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北师大版数学七年级上册精做课件授课教师：.班级：7年级（）班.时间：.5.3.1形积问题第五章一元一次方程北师大版七年级上册数学5.3.1形积问题同步练习题本节课是一元一次方程应用题的核心基础题型，主要利用形状改变、周长/面积/体积不变的等量关系列方程求解。核心解题思路：找准形变前后的不变量，熟记常见几何图形周长、面积、体积公式，根据等量关系建立一元一次方程，实现几何问题代数求解，是后续各类方程应用题的铺垫。一、选择题（每题4分，共20分）1.把一根铁丝围成正方形改围成长方形，变化前后不变的量是（）A.边长B.面积C.周长D.形状2.将圆柱形铁块锻造成长方体铁块，形变前后不变的是（）A.底面积B.体积C.表面积D.高3.一个长方形周长为40cm，长为x cm，则宽为（）A. $$(40-x)\mathrm{cm}$$ B. $$(20-x)\mathrm{cm}$$ C. $$(40-2x)\mathrm{cm}$$ D. $$(20+x)\mathrm{cm}$$4.正方形边长增加2cm，周长增加（）A. 2cm B. 4cm C. 8cm D. 16cm5.形积问题列方程的核心是（）A.随便设未知数B.找形变前后不变的等量关系C.只算面积D.只算周长二、填空题（每题4分，共20分）6.铁丝围图形变形问题：________不变，面积改变。7.物体锻造、熔铸变形问题：________不变，表面积、形状改变。8.长方形周长公式：$$C=$$________，面积公式：$$S=$$________。9.已知正方形周长为$$8x$$，则正方形边长为________。10.把长、宽分别为5cm、3cm的长方形铁丝改围成正方形，正方形边长为________cm。三、解答题（共60分）11.（18分）基础周长形变问题：一根铁丝可围成边长为6cm的正方形，现将这根铁丝改围成一个长为8cm的长方形，求长方形的宽和面积。12.（20分）进阶面积形变问题：一个长方形菜地，长比宽多3m，周长为34m，求这个长方形的长、宽和面积。13.（22分）体积不变综合问题：将一个底面半径为4cm、高为9cm的圆柱形铁块，锻造成底面为正方形、边长为6cm的长方体铁块，求长方体铁块的高。（圆柱体积公式：$$V=\pi r^2h$$，$$\pi$$取3）参考答案及解析一、选择题1.C解析：铁丝长度固定，围不同图形周长不变，面积随形状改变。2.B解析：锻造、熔铸仅改变物体形状，物质体积保持不变。3.B解析：长方形周长=2(长+宽)，长+宽=20，故宽=(20-x)cm。4.C解析：正方形4条边，边长增加2cm，周长增加$$4\times2=8\mathrm{cm}$$。5.B解析：形积问题解题核心：抓住形变、量不变，以此列等量方程。二、填空题6.周长7.体积8. $$2(a+b)$$、$$ab$$ 9. $$2x$$ 10. 4三、解答题11.解：铁丝总长（正方形周长）：$$4\times6=24\mathrm{cm}$$设长方形宽为$$x\mathrm{cm}$$，列方程：$$2(8+x)=24$$解得：$$x=4$$，长方形面积：$$8\times4=32\mathrm{cm}^2$$答：长方形宽为4cm，面积为32cm 。12.解：设长方形宽为$$x\mathrm{m}$$，则长为$$(x+3)\mathrm{m}$$列方程：$$2(x+x+3)=34$$，化简得$$2(2x+3)=34$$解得：$$x=7$$，长：$$7+3=10\mathrm{m}$$面积：$$10\times7=70\mathrm{m}^2$$答：长方形长10m，宽7m，面积70m 。13.解：设长方体的高为$$h\mathrm{cm}$$圆柱体积：$$V=3\times4^2\times9=432\mathrm{cm}^3$$长方体体积：$$V=6\times6\times h=36h$$根据体积不变列方程：$$36h=432$$解得：$$h=12$$答：长方体铁块的高为12cm。
03
新知导入
h
r
阿基米德用非常巧妙地方法测出了皇冠的体积，你知道他是如何测量的吗？
形状改变，
体积不变.
=
思考：在这个过程中什么没有发生变化？
02
新知探究
某饮料公司有一种底面直径和高分别为6.6cm，12cm 的圆柱形易拉罐饮料. 经市场调研决定对该产品外包装进行改造，计划将它的底面直径减少为6cm.那么在容积不变的前提下，易拉罐的高度将变为多少厘米
(1)这个问题中包含哪些量 它们之间有怎样的等量关系
包含的量：圆柱形易拉罐改造前后的底面半径、
高、容积
02
新知探究
“容积不变”
等量关系：改造前易拉罐容积=改造后易拉罐容积
改造前
改造后
直径(半径)减少，高如何变化？
03
新知讲解
　(2)设新包装的高度为 x cm，借助下面的表格梳理问题中的信息
03
新知讲解
(3)根据等量关系，列出方程
设新包装的高度为 x cm
根据等量关系列出方程
=
答：新包装的高度为14.52cm
列方程的关键找出问题中的等量关系
解这个方程得：x=14.52
（第1题）
1. 如图，正方形的一边长减少 后，得到一
个长方形（图中阴影部分）.若长方形的周长为
，求正方形的边长.设正方形的边长为 ，
可列方程为( )
D
A. B.
C. D.
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2. ［2025深圳月考］有一位工人师傅将底面直径为10，高为
80的“瘦长”形圆柱，锻造成底面直径为40的“矮胖”形圆柱，
则“矮胖”形圆柱的高为( )
B
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
返回
03
新知讲解
例1、用一根长为10m 的铁丝围成一个长方形.
(1)如果该长方形的长比宽多1.4m，那么此时长方形的长、宽各为多少米
(2)如果该长方形的长比宽多0.8m，那么此时长方形的长、宽各为多少米 此时的长方形与(1)中的长方形相比，面积有什么变化
(3)如果该长方形的长与宽相等，即围成一个正方形，那么此时正方形的边长是多少米 正方形的面积与(2)中长方形的面积相比又有什么变化
03
新知讲解
分析：本题涉及哪些量 它们之间有怎样的数量关系？
铁丝的长，长方形的长、宽、周长、面积.
等量关系： (长＋宽)×2＝周长(周长就是铁丝的长度)
解：(1)设此时长方形的宽为x m，则它的长为(x+1.4) m.
根据题意，得2(x+1.4) +2x＝10
解得 x=1.8
1.8+1.4=3.2
此时长方形的长为3.2m，宽为1.8m.
03
新知讲解
(2)解：设此时长方形的宽为x m，则它的长为(x+0.8)m.
根据题意，得 2(x+0.8)＋2x＝10
解得：x＝2.1，2.1+0.8=2.9
此时长方形的长为2.9m，宽为2.1m，
长方形面积为2.9×2.1＝6.09(m2)
(1)中长方形的面积为3.2×1.8＝5.76(m2)，
此时长方形的面积比(1)中长方形的面积增大
6.09-5.76＝0.33(m2)
03
新知讲解
(3)设正方形的边长为x m
根据题意，得 4x=10
解得 x=2.5
正方形的边长为 2.5m，面积为 2.5×2.5＝6.25(m2)，
比(2)中长方形的面积增大 6.25-6.09＝0.16(m2)
03
新知讲解
在前面的问题中，所列方程的两边分别表示什么量
列方程的思路是什么 与同伴进行交流
思考·交流
所列方程的两边分别表示：
长方形的周长和铁丝的长度
列方程的思路：
先设一边长为未知数，再用含未知数的代数式表示出周长，根据周长等于铁丝的长度10m这个等量关系列出方程.
（第3题）
3. 如图，一块长、宽 的长方形纸
板和一块长、宽 的长方形纸板、一
块正方形纸板以及另两块长方形纸板恰好拼
成一个大正方形，则大正方形的面积是
( )
C
A. B.
C. D.
（第3题）
【点拨】设正方形纸板的边长为 ，则大
正方形的边长为 或
，由题意，得
，解得 ，所以大
正方形的边长为 ，所以拼
成的大正方形的面积是 .
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（第4题）
4. 如图，一个瓶子的容积是
，瓶内装着一些水.当
瓶子正放时，瓶内水的高度为 ，倒
放时，空余部分的高度为 ，则瓶子的
底面积为( )
B
A. B.
C. D.
5.墙上钉着用一根彩绳围成的梯形形状的饰物，如图所示
（单位： ）.小颖将梯形下底的钉子去掉，并将这根彩绳
钉成一个长方形.小颖所钉成的长方形的长为_______.
（第5题）
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6. 用 的篱笆围成一个长方形场地.
（1）如果宽是长的 ，则这个长方形场地的长为______，宽
为______.
【点拨】设这个长方形场地的长为，则宽为 ，根据
题意,得，解得，此时 .所以
这个长方形场地的长为，宽为 .
（2）如果长比宽多 ，求这个长方形场地的面积.
【解】设这个长方形场地的长为，则宽为 ，根
据题意,得 ，
解得.此时 .
所以这个长方形场地的面积为 .
05
课堂小结
一元一次方程的应用
图形等长变化
应用一元一次方程解决实际问题的步骤
图形等积变化
列
⑤检
④解
设
审
⑥答

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