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湖南省株洲市芦淞区体育路中学等多校2024-2025学年七年级下学期6月期末联考数学试题
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．请将正确答案的字母代号填在答题卡相应位置上）
1．下列各数中，是无理数的是（　　）
A． B． C． D．
2．已知，下列不等式一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
3．下列说法错误的是（　　）
A．“从一副扑克牌中任意抽取一张，抽到大王”是必然事件
B．任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数不一定是偶数
C．了解一批灯泡的质量，采用抽样调查的方式
D．天气预报说明天的降水概率是，则明天不一定会下雨
4．下列说法不正确的是（　　）
A．为了审核书稿中的错别字，选择普查
B．为了解春节联欢晚会的收视率，选择抽样调查
C．为了清楚地反映事物的变化情况，可选用扇形统计图
D．质检部门要了解一批灯泡的使用寿命，选择抽样调查
5．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6．在平面直角坐标系中，点到轴的距离为（　　）
A． B． C． D．
7．如图，在中，，，．若点是直线上的一个动点，则的最小值为（　　）
A． B． C．5 D．6
8．下列关于 的说法中，错误的是（　　）
A． 是无理数 B．2< <3
C．5的平方根是 D． 是5的算术平方根
9．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，它对我国古代后世的数学家产生了深远的影响，该书中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出元，多元；每人出元，少元，问有多少人？该物品价几何？设有人，物品价值元，则所列方程组正确的是（　　）
A． B．
C． D．
10．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．请将答案填在答题卡的答案栏内）
11．已知点在轴上方，则的取值范围是　 　．
12．若，则　 　．
13．由，得到用y表示x的式子为　 　．
14．已知是方程的一组解，则　 　
15．如图，一束光线从点C出发，经过平面镜AB反射后，沿与AF平行的线段DE射出（此时∠1＝∠2），若测得∠DCF＝100°，则∠A＝　 　
16．在平面直角坐标系中，点P位于原点，第1秒钟向右移动1个单位，第2秒钟向上移动2个单位，第3秒钟向左移动3个单位，第4秒钟向下移动4个单位，第5秒钟向右移动5个单位，…依此类推，经过2024秒钟后，点P的坐标是　 　．
三、解答题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．解答题要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．计算：
18．小鑫、小童两人同时解方程组时，小鑫看错了方程②中的a，解得，小童看错了①中的b，解得．
（1）求正确的a，b的值；
（2）求原方程组的正确解．
19．解不等式，并写出它的所有负整数解．
20．（1）计算：；
（2）解不等式组：．
21．如图，线段两端点在平面直角坐标系中小正方形的顶点，平移线段，使得点A移到点．
（1）画出线段，并写出点的坐标；
（2）连接、，求出四边形的面积．
22．为促进学生健康成长，学校全面推行课后服务模式．在课后服务时间内组织学生进行自主阅读、体育、艺术、及其他一些有益身心健康的活动，学生根据自己的喜好，自主选择．学校随机抽取了部分学生进行调查（抽取的学生都选择了一种自己喜爱的活动），下面是根据调查情况，得到的两幅不完整的统计图，请结合图中信息解答下列问题：
（1）求出本次调查中，随机抽取的学生人数；
（2）补全条形统计图，并求出“其他”所对应的圆心角的度数；
（3）若该校学生总人数为840人，估计选择阅读的学生有多少人？
四、几何证明与计算（本大题共2小题，每小题7分，共14分．要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
23．在下面的括号内，填上推理的根据．
如图，，求证．
证明：∵，
∴（　 　）．
∴（　 　）．
24．如图，在四边形中，，．
（1）求的度数；
（2）平分交于点，．求证：．
五、应用题（本大题共1小题，共8分）
25．某班去革命老区研学旅行，研学基地有甲乙两种快餐可供选择，买1份甲种快餐和2份乙种快餐共需70元，买2份甲种快餐和3份乙种快餐共需120元．
（1）买一份甲种快餐和一份乙种快餐各需多少元？
（2）已知该班共买55份甲乙两种快餐，所花快餐费不超过1280元，问至少买乙种快餐多少份？
六、拓展延伸题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
26．定义：若m，n都是不为0的实数，且满足，则称点为“爱心点”．
（1）①在点，，中，是“爱心点”的有______（填字母）；
②若点是“爱心点”．则a，b满足的关系式为______；
（2）若是“爱心点”，且s，t分别是不等式组的最大整数解和最小整数解，求k的取值范围；
（3）已知p，q为有理数，且以关于x，y的方程组的解为坐标的点是“爱心点”，求的平方根．
27．如图1，点E是直线上一点，F是直线上一点，．
（1）求证：；
（2）如图2，，与的平分线交于点Q，与相交于点M，若，求的度数；
（3）如图3，平分，平分，，当的大小不变时，下列结论：①的度数不变；②的度数不变，其中有且只有一个是正确的，请你写出正确的结论并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：、是整数，属于有理数，不合题意；
、是整数，属于有理数，不合题意；
、是无理数，符合题意；
、是分数，属于有理数，不合题意；
故答案为：．
【分析】利用无理数的定义（无限不循环小数称为无理数）逐个分析判断求解即可.
2．【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，，，
由无法用来判断，
∴A、B、D错误，故不符合要求；C正确，故符合要求；
故选：C．
【分析】根据不等式的基本性质逐项判断解答即可．
3．【答案】A
【知识点】全面调查与抽样调查；事件的分类；概率的意义
【解析】【解答】解：A、 “从一副扑克牌中任意抽取一张，抽到大王”是随机事件，故原说法错误，此选项符合题意；
B、任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数可能是偶数，也可能是奇数，故原说法正确，此选项不符合题意；
本选项不符合题意；
C、了解一批灯泡的质量，采用抽样调查的方式， 故原说法正确，此选项不符合题意；
本选项不符合题意；
D、天气预报说明天的降水概率是，则明天不一定会下雨， 故原说法正确，此选项不符合题意.
故答案为：A．
【分析】在一定条件下，可能发生，也可能不会发生的事件就是随机事件；在一定条件下，一定不会发生的事件就是不可能事件；在一定条件下，一定会发生的事件就是必然事件，据此可判断A、B选项；全面调查数据准确，但耗时费力；抽样调查省时省力，但数据不够准确；一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查；对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查，据此判断C选项；概率是描述随机事件 发生可能性大小的量，概率越大，事件发生的可能性就越大，据此可判断D选项.
4．【答案】C
【知识点】全面调查与抽样调查；统计图的选择
【解析】【解答】解：A、为了审核书稿中的错别字，选择普查，说法正确，不符合题意；
B、为了解春节联欢晚会的收视率，选择抽样调查，说法正确，不符合题意；
C、为了清楚地反映事物的变化情况，可选用折线统计图，故本选项说法不正确，符合题意；
D、质检部门要了解一批灯泡的使用寿命，选择抽样调查，说法正确，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用抽样调查的定义及特征（一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查）和全面调查的定义及特征（对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查）逐项分析判断即可.
5．【答案】B
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，
由①可得：，
由②可得：，
∴原不等式组的解集为，
在数轴上表示为：
故答案为：B。
【分析】先对不等式组进行标注，分别对两个不等式进行求解，根据等号用实心，大于号或者小于号用空信号，然后再将不等式的解集在数轴上标示出来即可
6．【答案】C
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解：点到轴的距离为．
故答案为： C．
【分析】根据平面内点到x轴的距离等于其纵坐标的绝对值求解即可.
7．【答案】B
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形的面积；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：，，，
由勾股定理得，，
当时，最短，如图，
，
，
解得，
故答案为：B．
【分析】在Rt△ABC中，先由勾股定来算出AB=10，由垂线段最短得出当CM⊥AB时，CM最短，从而由等面积法建立方程求出CM的最小值即可.
8．【答案】C
【知识点】平方根；算术平方根；无理数的估值；无理数的概念
【解析】【解答】解：A、 是无理数，说法正确；
B、2＜ ＜3，说法正确；
C、5的平方根是± ，故原题说法错误；
D、 是5的算术平方根，说法正确.
故答案为：C.
【分析】 是一个开方开不尽的数，是无理数；由于4＜5＜9，根据被开方数越大，其算术平方根就越大即可得出2＜ ＜3；若果一个数x2=5，则这个数就是5的平方根；若果一个正数x2=5，则这个正数就是5的算术平方根，从而即可一一判断得出答案.
9．【答案】D
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题；列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设有人，物品价值元，
由题意得，，
故答案为：．
【分析】设有人，物品价值元，根据题意列出方程组即可．
10．【答案】D
【知识点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：，
解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
∴不等式组的解集为，
在数轴上表示为：
故选：D．
【分析】分别求出每个不等式的解集，解得，，联立得不等式组的解集为，在数轴上表示出来即可．一元一次不等式组的解集确定的原则：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
11．【答案】
【知识点】解一元一次不等式；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵点在轴上方，
∴，
解得：，
故答案为：．
【分析】
根据平面直角坐标系内点坐标的特征，列出满足条件的不等式即可解答．
12．【答案】12
【知识点】偶次方的非负性；算术平方根的性质（双重非负性）；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】，
x-8=0，y+4=0，
解得x=8，y=-4，
x-y=8-（-4）=12，
故答案为：12.
【分析】根据二次根式与偶次方的非负性得到x-8=0，y+4=0，解得x，y的值，从而求解.
13．【答案】
【知识点】解二元一次方程
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴
故答案为：；
【分析】先移项得，再把x的系数化为1即可.
14．【答案】6
【知识点】二元一次方程的解；求代数式的值-整体代入求值；因式分解的应用-简便运算
【解析】【解答】解：是关于、的方程的一组解，
代入得：，
，
故答案为：6．
【分析】根据方程解的定义，把代入方程得出，然后将待求式子利用提取公因式法分解因式后，再整体代入计算即可.
15．【答案】50°
【知识点】三角形外角的概念及性质；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵DE∥AF，
∴∠2＝∠A，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠2＝∠A，
∵∠DCF＝∠A+∠1＝2∠A＝100°，
∴∠A＝50°，
故答案为：50°．
【分析】根据两直线平行，同位角相等可得∠2＝∠A，再根据外角的性质解答即可．
16．【答案】
【知识点】点的坐标；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：如图，
观察图形可知4的倍数秒点P在第三象限的角平分线上，
∵，
∴经过2024秒钟后，点P在第三象限，
∵P4的坐标为，
P8的坐标为，
…，
∴的坐标为，
∴的坐标为，
故答案为：．
【分析】先求出规律可知4的倍数秒点P在第三象限的角平分线上，再结合，可得经过2024秒钟后，点P在第三象限，再求出的坐标为，最后求出的坐标为即可.
17．【答案】解：
．
【知识点】二次根式的混合运算；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】由特殊角的三角函数值可得cos45°=，由二次根式的性质可得，然后根据实数的运算法则计算即可求解．
18．【答案】（1）解：由题意可知小鑫看错了方程②中的，解得，
∴该解满足方程①，将代入①得：，化简得③；
∵小童看错了①中的，解得，
∴该解满足方程②，将代入②得：，即，
解得；
将代入方程③可得：，
解得；
故a=2，b=3.
（2）解：将（1）的结果代入原方程组，得，
由①得③，
将③代入②得：，解得；
将代入③得：；
∴原方程组的正确解为.
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；二元一次方程（组）的错解复原问题
【解析】【分析】（1）先把代入方程，计算得到参数a的值；再将和求得的代入方程，就可以计算得到参数b的值；
（2）得到a、b的值后就可以确定正确的方程组，解这个正确的方程组就能得到原方程组的正确解.
19．【答案】解：
对不等式移项，将含x的项移到左侧，常数项移到右侧，得：
合并同类项得：
不等式两边同时除以-2，注意不等号方向改变，系数化为1得：
满足大于-3的负整数为-2和-1，因此原不等式的所有负整数解为，
【知识点】一元一次不等式的特殊解
【解析】【分析】本题考查一元一次不等式的负整数解，解决本题的关键是正确求出不等式的解集，再根据题目要求找出对应解即可.
20．【答案】解：（1）原式
．
（2），
解不等式①，得，
解不等式②，得，
所以不等式组的解集是．
【知识点】零指数幂；解一元一次不等式组；实数的绝对值；求算术平方根；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】（1）先利用特殊角的三角函数值、0指数幂、实数的绝对值和算术平方根的性质化简，再计算即可；
（2）利用一元一次不等式组的计算方法及步骤（先移项并合并同类项，再系数化为“1”即可）分析求解即可.
21．【答案】（1）解：线段即为所求，如图所示：
点的坐标为．
（2）解：
答：四边形 的面积为11．
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）先利用点坐标平移的特征（上加下减、左减右加）找出点A、B的对应点，再连接并直接求出点B1的坐标即可；
（2）利用三角形的面积公式及割补法求出四边形的面积即可.
（1）解：线段即为所求，如图所示：
点的坐标为．
（2）解：．
答：四边形的面积为11．
22．【答案】（1）解：（人）
答：随机抽取的学生人数为120人。
（2）解：喜爱艺术：（人，
补全的条形统计图如图所示：
“其他”所对应的圆心角度数为
（3）解：（人，
选择“阅读”的学生大约有126人．
【知识点】总体、个体、样本、样本容量；扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）根据喜爱体育的人数和所占的百分比，可以计算出本次被调查的学生有多少名；
（2）根据（1）的结论可得喜爱艺术的人数，从而可以将条形统计图补充完整；根据“其他”所占百分比×360°即可“其他”所对应的圆心角度数；
（3）用样本估计总体列式解答即可．
23．【答案】同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补
【知识点】同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】∵∠A+∠B=180°，
∵AD∥BC(同旁内角互补，两直线平行)，
∴∠C+∠D=180(两直线平行，同旁内角互补)
故答案为：同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补．
【分析】根据同旁内角互补，两直线平行得到AD∥BC，根据两直线平行，同旁内角互补得到∠C+∠D=180。所以已知答案AD∥BC，∠C+∠D=180，看看可以逆推其依据的平行线的判定和性质.
24．【答案】（1）解：∵，∴，
∵，
∴．
（2）证明：∵平分，∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
【知识点】平行线的判定与性质；同旁内角的概念
【解析】【分析】（1）直接应用平行线的性质定理即可；
（2）由角平分线的概念结合平行线的性质可计算出，此时恰好等于，显然同位角相等，两直线平行．
25．【答案】（1）解：设一份甲种快餐需元，一份乙种快餐需元，
根据题意得，
解得：
答：买一份甲种快餐需元，一份乙种快餐需元.
（2）解：设购买乙种快餐份，则购买甲种快餐份，
根据题意得，
解得：
至少买乙种快餐37份，
答：至少买乙种快餐37份．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】（1）设一份甲种快餐需元，一份乙种快餐需元，根据“ 买1份甲种快餐和2份乙种快餐共需70元，买2份甲种快餐和3份乙种快餐共需120元 ”列出方程组，再求解即可；
（2）设购买乙种快餐份，则购买甲种快餐份，根据“ 所花快餐费不超过1280元 ”列出不等式，再求解即可.
26．【答案】（1）①B，C；②
（2）解：解不等式组，
得：
∵是“爱心点”，
∴由（1）可知：
∵s是不等式组的最大整数解
∴
∴
∴，
解得：；
（3）解：∵点是“爱心点”，
∴
由，
得：
∴
∵p，q为有理数，
∴
∴
∴的平方根为．
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；解二元一次方程组；一元一次不等式组的特殊解；开平方（求平方根）
【解析】【解答】（1）解：①∵，
∴，
∴
∴
同理：由得：
此时，
由得：
此时，，
∴是“爱心点”的有B、C；
②∵点是“爱心点”
∴且
整理得
故答案为：①B，C；②；
【分析】（1）①根据题干信息分别求得的值，进而判断m+n得值是否等于mn的值即可求解；
②根据题干信息确定出m、n得值，进而根据“爱心点”定义得出zimu a、b得等式，整理即可得出结论；
（2）将k作为参数，根据解一元一次不等式的步骤分别解出不等式组中两个不等式的解集，进而根据口诀“大小小大中间找”确定出不等式组的解集为；根据（1）中②可得，从而可得，，据此即可求解；
（3）根据（1）中②得，利用方程组中的方程②-①得，从而可得关于字母p、q的方程，再根据p，q为有理数可得，进而求出p与q的差，最后根据平方根定义可得答案.
27．【答案】（1）证明：如图1，过点P作，
，
，
，，
，
，
，
；
（2）解：设，，
平分，
，
由（1）结论可知：，
，
由（1）结论可知：，
，
；
（3）解：的度数不变．理由如下：连接，
设，，则，
FM平分∠PFD，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
的度数不变，
的度数不变．
【知识点】角的大小比较；平行线的性质；铅笔头模型；猜想与证明；平行公理的推论
【解析】【分析】（1）过点P作PQ∥AB，由二直线平行，内错就相等得，由平行于同一直线的两条直线互相平行得CD∥PQ，再由二直线平行，内错就相等得，进而根据角的构成及等量代换可得结论；
（2）设∠AEQ=，∠PFC=∠PFQ=，由角平分线定义得∠PEQ=∠AEQ=，然后根据（1）的结论得∠EMF=∠AEP+∠CFQ=2+2=120°，，，据此即可求解得出结论；
（3）连接EF，有角平分线的定义设，，由邻补角定义得，由角平分线的定义得，由二直线平行，内错角相等得，，由等式性质可得，由角的构成求出，由（1）得结论得，进而可求出，即的度数不变．
1 / 1湖南省株洲市芦淞区体育路中学等多校2024-2025学年七年级下学期6月期末联考数学试题
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．请将正确答案的字母代号填在答题卡相应位置上）
1．下列各数中，是无理数的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：、是整数，属于有理数，不合题意；
、是整数，属于有理数，不合题意；
、是无理数，符合题意；
、是分数，属于有理数，不合题意；
故答案为：．
【分析】利用无理数的定义（无限不循环小数称为无理数）逐个分析判断求解即可.
2．已知，下列不等式一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，，，
由无法用来判断，
∴A、B、D错误，故不符合要求；C正确，故符合要求；
故选：C．
【分析】根据不等式的基本性质逐项判断解答即可．
3．下列说法错误的是（　　）
A．“从一副扑克牌中任意抽取一张，抽到大王”是必然事件
B．任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数不一定是偶数
C．了解一批灯泡的质量，采用抽样调查的方式
D．天气预报说明天的降水概率是，则明天不一定会下雨
【答案】A
【知识点】全面调查与抽样调查；事件的分类；概率的意义
【解析】【解答】解：A、 “从一副扑克牌中任意抽取一张，抽到大王”是随机事件，故原说法错误，此选项符合题意；
B、任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数可能是偶数，也可能是奇数，故原说法正确，此选项不符合题意；
本选项不符合题意；
C、了解一批灯泡的质量，采用抽样调查的方式， 故原说法正确，此选项不符合题意；
本选项不符合题意；
D、天气预报说明天的降水概率是，则明天不一定会下雨， 故原说法正确，此选项不符合题意.
故答案为：A．
【分析】在一定条件下，可能发生，也可能不会发生的事件就是随机事件；在一定条件下，一定不会发生的事件就是不可能事件；在一定条件下，一定会发生的事件就是必然事件，据此可判断A、B选项；全面调查数据准确，但耗时费力；抽样调查省时省力，但数据不够准确；一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查；对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查，据此判断C选项；概率是描述随机事件 发生可能性大小的量，概率越大，事件发生的可能性就越大，据此可判断D选项.
4．下列说法不正确的是（　　）
A．为了审核书稿中的错别字，选择普查
B．为了解春节联欢晚会的收视率，选择抽样调查
C．为了清楚地反映事物的变化情况，可选用扇形统计图
D．质检部门要了解一批灯泡的使用寿命，选择抽样调查
【答案】C
【知识点】全面调查与抽样调查；统计图的选择
【解析】【解答】解：A、为了审核书稿中的错别字，选择普查，说法正确，不符合题意；
B、为了解春节联欢晚会的收视率，选择抽样调查，说法正确，不符合题意；
C、为了清楚地反映事物的变化情况，可选用折线统计图，故本选项说法不正确，符合题意；
D、质检部门要了解一批灯泡的使用寿命，选择抽样调查，说法正确，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用抽样调查的定义及特征（一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查）和全面调查的定义及特征（对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查）逐项分析判断即可.
5．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，
由①可得：，
由②可得：，
∴原不等式组的解集为，
在数轴上表示为：
故答案为：B。
【分析】先对不等式组进行标注，分别对两个不等式进行求解，根据等号用实心，大于号或者小于号用空信号，然后再将不等式的解集在数轴上标示出来即可
6．在平面直角坐标系中，点到轴的距离为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解：点到轴的距离为．
故答案为： C．
【分析】根据平面内点到x轴的距离等于其纵坐标的绝对值求解即可.
7．如图，在中，，，．若点是直线上的一个动点，则的最小值为（　　）
A． B． C．5 D．6
【答案】B
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形的面积；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：，，，
由勾股定理得，，
当时，最短，如图，
，
，
解得，
故答案为：B．
【分析】在Rt△ABC中，先由勾股定来算出AB=10，由垂线段最短得出当CM⊥AB时，CM最短，从而由等面积法建立方程求出CM的最小值即可.
8．下列关于 的说法中，错误的是（　　）
A． 是无理数 B．2< <3
C．5的平方根是 D． 是5的算术平方根
【答案】C
【知识点】平方根；算术平方根；无理数的估值；无理数的概念
【解析】【解答】解：A、 是无理数，说法正确；
B、2＜ ＜3，说法正确；
C、5的平方根是± ，故原题说法错误；
D、 是5的算术平方根，说法正确.
故答案为：C.
【分析】 是一个开方开不尽的数，是无理数；由于4＜5＜9，根据被开方数越大，其算术平方根就越大即可得出2＜ ＜3；若果一个数x2=5，则这个数就是5的平方根；若果一个正数x2=5，则这个正数就是5的算术平方根，从而即可一一判断得出答案.
9．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，它对我国古代后世的数学家产生了深远的影响，该书中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出元，多元；每人出元，少元，问有多少人？该物品价几何？设有人，物品价值元，则所列方程组正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题；列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设有人，物品价值元，
由题意得，，
故答案为：．
【分析】设有人，物品价值元，根据题意列出方程组即可．
10．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：，
解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
∴不等式组的解集为，
在数轴上表示为：
故选：D．
【分析】分别求出每个不等式的解集，解得，，联立得不等式组的解集为，在数轴上表示出来即可．一元一次不等式组的解集确定的原则：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．请将答案填在答题卡的答案栏内）
11．已知点在轴上方，则的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵点在轴上方，
∴，
解得：，
故答案为：．
【分析】
根据平面直角坐标系内点坐标的特征，列出满足条件的不等式即可解答．
12．若，则　 　．
【答案】12
【知识点】偶次方的非负性；算术平方根的性质（双重非负性）；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】，
x-8=0，y+4=0，
解得x=8，y=-4，
x-y=8-（-4）=12，
故答案为：12.
【分析】根据二次根式与偶次方的非负性得到x-8=0，y+4=0，解得x，y的值，从而求解.
13．由，得到用y表示x的式子为　 　．
【答案】
【知识点】解二元一次方程
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴
故答案为：；
【分析】先移项得，再把x的系数化为1即可.
14．已知是方程的一组解，则　 　
【答案】6
【知识点】二元一次方程的解；求代数式的值-整体代入求值；因式分解的应用-简便运算
【解析】【解答】解：是关于、的方程的一组解，
代入得：，
，
故答案为：6．
【分析】根据方程解的定义，把代入方程得出，然后将待求式子利用提取公因式法分解因式后，再整体代入计算即可.
15．如图，一束光线从点C出发，经过平面镜AB反射后，沿与AF平行的线段DE射出（此时∠1＝∠2），若测得∠DCF＝100°，则∠A＝　 　
【答案】50°
【知识点】三角形外角的概念及性质；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵DE∥AF，
∴∠2＝∠A，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠2＝∠A，
∵∠DCF＝∠A+∠1＝2∠A＝100°，
∴∠A＝50°，
故答案为：50°．
【分析】根据两直线平行，同位角相等可得∠2＝∠A，再根据外角的性质解答即可．
16．在平面直角坐标系中，点P位于原点，第1秒钟向右移动1个单位，第2秒钟向上移动2个单位，第3秒钟向左移动3个单位，第4秒钟向下移动4个单位，第5秒钟向右移动5个单位，…依此类推，经过2024秒钟后，点P的坐标是　 　．
【答案】
【知识点】点的坐标；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：如图，
观察图形可知4的倍数秒点P在第三象限的角平分线上，
∵，
∴经过2024秒钟后，点P在第三象限，
∵P4的坐标为，
P8的坐标为，
…，
∴的坐标为，
∴的坐标为，
故答案为：．
【分析】先求出规律可知4的倍数秒点P在第三象限的角平分线上，再结合，可得经过2024秒钟后，点P在第三象限，再求出的坐标为，最后求出的坐标为即可.
三、解答题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．解答题要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．计算：
【答案】解：
．
【知识点】二次根式的混合运算；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】由特殊角的三角函数值可得cos45°=，由二次根式的性质可得，然后根据实数的运算法则计算即可求解．
18．小鑫、小童两人同时解方程组时，小鑫看错了方程②中的a，解得，小童看错了①中的b，解得．
（1）求正确的a，b的值；
（2）求原方程组的正确解．
【答案】（1）解：由题意可知小鑫看错了方程②中的，解得，
∴该解满足方程①，将代入①得：，化简得③；
∵小童看错了①中的，解得，
∴该解满足方程②，将代入②得：，即，
解得；
将代入方程③可得：，
解得；
故a=2，b=3.
（2）解：将（1）的结果代入原方程组，得，
由①得③，
将③代入②得：，解得；
将代入③得：；
∴原方程组的正确解为.
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；二元一次方程（组）的错解复原问题
【解析】【分析】（1）先把代入方程，计算得到参数a的值；再将和求得的代入方程，就可以计算得到参数b的值；
（2）得到a、b的值后就可以确定正确的方程组，解这个正确的方程组就能得到原方程组的正确解.
19．解不等式，并写出它的所有负整数解．
【答案】解：
对不等式移项，将含x的项移到左侧，常数项移到右侧，得：
合并同类项得：
不等式两边同时除以-2，注意不等号方向改变，系数化为1得：
满足大于-3的负整数为-2和-1，因此原不等式的所有负整数解为，
【知识点】一元一次不等式的特殊解
【解析】【分析】本题考查一元一次不等式的负整数解，解决本题的关键是正确求出不等式的解集，再根据题目要求找出对应解即可.
20．（1）计算：；
（2）解不等式组：．
【答案】解：（1）原式
．
（2），
解不等式①，得，
解不等式②，得，
所以不等式组的解集是．
【知识点】零指数幂；解一元一次不等式组；实数的绝对值；求算术平方根；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】（1）先利用特殊角的三角函数值、0指数幂、实数的绝对值和算术平方根的性质化简，再计算即可；
（2）利用一元一次不等式组的计算方法及步骤（先移项并合并同类项，再系数化为“1”即可）分析求解即可.
21．如图，线段两端点在平面直角坐标系中小正方形的顶点，平移线段，使得点A移到点．
（1）画出线段，并写出点的坐标；
（2）连接、，求出四边形的面积．
【答案】（1）解：线段即为所求，如图所示：
点的坐标为．
（2）解：
答：四边形 的面积为11．
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）先利用点坐标平移的特征（上加下减、左减右加）找出点A、B的对应点，再连接并直接求出点B1的坐标即可；
（2）利用三角形的面积公式及割补法求出四边形的面积即可.
（1）解：线段即为所求，如图所示：
点的坐标为．
（2）解：．
答：四边形的面积为11．
22．为促进学生健康成长，学校全面推行课后服务模式．在课后服务时间内组织学生进行自主阅读、体育、艺术、及其他一些有益身心健康的活动，学生根据自己的喜好，自主选择．学校随机抽取了部分学生进行调查（抽取的学生都选择了一种自己喜爱的活动），下面是根据调查情况，得到的两幅不完整的统计图，请结合图中信息解答下列问题：
（1）求出本次调查中，随机抽取的学生人数；
（2）补全条形统计图，并求出“其他”所对应的圆心角的度数；
（3）若该校学生总人数为840人，估计选择阅读的学生有多少人？
【答案】（1）解：（人）
答：随机抽取的学生人数为120人。
（2）解：喜爱艺术：（人，
补全的条形统计图如图所示：
“其他”所对应的圆心角度数为
（3）解：（人，
选择“阅读”的学生大约有126人．
【知识点】总体、个体、样本、样本容量；扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）根据喜爱体育的人数和所占的百分比，可以计算出本次被调查的学生有多少名；
（2）根据（1）的结论可得喜爱艺术的人数，从而可以将条形统计图补充完整；根据“其他”所占百分比×360°即可“其他”所对应的圆心角度数；
（3）用样本估计总体列式解答即可．
四、几何证明与计算（本大题共2小题，每小题7分，共14分．要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
23．在下面的括号内，填上推理的根据．
如图，，求证．
证明：∵，
∴（　 　）．
∴（　 　）．
【答案】同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补
【知识点】同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】∵∠A+∠B=180°，
∵AD∥BC(同旁内角互补，两直线平行)，
∴∠C+∠D=180(两直线平行，同旁内角互补)
故答案为：同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补．
【分析】根据同旁内角互补，两直线平行得到AD∥BC，根据两直线平行，同旁内角互补得到∠C+∠D=180。所以已知答案AD∥BC，∠C+∠D=180，看看可以逆推其依据的平行线的判定和性质.
24．如图，在四边形中，，．
（1）求的度数；
（2）平分交于点，．求证：．
【答案】（1）解：∵，∴，
∵，
∴．
（2）证明：∵平分，∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
【知识点】平行线的判定与性质；同旁内角的概念
【解析】【分析】（1）直接应用平行线的性质定理即可；
（2）由角平分线的概念结合平行线的性质可计算出，此时恰好等于，显然同位角相等，两直线平行．
五、应用题（本大题共1小题，共8分）
25．某班去革命老区研学旅行，研学基地有甲乙两种快餐可供选择，买1份甲种快餐和2份乙种快餐共需70元，买2份甲种快餐和3份乙种快餐共需120元．
（1）买一份甲种快餐和一份乙种快餐各需多少元？
（2）已知该班共买55份甲乙两种快餐，所花快餐费不超过1280元，问至少买乙种快餐多少份？
【答案】（1）解：设一份甲种快餐需元，一份乙种快餐需元，
根据题意得，
解得：
答：买一份甲种快餐需元，一份乙种快餐需元.
（2）解：设购买乙种快餐份，则购买甲种快餐份，
根据题意得，
解得：
至少买乙种快餐37份，
答：至少买乙种快餐37份．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】（1）设一份甲种快餐需元，一份乙种快餐需元，根据“ 买1份甲种快餐和2份乙种快餐共需70元，买2份甲种快餐和3份乙种快餐共需120元 ”列出方程组，再求解即可；
（2）设购买乙种快餐份，则购买甲种快餐份，根据“ 所花快餐费不超过1280元 ”列出不等式，再求解即可.
六、拓展延伸题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
26．定义：若m，n都是不为0的实数，且满足，则称点为“爱心点”．
（1）①在点，，中，是“爱心点”的有______（填字母）；
②若点是“爱心点”．则a，b满足的关系式为______；
（2）若是“爱心点”，且s，t分别是不等式组的最大整数解和最小整数解，求k的取值范围；
（3）已知p，q为有理数，且以关于x，y的方程组的解为坐标的点是“爱心点”，求的平方根．
【答案】（1）①B，C；②
（2）解：解不等式组，
得：
∵是“爱心点”，
∴由（1）可知：
∵s是不等式组的最大整数解
∴
∴
∴，
解得：；
（3）解：∵点是“爱心点”，
∴
由，
得：
∴
∵p，q为有理数，
∴
∴
∴的平方根为．
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；解二元一次方程组；一元一次不等式组的特殊解；开平方（求平方根）
【解析】【解答】（1）解：①∵，
∴，
∴
∴
同理：由得：
此时，
由得：
此时，，
∴是“爱心点”的有B、C；
②∵点是“爱心点”
∴且
整理得
故答案为：①B，C；②；
【分析】（1）①根据题干信息分别求得的值，进而判断m+n得值是否等于mn的值即可求解；
②根据题干信息确定出m、n得值，进而根据“爱心点”定义得出zimu a、b得等式，整理即可得出结论；
（2）将k作为参数，根据解一元一次不等式的步骤分别解出不等式组中两个不等式的解集，进而根据口诀“大小小大中间找”确定出不等式组的解集为；根据（1）中②可得，从而可得，，据此即可求解；
（3）根据（1）中②得，利用方程组中的方程②-①得，从而可得关于字母p、q的方程，再根据p，q为有理数可得，进而求出p与q的差，最后根据平方根定义可得答案.
27．如图1，点E是直线上一点，F是直线上一点，．
（1）求证：；
（2）如图2，，与的平分线交于点Q，与相交于点M，若，求的度数；
（3）如图3，平分，平分，，当的大小不变时，下列结论：①的度数不变；②的度数不变，其中有且只有一个是正确的，请你写出正确的结论并说明理由．
【答案】（1）证明：如图1，过点P作，
，
，
，，
，
，
，
；
（2）解：设，，
平分，
，
由（1）结论可知：，
，
由（1）结论可知：，
，
；
（3）解：的度数不变．理由如下：连接，
设，，则，
FM平分∠PFD，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
的度数不变，
的度数不变．
【知识点】角的大小比较；平行线的性质；铅笔头模型；猜想与证明；平行公理的推论
【解析】【分析】（1）过点P作PQ∥AB，由二直线平行，内错就相等得，由平行于同一直线的两条直线互相平行得CD∥PQ，再由二直线平行，内错就相等得，进而根据角的构成及等量代换可得结论；
（2）设∠AEQ=，∠PFC=∠PFQ=，由角平分线定义得∠PEQ=∠AEQ=，然后根据（1）的结论得∠EMF=∠AEP+∠CFQ=2+2=120°，，，据此即可求解得出结论；
（3）连接EF，有角平分线的定义设，，由邻补角定义得，由角平分线的定义得，由二直线平行，内错角相等得，，由等式性质可得，由角的构成求出，由（1）得结论得，进而可求出，即的度数不变．
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