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广东佛山市南海区桂城街道平洲二中2025-2026学年第二学期八年级数学科备课组练习
1．下列从左到右的变形中，是分解因式的是（　　）
A．a2–4a+5=a(a–4)+5 B．(x+3)(x+2)=x2+5x+6
C．a2–9b2=(a+3b)(a–3b) D．(x+3)(x–1)+1=x2+2x+2
2．若，则下列不等式中正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．一个关于x的一元一次不等式组的解集在数轴上表示如图，则该不等式组的解集是（　　）
A．﹣2＜x＜1 B．﹣2＜x≤1 C．﹣2≤x＜1 D．﹣2≤x≤1
4．若多项式-6ab+18abx+24aby的一个因式是-6ab，那么另一个因式是
A．1-3x-4y B．-1-3x-4y C．1+3x-4y D．-1-3x+4y
5．下列分式中是最简分式的是（　　）
A． B． C． D．
6．化简的结果是（　　）
A． B． C． D．
7．若把分式中，x、y都扩大到原来的3倍，则分式的值（　　）
A．不变 B．扩大3倍 C．扩大9倍 D．不确定
8．如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于点D，如果AC=3cm，那么AE+DE等于（　　）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
9．如果9x2＋kx＋25是一个完全平方式，那么k的值是（　　）
A．15 B．±5 C．30 D．±30
10．如图，在中，∠C＝90°，∠B＝30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是（　　）
①AD平分∠BAC；②∠ADC＝60°；③点D在AB的垂直平分线上；④．
A．1 B．2 C．3 D．4
11．一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为 　 　．
12．分解因式： 　 　．
13．已知分式 ，当x＝1时，分式无意义，则a＝　 　．
14．如图，已知函数与函数的图象交于点P，则不等式的解集是　 　．
15．如图，在中，，，是的垂直平分线，，则的长度为　 　．
16．解不等式组：，并求它的最小整数解．
17．先因式分解，再求值：（其中，，）
18．先化简，再选择一个合适的的值，代入求值．
19．如图，在中，，交于点D．
（1）尺规作图：作的垂直平分线，交于点E，交于点F．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）若，求证：．
20．问题的解决策略：反思
【课本再现】
如图1，在北师大版八年级下册第一章《三角形的证明》中，通过将两个完全相同的含30°角的三角尺拼成一个等边三角形，发现“角的对边等于三角尺斜边的一半”，并对此猜想进行了证明．
【方法探究】
针对这一定理，小明尝试运用多种方法进行证明．以下是小明的证明思路，请你根据他的思路继续完成证明．
（1）已知：如图2，是直角三角形，，．求证：．
证明：以点B为圆心，以为半径作弧交于点E，连接；
【知识应用】
（2）如图3，等边的边长为8，点D在上，且，过D点作于点E，过点E作于点F，求的长．
21．下面是某同学对多项式进行因式分解的过程．
解：设
原式（第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）
回答下列问题：
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的___________．
A．提取公因式 B．平方差公式
C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式
（2）该同学因式分解的结果是否彻底？_________．（填“彻底”或“不彻底”），若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果__________．
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解．
（4）若多项式（为常数）因式分解的结果为，直接写出的值．
22．某工厂用如图所示的长方形和正方形纸板，做成如图乙所示的竖式与横式两种长方体形状的无盖纸盒．
（1）现有正方形纸板162张，长方形纸板340张，若要做两种纸盒共100个，设做竖式纸盒x个．
①根据题意，完成以下表格：
纸盒 纸板 竖式纸盒（个） 横式纸盒（个）
x
正方形纸板（张）
长方形纸板（张）
②按两种纸盒的生产个数来分，有哪几种生产方案？
（2）若每个竖式纸盒获利2元，横式纸盒获利3元，求上述哪种方案销售利润最大？最大利润是多少？
23．【提出问题】如图1，在中，，点是外一点，且，作于点，要研究，，之间的数量关系．
【特例分析】
（1）如图2，是等边三角形，点是外一点，且，假设，则________，________，与之间的数量关系为______．
【猜想证明】
（2）在图1中，（1）中的结论是否仍然成立，请证明你的猜想．
【结论应用】
（3）是边长为2的等边三角形，点是外一点，，作于点．若，，请直接写出的周长．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A、a2–4a+5=a(a–4)+5，不符合因式分解的定义，故A选项错误；
B、(x+3)(x+2)=x2+5x+6，是多项式的乘法运算，故B选项错误；
C、a2–9b2=(a+3b)(a–3b)，符合因式分解的定义，故C选项正确；
D、(x+3)(x–1)+1=x2+2x+2，是整式的混合运算，故D选项错误.
故答案为：C.
【分析】因式分解是指将一个多项式化成几个整式的积的形式的恒等变形，从而由因式分解的定义即可判断求解.
2．【答案】B
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A，不等式两边同时减去，不等号方向不变，可知，故该选项不合题意；
B，不等式两边同时乘以，不等号方向改变，可知，故该选项符合题意；
C，不等式两边同时减去3，不等号方向不变，可知，因此，故该选项不合题意；
D，不等式两边同时乘以，不等号方向不变，可知，故该选项不合题意；
故选B．
【分析】根据不等式的性质逐项进行判断即可求出答案.
3．【答案】C
【知识点】在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：如图，
根据数轴得：该不等式组的解集是：﹣2≤x＜1．
故答案为：C.
【分析】根据不等式解集的表示方法，结合数轴即可得该不等式组的解集是：﹣2≤x＜1．
4．【答案】A
【知识点】公因式的概念；因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：∵，多项式-6ab+18abx+24aby的一个因式是-6ab，∴多项式-6ab+18abx+24aby的另一个因式是（1-3x-4y）．
故答案为：A．
【分析】把多项式-6ab+18abx+24aby进行因式分解，结合题目意思即可得到另一个因式．
5．【答案】A
【知识点】最简分式的概念
【解析】【解答】解：A、的分子、分母都不能再分解，且不能约分，是最简分式；
故选A．
【分析】最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．
6．【答案】C
【知识点】分式的乘除法；分式的除法；因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：．
故答案为：C.
【分析】把分子、分母能因式分解得因式分解，再把除法变成乘法，约分计算即可得答案.
7．【答案】B
【知识点】分式的基本性质；分式基本性质的应用-判断分式值的变化
【解析】【解答】解：根据题意得：
，与原分式相比，扩大倍．
故答案为：B.
【分析】把分式中，x、y都扩大到原来的3倍，计算即可发现与原分式相比，扩大倍．
8．【答案】B
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于点D，∴EC=DE，
∴AE+DE=AE+EC=3cm．
故选：B．
【分析】根据角平分线性质可得EC=DE，再根据边之间的关系即可求出答案.
9．【答案】D
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：∵是一个完全平方式，
∴，
∴k的值是±30.
故答案为：D.
【分析】把9x2＋kx＋25整理为，根据完全平方公式即可得k的值是±30.
10．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵∠C＝90°，∠B＝30°，
∴∠BAC＝60°，
由作法得AD平分∠BAC，所以①正确；
∴∠BAD＝∠CAD＝30°，
∴∠ADC＝90°﹣∠CAD＝60°，所以②正确；
∵∠B＝∠BAD，
∴DA＝DB，
∴点D在AB的垂直平分线上，所以③正确；
∵如图，在直角△ACD中，∠CAD＝30°，
∴CD＝AD，
∴BC＝CD+BD＝AD+AD＝AD，S△DAC＝AC CD＝AC AD．
∴S△ABC＝AC BC＝AC AD＝AC AD，
∴S△DAC：S△ABC＝AC AD：AC AD＝1：3，
∴S△DAC：S△ABD＝1：2．即S△ABD＝2S△ACD，故④正确．
故答案为：D
【分析】根据三角形内角和定理可得∠BAC=60°，再利用基本作图对①进行判断；根据∠BAD=∠CAD=30°得到∠ADC=60°，则可对②进行判断；根据∠B=∠BAD得到DA=DB，根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理可对③进行判断；根据30度角所对的直角边是斜边的一半、三角形的面积计算公式来求两个三角形的面积之比．
11．【答案】6
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵多边形的外角和是360度，多边形的内角和是外角和的2倍，
则内角和是720度，
720÷180+2=6，
∴这个多边形是六边形．
故答案为：6．
【分析】利用多边形的外角和以及多边形的内角和定理即可解决问题．
12．【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】原式 ，
故答案为： ．
【分析】直接利用平方差公式进行分解即可．
13．【答案】3
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：把x=1代入得：
，
此时分式无意义，
∴a-3=0，
解得a=3．
故答案为：3．
【分析】把x=1代入分式，根据分式无意义得出关于a的方程，求出即可
14．【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：观察图象得：当时，函数的图象位于函数的图象的上方，
∴不等式的解集是．
故答案为：．
【分析】当函数的图象位于函数的图象的上方时，有，结合函数图象即可求出答案.
15．【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：如图，
连接，
是的垂直平分线，
，
∵，
，
∵在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，即，
∴．
【分析】连接，根据垂直平分线的性质得相等，根据等于30度，得等于30度，根据直角三角形性质得等于30度，相等，根据得
，求解即可得答案.
16．【答案】解：，
由不等式①得，
由不等式②得，
∴原不等式组的解集为，
∴该不等式组的最小整数解为．
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】解不等式①、②，找出解得公共部分即可得原不等式组的解集为，根据解集即可得该不等式组的最小整数解为．
17．【答案】解：
，
当，时，
原式．
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】把提公因式，再用完全平方公式分解为，再把，代入计算即可得答案.
18．【答案】解：
．
∵，，
∴，，
∴当时，原式＝．
【知识点】分式有无意义的条件；分式的化简求值；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】把括号部分通分相减，再把除法转化为乘法，约分化简得，然后再根据分式有意义的条件得，，即可选择当时代入计算即可得答案.
19．【答案】（1）解：根据尺规作图作垂直平分线的方法作图如下：
（2）证明：如图，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）分别以点A、B为圆心，大于的一半为半径画弧交于两点，过两个点作直线交于点E，交于点F即可得图形.
（2）根据余角的性质得相等，又根据相等，等于90度，可证明全等，根据全等性质得相等即可得答案．
（1）解：如图所示，直线满足要求，
（2）证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
20．【答案】解：（1）证明：如图2，
以点B为圆心，以为半径作弧交于点E，连接，
∴，
在中，，，
∴，
在中，，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴.
（2）如图2，
∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；直角三角形的性质；尺规作图-等腰（等边）三角形
【解析】【分析】（1）以点B为圆心，以为半径作弧交于点E，连接，即可得相等，在中，根据三角形内角和定理求出，即可判定是等边三角形，根据等边三角形性质得等于60度，相等，即可求出等于，进而得等于，由此得相等，即可得，进一步得.
（2）根据等边三角形性质得等于8，等于60度，再根据，计算出
的长度为6，根据垂线定义，结合已知计算出，即可得，进一步求出
为5，在中求，进而得．
21．【答案】（1）C
（2）不彻底；.
（3）解：令，
原式
．
（4）解：的值为3.
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法；因式分解﹣换元法；因式分解的正确性判断
【解析】【解答】（1）解：，是利用了两数和的完全平方公式法因式分解．
故答案为：C．
（2）解：∵，
∴分解不彻底，
．
故答案为：不彻底；．
（4）解：令，
原式
，
∵多项式（为常数）因式分解的结果为，
∴．
【分析】（1）根据，是利用了两数和的完全平方公式法因式分解即可得答案.
（2）根据，即可得分解不彻底，再次根据完全平方公式进行因式分解即可得答案.
（3）令，根据换元法分解即可.
（4）令，根据换元法把原式因式分解可得，再根据多项式（为常数）因式分解的结果为，即可得的值.
（1）解：，是利用了两数和的完全平方公式法因式分解．
故选C．
（2）解：∵，
∴分解不彻底，
．
故答案为：不彻底，．
（3）解：令，
原式
．
（4）解：令，
原式
；
∵多项式（为常数）因式分解的结果为，
∴．
22．【答案】（1）解：①根据题意得：
纸盒
纸板 竖式纸盒（个） 横式纸盒（个）
正方形纸板（张）
长方形纸板（张）
②根据题意得：，解得：．
∵为正整数，
∴，，．
有三种方案：①生产竖式纸盒个，横式纸盒个，
②生产竖式纸盒个，横式纸盒个，
③生产竖式纸盒个，横式纸盒个.
（2）解：方案①利润为：（元），
方案②利润为：（元），
方案③利润为：（元），
∵
∴方案①销售利润最大，最大利润是262元．
【知识点】求代数式值的实际应用；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】（1）①根据题目情景，结合表格中的数据即可得做竖式纸盒的正方形纸板x张， 长方形纸板 张，横式纸盒个，即可填表.
②根据题目情景列不等式组，解出后根据为正整数，即可得，，，即可得有三种方案，分别写出方案即可.
（2）分别计算三种方案的利润，然后比较求解即可得方案①销售利润最大，最大利润是262元．
（1）解：①根据题意得，
纸盒 纸板 竖式纸盒（个） 横式纸盒（个）
正方形纸板（张）
长方形纸板（张）
②由题意得
解得．
∵为正整数，
∴，，．
有三种方案：①生产竖式纸盒个，横式纸盒个；②生产竖式纸盒个，横式纸盒个；③生产竖式纸盒个，横式纸盒个；
（2）解：方案①利润为：（元）；
方案②利润为：（元）；
方案③利润为：（元）；
∵
∴方案①销售利润最大，最大利润是262元．
23．【答案】解：（1）；；.
（2）如图1，
过点作于点，连接，
，
在和中，
．
，
在和中，
.
（3）的周长 为：.
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等边三角形的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：（1）如图2，
∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴．
故答案为：；；.
（3）如图3，
是等边三角形，
，，
，
．
，，
，
由（2）可知：，
∴=．
【分析】（1）根据等边三角形性质得等于60度，再根据，计算出等于30度，即可得相等，根据得等于90度，即可得相等，根据，得等于，根据勾股定理得，即可得等于，再根据勾股定理得，即可得.
（2）过点作于点，连接，根据垂线定义得相等，结合条件可证明
全等，根据全等性质得相等，相等，进一步可证明全等，根据全等性质得相等，即可得.
（3）根据等边三角形性质得等于60度，等于2，根据等于15度，即可得
，根据垂直，，得等于，由（2）可知：，即可得的周长 为：.
1 / 1广东佛山市南海区桂城街道平洲二中2025-2026学年第二学期八年级数学科备课组练习
1．下列从左到右的变形中，是分解因式的是（　　）
A．a2–4a+5=a(a–4)+5 B．(x+3)(x+2)=x2+5x+6
C．a2–9b2=(a+3b)(a–3b) D．(x+3)(x–1)+1=x2+2x+2
【答案】C
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A、a2–4a+5=a(a–4)+5，不符合因式分解的定义，故A选项错误；
B、(x+3)(x+2)=x2+5x+6，是多项式的乘法运算，故B选项错误；
C、a2–9b2=(a+3b)(a–3b)，符合因式分解的定义，故C选项正确；
D、(x+3)(x–1)+1=x2+2x+2，是整式的混合运算，故D选项错误.
故答案为：C.
【分析】因式分解是指将一个多项式化成几个整式的积的形式的恒等变形，从而由因式分解的定义即可判断求解.
2．若，则下列不等式中正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A，不等式两边同时减去，不等号方向不变，可知，故该选项不合题意；
B，不等式两边同时乘以，不等号方向改变，可知，故该选项符合题意；
C，不等式两边同时减去3，不等号方向不变，可知，因此，故该选项不合题意；
D，不等式两边同时乘以，不等号方向不变，可知，故该选项不合题意；
故选B．
【分析】根据不等式的性质逐项进行判断即可求出答案.
3．一个关于x的一元一次不等式组的解集在数轴上表示如图，则该不等式组的解集是（　　）
A．﹣2＜x＜1 B．﹣2＜x≤1 C．﹣2≤x＜1 D．﹣2≤x≤1
【答案】C
【知识点】在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：如图，
根据数轴得：该不等式组的解集是：﹣2≤x＜1．
故答案为：C.
【分析】根据不等式解集的表示方法，结合数轴即可得该不等式组的解集是：﹣2≤x＜1．
4．若多项式-6ab+18abx+24aby的一个因式是-6ab，那么另一个因式是
A．1-3x-4y B．-1-3x-4y C．1+3x-4y D．-1-3x+4y
【答案】A
【知识点】公因式的概念；因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：∵，多项式-6ab+18abx+24aby的一个因式是-6ab，∴多项式-6ab+18abx+24aby的另一个因式是（1-3x-4y）．
故答案为：A．
【分析】把多项式-6ab+18abx+24aby进行因式分解，结合题目意思即可得到另一个因式．
5．下列分式中是最简分式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】最简分式的概念
【解析】【解答】解：A、的分子、分母都不能再分解，且不能约分，是最简分式；
故选A．
【分析】最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．
6．化简的结果是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】分式的乘除法；分式的除法；因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：．
故答案为：C.
【分析】把分子、分母能因式分解得因式分解，再把除法变成乘法，约分计算即可得答案.
7．若把分式中，x、y都扩大到原来的3倍，则分式的值（　　）
A．不变 B．扩大3倍 C．扩大9倍 D．不确定
【答案】B
【知识点】分式的基本性质；分式基本性质的应用-判断分式值的变化
【解析】【解答】解：根据题意得：
，与原分式相比，扩大倍．
故答案为：B.
【分析】把分式中，x、y都扩大到原来的3倍，计算即可发现与原分式相比，扩大倍．
8．如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于点D，如果AC=3cm，那么AE+DE等于（　　）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
【答案】B
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于点D，∴EC=DE，
∴AE+DE=AE+EC=3cm．
故选：B．
【分析】根据角平分线性质可得EC=DE，再根据边之间的关系即可求出答案.
9．如果9x2＋kx＋25是一个完全平方式，那么k的值是（　　）
A．15 B．±5 C．30 D．±30
【答案】D
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：∵是一个完全平方式，
∴，
∴k的值是±30.
故答案为：D.
【分析】把9x2＋kx＋25整理为，根据完全平方公式即可得k的值是±30.
10．如图，在中，∠C＝90°，∠B＝30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是（　　）
①AD平分∠BAC；②∠ADC＝60°；③点D在AB的垂直平分线上；④．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵∠C＝90°，∠B＝30°，
∴∠BAC＝60°，
由作法得AD平分∠BAC，所以①正确；
∴∠BAD＝∠CAD＝30°，
∴∠ADC＝90°﹣∠CAD＝60°，所以②正确；
∵∠B＝∠BAD，
∴DA＝DB，
∴点D在AB的垂直平分线上，所以③正确；
∵如图，在直角△ACD中，∠CAD＝30°，
∴CD＝AD，
∴BC＝CD+BD＝AD+AD＝AD，S△DAC＝AC CD＝AC AD．
∴S△ABC＝AC BC＝AC AD＝AC AD，
∴S△DAC：S△ABC＝AC AD：AC AD＝1：3，
∴S△DAC：S△ABD＝1：2．即S△ABD＝2S△ACD，故④正确．
故答案为：D
【分析】根据三角形内角和定理可得∠BAC=60°，再利用基本作图对①进行判断；根据∠BAD=∠CAD=30°得到∠ADC=60°，则可对②进行判断；根据∠B=∠BAD得到DA=DB，根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理可对③进行判断；根据30度角所对的直角边是斜边的一半、三角形的面积计算公式来求两个三角形的面积之比．
11．一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为 　 　．
【答案】6
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵多边形的外角和是360度，多边形的内角和是外角和的2倍，
则内角和是720度，
720÷180+2=6，
∴这个多边形是六边形．
故答案为：6．
【分析】利用多边形的外角和以及多边形的内角和定理即可解决问题．
12．分解因式： 　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】原式 ，
故答案为： ．
【分析】直接利用平方差公式进行分解即可．
13．已知分式 ，当x＝1时，分式无意义，则a＝　 　．
【答案】3
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：把x=1代入得：
，
此时分式无意义，
∴a-3=0，
解得a=3．
故答案为：3．
【分析】把x=1代入分式，根据分式无意义得出关于a的方程，求出即可
14．如图，已知函数与函数的图象交于点P，则不等式的解集是　 　．
【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：观察图象得：当时，函数的图象位于函数的图象的上方，
∴不等式的解集是．
故答案为：．
【分析】当函数的图象位于函数的图象的上方时，有，结合函数图象即可求出答案.
15．如图，在中，，，是的垂直平分线，，则的长度为　 　．
【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：如图，
连接，
是的垂直平分线，
，
∵，
，
∵在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，即，
∴．
【分析】连接，根据垂直平分线的性质得相等，根据等于30度，得等于30度，根据直角三角形性质得等于30度，相等，根据得
，求解即可得答案.
16．解不等式组：，并求它的最小整数解．
【答案】解：，
由不等式①得，
由不等式②得，
∴原不等式组的解集为，
∴该不等式组的最小整数解为．
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】解不等式①、②，找出解得公共部分即可得原不等式组的解集为，根据解集即可得该不等式组的最小整数解为．
17．先因式分解，再求值：（其中，，）
【答案】解：
，
当，时，
原式．
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】把提公因式，再用完全平方公式分解为，再把，代入计算即可得答案.
18．先化简，再选择一个合适的的值，代入求值．
【答案】解：
．
∵，，
∴，，
∴当时，原式＝．
【知识点】分式有无意义的条件；分式的化简求值；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】把括号部分通分相减，再把除法转化为乘法，约分化简得，然后再根据分式有意义的条件得，，即可选择当时代入计算即可得答案.
19．如图，在中，，交于点D．
（1）尺规作图：作的垂直平分线，交于点E，交于点F．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）若，求证：．
【答案】（1）解：根据尺规作图作垂直平分线的方法作图如下：
（2）证明：如图，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）分别以点A、B为圆心，大于的一半为半径画弧交于两点，过两个点作直线交于点E，交于点F即可得图形.
（2）根据余角的性质得相等，又根据相等，等于90度，可证明全等，根据全等性质得相等即可得答案．
（1）解：如图所示，直线满足要求，
（2）证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
20．问题的解决策略：反思
【课本再现】
如图1，在北师大版八年级下册第一章《三角形的证明》中，通过将两个完全相同的含30°角的三角尺拼成一个等边三角形，发现“角的对边等于三角尺斜边的一半”，并对此猜想进行了证明．
【方法探究】
针对这一定理，小明尝试运用多种方法进行证明．以下是小明的证明思路，请你根据他的思路继续完成证明．
（1）已知：如图2，是直角三角形，，．求证：．
证明：以点B为圆心，以为半径作弧交于点E，连接；
【知识应用】
（2）如图3，等边的边长为8，点D在上，且，过D点作于点E，过点E作于点F，求的长．
【答案】解：（1）证明：如图2，
以点B为圆心，以为半径作弧交于点E，连接，
∴，
在中，，，
∴，
在中，，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴.
（2）如图2，
∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；直角三角形的性质；尺规作图-等腰（等边）三角形
【解析】【分析】（1）以点B为圆心，以为半径作弧交于点E，连接，即可得相等，在中，根据三角形内角和定理求出，即可判定是等边三角形，根据等边三角形性质得等于60度，相等，即可求出等于，进而得等于，由此得相等，即可得，进一步得.
（2）根据等边三角形性质得等于8，等于60度，再根据，计算出
的长度为6，根据垂线定义，结合已知计算出，即可得，进一步求出
为5，在中求，进而得．
21．下面是某同学对多项式进行因式分解的过程．
解：设
原式（第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）
回答下列问题：
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的___________．
A．提取公因式 B．平方差公式
C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式
（2）该同学因式分解的结果是否彻底？_________．（填“彻底”或“不彻底”），若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果__________．
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解．
（4）若多项式（为常数）因式分解的结果为，直接写出的值．
【答案】（1）C
（2）不彻底；.
（3）解：令，
原式
．
（4）解：的值为3.
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法；因式分解﹣换元法；因式分解的正确性判断
【解析】【解答】（1）解：，是利用了两数和的完全平方公式法因式分解．
故答案为：C．
（2）解：∵，
∴分解不彻底，
．
故答案为：不彻底；．
（4）解：令，
原式
，
∵多项式（为常数）因式分解的结果为，
∴．
【分析】（1）根据，是利用了两数和的完全平方公式法因式分解即可得答案.
（2）根据，即可得分解不彻底，再次根据完全平方公式进行因式分解即可得答案.
（3）令，根据换元法分解即可.
（4）令，根据换元法把原式因式分解可得，再根据多项式（为常数）因式分解的结果为，即可得的值.
（1）解：，是利用了两数和的完全平方公式法因式分解．
故选C．
（2）解：∵，
∴分解不彻底，
．
故答案为：不彻底，．
（3）解：令，
原式
．
（4）解：令，
原式
；
∵多项式（为常数）因式分解的结果为，
∴．
22．某工厂用如图所示的长方形和正方形纸板，做成如图乙所示的竖式与横式两种长方体形状的无盖纸盒．
（1）现有正方形纸板162张，长方形纸板340张，若要做两种纸盒共100个，设做竖式纸盒x个．
①根据题意，完成以下表格：
纸盒 纸板 竖式纸盒（个） 横式纸盒（个）
x
正方形纸板（张）
长方形纸板（张）
②按两种纸盒的生产个数来分，有哪几种生产方案？
（2）若每个竖式纸盒获利2元，横式纸盒获利3元，求上述哪种方案销售利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）解：①根据题意得：
纸盒
纸板 竖式纸盒（个） 横式纸盒（个）
正方形纸板（张）
长方形纸板（张）
②根据题意得：，解得：．
∵为正整数，
∴，，．
有三种方案：①生产竖式纸盒个，横式纸盒个，
②生产竖式纸盒个，横式纸盒个，
③生产竖式纸盒个，横式纸盒个.
（2）解：方案①利润为：（元），
方案②利润为：（元），
方案③利润为：（元），
∵
∴方案①销售利润最大，最大利润是262元．
【知识点】求代数式值的实际应用；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】（1）①根据题目情景，结合表格中的数据即可得做竖式纸盒的正方形纸板x张， 长方形纸板 张，横式纸盒个，即可填表.
②根据题目情景列不等式组，解出后根据为正整数，即可得，，，即可得有三种方案，分别写出方案即可.
（2）分别计算三种方案的利润，然后比较求解即可得方案①销售利润最大，最大利润是262元．
（1）解：①根据题意得，
纸盒 纸板 竖式纸盒（个） 横式纸盒（个）
正方形纸板（张）
长方形纸板（张）
②由题意得
解得．
∵为正整数，
∴，，．
有三种方案：①生产竖式纸盒个，横式纸盒个；②生产竖式纸盒个，横式纸盒个；③生产竖式纸盒个，横式纸盒个；
（2）解：方案①利润为：（元）；
方案②利润为：（元）；
方案③利润为：（元）；
∵
∴方案①销售利润最大，最大利润是262元．
23．【提出问题】如图1，在中，，点是外一点，且，作于点，要研究，，之间的数量关系．
【特例分析】
（1）如图2，是等边三角形，点是外一点，且，假设，则________，________，与之间的数量关系为______．
【猜想证明】
（2）在图1中，（1）中的结论是否仍然成立，请证明你的猜想．
【结论应用】
（3）是边长为2的等边三角形，点是外一点，，作于点．若，，请直接写出的周长．
【答案】解：（1）；；.
（2）如图1，
过点作于点，连接，
，
在和中，
．
，
在和中，
.
（3）的周长 为：.
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等边三角形的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：（1）如图2，
∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴．
故答案为：；；.
（3）如图3，
是等边三角形，
，，
，
．
，，
，
由（2）可知：，
∴=．
【分析】（1）根据等边三角形性质得等于60度，再根据，计算出等于30度，即可得相等，根据得等于90度，即可得相等，根据，得等于，根据勾股定理得，即可得等于，再根据勾股定理得，即可得.
（2）过点作于点，连接，根据垂线定义得相等，结合条件可证明
全等，根据全等性质得相等，相等，进一步可证明全等，根据全等性质得相等，即可得.
（3）根据等边三角形性质得等于60度，等于2，根据等于15度，即可得
，根据垂直，，得等于，由（2）可知：，即可得的周长 为：.
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