于点F，若，的面积是12，则与的面积之和为 ．
【答案】（1）解：且 ，理由如下：
如图1，
当时，，，
，
，
又，
，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
又，
，
．
（2）解：，理由如下：
如图2，
，，
，
又，，三点在直线上，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
．
（3）6
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；三角形-动点问题；同侧一线三等角全等模型（锐角）
【解析】【解答】（3）解：如图3，
由(2)同理可证，
，
，
直线与的延长线交于点，且，
与有公共顶点，且底边与在同一直线上，
，
，
，
∴与的面积之和为．
故答案为：6.
【分析】
(1) 当时，求出等于2，根据求出等于5，根据，得相等，根据垂线定义得等于90度，结合SAS判定定理可证明全等，根据全等性质得相等，相等，再通过直角互余与平角关系证明.
(2) 利用三角形内角和与平角关系转化得到，结合已知角等和，利用AAS判定，从而得，，相加即得．
(3) 由(2)的模型可得全等，从而相等，即可的和等于，再根据及同高三角形面积比等于底边比，得等于6．
（1）略
（2）略
（3）解：由(2)同理可证，
，
，
直线与的延长线交于点，且，
与有公共顶点，且底边与在同一直线上，
，
，
，
即与的面积之和为．
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