资源简介

广东省多校联考2025-2026学年高二下学期7月期末学情调研数学试题
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知随机变量服从正态分布，且，则（ ）
A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.6
3．已知在复平面内，为原点，向量，对应的复数分别为，，那么向量对应的复数的虚部为（ ）
A．-7 B．-5 C．5 D．7
4．曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．设为坐标原点，点在抛物线上，若点到的准线的距离为3，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知直线，平面满足，则（ ）
A．任意，都有，相交 B．任意，都有，是异面直线
C．存在，使得 D．存在，使得
7．已知圆和圆，直线与，均相切，切点分别为，，则（ ）
A．3 B． C．4 D．
8．在中，角，，所对的边分别为，，，，，则（ ）
A． B． C． D．1
二、多选题
9．已知椭圆的左，右焦点分别为，，为上的动点，则（ ）
A．的离心率为
B．的最大值为5
C．存在四个不同的点，使得的面积为1
D．存在四个不同的点，使得为等腰三角形
10．甲、乙、丙3名运动员击中目标的概率分别为，，.若他们3人分别向目标各发一枪，且他们相互之间没有影响，则这3枪中（ ）
A．三枪都命中的概率为
B．至少有一枪命中目标的概率为
C．若要连续命中两枪的概率最大，则应该让甲打第2枪
D．若要连续命中两枪的概率最大，则应该让丙打第2枪
11．已知函数有两个极值点，，则的值可能为（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
12．双曲线的离心率为_____．
13．已知函数的图象经过点，则_____；若在区间上单调递增，则的取值范围为_____.
14．某市为迎接即将到来的省辩论大赛，准备在全市高中生范围内选择成员，经过第一轮比赛，9人脱颖而出，其中5名女生，4名男生，并且男生和女生中各有一名参加过去年的比赛.现从这9人中选2名男生与2名女生参赛，若至少有1名参加过去年比赛的被选中条件下，两名去年参赛的都被选中的概率是________.
四、解答题
15．在三棱锥中，，．点，分别为棱，的中点，连接，，，．
(1)求证：平面平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
16．在中，角，，所对的边分别为，，，.
(1)求证：；
(2)若的周长为，求的面积.
17．某景区在五一劳动节期间开展“致敬最美劳动者”主题游园活动，天的入园游客量统计数据如下：
活动开展第天
入园游客量（百人）
(1)由数据看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请计算相关系数（保留小数点后两位），并推断相关程度的强弱；
(2)求经验回归方程以及表中第个观测的残差；（观测值减去预测值称为残差）
(3)该景区在活动期间设置个打卡通道，记为通道①、通道②、通道③，游客入园时选择通道①、②、③的概率依次为、、；游客离园时，从原先入园通道离园的概率为，从另两个通道离园的概率均为，求游客从通道①离园的概率.
附：参考公式：相关系数；回归直线方程，其中，；；
18．已知数列，都是等差数列，其前项和分别为，，，.
(1)求及的通项公式；
(2)令，数列的前项积为，若对任意的恒成立，求的取值范围；
(3)令，设数列的前项和为，求证：对任意，.
19．已知函数，其中.
(1)若，讨论的单调性；
(2)若在上恒成立，求的值；
(3)若，证明：.
参考数据：，，.
参考答案
1．C
【详解】因为，
则.
2．B
【详解】因为随机变量服从正态分布，所以正态分布曲线的对称轴为，
根据正态分布性质可知，所以，所以．
3．D
【详解】因为.
所以对应复数的虚部为.
4．A
【详解】由，则，则切线方程为，则.
5．A
【详解】由于，则，
于是，则，于是.
6．D
【详解】平面内可作过点以外，与异面的直线，并非所有直线都与相交，故A错误；
平面内过交点的直线，一定和相交，不是异面直线，故B错误；
直线与平面相交，平面内不存在与这条直线平行的直线，故C错误；
在平面内，过点一定可以作出直线与垂直，故D正确．
7．B
【详解】由圆与相切，则圆心到直线l的距离，则或，
若，由圆与相切，则圆心到直线l的距离，不合题意；
若，由圆与相切，则，
由于圆心距（分别为两圆半径），此时两个圆外切，
如图，过点作，则,，

于是.
8．C
【详解】解法一：由可得，
由得，
则，则，
由于，则.
解法二：由已知可得，则，
于是，即，
由于，则或，
若，则，则，，此时，都存在；
则；
若，即，则，矛盾，舍去.
9．AC
【详解】由题可知，，，，则，A正确；
由于，B错误；
由于，则，则这样的点有四个，C正确；
由于，，则当时，可得正三角形，点在椭圆的上下顶点；
当时，同理可得正三角形，点在椭圆的上下顶点；
当时，仍可得正三角形，点在椭圆的上下顶点.于是这样的点只有两个，D错误.
10．ABD
【详解】对于A：三枪全中的概率，A正确；
对于B，三枪都不中的概率，故至少有一枪命中目标的概率为，B正确；
对于C、D：设1，2枪连续命中的概率为，2，3枪连续命中的概率为，
三枪都中的概率为，则由题意至少连续两枪命中的概率，
若甲在第2枪：乙在第1枪，丙在第3枪，，若甲在第2枪：乙在第3枪，丙在第1枪，，即甲在第2枪，连续命中两枪的概率为，
同理：若乙在第2枪，连续命中两枪的概率为
，
若丙在第2枪：连续命中两枪的概率为
，
因此丙在第2枪时概率最大，C错误，D正确.
11．AB
【详解】由于，，
设，，
①若，，此时只有一个极值点，矛盾；
②若，，在上单调递增，且，
(i)若，则当时，，则，故在上单调递增；
当时，，则，故在上单调递增；
于是在上单调递增，无极值点，不合题意；
(ii)若，则，，
于是存在，使，即，
时，，，，在上单调递增；
时，，，，在上单调递减；
时，，，，在上单调递增；
于是，；
(iii)若，则，，
于是存在，，，
时，，，，在上单调递增；
时，，，，在上单调递减；
时，，，，在上单调递增；
于是，；
③ 若，由于，
由得；由得，
则在上单调递减，在上单调递增，
则取得极小值，
若，即时，，，，不合题意；
若，则，，
由零点存在定理，不妨设，存在，，
则，即，，
则在，上单调递增，在上单调递减，
令，则，，则，
于是，，
设，，
取，设，，
则在上单调递增，于是，则，
于是在单调递减，
且，则，且，则.
于是当时，；当时，；
当时，.
若，由于，，则A不可能；
若，，则A有可能；
若，则，若，则有解，故B正确；
若，则；若，由于，若，
由于的解，而且，
则在上无解，从而C错误；
若，则；若，考虑到，则D错误.
12．
【详解】由于，则，，则．
13．
【详解】由，且，则；
于是，，令，
在区间上单调递增，所以在上单调递增，
则，.
14．
【详解】设事件“至少有1名参加过去年比赛的被选中”，
事件“两名去年参赛的都被选中”，
则，
，
则，
即所求概率为．
15．(1)由于，为的中点，
则，
由于，为的中点，
则，
由于，平面，
则平面，
又平面，则平面平面．
(2)
【详解】（1）略．
（2）解法一：如图，连接，由，．
则，则，
同理，，且，平面，
则平面，且平面，
则，
如图，过点作交于点，
由（1）知平面，平面，则，
且，平面，
则平面，
于是即为直线与平面所成角，
在中，由于，，则，
于是，
即直线与平面所成角的正弦值为．
解法二：由，，
则，则，
同理，，，
则，，两两垂直，
以点为坐标原点，以，，所在直线分别为，，轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
设平面的法向量为，
由于，，
则，，令，
于是平面的一个法向量为，
又，
设直线与平面所成的角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
16．(1)解法一：由，
则，，
于是，
由正弦定理：，
则，，，
于是，
则.
解法二，由，
则，
由正弦定理：，
则，，
于是，
若，则，，
由可得；
若，且，则，
且，则，
由，，
，
则，
由，则，
于是（舍）或，
于是，则；
综上所述：.
(2)
【详解】（1）略
（2）由（1）可知，，
则，，
则，中必有一个不小于，否则若，都小于，矛盾，
于是不是最大边，则只能为锐角，
由（1）得，
若，则，则，
由余弦定理可得：，
则，
于是，此时，
则，
此时恰好为正三角形，.
若，则，此时，
恰好为正三角形，.
17．(1)，相关程度很强
(2)，残差为百人
(3)
【详解】（1）由表格中的数据可得，，
，
，
，
则，
由相关系数，可以推断入园游客量与活动开展第天相关程度很强.
（2），，
故经验回归方程为.
对于表中第个观测，入园游客量为（百人），
预测值为（百人），残差为（百人）
（3）记从通道入园的事件为，从通道离园的事件为，
由题意可得，，，，
.
18．(1),，，
(2)
(3)由于
，
则
，，
于是
，
另一方面，，
于是.
【详解】（1）解法一：令，，，
于是，，
令，，，则，，
设，，
则，
于是，，.
解法二：令，，，
由于，则，
，
则，
于是，，.
（2）由于，，则，
于是，，
于是
，
设，当且仅当取等号，
则，，
由于函数在上单调递增，
最小值在即处取得,
于是，
则，当且仅当取等号，
于是.
（3）略
19．(1)在，上单调递增，在上单调递减
(2)
(3)设，，，
，
令，，
令，，则在上单调递增；
令，，则在上单调递减；
于是，
下证：，即证：，.
解法一：设，，
设，，
于是在上单调递增，在上单调递减，
于是，且，，
由零点存在定理，存在，，使得，
令，则，于是在上单调递增；
令，则，于是在，上单调递减；
由于，，考虑到，则，
要证，即证：，，
设，，
则在上单调递减，
考虑到，，则，
考虑到，下证：，
即证：，
由于，得证.
解法二：设，，，
令，，
于是在上单调递增，在上单调递减，
则，则，不妨设，则，
于是，
由于，
于是，
于是当时，；
当时，设，
，
设，，
于是在上单调递增，于是，且，由零点存在定理，存在，使得，
于是在上单调递减，在上单调递增，
且，，又，则，
于是当时，，
则，
综上所述：，.
【详解】（1）由于，，
令，或；
令，或；
令，；
于是在，上单调递增，在上单调递减.
（2）由于，其中，，
令，则，
令，，在上单调递增；
令，，在上单调递减；
于是，则，
不妨设，，，
则在上单调递减，在上单调递增，
则且，
于是.
（3）略

展开更多......

收起↑